Positiivitermiset sarjat

Sarjan summa voidaan laskea helposti vain joissakin erikoistapauksissa, kuten esimerkiksi edellä geometriselle sarjalle ja niinkutsutulle teleskooppisarjalle. Monissa sovelluksissa tarkkaa summaa tärkeämpää onkin perustella, että sarja ylipäätään suppenee. Tässä ja seuraavassa luvussa esitellään suppenemistestejä, joilla suppenemista ja hajantumista voi yrittää tutkia.

Määritelmä.

Sarja \(\sum\limits_{k = 1}^{\infty}a_k\) on positiiviterminen, jos \(a_k\ge0\) kaikilla \(k\).

Lause.

Positiiviterminen sarja \(\sum\limits_{k = 1}^{\infty} a_k\) joko suppenee tai \(\sum\limits_{k = 1}^{\infty} a_k=\infty\).

Todistus.

Nyt jokaisella luonnollisella luvulla \(n\) on voimassa

\[S_{n+1}=S_n+a_{n+1}\ge S_n,\]

sillä \(a_{n+1}\ge0\). Osasummien jono \((S_n)\) on siis kasvava, ja väite seuraa monotonisten jonojen peruslauseesta. \(\square\)

Positiivitermisille sarjoille on useita suppenemistestejä. Ensimmäisessä sarjan summaa verrataan sopivaan integraaliin. Kutsutaan tätä testiä integraalitestiksi (integral test).

Lause.

Olkoon \(\sum\limits_{k = 1}^{\infty}a_k\) positiiviterminen sarja sekä \(f : [1,\infty)\to\mathbb R\) vähenevä funktio, jolle \(f(k)=a_k\) aina, kun \(k\ge m \geq 1\). Tällöin

\[\sum_{k=1}^\infty a_k\text{ suppenee jos ja vain jos } \int_m^\infty f(x)\,\mathrm{d}x\text{ suppenee.}\]

Todistus.

Tarkastellaan ensin väitettä kuvan avulla, kun \(m = 1\). Oheisissa kuvissa kunkin suorakulmion pinta-ala on \(1 \cdot f(k) = a_k\), missä \(k\) on sen järjestysluku. Sarjan summa on siis suorakulmioiden yhteenlaskettu pinta-ala. Integraalin pinta-alatulkinta huomioiden vasemmanpuoleisesta kuvasta voidaan nyt päätellä, että

jos \(\displaystyle\int_1^\infty f(x)\,\mathrm{d}x\) hajaantuu, niin myös \(\displaystyle\sum_{k=1}^\infty a_k\) hajaantuu.

Oikeanpuoleisesta kuvasta taas voidaan päätellä, että

jos \(\displaystyle\int_1^\infty f(x)\,\mathrm{d}x\) suppenee, niin myös \(\displaystyle\sum_{k=2}^\infty a_k\) suppenee.

Sekä sarjan että integraalin alkupäähän voidaan lisätä äärellinen reaaliluku muuttamatta suppenevuutta tai hajaantuvuutta.

Tehdään sitten varsinainen todistus. Oletetaan ensin, että \(m \geq 1\) ja

\[I=\int_m^\infty f(x)\,\mathrm{d}x\]

suppenee. Koska \(f(x)\) on vähenevä, niin \(a_{k+1}\le f(x)\), kun \(m \leq k\le x\le k+1\). Niinpä

\[a_{k+1}=\int_k^{k+1}a_{k+1}\,\mathrm{d}x\le\int_k^{k+1}f(x)\,\mathrm{d}x,\]

ja osasummien erotus

\[S_n - S_m = a_{m + 1} + a_{m + 2} + \cdots + a_n = a_{m + 1}+\sum_{k=m}^na_{k+1}\le a_1+\int_m^{n+1}f(x)\,\mathrm{d}x\le a_1+I.\]

Tässä viimeinen arvio perustuu siihen, että ei-negatiiviselle jatkuvalle integroituvalle funktiolle \(f(x)\) integraali

\[F(y)=\int_m^yf(x)\,\mathrm{d}x\]

lähestyy arvoa \(\lim\limits_{y\to\infty}F(y)=I\) alhaaltapäin. Siis \((S_n - S_m)\), ja täten myös \((S_n)\) on kasvava ja ylhäältä rajoitettu lukujono, joten sarja suppenee.

