$$% MATHEMATICAL SYMBOLS -------------------------------------------------- % Lukualueet \newcommand{\N}{\mathbb N} \newcommand{\Z}{\mathbb Z} \newcommand{\Q}{\mathbb Q} \newcommand{\R}{\mathbb R} \renewcommand{\C}{\mathbb C} % Lihavoidut vektorit. \newcommand{\ba}{\mathbf{a}} \newcommand{\bb}{\mathbf{b}} \newcommand{\bc}{\mathbf{c}} \newcommand{\bd}{\mathbf{d}} \newcommand{\be}{\mathbf{e}} \newcommand{\bbf}{\mathbf{f}} \newcommand{\bh}{\mathbf{h}} \newcommand{\bi}{\mathbf{i}} \newcommand{\bj}{\mathbf{j}} \newcommand{\bk}{\mathbf{k}} \newcommand{\bN}{\mathbf{N}} \newcommand{\bn}{\mathbf{n}} \newcommand{\bo}{\mathbf{0}} \newcommand{\bp}{\mathbf{p}} \newcommand{\bq}{\mathbf{q}} \newcommand{\br}{\mathbf{r}} \newcommand{\bs}{\mathbf{s}} \newcommand{\bT}{\mathbf{T}} \newcommand{\bu}{\mathbf{u}} \newcommand{\bv}{\mathbf{v}} \newcommand{\bw}{\mathbf{w}} \newcommand{\bx}{\mathbf{x}} \newcommand{\by}{\mathbf{y}} \newcommand{\bz}{\mathbf{z}} \newcommand{\bzero}{\mathbf{0}} % Kaunokirjaimet \newcommand{\cA}{\mathcal{A}} \newcommand{\cB}{\mathcal{B}} \newcommand{\cC}{\mathcal{C}} \newcommand{\cD}{\mathcal{D}} \newcommand{\cE}{\mathcal{E}} \newcommand{\cF}{\mathcal{F}} \newcommand{\cG}{\mathcal{G}} \newcommand{\cH}{\mathcal{H}} \newcommand{\cI}{\mathcal{I}} \newcommand{\cJ}{\mathcal{J}} \newcommand{\cK}{\mathcal{K}} \newcommand{\cL}{\mathcal{L}} \newcommand{\cM}{\mathcal{M}} \newcommand{\cN}{\mathcal{N}} \newcommand{\cO}{\mathcal{O}} \newcommand{\cP}{\mathcal{P}} \newcommand{\cQ}{\mathcal{Q}} \newcommand{\cR}{\mathcal{R}} \newcommand{\cS}{\mathcal{S}} \newcommand{\cT}{\mathcal{T}} \newcommand{\cU}{\mathcal{U}} \newcommand{\cV}{\mathcal{V}} \newcommand{\cW}{\mathcal{W}} \newcommand{\cX}{\mathcal{X}} \newcommand{\cY}{\mathcal{Y}} \newcommand{\cZ}{\mathcal{Z}} % Pystykirjaimet \newcommand{\rA}{\mathrm{A}} \newcommand{\rB}{\mathrm{B}} \newcommand{\rC}{\mathrm{C}} \newcommand{\rD}{\mathrm{D}} \newcommand{\rE}{\mathrm{E}} \newcommand{\rF}{\mathrm{F}} \newcommand{\rG}{\mathrm{G}} \newcommand{\rH}{\mathrm{H}} \newcommand{\rI}{\mathrm{I}} \newcommand{\rJ}{\mathrm{J}} \newcommand{\rK}{\mathrm{K}} \newcommand{\rL}{\mathrm{L}} \newcommand{\rM}{\mathrm{M}} \newcommand{\rN}{\mathrm{N}} \newcommand{\rO}{\mathrm{O}} \newcommand{\rP}{\mathrm{P}} \newcommand{\rQ}{\mathrm{Q}} \newcommand{\rR}{\mathrm{R}} \newcommand{\rS}{\mathrm{S}} \newcommand{\rT}{\mathrm{T}} \newcommand{\rU}{\mathrm{U}} \newcommand{\rV}{\mathrm{V}} \newcommand{\rW}{\mathrm{W}} \newcommand{\rX}{\mathrm{X}} \newcommand{\rY}{\mathrm{Y}} \newcommand{\rZ}{\mathrm{Z}} % Operaattorit \newcommand{\re}{\operatorname{Re}} \newcommand{\im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\arsinh}{\operatorname{ar\,sinh}} \newcommand{\arcosh}{\operatorname{ar\,cosh}} \newcommand{\artanh}{\operatorname{ar\,tanh}} %\newcommand{\dist}{\operatorname{d}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\proj}{\operatorname{proj}} \newcommand{\rref}{\operatorname{rref}} \newcommand{\rank}{\operatorname{rank}} \newcommand{\Span}{\operatorname{span}} \renewcommand{\dim}{\operatorname{dim}} \newcommand{\alg}{\operatorname{alg}} \newcommand{\geom}{\operatorname{geom}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} % Todennäköisyyslaskenta \newcommand{\Var}{\operatorname{Var}} \newcommand{\Cov}{\operatorname{Cov}} \newcommand{\Corr}{\operatorname{Corr}} \newcommand{\Tasd}{\operatorname{Tasd}} \newcommand{\Ber}{\operatorname{Ber}} \newcommand{\Bin}{\operatorname{Bin}} \newcommand{\Geom}{\operatorname{Geom}} \newcommand{\Poi}{\operatorname{Poi}} \newcommand{\Hyperg}{\operatorname{Hyperg}} \newcommand{\Tas}{\operatorname{Tas}} \newcommand{\Exp}{\operatorname{Exp}} \newcommand{\tdist}{\operatorname{t}} % Pysty-d differentiaaliin \newcommand{\rd}{\mathrm{d}} % Sijoitus integraaliin \newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-10mu}\,#1}^{\,#2}}$$

