Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/jax.js
Tämä kurssi on jo päättynyt.

Yhden satunnaismuuttujan funktion odotusarvo

Satunnaismuuttujan X funktiona määritellyn uuden muuttujan Y=h(X) odotusarvo voidaan laskea tavanomaisesti suoraan määritelmän avulla, jos satunnaismuuttujan Y tiheysfunktio tunnetaan. Tämän selvittäminen on kuitenkin edellistä tarkastelua yleisemmissä tapauksessa vaikeaa. Käy ilmi, että odotusarvo E(Y) voidaan laskea satunnaismuuttujan X tiheysfunktion f(x) avulla.

Lause 4.2.1

Olkoon satunnaismuuttujan X otosavaruus ΩX ja tiheysfunktio f(x), sekä olkoon satunnaismuuttuja Y=h(X).

  1. Jos X on diskreetti, niin

    E(Y)=E(h(X))=xΩXh(x)f(x).
  2. Jos X on jatkuva, niin

    E(Y)=E(h(X))=h(x)f(x)dx.
Todistus

Todistetaan kohdat erikseen.

  1. Nyt voidaan kirjoittaa suoraan lauseen 3.3.2 avulla

    E(Y)=yΩYyg(y)=yΩYyP(h(X)=y)=yΩYy(xh1(y)f(x))=yΩY(xh1(y)h(x)f(x))=xΩXh(x)f(x).

    Toiseksi viimeisessä yhtäsuuruudessa havaitaan, että jos xh1(y), niin y=h(x). Viimeinen puolestaan perustuu siihen, että ΩX={xh1(y):yΩY}, eli kaikkien otosavaruuden ΩY alkioiden alkukuvat funktiossa h kattavat yhdessä otosavaruuden ΩX.

  2. Tämän väitteen yleinen todistus on hankala, joten rajoitutaan tapaukseen, jossa h on derivoituva ja aidosti kasvava. Tällöin lauseen 3.3.4 nojalla

    E(Y)=yg(y)dy=yf(h1(y))|ddyh1(y)|dy,

    missä ddyh1(y)>0 ja edelleen |ddyh1(y)|=ddyh1(y), sillä h1 on aidosti kasvava. Käänteisfunktio toteuttaa ehdon h1(y)=x täsmälleen silloin, kun h(x)=y, ja täten ddyh1(y)dy=dx. Sijoittamalla nämä tulokset saadaan odotusarvoksi

    E(Y)=h(x)f(x)dx.
Tarkastellaan peliä, jossa pelaajan voittama summa arvotaan heittämällä kolikkoa. Pelin kolikko on harhaton ja jokainen heittokerta on riippumaton muista heittokerroista. Voittosumma määräytyy sen mukaan, monennellako heitolla tulee ensimmäinen klaava siten, että pelaaja voittaa 2n euroa, jos klaava tulee heitolla n. Mikä on voittosumman odotusarvo?

Lauseesta seuraa käyttökelpoisia tuloksia odotusarvolle. Harjoitustehtäväksi jätetään osoittaa seuraava odotusarvon lineaarisuusominaisuus.

Lause 4.2.2

Satunnaismuuttujan X funktion ag(X)+bh(X) odotusarvo

E(ag(X)+bh(X))=aE(g(X))+bE(h(X)),

ja erityisesti

E(aX+b)=aE(X)+b.

Toinen hyödyllinen seuraus on kätevän laskukaavan muodostaminen satunnaismuuttujan varianssille.

Lause 4.2.3

Satunnaismuuttujan X varianssi

Var(X)=E(X2)E(X)2.
Todistus

Merkitään E(X)=μ, jolloin sekä diskreetissä että jatkuvassa tapauksessa muuttujan X varianssi on lausekkeen (Xμ)2 odotusarvo. Täten

Var(X)=E((Xμ)2)=E(X22μX+μ2)=E(X2)2μE(X)+μ2=E(X2)μ2,

mikä todistaa väitteen.

Esimerkki 4.2.4

Olkoon diskreetin satunnaismuuttujan X tiheysfunktio

f(x)=x10,kun x{1,2,3,4}.

Nyt

E(X)=1110+2210+3310+4410=3,E(X2)=1110+4210+9310+16410=10,

joten Var(X)=1032=1.

Esimerkki 4.2.5

Olkoon X jatkuva satunnaismuuttuja, jonka tiheysfunktio

f(x)=2x,kun 0<x<1.

Aiemmassa esimerkissä 4.1.6 saatiin E(X)=23, ja tämän lisäksi

E(X2)=10x22xdx=/1012x4=12.

Siis Var(X)=12(23)2=118.

Lause 4.2.6

Satunnaismuuttujan X funktion aX+b varianssi

Var(aX+b)=a2Var(X).
Todistus

Hyödynnetään juuri johdettua varianssin laskukaavaa, jolloin

Var(aX+b)=E((aX+b)2)E(aX+b)2=E(a2X2+2abX+b2)(aE(X)+b)2=a2E(X2)+2abE(X)+b2a2E(X)22abE(X)b2=a2(E(X2)E(X)2)=a2Var(X).
Mallinnetaan kaupungin lämpötilaa satunnaismuuttujalla, jonka keskiarvo ja keskihajonta ovat molemmat 10 celsiusastetta. Päivää voidaan kutsua “normaaliksi”, mikäli lämpötilat missään vaiheessa päivää eivät poikkea yli keskihajonnan verran keskiarvosta. Mikä on lämpötilan vaihteluväli normaalille päivälle Fahrenheit-asteina ilmaistuna?
Palautusta lähetetään...