Vastaavasti päätellään, että jos integraali

\[\int_m^\infty f(x)\,\mathrm{d}x\]

hajaantuu, niin myös sarja \(\sum\limits_{k=1}^\infty a_k\) hajaantuu. \(\square\)

Määritelmä.

Olkoon \(p\) reaaliluku. \(p\)-sarjalla tarkoitetaan sarjaa

\[\sum_{k=1}^\infty\frac{1}{k^p},\]

ja

1. jos \(p<1\), niin tämä on aliharmoninen sarja,
2. jos \(p=1\), niin tämä on harmoninen sarja,
3. jos \(p>1\), niin tämä on yliharmoninen sarja.

Lause.

\(p\)-sarja suppenee jos ja vain jos \(p>1\). Toisin sanoen harmoninen ja aliharmoninen sarja hajaantuvat ja yliharmoninen sarja suppenee.

Todistus.

Tutkitaan suppenemista integraalitestillä vertaamalla funktioon \(f(x)=\frac{1}{x^p}\). Tämä kelpaa, sillä \(f(k)=\frac{1}{k^p}\) kaikilla \(k\) ja \(f\) on vähenevä funktio. Epäoleellisten integraalien yhteydessä todettiin, että

\[\int_1^\infty\frac{\mathrm{d}x}{x^p}\]

suppenee jos ja vain jos \(p>1\), joten integraalitestin nojalla \(p\)-sarja suppenee jos ja vain jos \(p>1\). \(\square\)

Esimerkki.

Sarja

\[\displaystyle\sum_{k=1}^\infty\frac{1}{\sqrt{k}}=1+\frac{1}{\sqrt2}+\frac{1}{\sqrt3}+\cdots\]

hajaantuu aliharmonisena sarjana ja sarja

\[\sum_{k=1}^\infty\frac{1}{k}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots\]

hajaantuu harmonisena sarjana. Sen sijaan

\[\sum_{k=1}^\infty\frac{1}{k^2}=1+\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+\cdots\]

on yliharmoninen sarja ja suppenee.

Huomautus.

Muistetaan vielä lause ja huomautus sarjan termien raja-arvoista. Harmoniselle sarjalle on

\[\lim\limits_{k\to\infty}a_k=\lim\limits_{k\to\infty}\dfrac{1}{k}=0,\]

mutta silti

\[\sum_{k=1}^\infty\frac{1}{k}=\infty.\]

Seuraavassa suppenemistestissä tutkittavaa sarjaa verrataan sopivaan sarjaan, jonka suppenemisesta tai hajaantumisesta on jo tietoa. Tätä suppenemistestiä kutsutaan vertailuperiaatteeksi (comparison test).

Lause.

Oletetaan, että \(0\le a_k\le b_k\) kaikilla \(k\). Tällöin

1. jos \(\sum\limits_{k = 1}^{\infty}b_k\) suppenee, niin \(\sum\limits_{k = 1}^{\infty}a_k\) suppenee,
2. jos \(\sum\limits_{k = 1}^{\infty}a_k\) hajaantuu, niin \(\sum\limits_{k = 1}^{\infty}b_k\) hajaantuu.

Kohtaa 1 kutsutaan majoranttiperiaatteeksi ja kohtaa 2 minoranttiperiaatteeksi.

Todistus.

Todistetaan ensin majoranttiperiaate. Merkitään \(S=\sum\limits_{k = 1}^{\infty}b_k\). Nyt, koska \(a_{n + 1} \geq 0\), niin

\[\sum_{k=1}^{n} a_k \le \sum_{k=1}^{n+1} a_k \qquad\text{ja}\qquad \sum_{k=1}^na_k\le\sum_{k=1}^nb_k\le S\]

kaikilla \(n \ge 1\), joten sarjan \(\sum\limits_{k = 1}^{\infty} a_k\) osasummien jono on kasvava ja ylhäältä rajoitettu ja siten suppeneva.