Otosvarianssi

Satunnaismuuttujan vaihtelua kuvaavat tärkeimmät otossuureet ovat otosvarianssi ja otoskeskihajonta.

Määritelmä 6.3.1

Olkoon $X_1,X_2,\ldots,X_n$ otos satunnaismuuttujasta $X$. Satunnaismuuttujan $X$ otosvarianssi (sample variance) on satunnaismuuttuja

$$S^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n(X_i-\overline{X})^2,$$

ja otoshajonta (sample standard deviation) $S=\sqrt{S^2}$. Näiden satunnaismuuttujien realisoituneita arvoja (reaalilukuja) merkitään

$$s^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n(x_i-\overline{x})^2$$

ja $s=\sqrt{s^2}$.

Satunnaismuuttujan $X$ otosvarianssi on sen varianssin harhaton estimaattori.

Lause 6.3.2

Olkoon $X_1,X_2,\ldots,X_n$ otos satunnaismuuttujasta $X$. Muuttujan $X$ otosvarianssi $S^2$ on sen varianssin $\sigma^2$ harhaton estimaattori, eli

$$\rE(S^2)=\Var(X)=\sigma^2.$$

Todistus

Koska muuttujat $X_i$, $i = 1, 2, \ldots, n$ muodostavat otoksen satunnaismuuttujasta $X$, on oltava $\rE(X_i) = \rE(X) = \mu$ ja $\Var(X_i) = \Var(X) = \sigma^2$. Väite seuraa odotusarvon lineaarisuudesta, kun otosvarianssin lausekkeessa merkitään $X_i - \overline{X} = (X_i - \mu) - (\overline{X} - \mu)$ ja $\sum\limits_{i = 1}^{n}X_i = n\overline{X}$:

$$\begin{split}\begin{aligned} \rE(S^2) &= \rE\left(\frac{1}{n - 1}\sum_{i = 1}^n(X_i - \overline{X})^2\right) = \rE\left(\frac{1}{n - 1} \sum_{i = 1}^n\left((X_i - \mu) - (\overline{X} - \mu)\right)^2\right) \\ &= \rE\left(\frac{1}{n - 1}\sum_{i = 1}^n \left((X_i - \mu)^2 - 2(X_i - \mu)(\overline{X} - \mu) + (\overline{X} - \mu)^2\right)\right) \\ &= \frac{1}{n - 1}\rE\left(\sum_{i = 1}^n(X_i - \mu)^2 - 2(\overline{X} - \mu)\sum_{i = 1}^n(X_i - \mu) + \sum_{i = 1}^n(\overline{X} - \mu)^2\right) \\ &= \frac{1}{n - 1}\rE\left(\sum_{i = 1}^n(X_i - \mu)^2 - 2(\overline{X} - \mu)(n\overline{X} - n\mu) + n(\overline{X} - \mu)^2\right) \\ &= \frac{1}{n - 1}\rE\left(\sum_{i = 1}^n(X_i - \mu)^2 - n(\overline{X} - \mu)^2 \right) = \frac{1}{n - 1}\left(\sum_{i = 1}^nE\left((X_i - \mu)^2\right) - n\rE\left((\overline{X} - \mu)^2\right)\right) \\ &= \frac{1}{n - 1}\left(\sum_{i = 1}^n\Var(X_i) - n\Var(\overline{X})\right) = \frac{1}{n - 1}\left(n\sigma^2 - n\frac{\sigma^2}{n}\right) = \sigma^2. \end{aligned}\end{split}$$

