Processing math: 100%
This course has already ended.

Sovellus: heilurin jaksonajan määrittäminen

Kun edellisessä heiluriesimerkissä alkukulma θ0 on ”suuri”, on edellä heilurin jaksolle T tehty approksimaatio huono. Johdetaan tarkka kaava jaksolle T yleisellä θ0. Kuvan kolmiosta päätellään, että

Lh=Lcosθ,

missä Lh0, jos π2θπ. Punnuksen korkeus kulmalla θ on siis

h(θ)=L(1cosθ).

Korkeusero lähtökulmasta θ0 kulmaan θ0 on

Δh=h(θ0)h(θ)=L(cosθcosθ0).

Punnus lähtee liikkeelle levosta, joten vauhti v saadaan mekaanisen energian säilymislaista mgΔh=12mv2, josta ratkaistaan

v=2gΔh=2gL(cosθcosθ0).

Jos rataliikkeen kulmanopeutta merkitään kirjaimella ω, niin v=Lω=Ldθdt, joten

dθdt=vL=2gLcosθcosθ0.

Olkoon alussa (θ=θ0) ajanhetki t=0, jolloin punnuksen saapuessa alimpaan pisteeseen (θ=0) aika on t=T4. Nyt jakson neljännes on myös integraali

T4=T/40dt,

johon voidaan tehdä muuttujanvaihto θ=θ(t). Aiemmasta kaavasta saadaan

dt=L2gdθcosθcosθ0.

Määritetään vielä uudet rajat. Kun t=0, niin θ=θ0 ja kun t=T/4, niin θ=0, joten

T4=L2g0θ0dθcosθcosθ0,

ja edelleen

T=8Lgθ00dθcosθcosθ0=4Lgθ00dθk2sin2(θ2),

kun käytetään trigonometrista muunnoskaavaa cosα=12sin2(α2) kahdesti ja merkitään k=sin(θ02). Tehdään nyt muuttujanvaihto

ksinφ=sin(θ2),

josta derivoimalla puolittain muuttujan θ suhteen

kcosφdφdθ=12cos(θ2),

eli

dθ=2kcosφcos(θ2)dφ=2k1sin2φ1sin2(θ2)dφ=2k1sin2φ1k2sin2φdφ.

Määritetään uudet rajat. Kun θ=0, niin ksinφ=0, eli φ=0, ja kun θ=θ0, niin ksinφ=k, eli φ=π2. Saadaan

T=4Lgπ20k1sin2φ1k2sin2φk2k2sinφdφ=4Lgπ/20dφ1k2sin2φ.

Tätä integraalia kutsutaan elliptiseksi integraaliksi, ja sitä ei voida laskea suljetussa muodossa (eli ilman sarjoja). Binomisarja eksponentin arvolla k=12 on

11+x=112x+38x2,

joten soveltamalla tätä arvolla x=k2sin2ϕ saadaan

T=4Lgπ20(1+12k2sin2φ+38k4sin4φ+)dϕ.

Ottamalla tästä mukaan useampia termejä saadaan yhä tarkempia arvioita heilahdusajalle myös suuremmilla θ0.

  1. approksimaatio:
T4Lgπ/20dϕ=2πLg.

Päädyttiin samaan arvioon kuin edellisessä esimerkissä.

  1. approksimaatio:
T4Lgπ20(1+12k2sin2φ)dφ=4Lg(π2+k22π20sin2φdφ=π/4)=2πLg(1+sin2(θ02)4).

Nähdään, että suuremmilla θ0 heilahdusaika kasvaa amplitudin θ0 kasvaessa (katso tämän artikkelin animaatio).

Posting submission...