\[% MATHEMATICAL SYMBOLS -------------------------------------------------- % Lukualueet \newcommand{\N}{\mathbb N} \newcommand{\Z}{\mathbb Z} \newcommand{\Q}{\mathbb Q} \newcommand{\R}{\mathbb R} \renewcommand{\C}{\mathbb C} % Lihavoidut vektorit. \newcommand{\ba}{\mathbf{a}} \newcommand{\bb}{\mathbf{b}} \newcommand{\bc}{\mathbf{c}} \newcommand{\bd}{\mathbf{d}} \newcommand{\be}{\mathbf{e}} \newcommand{\bbf}{\mathbf{f}} \newcommand{\bh}{\mathbf{h}} \newcommand{\bi}{\mathbf{i}} \newcommand{\bj}{\mathbf{j}} \newcommand{\bk}{\mathbf{k}} \newcommand{\bN}{\mathbf{N}} \newcommand{\bn}{\mathbf{n}} \newcommand{\bo}{\mathbf{0}} \newcommand{\bp}{\mathbf{p}} \newcommand{\bq}{\mathbf{q}} \newcommand{\br}{\mathbf{r}} \newcommand{\bs}{\mathbf{s}} \newcommand{\bT}{\mathbf{T}} \newcommand{\bu}{\mathbf{u}} \newcommand{\bv}{\mathbf{v}} \newcommand{\bw}{\mathbf{w}} \newcommand{\bx}{\mathbf{x}} \newcommand{\by}{\mathbf{y}} \newcommand{\bz}{\mathbf{z}} \newcommand{\bzero}{\mathbf{0}} % Kaunokirjaimet \newcommand{\cA}{\mathcal{A}} \newcommand{\cB}{\mathcal{B}} \newcommand{\cC}{\mathcal{C}} \newcommand{\cD}{\mathcal{D}} \newcommand{\cE}{\mathcal{E}} \newcommand{\cF}{\mathcal{F}} \newcommand{\cG}{\mathcal{G}} \newcommand{\cH}{\mathcal{H}} \newcommand{\cI}{\mathcal{I}} \newcommand{\cJ}{\mathcal{J}} \newcommand{\cK}{\mathcal{K}} \newcommand{\cL}{\mathcal{L}} \newcommand{\cM}{\mathcal{M}} \newcommand{\cN}{\mathcal{N}} \newcommand{\cO}{\mathcal{O}} \newcommand{\cP}{\mathcal{P}} \newcommand{\cQ}{\mathcal{Q}} \newcommand{\cR}{\mathcal{R}} \newcommand{\cS}{\mathcal{S}} \newcommand{\cT}{\mathcal{T}} \newcommand{\cU}{\mathcal{U}} \newcommand{\cV}{\mathcal{V}} \newcommand{\cW}{\mathcal{W}} \newcommand{\cX}{\mathcal{X}} \newcommand{\cY}{\mathcal{Y}} \newcommand{\cZ}{\mathcal{Z}} % Pystykirjaimet \newcommand{\rA}{\mathrm{A}} \newcommand{\rB}{\mathrm{B}} \newcommand{\rC}{\mathrm{C}} \newcommand{\rD}{\mathrm{D}} \newcommand{\rE}{\mathrm{E}} \newcommand{\rF}{\mathrm{F}} \newcommand{\rG}{\mathrm{G}} \newcommand{\rH}{\mathrm{H}} \newcommand{\rI}{\mathrm{I}} \newcommand{\rJ}{\mathrm{J}} \newcommand{\rK}{\mathrm{K}} \newcommand{\rL}{\mathrm{L}} \newcommand{\rM}{\mathrm{M}} \newcommand{\rN}{\mathrm{N}} \newcommand{\rO}{\mathrm{O}} \newcommand{\rP}{\mathrm{P}} \newcommand{\rQ}{\mathrm{Q}} \newcommand{\rR}{\mathrm{R}} \newcommand{\rS}{\mathrm{S}} \newcommand{\rT}{\mathrm{T}} \newcommand{\rU}{\mathrm{U}} \newcommand{\rV}{\mathrm{V}} \newcommand{\rW}{\mathrm{W}} \newcommand{\rX}{\mathrm{X}} \newcommand{\rY}{\mathrm{Y}} \newcommand{\rZ}{\mathrm{Z}} % Operaattorit \newcommand{\re}{\operatorname{Re}} \newcommand{\im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\arsinh}{\operatorname{ar\,sinh}} \newcommand{\arcosh}{\operatorname{ar\,cosh}} \newcommand{\artanh}{\operatorname{ar\,tanh}} %\newcommand{\dist}{\operatorname{d}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\proj}{\operatorname{proj}} \newcommand{\rref}{\operatorname{rref}} \newcommand{\rank}{\operatorname{rank}} \newcommand{\Span}{\operatorname{span}} \renewcommand{\dim}{\operatorname{dim}} \newcommand{\alg}{\operatorname{alg}} \newcommand{\geom}{\operatorname{geom}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} % Todennäköisyyslaskenta \newcommand{\Var}{\operatorname{Var}} \newcommand{\Cov}{\operatorname{Cov}} \newcommand{\Corr}{\operatorname{Corr}} \newcommand{\Tasd}{\operatorname{Tasd}} \newcommand{\Ber}{\operatorname{Ber}} \newcommand{\Bin}{\operatorname{Bin}} \newcommand{\Geom}{\operatorname{Geom}} \newcommand{\Poi}{\operatorname{Poi}} \newcommand{\Hyperg}{\operatorname{Hyperg}} \newcommand{\Tas}{\operatorname{Tas}} \newcommand{\Exp}{\operatorname{Exp}} \newcommand{\tdist}{\operatorname{t}} % Pysty-d differentiaaliin \newcommand{\rd}{\mathrm{d}} % Sijoitus integraaliin \newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-10mu}\,#1}^{\,#2}}\]