Tässä lauseessa on syy siihen, miksi otosvarianssin määritelmässä nimittäjään kirjoitetaan $n-1$ eikä $n$.

Tutkitaan sitten otosvarianssin jakaumaa. Normaalijakautuneiden satunnaismuuttujien muunnoksina saadaan eräitä uusia jakaumia, joita käytetään erityisesti tilastollisessa testaamisessa useiden testisuureiden jakaumina. Ensimmäisenä niistä määritellään $\chi^2$-jakauma.

Määritelmä 6.3.3

Jatkuva satunnaismuuttuja $W$ noudattaa $\chi^2$-jakaumaa vapausastein $n$ ($\chi^2$ distribution with $n$ degrees of freedom), $W \sim \chi^2(n)$, jos sen tiheysfunktio

$$f(x) = \frac{1}{2^{\frac{n}{2}}\Gamma\left(\frac{n}{2}\right)}x^{\frac{n}{2} - 1}e^{-\frac{x}{2}}, \qquad\text{kun } x \in \Omega = [0, \infty),$$

missä $\Gamma(t) = \int_{0}^{\infty}e^{-x}x^{t - 1}\,\rd x$ on Eulerin gammafunktio.

Laskuja varten satunnaismuuttujan $W \sim \chi^2(n)$ kertymäfunktion $F(t)=P(W \leq t)$ ja sen käänteisfunktion arvoja on kerätty liitetaulukkoon eri vapausasteluvuilla. Monissa ohjelmissa on lisäksi valmiita funktioita arvojen laskemiseen.

Esimerkki 6.3.4

Oletetaan, että $W\sim\chi^2(14)$, ja etsitään ei-negatiiviset luvut $w_1$ ja $w_2$, joille $P(W \leq w_1) = 0{,}1$ ja $P(W \geq w_2) = 0{,}1$. Taulukossa valitaan ensin vapausastelukua $14$ vastaava rivi, ja luetaan sitten, että $P(W \leq w_1) = 0{,}1 = 1 - 0{,}9$, kun $w_1 \approx 7{,}790$. Vastaavasti luvusta $w_2$ päätellään ensin, että $P(W < w_2) = 1 - 0{,}1 = 0{,}9$, joten $w_2 \approx 21{,}064$.

Matlabilla laskettaessa voidaan käyttää komentoa

w = chi2inv([0.1 0.9], 14);

etsimään vektori w, jonka alkiot ovat $w_1$ ja $w_2$ tässä järjestyksessä. Vastaava R-komento on

qchisq(0.1, 14), qchisq(0.9, 14)

joita erikseen käyttämällä saadaan samat arvot luvuille $w_1$ ja $w_2$.

Lause 6.3.5

Satunnaismuuttujan $W\sim\chi^2(n)$ odotusarvo ja varianssi ovat

$$E(W)=n\qquad\text{ja}\qquad\mathrm{Var}(W)=2n$$

Todistus

Harjoitustehtävänä. Hyödynnä odotusarvon määritelmää, osittaisintegrointia ja varianssille kehitettyä kaavaa.

$\chi^2$-jakauman hyödyllisyys otosvarianssin kannalta käy ilmi seuraavien lauseiden myötä. Niiden todistukset sivuutetaan.

