$$% MATHEMATICAL SYMBOLS -------------------------------------------------- % Lukualueet \newcommand{\N}{\mathbb N} \newcommand{\Z}{\mathbb Z} \newcommand{\Q}{\mathbb Q} \newcommand{\R}{\mathbb R} \renewcommand{\C}{\mathbb C} % Lihavoidut vektorit. \newcommand{\ba}{\mathbf{a}} \newcommand{\bb}{\mathbf{b}} \newcommand{\bc}{\mathbf{c}} \newcommand{\bd}{\mathbf{d}} \newcommand{\be}{\mathbf{e}} \newcommand{\bbf}{\mathbf{f}} \newcommand{\bh}{\mathbf{h}} \newcommand{\bi}{\mathbf{i}} \newcommand{\bj}{\mathbf{j}} \newcommand{\bk}{\mathbf{k}} \newcommand{\bN}{\mathbf{N}} \newcommand{\bn}{\mathbf{n}} \newcommand{\bo}{\mathbf{0}} \newcommand{\bp}{\mathbf{p}} \newcommand{\bq}{\mathbf{q}} \newcommand{\br}{\mathbf{r}} \newcommand{\bs}{\mathbf{s}} \newcommand{\bT}{\mathbf{T}} \newcommand{\bu}{\mathbf{u}} \newcommand{\bv}{\mathbf{v}} \newcommand{\bw}{\mathbf{w}} \newcommand{\bx}{\mathbf{x}} \newcommand{\by}{\mathbf{y}} \newcommand{\bz}{\mathbf{z}} \newcommand{\bzero}{\mathbf{0}} % Kaunokirjaimet \newcommand{\cA}{\mathcal{A}} \newcommand{\cB}{\mathcal{B}} \newcommand{\cC}{\mathcal{C}} \newcommand{\cD}{\mathcal{D}} \newcommand{\cE}{\mathcal{E}} \newcommand{\cF}{\mathcal{F}} \newcommand{\cG}{\mathcal{G}} \newcommand{\cH}{\mathcal{H}} \newcommand{\cI}{\mathcal{I}} \newcommand{\cJ}{\mathcal{J}} \newcommand{\cK}{\mathcal{K}} \newcommand{\cL}{\mathcal{L}} \newcommand{\cM}{\mathcal{M}} \newcommand{\cN}{\mathcal{N}} \newcommand{\cO}{\mathcal{O}} \newcommand{\cP}{\mathcal{P}} \newcommand{\cQ}{\mathcal{Q}} \newcommand{\cR}{\mathcal{R}} \newcommand{\cS}{\mathcal{S}} \newcommand{\cT}{\mathcal{T}} \newcommand{\cU}{\mathcal{U}} \newcommand{\cV}{\mathcal{V}} \newcommand{\cW}{\mathcal{W}} \newcommand{\cX}{\mathcal{X}} \newcommand{\cY}{\mathcal{Y}} \newcommand{\cZ}{\mathcal{Z}} % Pystykirjaimet \newcommand{\rA}{\mathrm{A}} \newcommand{\rB}{\mathrm{B}} \newcommand{\rC}{\mathrm{C}} \newcommand{\rD}{\mathrm{D}} \newcommand{\rE}{\mathrm{E}} \newcommand{\rF}{\mathrm{F}} \newcommand{\rG}{\mathrm{G}} \newcommand{\rH}{\mathrm{H}} \newcommand{\rI}{\mathrm{I}} \newcommand{\rJ}{\mathrm{J}} \newcommand{\rK}{\mathrm{K}} \newcommand{\rL}{\mathrm{L}} \newcommand{\rM}{\mathrm{M}} \newcommand{\rN}{\mathrm{N}} \newcommand{\rO}{\mathrm{O}} \newcommand{\rP}{\mathrm{P}} \newcommand{\rQ}{\mathrm{Q}} \newcommand{\rR}{\mathrm{R}} \newcommand{\rS}{\mathrm{S}} \newcommand{\rT}{\mathrm{T}} \newcommand{\rU}{\mathrm{U}} \newcommand{\rV}{\mathrm{V}} \newcommand{\rW}{\mathrm{W}} \newcommand{\rX}{\mathrm{X}} \newcommand{\rY}{\mathrm{Y}} \newcommand{\rZ}{\mathrm{Z}} % Operaattorit \newcommand{\re}{\operatorname{Re}} \newcommand{\im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\arsinh}{\operatorname{ar\,sinh}} \newcommand{\arcosh}{\operatorname{ar\,cosh}} \newcommand{\artanh}{\operatorname{ar\,tanh}} %\newcommand{\dist}{\operatorname{d}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\proj}{\operatorname{proj}} \newcommand{\rref}{\operatorname{rref}} \newcommand{\rank}{\operatorname{rank}} \newcommand{\Span}{\operatorname{span}} \renewcommand{\dim}{\operatorname{dim}} \newcommand{\alg}{\operatorname{alg}} \newcommand{\geom}{\operatorname{geom}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} % Todennäköisyyslaskenta \newcommand{\Var}{\operatorname{Var}} \newcommand{\Cov}{\operatorname{Cov}} \newcommand{\Corr}{\operatorname{Corr}} \newcommand{\Tasd}{\operatorname{Tasd}} \newcommand{\Ber}{\operatorname{Ber}} \newcommand{\Bin}{\operatorname{Bin}} \newcommand{\Geom}{\operatorname{Geom}} \newcommand{\Poi}{\operatorname{Poi}} \newcommand{\Hyperg}{\operatorname{Hyperg}} \newcommand{\Tas}{\operatorname{Tas}} \newcommand{\Exp}{\operatorname{Exp}} \newcommand{\tdist}{\operatorname{t}} % Pysty-d differentiaaliin \newcommand{\rd}{\mathrm{d}} % Sijoitus integraaliin \newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-10mu}\,#1}^{\,#2}}$$

