- MAT-01530
- 3. Satunnaismuuttuja
- 3.6 Satunnaismuuttujien riippumattomuus
Satunnaismuuttujien riippumattomuus¶
Määritelmä 3.6.1
Satunnaismuuttujat X ja Y ovat riippumattomia, jos
aina, kun A \subseteq \Omega_X ja B \subseteq \Omega_Y.
Satunnaismuuttujien X ja Y riippumattomuudella tarkoitetaan siis sitä, että kaikki niihin erikseen liittyvät osatapahtumat ovat pareittain riippumattomia. Täten riippumattomilla satunnaismuuttujilla on seuraava intuitiivinen ominaisuus: tieto toisen muuttujan saamasta arvosta ei vaikuta toiseen muuttujaan liittyviin todennäköisyyksiin. Esimerkiksi satunnaisesti valitun ihmisen pituus ja sosiaaliturvatunnuksen alkuosan neljä ensimmäistä merkkiä voidaan varsin suurella tarkkuudella olettaa riippumattomiksi.
Esimerkki 3.6.2
Ovatko aiemman esimerkin 3.5.1 satunnaisvektorin (X, Y) komponentit riippumattomia?
Valitaan esimerkiksi joukot A=\{0\} \subseteq \Omega_X ja B=\{0\} \subseteq \Omega_Y. Todennäköisyydet
joten P(X \in A, Y \in B) = 0 \not= \frac{1}{8} = P(X \in A)P(Y \in B). Koska riippumattomuuden määritelmän mukaan yhtäsuuruus pitäisi olla voimassa kaikilla joukoilla A \subseteq \Omega_X ja B \subseteq \Omega_Y, niin satunnaismuuttujat X ja Y eivät ole riippumattomia.
Diskreettien satunnaismuuttujien tapauksessa riippuvuus voidaan osoittaa edellisen esimerkin menetelmällä, jossa etsitään yksi joukkopari, jolle riippumattomuuden määrittelevä yhtäsuuruus ei ole voimassa. Riippumattomuuden osoittamiseksi pitäisi käydä läpi kaikki otosavaruuksien \Omega_X ja \Omega_Y osajoukkojen yhdistelmät, mikä on pienissä äärellisissä otosavaruuksissa mahdollista, joskin työlästä. Jatkuvien satunnaismuuttujien kohdalla riippumattomuuden pystyy selvittämään seuraavan lauseen avulla.
Lause 3.6.3
Satunnaisvektorin (X, Y), jonka tiheysfunktio on f(x,y), komponentit ovat riippumattomia, jos ja vain jos
missä f_1(x) ja f_2(y) ovat komponenttien X ja Y marginaalijakaumien tiheysfunktiot.
Todistetaan väite kahdessa osassa tapauksessa, jossa kaikki tiheysfunktiot ovat jatkuvia.
Oletetaan, että satunnaismuuttujat X ja Y ovat riippumattomia. Tällöin riippumattomuuden määritelmän nojalla
F(x, y) = P(X \leq x, Y \leq y) = P(X \leq y)P(Y \leq y) = F_1(x)F_2(y),missä F(x, y) on satunnaisvektorin (X, Y) kertymäfunktio, sekä F_1(x) ja F_2(y) komponenttien X ja Y marginaalijakaumien kertymäfunktiot. Osittaisderivoimalla puolittain nähdään, että
f(x, y) = \frac{\partial^2}{\partial y\partial x}F(x, y) = \frac{\partial}{\partial y}(F_1'(x)F_2(y)) = F_1'(x)F_2'(y) = f_1(x)f_2(y),sillä jatkuvan tiheysfunktio on kertymäfunktion derivaatta.
Oletetaan, että f(x, y) = f_1(x)f_2(y). Jos nyt A \subseteq \Omega_X ja B \subseteq \Omega_Y, niin
\begin{split}\begin{aligned} P(X \in A, Y \in B) &= \int_A\left(\int_B f(x, y)\,\rd y\right)\rd x = \int_A\left(\int_B f_1(x)f_2(y)\,\rd y\right)\rd x \\ &= \left(\int_A f_1(x)\,\rd x\right)\left(\int_B f_2(y)\,\rd y\right) = P(X \in A)P(Y \in B), \end{aligned}\end{split}joten satunnaismuuttujat X ja Y ovat riippumattomia.
Huomautus 3.6.4
Joskus voi olla kiinnostavaa selvittää yhteisjakauman (X, Y) tiheysfunktio f(x, y), kun muuttujien X ja Y tiheysfunktiot f_1(x) ja f_2(y) tunnetaan. Riippumattomien muuttujien tapauksessa tämä tapahtuu yksinkertaisesti edellisen lauseen avulla: f(x, y) = f_1(x)f_2(y).
Esimerkki 3.6.5
Satunnaiskoe, jonka mittaustuloksen tiheysfunktio on
toistetaan kahdesti. Erilliset mittaustulokset X ja Y ovat riippumattomia. Laske todennäköisyys P(X + Y \leq 1).
Koska muuttujat X ja Y ovat riippumattomia, yhteisjakauman (X, Y) tiheysfunktio on
Tapahtuman \{(x, y) : 0 \leq x \leq 1, 0 \leq y \leq 1 - x\} todennäköisyys on tällöin
Satunnaismuuttujien riippumattomuuden käsite yleistyy koskemaan useampaa kuin kahta muuttujaa vastaavasti, kuin tapahtumien riippumattomuus yleistyy useammalle kuin kahdelle tapahtumalle.
Määritelmä 3.6.6
Satunnaismuuttujat X_1, X_2, \ldots, X_p ovat riippumattomia, jos kaikille osajoukoille A_1 \subseteq \Omega_{X_1}, A_2 \subseteq \Omega_{X_2}, \ldots, A_p \subseteq \Omega_{X_p} on voimassa
Huomautus 3.6.7
Sovelluksissa satunnaismuuttujien riippumattomuuden selvittäminen saattaa olla vaikeata. Tyypillisesti satunnaismuuttujat oletetaan riippumattomiksi, jos ei ole näyttöä niiden riippuvuudesta.
Esitetään lopuksi tärkeä tulos riippumattomien satunnaismuuttujien funktioiden riippumattomuudesta.
Lause 3.6.8
Olkoot satunnaismuuttujat X_1, X_2, \ldots, X_p riippumattomia, sekä
Tällöin satunnaismuuttujat Y_1, Y_2, \ldots, Y_p ovat riippumattomia.
Valitaan osajoukot A_i \subseteq \Omega_{Y_i}, i = 1, 2, \ldots, p, jolloin löydetään joukot B_i = h_i^{-1}(A_i), i = 1, 2, \ldots, p, joille X_i \in B_i jos ja vain jos Y_i \in A_i. Tällöin
ja satunnaismuuttujat Y_1, Y_2, \ldots, Y_p ovat riippumattomia.
Huomautus 3.6.9
Mikä tahansa riippumattomista satunnaismuuttujista X_1, X_2, \ldots, X_p koostuva kokoelma muuttujia on myös riippumaton.