Nyt minoranttiperiaate voidaan johtaa majoranttiperiaatteesta. Jos \(\sum\limits_{k=1}^{\infty} b_k\) suppenisi, niin kohdan majoranttiperiaatteen mukaan myös \(\sum\limits_{k = 1}^{\infty} a_k\) suppenisi, mikä on ristiriita oletuksen kanssa. Sarjan \(\sum\limits_{k = 1}^{\infty}b_k\) täytyy siis hajaantua. \(\square\)

Esimerkki.

Tutki sarjan

1. \(\displaystyle\sum_{k=1}^\infty\frac{1}{2^k+1}\),
2. \(\displaystyle\sum_{k=1}^\infty\frac{\ln k}{k}\)

suppenevuutta.

Ratkaisu.

1. Sarja suppenee majoranttiperiaatteen nojalla, sillä

   \[0\le\frac{1}{2^k+1}\le\frac{1}{2^k}\]

   kaikilla \(k \ge 1\) ja \(\sum\limits_{k = 1}^{\infty}\left(\frac{1}{2}\right)^k\) on suppeneva geometrinen sarja.

2. Funktio \(\ln x\) on kasvava ja \(\ln e=1\), joten \(\ln k\ge1\), kun \(k\ge3\). Siis

   \[\frac{\ln k}{k}\ge\frac1k \ge 0\]

   kaikilla \(k\ge3\). Koska harmoninen sarja \(\sum\limits_{k = 1}^{\infty}\frac{1}{k}\) hajaantuu, niin myös tutkittava sarja hajaantuu minoranttiperiaatteen nojalla.

Joskus sopivan vertailusarjan löytäminen on työläämpää.

Esimerkki.

Tutki sarjan

1. \(\displaystyle\sum_{k=1}^\infty\dfrac{3k-2}{k^2+1}\),
2. \(\displaystyle\sum_{k=1}^\infty\frac{1}{2^k-1}\)

suppenevuutta.

Ratkaisu.

1. Suurilla \(k\) sekä osoittajan että nimittäjän vakio käy mitättömäksi, joten

   \[\frac{3k-2}{k^2+1}\approx\frac{3k}{k^2}=\frac3k.\]

   \(\sum\limits_{k = 1}^{\infty}\frac{1}{k}\) hajaantuu harmonisena sarjana, joten luultavasti tutkittava sarjakin hajaantuu. Vielä ei ole todistettu mitään, mutta päättely antaa vihjeen, että termejä kannattaa pyrkiä arvioimaan alhaalta päin termillä \((1/k)\). Suoraan saatava arvio

   \[\frac{3k-2}{k^2+1}\le\frac{3}{k}\]

   on käyttökelvoton, koska arvio menee väärään suuntaan. Arvioidaan seuraavasti. Kun \(k\ge 2\), on \(3k-2\ge 3k-k\) ja \(k^2+1\le k^2+k\), joten tällöin

   \[\frac{3k-2}{k^2+1}\ge\frac{3k-k}{k^2+k}=\frac{2k}{k(k+1)}=\frac{2}{k+1} \geq 0.\]

   Koska

   \[\sum_{k=2}^\infty\frac{2}{k+1}=2\sum_{k=3}^\infty\frac{1}{k}=\infty\]

   hajaantuu, niin tutkittava sarja hajaantuu.

2. Ilmeisesti käy samoin kuin edellisen esimerkin kohdassa 1, sillä taaskaan suurilla luvun \(k\) arvoilla nimittäjän vakiolla ei ole merkitystä. Nyt kuitenkin

   \[\frac{1}{2^k-1}\ge\frac{1}{2^k},\]

   kaikilla \(k \ge 1\), joten ei voida suoraan verrata sarjaan \(\sum\limits_{k = 1}^{\infty}\frac{1}{2^k}\). Sen sijaan havaitaan, että näiden sarjojen termien osamäärä toteuttaa

   \[\frac{\frac{1}{2^k - 1}}{\frac{1}{2^k}} =\frac{2^k}{2^k-1}=\frac{1}{1-\frac{1}{2^k}}\to1,\]

   kun \(k\to\infty\). Siten jostakin luvun \(k\) arvosta lähtien on (valitse raja-arvon määritelmässä \(\varepsilon = 1\))

   \[\frac{\frac{1}{2^k - 1}}{\frac{1}{2^k}}\le2\Rightarrow 0\le\frac{1}{2^k-1}\le2\frac{1}{2^k}.\]

   Koska sarja \(\sum\limits_{k = 1}^{\infty}\frac{1}{2^k}\) suppenee geometrisena sarjana, niin tutkittava sarja suppenee.

