- MAT-01530
- 4. Odotusarvo
- 4.2 Yhden satunnaismuuttujan funktion odotusarvo
Yhden satunnaismuuttujan funktion odotusarvo¶
Satunnaismuuttujan X funktiona määritellyn uuden muuttujan Y=h(X) odotusarvo voidaan laskea tavanomaisesti suoraan määritelmän avulla, jos satunnaismuuttujan Y tiheysfunktio tunnetaan. Tämän selvittäminen on kuitenkin edellistä tarkastelua yleisemmissä tapauksessa vaikeaa. Käy ilmi, että odotusarvo E(Y) voidaan laskea satunnaismuuttujan X tiheysfunktion f(x) avulla.
Lause 4.2.1
Olkoon satunnaismuuttujan X otosavaruus ΩX ja tiheysfunktio f(x), sekä olkoon satunnaismuuttuja Y=h(X).
Jos X on diskreetti, niin
E(Y)=E(h(X))=∑x∈ΩXh(x)f(x).Jos X on jatkuva, niin
E(Y)=E(h(X))=∫∞−∞h(x)f(x)dx.
Todistetaan kohdat erikseen.
Nyt voidaan kirjoittaa suoraan lauseen 3.3.2 avulla
E(Y)=∑y∈ΩYyg(y)=∑y∈ΩYyP(h(X)=y)=∑y∈ΩYy(∑x∈h−1(y)f(x))=∑y∈ΩY(∑x∈h−1(y)h(x)f(x))=∑x∈ΩXh(x)f(x).Toiseksi viimeisessä yhtäsuuruudessa havaitaan, että jos x∈h−1(y), niin y=h(x). Viimeinen puolestaan perustuu siihen, että ΩX={x∈h−1(y):y∈ΩY}, eli kaikkien otosavaruuden ΩY alkioiden alkukuvat funktiossa h kattavat yhdessä otosavaruuden ΩX.
Tämän väitteen yleinen todistus on hankala, joten rajoitutaan tapaukseen, jossa h on derivoituva ja aidosti kasvava. Tällöin lauseen 3.3.4 nojalla
E(Y)=∫∞−∞yg(y)dy=∫∞−∞yf(h−1(y))|ddyh−1(y)|dy,missä ddyh−1(y)>0 ja edelleen |ddyh−1(y)|=ddyh−1(y), sillä h−1 on aidosti kasvava. Käänteisfunktio toteuttaa ehdon h−1(y)=x täsmälleen silloin, kun h(x)=y, ja täten ddyh−1(y)dy=dx. Sijoittamalla nämä tulokset saadaan odotusarvoksi
E(Y)=∫∞−∞h(x)f(x)dx.
Lauseesta seuraa käyttökelpoisia tuloksia odotusarvolle. Harjoitustehtäväksi jätetään osoittaa seuraava odotusarvon lineaarisuusominaisuus.
Lause 4.2.2
Satunnaismuuttujan X funktion ag(X)+bh(X) odotusarvo
ja erityisesti
Toinen hyödyllinen seuraus on kätevän laskukaavan muodostaminen satunnaismuuttujan varianssille.
Lause 4.2.3
Satunnaismuuttujan X varianssi
Merkitään E(X)=μ, jolloin sekä diskreetissä että jatkuvassa tapauksessa muuttujan X varianssi on lausekkeen (X−μ)2 odotusarvo. Täten
mikä todistaa väitteen.
Esimerkki 4.2.4
Olkoon diskreetin satunnaismuuttujan X tiheysfunktio
Nyt
joten Var(X)=10−32=1.
Esimerkki 4.2.5
Olkoon X jatkuva satunnaismuuttuja, jonka tiheysfunktio
Aiemmassa esimerkissä 4.1.6 saatiin E(X)=23, ja tämän lisäksi
Siis Var(X)=12−(23)2=118.
Lause 4.2.6
Satunnaismuuttujan X funktion aX+b varianssi
Hyödynnetään juuri johdettua varianssin laskukaavaa, jolloin