\[% MATHEMATICAL SYMBOLS -------------------------------------------------- % Lukualueet \newcommand{\N}{\mathbb N} \newcommand{\Z}{\mathbb Z} \newcommand{\Q}{\mathbb Q} \newcommand{\R}{\mathbb R} \renewcommand{\C}{\mathbb C} % Lihavoidut vektorit. \newcommand{\ba}{\mathbf{a}} \newcommand{\bb}{\mathbf{b}} \newcommand{\bc}{\mathbf{c}} \newcommand{\bd}{\mathbf{d}} \newcommand{\be}{\mathbf{e}} \newcommand{\bbf}{\mathbf{f}} \newcommand{\bh}{\mathbf{h}} \newcommand{\bi}{\mathbf{i}} \newcommand{\bj}{\mathbf{j}} \newcommand{\bk}{\mathbf{k}} \newcommand{\bN}{\mathbf{N}} \newcommand{\bn}{\mathbf{n}} \newcommand{\bo}{\mathbf{0}} \newcommand{\bp}{\mathbf{p}} \newcommand{\bq}{\mathbf{q}} \newcommand{\br}{\mathbf{r}} \newcommand{\bs}{\mathbf{s}} \newcommand{\bT}{\mathbf{T}} \newcommand{\bu}{\mathbf{u}} \newcommand{\bv}{\mathbf{v}} \newcommand{\bw}{\mathbf{w}} \newcommand{\bx}{\mathbf{x}} \newcommand{\by}{\mathbf{y}} \newcommand{\bz}{\mathbf{z}} \newcommand{\bzero}{\mathbf{0}} % Kaunokirjaimet \newcommand{\cA}{\mathcal{A}} \newcommand{\cB}{\mathcal{B}} \newcommand{\cC}{\mathcal{C}} \newcommand{\cD}{\mathcal{D}} \newcommand{\cE}{\mathcal{E}} \newcommand{\cF}{\mathcal{F}} \newcommand{\cG}{\mathcal{G}} \newcommand{\cH}{\mathcal{H}} \newcommand{\cI}{\mathcal{I}} \newcommand{\cJ}{\mathcal{J}} \newcommand{\cK}{\mathcal{K}} \newcommand{\cL}{\mathcal{L}} \newcommand{\cM}{\mathcal{M}} \newcommand{\cN}{\mathcal{N}} \newcommand{\cO}{\mathcal{O}} \newcommand{\cP}{\mathcal{P}} \newcommand{\cQ}{\mathcal{Q}} \newcommand{\cR}{\mathcal{R}} \newcommand{\cS}{\mathcal{S}} \newcommand{\cT}{\mathcal{T}} \newcommand{\cU}{\mathcal{U}} \newcommand{\cV}{\mathcal{V}} \newcommand{\cW}{\mathcal{W}} \newcommand{\cX}{\mathcal{X}} \newcommand{\cY}{\mathcal{Y}} \newcommand{\cZ}{\mathcal{Z}} % Pystykirjaimet \newcommand{\rA}{\mathrm{A}} \newcommand{\rB}{\mathrm{B}} \newcommand{\rC}{\mathrm{C}} \newcommand{\rD}{\mathrm{D}} \newcommand{\rE}{\mathrm{E}} \newcommand{\rF}{\mathrm{F}} \newcommand{\rG}{\mathrm{G}} \newcommand{\rH}{\mathrm{H}} \newcommand{\rI}{\mathrm{I}} \newcommand{\rJ}{\mathrm{J}} \newcommand{\rK}{\mathrm{K}} \newcommand{\rL}{\mathrm{L}} \newcommand{\rM}{\mathrm{M}} \newcommand{\rN}{\mathrm{N}} \newcommand{\rO}{\mathrm{O}} \newcommand{\rP}{\mathrm{P}} \newcommand{\rQ}{\mathrm{Q}} \newcommand{\rR}{\mathrm{R}} \newcommand{\rS}{\mathrm{S}} \newcommand{\rT}{\mathrm{T}} \newcommand{\rU}{\mathrm{U}} \newcommand{\rV}{\mathrm{V}} \newcommand{\rW}{\mathrm{W}} \newcommand{\rX}{\mathrm{X}} \newcommand{\rY}{\mathrm{Y}} \newcommand{\rZ}{\mathrm{Z}} % Operaattorit \newcommand{\re}{\operatorname{Re}} \newcommand{\im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\arsinh}{\operatorname{ar\,sinh}} \newcommand{\arcosh}{\operatorname{ar\,cosh}} \newcommand{\artanh}{\operatorname{ar\,tanh}} %\newcommand{\dist}{\operatorname{d}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\proj}{\operatorname{proj}} \newcommand{\rref}{\operatorname{rref}} \newcommand{\rank}{\operatorname{rank}} \newcommand{\Span}{\operatorname{span}} \renewcommand{\dim}{\operatorname{dim}} \newcommand{\alg}{\operatorname{alg}} \newcommand{\geom}{\operatorname{geom}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} % Todennäköisyyslaskenta \newcommand{\Var}{\operatorname{Var}} \newcommand{\Cov}{\operatorname{Cov}} \newcommand{\Corr}{\operatorname{Corr}} \newcommand{\Tasd}{\operatorname{Tasd}} \newcommand{\Ber}{\operatorname{Ber}} \newcommand{\Bin}{\operatorname{Bin}} \newcommand{\Geom}{\operatorname{Geom}} \newcommand{\Poi}{\operatorname{Poi}} \newcommand{\Hyperg}{\operatorname{Hyperg}} \newcommand{\Tas}{\operatorname{Tas}} \newcommand{\Exp}{\operatorname{Exp}} \newcommand{\tdist}{\operatorname{t}} % Pysty-d differentiaaliin \newcommand{\rd}{\mathrm{d}} % Sijoitus integraaliin \newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-10mu}\,#1}^{\,#2}}\]