Ehdollinen todennäköisyys

Olkoot $A$ ja $B$ kaksi tapahtumaa, joista tapahtuman $B$ tiedetään realisoituvan. Ajatellaan nyt $B \subseteq \Omega$ uudeksi otosavaruudeksi, jossa tarkastellaan tapahtuman $A$ realisoitumista. Jos lisäksi myös $A$ tapahtuu, tiedetään että $A\cap B$ tapahtuu. Tällöin tapahtuman $A$ todennäköisyys ehdolla, että tapahtuma $B$ on realisoitunut, on oltava tapahtuman $A\cap B\subseteq B$ todennäköisyys otosavaruudessa $B$. Tätä sanotaan tapahtuman $A$ ehdolliseksi todennäköisyydeksi ehdolla $B$ ja merkitään $P(A\mid B)$.

Määritelmä 2.4.1

Olkoot $A$ ja $B$ tapahtumia ja olkoon $P(B)>0$. Tapahtuman $A$ ehdollinen todennäköisyys ehdolla $B$ (conditional probability) on luku

$$P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}.$$

Esimerkki 2.4.2

Liikenneonnettomuuksista $55~\%$ aiheutuu kuljettajan huonosta ajotaidosta, $12~\%$ auton teknisestä viasta ja $5~\%$ molempien aiheuttamina. On tapahtunut liikenneonnettomuus ja on havaittu, että onnettomuuden aiheuttaneessa autossa on tekninen vika. Millä todennäköisyydellä onnettomuuteen vaikutti myös kuljettajan huono ajotaito?

