- MAT-01530
- 4. Odotusarvo
- 4.5 Tsebyshevin epäyhtälö
Tsebyshevin epäyhtälö¶
Jos satunnaismuuttujan \(X\) tiheysfunktio tunnetaan, siihen liittyvien tapahtumien todennäköisyydet voidaan laskea tarkasti. Monesti kuitenkin tiheysfunktion tarkka muoto on tuntematon, jolloin on tyydyttävä vain arvioimaan erilaisia todennäköisyyksiä. Tässä esiteltävä Tsebyshevin epäyhtälö antaa tietyn satunnaismuuttujaan \(X\) liittyvän tapahtuman todennäköisyydelle ylärajan muuttujan \(X\) odotusarvon \(\mu\) ja varianssin \(\sigma^2\) avulla. Intuitiivinen ajatus epäyhtälön taustalla on, että suurin osa “todennäköisyysmassasta” sijaitsee odotusarvon ympärillä muutaman keskihajonnan \(\sigma\) pituisella välillä: varianssi ja keskihajonta mittaavat todennäköisyysmassan keskittymistä odotusarvon ympärille.
Lause 4.5.1
Jos satunnaismuuttujan \(X\) odotusarvo on \(\mu\) ja varianssi \(\sigma^2\), niin
aina, kun \(t > 0\). Erityisesti tapauksessa \(t = k\sigma\)
aina, kun \(k > 0\). Tätä kutsutaan Tsebyshevin epäyhtälöksi.
Todistetaan väite jatkuvalle satunnaismuuttujalle \(X\). Olkoon muuttujan \(X\) tiheysfunktio \(f(x)\), jolloin
Tapahtumalle \(|X - \mu| \geq t\) suotuisissa alkeistapauksissa \(X = x\) toteutuu \(|x - \mu| \geq t\), ja koska \(t\) oletettiin positiiviseksi, myös \((x - \mu)^2 \geq t^2\). Tämän vuoksi
kun \(x \leq \mu - t\) tai \(x \geq \mu + t\), joten
Tässä \(\frac{(x - \mu)^2}{t^2}f(x) \geq 0\), kun \(x \in \R\), joten saatua lauseketta rajaa yläpuolelta integraali koko reaaliakselin yli. Siis
ja ensimmäinen väite on todistettu. Toista muotoa varten havaitaan, että \(|X - \mu| < t\) on juuri käsitellyn tapahtuman komplementtitapahtuma, joten
ja väite seuraa välittömästi. Tapaus \(t = k\sigma\), \(k > 0\) on sijoittamalla selvä: \(\frac{\sigma^2}{(k\sigma)^2} = \frac{1}{k^2}\).
Huomautus 4.5.2
Jos \(t \leq \sigma\), niin epäyhtälö väittää että \(P(|X - \mu| \geq t) \leq 1\), mikä tiedetään jo todennäköisyysmitan ominaisuuksista! Hyödyllisyyden näkökulmasta on siis käsiteltävä keskihajontaa suurempia etäisyyksiä odotusarvosta.
Tsebyshevin epäyhtälön avulla saadaan joitakin kaikkia todennäköisyysjakaumia koskevia heuristisia arvioita todennäköisyyden keskittymisestä odotusarvon ympärille. Valitun satunnaismuuttujan realisoituvat arvot ovat esimerkiksi todennäköisyydellä \(1 - \frac{1}{2^2} = \frac{3}{4} = 0{,}75\) korkeintaan etäisyydellä \(2\sigma\) odotusarvosta \(\mu\). Vastaavasti päätellään, että noin \(89~\%\) kaikista satunnaismuuttujalle realisoituvista arvoista on välillä \((\mu - 3\sigma, \mu + 3\sigma)\).
Esimerkki 4.5.3
Kuulalaakereiden halkaisija \(X\) (millimetriä) on satunnaismuuttuja, jonka odotusarvo ja tiheysfunktio ovat tuntemattomia, mutta varianssin tiedetään olevan \(\sigma^2=0{,}09\). Tsebyshevin epäyhtälön nojalla satunnaisesti valitun laakerin halkaisija poikkeaa odotusarvosta vähintään \(0{,}7\) millimetriä on korkeintaan