% MATHEMATICAL SYMBOLS --------------------------------------------------
% Lukualueet
\newcommand{\N}{\mathbb N}
\newcommand{\Z}{\mathbb Z}
\newcommand{\Q}{\mathbb Q}
\newcommand{\R}{\mathbb R}
\renewcommand{\C}{\mathbb C}
% Lihavoidut vektorit.
\newcommand{\ba}{\mathbf{a}}
\newcommand{\bb}{\mathbf{b}}
\newcommand{\bc}{\mathbf{c}}
\newcommand{\bd}{\mathbf{d}}
\newcommand{\be}{\mathbf{e}}
\newcommand{\bbf}{\mathbf{f}}
\newcommand{\bh}{\mathbf{h}}
\newcommand{\bi}{\mathbf{i}}
\newcommand{\bj}{\mathbf{j}}
\newcommand{\bk}{\mathbf{k}}
\newcommand{\bN}{\mathbf{N}}
\newcommand{\bn}{\mathbf{n}}
\newcommand{\bo}{\mathbf{0}}
\newcommand{\bp}{\mathbf{p}}
\newcommand{\bq}{\mathbf{q}}
\newcommand{\br}{\mathbf{r}}
\newcommand{\bs}{\mathbf{s}}
\newcommand{\bT}{\mathbf{T}}
\newcommand{\bu}{\mathbf{u}}
\newcommand{\bv}{\mathbf{v}}
\newcommand{\bw}{\mathbf{w}}
\newcommand{\bx}{\mathbf{x}}
\newcommand{\by}{\mathbf{y}}
\newcommand{\bz}{\mathbf{z}}
\newcommand{\bzero}{\mathbf{0}}
% Kaunokirjaimet
\newcommand{\cA}{\mathcal{A}}
\newcommand{\cB}{\mathcal{B}}
\newcommand{\cC}{\mathcal{C}}
\newcommand{\cD}{\mathcal{D}}
\newcommand{\cE}{\mathcal{E}}
\newcommand{\cF}{\mathcal{F}}
\newcommand{\cG}{\mathcal{G}}
\newcommand{\cH}{\mathcal{H}}
\newcommand{\cI}{\mathcal{I}}
\newcommand{\cJ}{\mathcal{J}}
\newcommand{\cK}{\mathcal{K}}
\newcommand{\cL}{\mathcal{L}}
\newcommand{\cM}{\mathcal{M}}
\newcommand{\cN}{\mathcal{N}}
\newcommand{\cO}{\mathcal{O}}
\newcommand{\cP}{\mathcal{P}}
\newcommand{\cQ}{\mathcal{Q}}
\newcommand{\cR}{\mathcal{R}}
\newcommand{\cS}{\mathcal{S}}
\newcommand{\cT}{\mathcal{T}}
\newcommand{\cU}{\mathcal{U}}
\newcommand{\cV}{\mathcal{V}}
\newcommand{\cW}{\mathcal{W}}
\newcommand{\cX}{\mathcal{X}}
\newcommand{\cY}{\mathcal{Y}}
\newcommand{\cZ}{\mathcal{Z}}
% Pystykirjaimet
\newcommand{\rA}{\mathrm{A}}
\newcommand{\rB}{\mathrm{B}}
\newcommand{\rC}{\mathrm{C}}
\newcommand{\rD}{\mathrm{D}}
\newcommand{\rE}{\mathrm{E}}
\newcommand{\rF}{\mathrm{F}}
\newcommand{\rG}{\mathrm{G}}
\newcommand{\rH}{\mathrm{H}}
\newcommand{\rI}{\mathrm{I}}
\newcommand{\rJ}{\mathrm{J}}
\newcommand{\rK}{\mathrm{K}}
\newcommand{\rL}{\mathrm{L}}
\newcommand{\rM}{\mathrm{M}}
\newcommand{\rN}{\mathrm{N}}
\newcommand{\rO}{\mathrm{O}}
\newcommand{\rP}{\mathrm{P}}
\newcommand{\rQ}{\mathrm{Q}}
\newcommand{\rR}{\mathrm{R}}
\newcommand{\rS}{\mathrm{S}}
\newcommand{\rT}{\mathrm{T}}
\newcommand{\rU}{\mathrm{U}}
\newcommand{\rV}{\mathrm{V}}
\newcommand{\rW}{\mathrm{W}}
\newcommand{\rX}{\mathrm{X}}
\newcommand{\rY}{\mathrm{Y}}
\newcommand{\rZ}{\mathrm{Z}}
% Operaattorit
\newcommand{\re}{\operatorname{Re}}
