- MAT-01530
- 2. Todennäköisyys
- 2.6 Tapahtumien riippumattomuus
Tapahtumien riippumattomuus¶
Tapahtumien riippumattomuudella tarkoitetaan epämuodollisesti sitä, että niiden realisoitumiset eivät vaikuta toisiinsa. Täsmällisesti riippumattomuus voidaan määritellä seuraavalla tavalla.
Määritelmä 2.6.1
Saman otosavaruuden tapahtumat A ja B ovat tilastollisesti riippumattomia (statistically independent), eli riippumattomia, jos
Muistamalla ehdollisen todennäköisyyden ja kertolaskusäännön tälle saadaan välitön seuraus.
Seuraus 2.6.2
Jos A,B⊆Ω ja P(B)>0, niin tapahtumat A ja B ovat riippumattomia täsmälleen silloin, kun
Riippumattomille tapahtumille siis toisen realisoituminen ei vaikuta toisen tapahtuman todennäköisyyteen, eli määritelmä vastaa arkista intuitiota riippumattomuudesta. Kaikissa tilanteissa riippumattomuudelle ei kuitenkaan välttämättä löydy selvää tulkintaa.
Esimerkki 2.6.3
Tarkastellaan nopanheittoa, missä Ω={1,2,3,4,5,6}. Olkoot tapahtumat A={1,2} ja B={x∈Ω:x=2n,n∈Z}={2,4,6}, jolloin määritelmän mukaan ne ovat riippumattomia, sillä
Esimerkki 2.6.4
Osoitetaan, että jos A ja B ovat riippumattomia, niin myös A ja ¯B ovat riippumattomia. Oletuksen mukaan siis P(A∩B)=P(A)P(B). Nyt tapahtumat A∩¯B ja A∩B ovat erilliset, joten
ja täten
Siis myös tapahtumat A ja ¯B ovat riippumattomia.
Useamman kuin kahden tapahtuman riippumattomuus määritellään seuraavasti.
Määritelmä 2.6.5
Tapahtumat A1,A2,…,An⊆Ω ovat riippumattomia, jos jokaiselle näiden tapahtumien joukon osajoukolle {Ai1,Ai2,…,Aim}, m≤n on voimassa
Esimerkki 2.6.6
Tapahtumat A1, A2 ja A3 ovat riippumattomia, jos ne ovat pareittain riippumattomia ja P(A1∩A2∩A3)=P(A1)P(A2)P(A3).
Huomautus 2.6.7
Tapahtumien riippumattomuus säilyy, jos jo(t)kin tapahtuma(t) korvataan komplement(e)illaan.
Huomautus 2.6.8
Käytännössä, jos ei ole mitään näyttöä tapahtumien riippuvuudesta, tapahtumat oletetaan lähtökohtaisesti riippumattomiksi. Tällöin siis tapahtumien leikkauksien todennäköisyys on tapahtumien todennäköisyyksien tulo.
Esimerkki 2.6.9
Tarkastellaan toistokoetta. Toistot voidaan olettaa toisistaan riippumattomiksi. Olkoon A kokeen tapahtuma, jonka esiintymistä seurataan. Tällöin
missä ˆAi voi olla joko n-toistokokeen tapahtuma “i:nnessä toistossa realisoituu A” tai tapahtuma “i:nnessä toistossa realisoituu ¯A“.
Esimerkki 2.6.10
Olkoon laitteen komponenttien K1,K2,…,Km toiminta toisistaan riippumatonta, sekä olkoot Ai, 1≤i≤m tapahtumat “komponentti Ki toimii aikavälin Δt“. Merkitään P(Ai)=pi. Laske todennäköisyys, että laite toimii aikavälin Δt, kun laite muodostuu
- sarjaan kytketyistä komponenteista K1,K2,…,Km,
- rinnan kytketyistä komponenteista K1,K2,…,Km,
- alla olevan kuvan mukaisesti.
Sarjaankytkentä toimii, jos jokainen komponentti toimii. Tällöin kysytty todennäköisyys on riippumattomuuden nojalla
P(m⋂i=1Ai)=P(A1∩A2∩⋯∩Am)=P(A1)P(A2)⋯P(Am)=m∏i=1pi.Rinnankytkentä toimii, jos vähintään yksi komponentti toimii. Tällöin kysytty todennäköisyys on de Morganin lain ja riippumattomuuden nojalla
P(m⋃i=1Ai)=1−P(¯m⋃i=1Ai)=1−P(m⋂i=1¯Ai)=1−m∏i=1P(¯Ai)=1−m∏i=1(1−pi).Nyt laite toimii, jos ylärivi toimii (tapahtuma Ay) tai alarivi toimii (tapahtuma Aa). Koska ylä- ja alarivit ovat sarjaankytkentöjä, P(Ay)=P(Aa)=∏mi=1pi. Nyt kysytty todennäköisyys on
P(Ay∪Aa)=1−P(¯Ay∩¯Aa)=1−(1−m∏i=1pi)(1−m∏i=1pi)=2m∏i=1pi−m∏i=1p2i.