Seuraavassa testissä ei tarvita vertailusarjaa, vaan sarjan suppeneminen tai hajaantuminen päätellään sarjan termien käyttäytymisestä. Kutsutaan tätä suhdetestiksi (ratio test).

Lause.

Olkoon \(\sum\limits_{k = 1}^{\infty}a_k\) positiiviterminen sarja ja olkoon

\[L=\lim_{k\to\infty}\frac{a_{k+1}}{a_k}\]

olemassa äärellisenä tai \(L=\infty\).

1. Jos \(L<1\), niin sarja suppenee.
2. Jos \(L>1\), niin sarja hajaantuu.

Tapauksessa \(L=1\) voi käydä kummin vain.

Todistus.

Käsitellään tapaukset erikseen.

1. Oletetaan, että \(L < 1\) ja valitaan luku \(r\) väliltä \((L,1)\). Tässä välttämättä \(L > 0\), sillä käsiteltävä sarja on positiiviterminen. Raja-arvon määritelmän mukaan on olemassa sellainen luonnollinen luku \(N\), että

   \[\frac{a_{n+1}}{a_n}\le r \Leftrightarrow a_{n+1}\le a_nr.\]

   aina, kun \(n \geq N\). Siten

   \[\begin{aligned} a_{N+1}&\le a_Nr, \qquad a_{N+2}\le a_{N+1}r\le a_Nr^2, \qquad\cdots\qquad a_{N+k}\le a_Nr^k. \end{aligned}\]

   Sarja \(\sum\limits_{k=1}^\infty a_Nr^k\) suppenee geometrisena sarjana, sillä \(|r| < 1\), joten jäännöstermi

   \[0 < R_N=\sum_{k=N+1}^\infty a_k=\sum_{k=1}^\infty a_{N+k}\le\sum_{k=1}^\infty a_Nr^k<\infty.\]

   Siis \(\displaystyle\sum_{k=1}^\infty a_k\) suppenee majoranttiperiaatteen nojalla.

2. Oletetaan, että \(L > 1\). Tällöin suurilla \(k\) on \(a_k>0\) ja \(\frac{a_{k+1}}{a_k}\ge 1\), jolloin \(0<a_k\le a_{k+1}\). Ei siis voi olla \(\lim\limits_{k\to\infty}a_k=0\), eikä sarja siten suppene.

Viimeinen väite voidaan todistaa esimerkin avulla. Harmoniselle sarjalle ja yliharmoniselle sarjalle, jolle \(p = 2\), on

\[\lim_{k \to \infty}\frac{\frac{1}{k + 1}}{\frac{1}{k}} = \lim_{k \to \infty}\frac{k}{k + 1} = 1 = \lim_{k \to \infty}\frac{k^2}{(k + 1)^2} = \lim_{k \to \infty}\frac{\frac{1}{(k + 1)^2}}{\frac{1}{k^2}},\]

mutta ensin mainittu näistä ja jälkimmäinen suppenee. Tapauksessa \(L=1\) suhdetesti ei siis anna tulosta. \(\square\)

Määritelmä.

Jos \(n\in\mathbb N\), niin määritellään \(n\)-kertoma (factorial) \(n!\) asettamalla

\[n!=1\cdot2\cdot3\cdot\,\cdots\,\cdot n.\]

Lisäksi asetetaan \(0!=1\).

Esimerkki.

Suppeneeko \(\displaystyle\sum_{k=1}^\infty\frac{10^k}{k!}\)?

Ratkaisu.

Sarja on positiiviterminen, joten voidaan käytetään suhdetestiä. Nyt

\[\begin{aligned} \frac{a_{k+1}}{a_k}&=\frac{\frac{10^{k+1}}{(k+1)!}}{\frac{10^k}{k!}}=\frac{k!}{(k+1)!}\frac{10^{k+1}}{10^k}=\frac{k(k-1)\cdots2\cdot1}{(k+1)k(k-1)\cdots2\cdot1}\cdot10 =\frac{10}{k+1}\to0<1, \end{aligned}\]

kun \(k\to\infty\), joten sarja suppenee.

Posting submission...