\newcommand{\im}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\arsinh}{\operatorname{ar\,sinh}}
\newcommand{\arcosh}{\operatorname{ar\,cosh}}
\newcommand{\artanh}{\operatorname{ar\,tanh}}
%\newcommand{\dist}{\operatorname{d}}
\newcommand{\diag}{\operatorname{diag}}
\newcommand{\proj}{\operatorname{proj}}
\newcommand{\rref}{\operatorname{rref}}
\newcommand{\rank}{\operatorname{rank}}
\newcommand{\Span}{\operatorname{span}}
\renewcommand{\dim}{\operatorname{dim}}
\newcommand{\alg}{\operatorname{alg}}
\newcommand{\geom}{\operatorname{geom}}
\newcommand{\id}{\operatorname{id}}
% Todennäköisyyslaskenta
\newcommand{\Var}{\operatorname{Var}}
\newcommand{\Cov}{\operatorname{Cov}}
\newcommand{\Corr}{\operatorname{Corr}}
\newcommand{\Tasd}{\operatorname{Tasd}}
\newcommand{\Ber}{\operatorname{Ber}}
\newcommand{\Bin}{\operatorname{Bin}}
\newcommand{\Geom}{\operatorname{Geom}}
\newcommand{\Poi}{\operatorname{Poi}}
\newcommand{\Hyperg}{\operatorname{Hyperg}}
\newcommand{\Tas}{\operatorname{Tas}}
\newcommand{\Exp}{\operatorname{Exp}}
\newcommand{\tdist}{\operatorname{t}}
% Pysty-d differentiaaliin
\newcommand{\rd}{\mathrm{d}}
% Sijoitus integraaliin
\newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-10mu}\,#1}^{\,#2}}
Yhden satunnaismuuttujan funktion odotusarvo
Satunnaismuuttujan X funktiona määritellyn uuden muuttujan Y = h(X) odotusarvo voidaan laskea tavanomaisesti suoraan määritelmän avulla, jos satunnaismuuttujan Y tiheysfunktio tunnetaan. Tämän selvittäminen on kuitenkin edellistä tarkastelua yleisemmissä tapauksessa vaikeaa. Käy ilmi, että odotusarvo \rE(Y) voidaan laskea satunnaismuuttujan X tiheysfunktion f(x) avulla.
Lause 4.2.1
Olkoon satunnaismuuttujan X otosavaruus \Omega_X ja tiheysfunktio f(x), sekä olkoon satunnaismuuttuja Y=h(X).
Jos X on diskreetti, niin
\rE(Y) = \rE(h(X)) = \sum_{x \in \Omega_X}h(x)f(x).
Jos X on jatkuva, niin
\rE(Y) = \rE(h(X)) = \int_{-\infty}^{\infty}h(x)f(x)\,\rd x.
Todistus
Todistetaan kohdat erikseen.
Nyt voidaan kirjoittaa suoraan lauseen 3.3.2 avulla
\begin{split}\begin{aligned}
\rE(Y) &= \sum_{y \in \Omega_Y}yg(y) = \sum_{y \in \Omega_Y}yP(h(X) = y) = \sum_{y \in \Omega_Y}y\left(\sum_{x \in h^{-1}(y)}f(x)\right) \\
&= \sum_{y \in \Omega_Y}\left(\sum_{x \in h^{-1}(y)}h(x)f(x)\right) = \sum_{x \in \Omega_X}h(x)f(x).
\end{aligned}\end{split}
Toiseksi viimeisessä yhtäsuuruudessa havaitaan, että jos x \in h^{-1}(y), niin y = h(x). Viimeinen puolestaan perustuu siihen, että \Omega_X = \{x \in h^{-1}(y) : y \in \Omega_Y\}, eli kaikkien otosavaruuden \Omega_Y alkioiden alkukuvat funktiossa h kattavat yhdessä otosavaruuden \Omega_X.
