- MAT-01530
- 3. Satunnaismuuttuja
- 3.6 Satunnaismuuttujien riippumattomuus
Satunnaismuuttujien riippumattomuus¶
Määritelmä 3.6.1
Satunnaismuuttujat \(X\) ja \(Y\) ovat riippumattomia, jos
aina, kun \(A \subseteq \Omega_X\) ja \(B \subseteq \Omega_Y\).
Satunnaismuuttujien \(X\) ja \(Y\) riippumattomuudella tarkoitetaan siis sitä, että kaikki niihin erikseen liittyvät osatapahtumat ovat pareittain riippumattomia. Täten riippumattomilla satunnaismuuttujilla on seuraava intuitiivinen ominaisuus: tieto toisen muuttujan saamasta arvosta ei vaikuta toiseen muuttujaan liittyviin todennäköisyyksiin. Esimerkiksi satunnaisesti valitun ihmisen pituus ja sosiaaliturvatunnuksen alkuosan neljä ensimmäistä merkkiä voidaan varsin suurella tarkkuudella olettaa riippumattomiksi.
Esimerkki 3.6.2
Ovatko aiemman esimerkin 3.5.1 satunnaisvektorin \((X, Y)\) komponentit riippumattomia?
Valitaan esimerkiksi joukot \(A=\{0\} \subseteq \Omega_X\) ja \(B=\{0\} \subseteq \Omega_Y\). Todennäköisyydet
joten \(P(X \in A, Y \in B) = 0 \not= \frac{1}{8} = P(X \in A)P(Y \in B)\). Koska riippumattomuuden määritelmän mukaan yhtäsuuruus pitäisi olla voimassa kaikilla joukoilla \(A \subseteq \Omega_X\) ja \(B \subseteq \Omega_Y\), niin satunnaismuuttujat \(X\) ja \(Y\) eivät ole riippumattomia.
Diskreettien satunnaismuuttujien tapauksessa riippuvuus voidaan osoittaa edellisen esimerkin menetelmällä, jossa etsitään yksi joukkopari, jolle riippumattomuuden määrittelevä yhtäsuuruus ei ole voimassa. Riippumattomuuden osoittamiseksi pitäisi käydä läpi kaikki otosavaruuksien \(\Omega_X\) ja \(\Omega_Y\) osajoukkojen yhdistelmät, mikä on pienissä äärellisissä otosavaruuksissa mahdollista, joskin työlästä. Jatkuvien satunnaismuuttujien kohdalla riippumattomuuden pystyy selvittämään seuraavan lauseen avulla.
Lause 3.6.3
Satunnaisvektorin \((X, Y)\), jonka tiheysfunktio on \(f(x,y)\), komponentit ovat riippumattomia, jos ja vain jos
missä \(f_1(x)\) ja \(f_2(y)\) ovat komponenttien \(X\) ja \(Y\) marginaalijakaumien tiheysfunktiot.
Todistetaan väite kahdessa osassa tapauksessa, jossa kaikki tiheysfunktiot ovat jatkuvia.
Oletetaan, että satunnaismuuttujat \(X\) ja \(Y\) ovat riippumattomia. Tällöin riippumattomuuden määritelmän nojalla
\[F(x, y) = P(X \leq x, Y \leq y) = P(X \leq y)P(Y \leq y) = F_1(x)F_2(y),\]missä \(F(x, y)\) on satunnaisvektorin \((X, Y)\) kertymäfunktio, sekä \(F_1(x)\) ja \(F_2(y)\) komponenttien \(X\) ja \(Y\) marginaalijakaumien kertymäfunktiot. Osittaisderivoimalla puolittain nähdään, että
\[f(x, y) = \frac{\partial^2}{\partial y\partial x}F(x, y) = \frac{\partial}{\partial y}(F_1'(x)F_2(y)) = F_1'(x)F_2'(y) = f_1(x)f_2(y),\]sillä jatkuvan tiheysfunktio on kertymäfunktion derivaatta.
Oletetaan, että \(f(x, y) = f_1(x)f_2(y)\). Jos nyt \(A \subseteq \Omega_X\) ja \(B \subseteq \Omega_Y\), niin
\[\begin{split}\begin{aligned} P(X \in A, Y \in B) &= \int_A\left(\int_B f(x, y)\,\rd y\right)\rd x = \int_A\left(\int_B f_1(x)f_2(y)\,\rd y\right)\rd x \\ &= \left(\int_A f_1(x)\,\rd x\right)\left(\int_B f_2(y)\,\rd y\right) = P(X \in A)P(Y \in B), \end{aligned}\end{split}\]joten satunnaismuuttujat \(X\) ja \(Y\) ovat riippumattomia.
Huomautus 3.6.4
Joskus voi olla kiinnostavaa selvittää yhteisjakauman \((X, Y)\) tiheysfunktio \(f(x, y)\), kun muuttujien \(X\) ja \(Y\) tiheysfunktiot \(f_1(x)\) ja \(f_2(y)\) tunnetaan. Riippumattomien muuttujien tapauksessa tämä tapahtuu yksinkertaisesti edellisen lauseen avulla: \(f(x, y) = f_1(x)f_2(y)\).
Esimerkki 3.6.5
Satunnaiskoe, jonka mittaustuloksen tiheysfunktio on
toistetaan kahdesti. Erilliset mittaustulokset \(X\) ja \(Y\) ovat riippumattomia. Laske todennäköisyys \(P(X + Y \leq 1)\).
Koska muuttujat \(X\) ja \(Y\) ovat riippumattomia, yhteisjakauman \((X, Y)\) tiheysfunktio on
Tapahtuman \(\{(x, y) : 0 \leq x \leq 1, 0 \leq y \leq 1 - x\}\) todennäköisyys on tällöin
Satunnaismuuttujien riippumattomuuden käsite yleistyy koskemaan useampaa kuin kahta muuttujaa vastaavasti, kuin tapahtumien riippumattomuus yleistyy useammalle kuin kahdelle tapahtumalle.
Määritelmä 3.6.6
Satunnaismuuttujat \(X_1, X_2, \ldots, X_p\) ovat riippumattomia, jos kaikille osajoukoille \(A_1 \subseteq \Omega_{X_1}, A_2 \subseteq \Omega_{X_2}, \ldots, A_p \subseteq \Omega_{X_p}\) on voimassa
Huomautus 3.6.7
Sovelluksissa satunnaismuuttujien riippumattomuuden selvittäminen saattaa olla vaikeata. Tyypillisesti satunnaismuuttujat oletetaan riippumattomiksi, jos ei ole näyttöä niiden riippuvuudesta.
Esitetään lopuksi tärkeä tulos riippumattomien satunnaismuuttujien funktioiden riippumattomuudesta.
Lause 3.6.8
Olkoot satunnaismuuttujat \(X_1, X_2, \ldots, X_p\) riippumattomia, sekä
Tällöin satunnaismuuttujat \(Y_1, Y_2, \ldots, Y_p\) ovat riippumattomia.
Valitaan osajoukot \(A_i \subseteq \Omega_{Y_i}\), \(i = 1, 2, \ldots, p\), jolloin löydetään joukot \(B_i = h_i^{-1}(A_i)\), \(i = 1, 2, \ldots, p\), joille \(X_i \in B_i\) jos ja vain jos \(Y_i \in A_i\). Tällöin
ja satunnaismuuttujat \(Y_1, Y_2, \ldots, Y_p\) ovat riippumattomia.
Huomautus 3.6.9
Mikä tahansa riippumattomista satunnaismuuttujista \(X_1, X_2, \ldots, X_p\) koostuva kokoelma muuttujia on myös riippumaton.