Varianssien testaus¶

Olkoon \(X_1,X_2,\ldots,X_n\) otos satunnaismuuttujasta \(X\sim\rN(\mu, \sigma^2)\), jonka odotusarvo ja varianssi ovat tuntemattomia. Varianssin nollahypoteesin

\[H_0 : \sigma^2=\sigma_0^2\]

testaaminen lähtee liikkeelle havainnosta, että sen sisältävä otossuure

\[\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n-1).\]

Nollahypoteesin ollessa voimassa siis testisuureeksi saadaan

\[W=\frac{(n-1)S^2}{\sigma_0^2}\sim\chi^2(n-1),\]

missä \(n\) on otoskoko ja \(S^2\) muuttujan \(X\) otosvarianssi. Riippuen vaihtoehtoisesta hypoteesista merkitsevyystasoa \(\alpha\) vastaava kriittinen alue valitaan yksi- tai kaksiosaisena ei-symmetrisen \(\chi^2\)-jakauman toisesta tai molemmista reunoista. Kriittisen alueen muodot ja \(p\)-arvot on tiivistetty seuraavaan taulukkoon, jossa testisuureelle \(W\) realisoitunutta arvoa merkitään symbolilla \(w\), ja merkinnöillä \(w_{1, \gamma}\) ja \(w_{2, \gamma}\) tarkoitetaan lukuja, joille \(P(W < w_{1, \gamma}) = \gamma\) ja \(P(W < w_{2, \gamma}) = 1 - \gamma\).

\(H_1\)	kriittinen alue	\(p\)-arvo
\(\sigma^2 < \sigma_0^2\)	\([0, w_{1, \alpha})\)	\(P(W < w)\)
\(\sigma^2 > \sigma_0^2\)	\((w_{2, \alpha}, \infty)\)	\(1 - P(W < w)\)
\(\sigma^2 \not= \sigma_0^2\)	\([0, w_{1, \alpha/2}) \cup (w_{1, \alpha/2}, \infty)\)	\(2\min\{P(W < w), 1 - P(W < w)\}\)

Esimerkki 7.3.1

Oletetaan, että mittaustulos \(X\) on normaalijakaumasta \(X\sim\rN(\mu, \sigma^2)\) ja että aikaisempien tulosten perusteella varianssiksi on arvioitu \(\sigma^2=1100\). Nyt halutaan tietää, onko varianssi pysynyt ennallaan ja suoritetaan \(11\) mittausta ja saadaan mittaustulokset \(453, 460, 351, 421, 339, 439, 402, 422, 470, 310, 416\). Suorita hypoteesin testaus \(1~\%\):n merkitsevyystasolla.