Ratkaisu

Olkoot $A$ ja $B$ tapahtumat “onnettomuuden syynä huono ajotaito” ja “onnettomuuden syynä tekninen vika”. Tällöin $P(A) = 0{,}55$, $P(B) = 0{,}12$ ja $P(A \cap B) = 0{,}05$. Kysytty todennäköisyys on siis tapahtuman $A$ todennäköisyys silloin, kun $B$ on realisoitunut, eli

$$P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{0{,}05}{0{,}12} \approx 0{,}42.$$

Question 1

Olkoon tapahtumille $A$, $B$ ja $C$ voimassa

$$P(A \mid C \cap B) > P(A \mid C \cap \overline{B}) \qquad\text{ja}\qquad P(A \mid \overline{C} \cap B) > P(A \mid \overline{C} \cap \overline{B}).$$

Onko aina myös $P(A \mid B) > P(A \mid \overline{B})$?

Ei.

Kyllä.

Ehdollisen todennäköisyyden määritelmästä seuraa niin sanottu kertolaskusääntö tapahtumien leikkauksen todennäköisyydelle.

Seuraus 2.4.3

Kertolaskusääntö. Jos $A, B \subseteq \Omega$ ja $P(B) > 0$, niin

$$P(A \cap B) = P(B)P(A \mid B).$$

Kolmen tapahtuman $A_1$, $A_2$ ja $A_3$ leikkauksen todennäköisyydelle on voimassa

$$\begin{split}\begin{aligned} P(A_1\cap A_2\cap A_3)&=P((A_1\cap A_2)\cap A_3)\\ &=P(A_1\cap A_2)P(A_3\mid A_1\cap A_2)\\ &=P(A_1)P(A_2\mid A_1)P(A_3\mid A_1\cap A_2) \end{aligned}\end{split}$$

edellyttäen, että $P(A_1\cap A_2)>0$. Tämäkin laskusääntö yleistyy induktiolla.

Lause 2.4.4

Jos $A_1, A_2, \ldots, A_n \subseteq \Omega$ ja $P(A_1 \cap A_2 \cap \cdots \cap A_{n - 1}) > 0$, niin

$$P\left(\bigcap_{i=1}^{n}A_i\right)=P(A_1)P(A_2\mid A_1)P(A_3\mid A_1\cap A_2)\cdots P\left(A_n\left|\ \bigcap_{i=1}^{n-1}A_i\right.\right)$$

Esimerkki 2.4.5

Ryhmässä on $30$ henkilöä, joista $20$ on diplomi-insinöörejä. Valitaan satunnaisesti $3$ henkilöä. Mikä on todennäköisyys, että kaikki kolme ovat diplomi-insinöörejä?

Ratkaisu

Olkoon $A$ tapahtuma “kaikki kolme ovat diplomi-insinöörejä”. Tehtävä voidaan ratkaista suoraan kombinatorisesti laskemalla

$$P(A)=\frac{\binom{20}{3}}{\binom{30}{3}}\approx 0{,}2808,$$

tai kertolaskusäännöllä seuraavasti. Olkoot $A_i$ tapahtumat “$i$:s valittu on diplomi-insinööri”, jolloin $A = A_1 \cap A_2 \cap A_3$ ja

$$P(A) = P(A_1)P(A_2 \mid A_1)P(A_3 \mid A_1 \cap A_2) = \frac{20}{30} \cdot \frac{19}{29} \cdot \frac{18}{28} \approx 0{,}2808.$$

Question 1

Laatikossa on $2$ oranssia ja $2$ sinistä palloa. Tutkitaan tapahtumia, joissa $2$ palloa nostetaan laatikosta ilman takaisinlaittoa, ja merkitään tapahtumaa “nostetaan oranssi pallo” symbolilla $O$ ja tapahtumaa “nostetaan sininen pallo” symbolilla $S$. Käytetään lisäksi alaindeksejä ilmoittamaan, missä järjestyksessä pallot on nostettu, esim. $O_1 = \text{ ''oranssi pallo nostettu ensimmäisenä'' }$. Ovatko todennäköisyydet $P( O_1 \mid O_2 )$ ja $P( O_2 \mid O_1 )$ samoja?

Ei.

Kyllä.

Palautusta lähetetään...