Tämän väitteen yleinen todistus on hankala, joten rajoitutaan tapaukseen, jossa h on derivoituva ja aidosti kasvava. Tällöin lauseen 3.3.4 nojalla
\begin{aligned}
\rE(Y) &= \int_{-\infty}^{\infty}yg(y)\,\rd y = \int_{-\infty}^{\infty}y f\left(h^{-1}(y)\right)\left|\frac{\rd}{\rd y}h^{-1}(y)\right|\,\rd y,
\end{aligned}
missä \frac{\rd}{\rd y}h^{-1}(y) > 0 ja edelleen \left|\frac{\rd}{\rd y}h^{-1}(y)\right| = \frac{\rd}{\rd y}h^{-1}(y), sillä h^{-1} on aidosti kasvava. Käänteisfunktio toteuttaa ehdon h^{-1}(y) = x täsmälleen silloin, kun h(x) = y, ja täten \frac{\rd}{\rd y}h^{-1}(y)\,\rd y = \rd x. Sijoittamalla nämä tulokset saadaan odotusarvoksi
\rE(Y) = \int_{-\infty}^{\infty}h(x)f(x)\,\rd x.
Lauseesta seuraa käyttökelpoisia tuloksia odotusarvolle. Harjoitustehtäväksi jätetään osoittaa seuraava odotusarvon lineaarisuusominaisuus.
Lause 4.2.2
Satunnaismuuttujan X funktion ag(X)+bh(X) odotusarvo
\rE(ag(X)+bh(X))=a\rE(g(X))+b\rE(h(X)),
ja erityisesti
\rE(aX+b)=a\rE(X)+b.
Toinen hyödyllinen seuraus on kätevän laskukaavan muodostaminen satunnaismuuttujan varianssille.
Lause 4.2.3
Satunnaismuuttujan X varianssi
\Var(X)=\rE(X^2)-\rE(X)^2.
Todistus
Merkitään \rE(X)=\mu, jolloin sekä diskreetissä että jatkuvassa tapauksessa muuttujan X varianssi on lausekkeen (X - \mu)^2 odotusarvo. Täten
\Var(X)=\rE((X-\mu)^2)=\rE(X^2-2\mu X+\mu^2)=\rE(X^2)-2\mu \rE(X)+\mu^2=\rE(X^2)-\mu^2,
mikä todistaa väitteen.
Esimerkki 4.2.4
Olkoon diskreetin satunnaismuuttujan X tiheysfunktio
f(x)=\frac{x}{10},\quad\text{kun }x \in \{1,2,3,4\}.
Nyt
\begin{split}\begin{aligned}
\rE(X)&=1\cdot\frac{1}{10}+2\cdot\frac{2}{10}+3\cdot\frac{3}{10}+4\cdot\frac{4}{10}=3,\\
\rE(X^2)&=1\cdot\frac{1}{10}+4\cdot\frac{2}{10}+9\cdot\frac{3}{10}+16\cdot\frac{4}{10}=10,
\end{aligned}\end{split}
joten \Var(X) = 10 - 3^2 = 1.
Esimerkki 4.2.5
Olkoon X jatkuva satunnaismuuttuja, jonka tiheysfunktio
f(x)=2x, \qquad\text{kun } 0 < x < 1.
Aiemmassa esimerkissä 4.1.6 saatiin \rE(X)=\frac{2}{3}, ja tämän lisäksi
\rE(X^2)=\int_0^1x^22x\,\rd x=\sij{0}{1}\frac{1}{2}x^4 = \frac{1}{2}.
Siis \Var(X) = \frac{1}{2} - \left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{1}{18}.
Lause 4.2.6
Satunnaismuuttujan X funktion aX + b varianssi
\Var(aX+b)=a^2\Var(X).
Todistus
Hyödynnetään juuri johdettua varianssin laskukaavaa, jolloin
\begin{split}\begin{aligned}
\Var(aX + b) &= \rE((aX + b)^2) - \rE(aX + b)^2 = \rE(a^2X^2 + 2abX + b^2) - (a\rE(X) + b)^2 \\
&= a^2\rE(X^2) + 2ab\rE(X) + b^2 - a^2\rE(X)^2 - 2ab\rE(X) - b^2 \\
&= a^2(\rE(X^2) - \rE(X)^2) = a^2\Var(X).
\end{aligned}\end{split}