Ratkaisu

Nyt nollahypoteesi on muotoa \(H_0 : \sigma^2=1100\) ja \(\alpha = 0{,}01\). Realisoitunut otosvarianssi \(s^2 \approx 2761{,}1\) (esimerkiksi Matlabin funktio var). Tämän perusteella näyttäisi siltä, että jos varianssi on muuttunut, se on kasvanut. Valitaan vaihtoehtoiseksi hypoteesiksi siis \(H_1 : \sigma^2>1100\).

Testisuure ja sen jakauma on

\[W = \frac{(n - 1)S^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(10),\]

ja testisuureelle realisoituu arvo \(w \approx 25{,}1007\). Kriittinen alue on jakauman oikeassa reunassa, ja taulukon vapausastelukua \(10\) vastaavalta riviltä, tai Matlabin komennolla chi2inv(1 - 0.01, 10) (R-komennolla qchisq(1 - 0.01, 10)) arvioidaan, että \(w_{2, \alpha} \approx 23{,}2093\). Kriittinen alue on siis väli \((23{,}2093, \infty)\) ja testisuureen realisoitunut arvo kuuluu sille. Nollahypoteesi hylätään ja päätellään, että todellinen varianssi on todennäköisesti suurempi kuin \(1100\). Testin \(p\)-arvoksi voidaan laskea Matlab-komennolla

1 - chi2cdf(25.1007, 10)

tai R-komennolla

1 - pchisq(25.1007, 10)

\(p = 1 - P(W < w) \approx 0{,}0052\), mikä luonnollisesti johtaa samaan johtopäätökseen.

Kahden varianssin yhtäsuuruuden testaus¶

Myös kahden populaation varianssien yhtäsuuruutta voidaan testata, mutta sitä varten tarvitaan uusi jakauma.

Määritelmä 7.3.2

Jatkuva satunnaismuuttuja \(F\) noudattaa \(\rF\)-jakaumaa vapausasteluvuin \(n_1\) ja \(n_2\) (\(\rF\) distribution with parameters \(n_1\) and \(n_2\)), \(F \sim \rF(n_1, n_2)\), jos sen tiheysfunktio

\[f(x) = \frac{\Gamma\left(\frac{n_1 + n_2}{2}\right)}{\Gamma\left(\frac{n_1}{2}\right)\Gamma\left(\frac{n_2}{2}\right)}\left(\frac{n_1}{n_2}\right)^{\frac{n_1}{2}}x^{\frac{n_1-2}{2}}\left(1 + \frac{n_1}{n_2}x\right)^{-\frac{n_1+n_2}{2}}, \qquad\text{kun } x \in \Omega = \R_{+},\]

missä \(\Gamma(t) = \int_{0}^{\infty}e^{-x}x^{t - 1}\,\rd x\) on Eulerin gammafunktio. \(\rF\)-jakaumaa kutsutaan myös Fisherin tai Snedecorin jakaumaksi.

Liitetaulukoista löytyy tai valmisohjelmien (Matlab, R) funktioilla voi laskea muuttujan \(F \sim \rF(n_1, n_2)\) kertymäfunktion \(F(x)=P(F\leq x)\) ja sen käänteisfunktion arvoja.

Esimerkki 7.3.3

Oletetaan, että \(F \sim \rF(10, 15)\) ja tutkitaan mitä ovat luvut \(f_1\) ja \(f_2\), kun \(P(F \leq f_1) = 0{,}95\) ja \(P(F \geq f_2) = 0{,}01\). Taulukoiden arvot on rajattu kertymäfunktioiden arvoihin \(0{,}95\), \(0{,}975\) ja \(0{,}99\), jolloin ensimmäisestä taulukosta luetaan, että \(f_1 \approx 2{,}54\) ja kolmannesta että \(f_2 \approx 3{,}80\). Matlabin komentojen

finv(0.95, 10, 15), finv(1 - 0.01, 10, 15)

tai R-ohjelmiston komentojen

qf(0.95, 10, 15), qf(1 - 0.01, 10, 15)

avulla saadaan tarkemmat likiarvot \(f_1 \approx 2{,}5437\) ja \(f_2 \approx 3{,}8049\).