Tapahtumien riippumattomuus

Tapahtumien riippumattomuudella tarkoitetaan epämuodollisesti sitä, että niiden realisoitumiset eivät vaikuta toisiinsa. Täsmällisesti riippumattomuus voidaan määritellä seuraavalla tavalla.

Määritelmä 2.6.1

Saman otosavaruuden tapahtumat \(A\) ja \(B\) ovat tilastollisesti riippumattomia (statistically independent), eli riippumattomia, jos

\[P(A\cap B)=P(A)P(B).\]

Muistamalla ehdollisen todennäköisyyden ja kertolaskusäännön tälle saadaan välitön seuraus.

Seuraus 2.6.2

Jos \(A, B \subseteq \Omega\) ja \(P(B)>0\), niin tapahtumat \(A\) ja \(B\) ovat riippumattomia täsmälleen silloin, kun

\[P(A\mid B)=P(A).\]

Riippumattomille tapahtumille siis toisen realisoituminen ei vaikuta toisen tapahtuman todennäköisyyteen, eli määritelmä vastaa arkista intuitiota riippumattomuudesta. Kaikissa tilanteissa riippumattomuudelle ei kuitenkaan välttämättä löydy selvää tulkintaa.

Esimerkki 2.6.3

Tarkastellaan nopanheittoa, missä \(\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\). Olkoot tapahtumat \(A=\{1,2\}\) ja \(B=\{x \in \Omega : x = 2n, n \in \Z\}=\{2,4,6\}\), jolloin määritelmän mukaan ne ovat riippumattomia, sillä

\[P(A\cap B)=P(\{2\})=\frac{1}{6} = \frac{2}{6} \cdot \frac{3}{6} = P(A)P(B).\]

Esimerkki 2.6.4

Osoitetaan, että jos \(A\) ja \(B\) ovat riippumattomia, niin myös \(A\) ja \(\overline{B}\) ovat riippumattomia. Oletuksen mukaan siis \(P(A\cap B)=P(A)P(B)\). Nyt tapahtumat \(A \cap \overline{B}\) ja \(A \cap B\) ovat erilliset, joten

\[P(A \cap \overline{B}) + P(A \cap B) = P((A \cap \overline{B}) \cup (A \cap B)) = P(A)\]

ja täten

\[\begin{split}\begin{aligned} P(A\cap\overline{B}) &= P(A)-P(A\cap B)\\ &= P(A)-P(A)P(B)\\ &= P(A)(1-P(B))\\ &= P(A)P(\overline{B}). \end{aligned}\end{split}\]

Siis myös tapahtumat \(A\) ja \(\overline{B}\) ovat riippumattomia.

Question 1

Oletetaan, että otosavaruuden \(\Omega\) ositus on tehty pareittain erillisesti, siis \(\Omega = \bigcup_{i=1}^N A_i\), missä \(A_n \cap A_m = \varnothing\) jos \(m \neq n\). Ovatko tapahtumat \(A_n\) ja \(A_m\) tällöin varmasti riippumattomia?

Kyllä.

Ei.

Useamman kuin kahden tapahtuman riippumattomuus määritellään seuraavasti.

