- MAT-01330
- 7. Potenssisarjat ja sovelluksia
- 7.6 Sovellus: heilurin jaksonajan määrittäminen
Sovellus: heilurin jaksonajan määrittäminen¶
Kun edellisessä heiluriesimerkissä alkukulma θ0 on ”suuri”, on edellä heilurin jaksolle T tehty approksimaatio huono. Johdetaan tarkka kaava jaksolle T yleisellä θ0. Kuvan kolmiosta päätellään, että
missä L−h≤0, jos π2≤θ≤π. Punnuksen korkeus kulmalla θ on siis
Korkeusero lähtökulmasta θ0 kulmaan θ≥0 on
Punnus lähtee liikkeelle levosta, joten vauhti v saadaan mekaanisen energian säilymislaista mgΔh=12mv2, josta ratkaistaan
Jos rataliikkeen kulmanopeutta merkitään kirjaimella ω, niin v=Lω=−Ldθdt, joten
Olkoon alussa (θ=θ0) ajanhetki t=0, jolloin punnuksen saapuessa alimpaan pisteeseen (θ=0) aika on t=T4. Nyt jakson neljännes on myös integraali
johon voidaan tehdä muuttujanvaihto θ=θ(t). Aiemmasta kaavasta saadaan
Määritetään vielä uudet rajat. Kun t=0, niin θ=θ0 ja kun t=T/4, niin θ=0, joten
ja edelleen
kun käytetään trigonometrista muunnoskaavaa cosα=1−2sin2(α2) kahdesti ja merkitään k=sin(θ02). Tehdään nyt muuttujanvaihto
josta derivoimalla puolittain muuttujan θ suhteen
eli
Määritetään uudet rajat. Kun θ=0, niin ksinφ=0, eli φ=0, ja kun θ=θ0, niin ksinφ=k, eli φ=π2. Saadaan
Tätä integraalia kutsutaan elliptiseksi integraaliksi, ja sitä ei voida laskea suljetussa muodossa (eli ilman sarjoja). Binomisarja eksponentin arvolla k=−12 on
joten soveltamalla tätä arvolla x=−k2sin2ϕ saadaan
Ottamalla tästä mukaan useampia termejä saadaan yhä tarkempia arvioita heilahdusajalle myös suuremmilla θ0.
- approksimaatio:
Päädyttiin samaan arvioon kuin edellisessä esimerkissä.
- approksimaatio:
Nähdään, että suuremmilla θ0 heilahdusaika kasvaa amplitudin θ0 kasvaessa (katso tämän artikkelin animaatio).