Harjoitustehtäväksi jätetään osoittaa, että jos \(F \sim \rF(n_1, n_2)\), niin

\[\frac{1}{F} \sim \rF(n_2, n_1).\]

Sen seurauksena ehto \(P(F \leq x) = \alpha\) on yhtäpitävää ehdon \(P\left(\frac{1}{F} \geq \frac{1}{x}\right) = \alpha\), eli

\[P\left(\frac{1}{F}\leq\frac{1}{x}\right)=1-\alpha.\]

Tämä laajentaa \(\rF\)-jakauman taulukoiden käyttökelpoisuutta myös tapauksiin, joissa kertymäfunktion arvo \(P(F \leq x) \in \{0{,}05, 0{,}025, 0{,}01\}\). Yksinkertaisempaa, tarkempaa ja yleisemmin toimivaa on kuitenkin hyödyntää esimerkiksi ohjelmistoihin toteutettuja kertymäfunktion käänteisfunktioita.

Erityisesti kahden \(\chi^2\)-jakautuneen satunnaismuuttujan sopivasti painotettu osamäärä on \(\rF\)-jakautunut.

Lause 7.3.4

Oletetaan, että satunnaismuuttujat \(W_1\sim\chi^2(n_1)\) ja \(W_2\sim\chi^2(n_2)\) ovat riippumattomia. Tällöin satunnaismuuttuja

\[F = \frac{W_1/n_1}{W_2/n_2} \sim \rF(n_1, n_2).\]

\(\rF\)-jakaumaa käytetään normaalijakautuneiksi oletettujen satunnaismuuttujien varianssien yhtäsuuruuden testaamiseen seuraavan tuloksen perusteella.

Lause 7.3.5

Olkoot \(X_1, X_2, \ldots, X_n\) ja \(Y_1, Y_2, \ldots, Y_m\) otoksia riippumattomista satunnaismuuttujista \(X \sim \rN(\mu_X, \sigma_X^2)\) ja \(Y \sim \rN(\mu_Y, \sigma_Y^2)\). Tällöin

\[F = \frac{S_X^2/\sigma_X^2}{S_Y^2/\sigma_Y^2} \sim \rF(n-1,m-1),\]

missä \(S_X^2\) ja \(S_Y^2\) ovat muuttujien \(X\) ja \(Y\) otosvarianssit.

Todistus

Koska muuttujat \(X\) ja \(Y\) ovat riippumattomia, myös \(S_X^2\) ja \(S_Y^2\) ovat riippumattomia. Lauseen 6.3.8 mukaan

\[\frac{(n - 1)S_X^2}{\sigma_X^2} \sim \chi^2(n - 1) \qquad\text{ja}\qquad \frac{(m - 1)S_Y^2}{\sigma_Y^2} \sim \chi^2(m - 1),\]

joten edellisen lauseen nojalla

\[\frac{\frac{(n-1)S_X^2/\sigma_X^2}{n-1}}{\frac{(m-1)S_Y^2/\sigma_Y^2}{m-1}}=\frac{S_X^2/\sigma_X^2}{S_Y^2/\sigma_Y^2} \sim F(n-1,m-1),\]

kuten väitettiinkin.