Lause 6.3.6

Oletetaan, että satunnaismuuttujat $Z_i \sim \rN(0, 1)$, $i=1,2,\ldots,n$ ovat riippumattomia. Tällöin niiden neliösumma

$$W = \sum_{i = 1}^nZ_i^2 = Z_1^2 + Z_2^2 + \cdots + Z_n^2 \sim \chi^2(n).$$

Lause 6.3.7

Jos satunnaismuuttujat $W_1 \sim \chi^2(n)$ ja $W_2 \sim \chi^2(m)$ ovat riippumattomia, sekä

$$W_1=\sum_{i=1}^n Z_i^2\qquad\text{ja}\qquad W_2=\sum_{i=1}^m U_i^2$$

joillekin satunnaismuuttujille $Z_1, Z_2, \ldots, Z_n$ ja $U_1, U_2, \ldots, U_m$, niin silloin muuttujat $Z_1, \ldots, Z_n, U_1, \ldots, U_m$ ovat riippumattomia ja siten

$$W_1 + W_2 \sim \chi^2(n+m).$$

Jos satunnaismuuttujan $W$ tiheysfunktio on

$$f(x) = \frac{1}{\sqrt{2^3}}\frac{\sqrt{x}e^{-x/2}}{\int_{0}^{\infty}e^{-t}\sqrt{t}\,\rd t},$$

niin se noudattaa $\chi^2$-jakaumaa.

Question 1

Mikä on muuttujan $W$ jakauman vapausasteluku?

1

2

3

4

5

6

Question 2

Mikä on muuttujan $W$ odotusarvo?

0

1

2

3

4

5

6

Question 3

Mikä on muuttujan $W$ varianssi?

0

1

2

3

4

5

6

Question 4

Satunnaismuuttujat $W_1 \sim \chi^2(n)$ ja $W_2 \sim \chi^2(m)$ ovat riippumattomia, sekä löydetään satunnaismuuttujat $Z_1, Z_2, \ldots, Z_n$ ja $U_1, U_2, \ldots, U_m$, joille $W_1=\sum_{i=1}^n Z_i^2$ ja $W_2=\sum_{i=1}^m U_i^2$. Tällöin

$W_1 + W_2 \sim \chi^2(\max(n,m))$.

$W_1 + W_2 \sim \chi^2(\min(n,m))$.

$W_1 + W_2 \sim \chi^2(n\cdot m)$.

$W_1 + W_2 \sim \chi^2(n+m)$.

Olkoon $X_1, X_2, \ldots, X_n$ nyt otos satunnaismuuttujasta $X\sim\rN(\mu, \sigma^2)$. Muuttujan $X$ otosvarianssin $S^2$ jakauman sijaan tutkitaan otossuureen

$$\frac{(n - 1)S^2}{\sigma^2} = \frac{1}{\sigma^2}\sum_{i = 1}^n(X_i - \overline{X})^2 = \sum_{i = 1}^{n}\left(\frac{X_i - \overline{X}}{\sigma}\right)^2$$

jakaumaa.

Lause 6.3.8

Jos $X_1,X_2,\ldots,X_n$ on otos muuttujasta $X\sim\mathrm{N}(\mu,\sigma^2)$, niin

1. $\overline{X}$ ja $S^2$ ovat riippumattomia,
2. otossuure $\dfrac{(n - 1)S^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n - 1)$.

Todistus

Ensimmäisen kohdan todistus sivuutetaan, ja toisesta kohdasta hahmotellaan todistuksen idea. Koska voidaan kirjoittaa

$$\frac{(n - 1)S^2}{\sigma^2} = \sum_{i = 1}^{n}\left(\frac{X_i - \mu}{\sigma}\right)^2 - \left(\frac{\overline{X} - \mu}{\sigma/\sqrt{n}}\right)^2,$$

päätellään että

$$\sum_{i = 1}^{n}\left(\frac{X_i - \mu}{\sigma}\right)^2 = \frac{(n - 1)S^2}{\sigma^2} + \left(\frac{\overline{X} - \mu}{\sigma/\sqrt{n}}\right)^2,$$

missä $\sum\limits_{i = 1}^{n}\left(\frac{X_i - \mu}{\sigma}\right)^2 \sim \chi^2(n)$ ja $\left(\frac{\overline{X} - \mu}{\sigma/\sqrt{n}}\right)^2 \sim \chi^2(1)$. Edellisen lauseen perusteella kahden riippumattoman $\chi^2$-jakautuneen muuttujan summa on $\chi^2$-jakautunut, ja vapausasteiden lukumäärät yhtälön molemmin puolin täsmäävät, jos $\frac{(n - 1)S^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n - 1)$.

Tätä tulosta tarvitaan varianssin luottamusvälin määrittämisessä.

Palautusta lähetetään...