Määritelmä 2.6.5

Tapahtumat \(A_1,A_2,\ldots,A_n \subseteq \Omega\) ovat riippumattomia, jos jokaiselle näiden tapahtumien joukon osajoukolle \(\{A_{i_1},A_{i_2},\ldots,A_{i_m}\}\), \(m\leq n\) on voimassa

\[P(A_{i_1}\cap A_{i_2}\cap\cdots\cap A_{i_m})=P(A_{i_1})P(A_{i_2})\cdots P(A_{i_m}).\]

Esimerkki 2.6.6

Tapahtumat \(A_1\), \(A_2\) ja \(A_3\) ovat riippumattomia, jos ne ovat pareittain riippumattomia ja \(P(A_1\cap A_2\cap A_3)=P(A_1)P(A_2)P(A_3)\).

Huomautus 2.6.7

Tapahtumien riippumattomuus säilyy, jos jo(t)kin tapahtuma(t) korvataan komplement(e)illaan.

Huomautus 2.6.8

Käytännössä, jos ei ole mitään näyttöä tapahtumien riippuvuudesta, tapahtumat oletetaan lähtökohtaisesti riippumattomiksi. Tällöin siis tapahtumien leikkauksien todennäköisyys on tapahtumien todennäköisyyksien tulo.

Esimerkki 2.6.9

Tarkastellaan toistokoetta. Toistot voidaan olettaa toisistaan riippumattomiksi. Olkoon \(A\) kokeen tapahtuma, jonka esiintymistä seurataan. Tällöin

\[P(\hat{A}_1\cap\hat{A}_2\cap\cdots\cap\hat{A}_n)=P(\hat{A}_1)P(\hat{A}_2)\cdots P(\hat{A}_n),\]

missä \(\hat{A}_i\) voi olla joko \(n\)-toistokokeen tapahtuma “\(i\):nnessä toistossa realisoituu \(A\)” tai tapahtuma “\(i\):nnessä toistossa realisoituu \(\overline{A}\)“.

Esimerkki 2.6.10

Olkoon laitteen komponenttien \(K_1, K_2, \ldots, K_m\) toiminta toisistaan riippumatonta, sekä olkoot \(A_i\), \(1 \leq i \leq m\) tapahtumat “komponentti \(K_i\) toimii aikavälin \(\Delta t\)“. Merkitään \(P(A_i)=p_i\). Laske todennäköisyys, että laite toimii aikavälin \(\Delta t\), kun laite muodostuu

1. sarjaan kytketyistä komponenteista \(K_1, K_2, \ldots, K_m\),
2. rinnan kytketyistä komponenteista \(K_1, K_2, \ldots, K_m\),
3. alla olevan kuvan mukaisesti.

Ratkaisu

1. Sarjaankytkentä toimii, jos jokainen komponentti toimii. Tällöin kysytty todennäköisyys on riippumattomuuden nojalla

   \[P\left(\bigcap_{i = 1}^{m}A_i\right) = P(A_1 \cap A_2 \cap \cdots \cap A_m) = P(A_1)P(A_2)\cdots P(A_m) = \prod_{i = 1}^{m}p_i.\]

2. Rinnankytkentä toimii, jos vähintään yksi komponentti toimii. Tällöin kysytty todennäköisyys on de Morganin lain ja riippumattomuuden nojalla

   \[P\left(\bigcup_{i = 1}^{m}A_i\right) = 1 - P\left(\overline{\bigcup_{i = 1}^{m}A_i}\right) = 1 - P\left(\bigcap_{i = 1}^{m}\overline{A_i}\right) = 1 - \prod_{i = 1}^{m}P(\overline{A_i}) = 1 - \prod_{i = 1}^{m}(1 - p_i).\]

3. Nyt laite toimii, jos ylärivi toimii (tapahtuma \(A_y\)) tai alarivi toimii (tapahtuma \(A_a\)). Koska ylä- ja alarivit ovat sarjaankytkentöjä, \(P(A_y) = P(A_a) = \prod_{i = 1}^{m}p_i\). Nyt kysytty todennäköisyys on

   \[P(A_y \cup A_a) = 1 - P(\overline{A_y} \cap \overline{A_a}) = 1 - \left(1 - \prod_{i = 1}^{m}p_i\right)\left(1 - \prod_{i = 1}^{m}p_i\right) = 2\prod_{i = 1}^{m}p_i - \prod_{i = 1}^{m}p_i^2.\]

Palautusta lähetetään...