Jos nyt \(X_1, X_2, \ldots, X_n\) ja \(Y_1, Y_2, \ldots, Y_m\) ovat otoksia riippumattomista normaalijakautuneista muuttujista \(X\) ja \(Y\), joiden tuntemattomat varianssit ovat \(\sigma_X^2\) ja \(\sigma_Y^2\), niin

\[\frac{S_X^2/\sigma_X^2}{S_Y^2/\sigma_Y^2} \sim \rF(n - 1, m - 1),\]

missä \(S_X^2\) ja \(S_Y^2\) ovat muuttujien \(X\) ja \(Y\) otosvarianssit. Yhtäsuuruustestin nollahypoteesiksi asetetaan \(H_0 : \sigma_X^2 = \sigma_Y^2\), ja sen voimassa ollessa

\[F = \frac{S_X^2/\sigma_X^2}{S_Y^2/\sigma_Y^2} = \frac{S_X^2}{S_Y^2} \sim \rF(n - 1, m - 1),\]

joten valitaan se testisuureeksi. Riippuen vaihtoehtoisesta hypoteesista merkitsevyystasoa \(\alpha\) vastaava kriittinen alue valitaan yksi- tai kaksiosaisena epäsymmetrisen \(\rF\)-jakauman toisesta tai molemmista reunoista. Kriittisten alueiden muodot ja \(p\)-arvot on tiivistetty seuraavaan taulukkoon, jossa testisuureelle \(F\) realisoitunutta arvoa merkitään symbolilla \(f\), ja merkinnöillä \(f_{1, \gamma}\) ja \(f_{2, \gamma}\) tarkoitetaan lukuja, joille \(P(F < f_{1, \gamma}) = \gamma\) ja \(P(F < f_{2, \gamma}) = 1 - \gamma\).

\(H_1\)	kriittinen alue	\(p\)-arvo
\(\sigma_X^2 < \sigma_Y^2\)	\([0, f_{1, \alpha})\)	\(P(F < f)\)
\(\sigma_X^2 > \sigma_Y^2\)	\((f_{2, \alpha}, \infty)\)	\(1 - P(F < f)\)
\(\sigma_X^2 \not= \sigma_Y^2\)	\([0, f_{1, \alpha/2}) \cup (f_{2, \alpha/2}, \infty)\)	\(2\min\{P(F < f), 1 - P(F < f)\}\)

Esimerkki 7.3.6

Kurssin A tenttiin osallistui \(51\) opiskelijaa ja tulosten otosvarianssi \(s_A^2=478\). Rinnakkaisen kurssin B tenttiin osallistui \(26\) opiskelijaa otosvarianssin ollessa \(s_B^2=372\). Voidaanko näitä havaintoja pitää näyttönä siitä, että tenttitulosten varianssit rinnakkaisilla kursseilla ovat erisuuret? Pistemäärien jakaumat oletetaan normaaleiksi.

Ratkaisu

Testataan siis hypoteesiparia \(H_0: \sigma_A^2=\sigma_B^2\) ja \(H_1: \sigma_A^2\neq \sigma_B^2\). Valitaan merkitsevyystasoksi \(\alpha=0{,}05\), ja testisuureeksi

\[F = \frac{S_A^2}{S_B^2} \sim \rF(50,25),\]

jolle realisoituu arvo \(f = \frac{478}{372} \approx 1{,}2849\). Kriittinen alue on \([0, f_{1, \alpha/2}) \cup (f_{2, \alpha/2}, \infty)\), missä päätepisteiksi ratkaistaan Matlabin komennolla

finv([0.05/2, 1 - 0.05/2], 50, 25)

tai R-ohjelmiston komennoilla

qf(0.05/2, 50, 25), qf(1 - 0.05/2, 50, 25)

arvot \(f_{1, \alpha/2} \approx 0{,}5212\) ja \(f_{2, \alpha/2} \approx 2{,}0787\). Testisuureelle realisoitunut arvo jää siis kriittisen alueen \([0, 0{,}5212) \cup (2{,}0787, \infty)\) ulkopuolelle, joten nollahypoteesi jää voimaan. Vastaavasti \(p\)-arvoksi lasketaan Matlab-komennolla

2 * min([fcdf(1.2849, 50, 25), 1 - fcdf(1.2849, 50, 25)])

tai R-komennolla

2 * min(pf(1.2849, 50, 25), 1 - pf(1.2849, 50, 25))

arvo \(p \approx 0{,}5033\), joka on selvästi suurempi kuin riskitaso \(\alpha\). Tulosten valossa kurssien tenttien variansseja voidaan siis pitää yhtä suurina.