Processing math: 0%
Tämä kurssi on jo päättynyt.
% MATHEMATICAL SYMBOLS -------------------------------------------------- % Lukualueet \newcommand{\N}{\mathbb N} \newcommand{\Z}{\mathbb Z} \newcommand{\Q}{\mathbb Q} \newcommand{\R}{\mathbb R} \renewcommand{\C}{\mathbb C} % Lihavoidut vektorit. \newcommand{\ba}{\mathbf{a}} \newcommand{\bb}{\mathbf{b}} \newcommand{\bc}{\mathbf{c}} \newcommand{\bd}{\mathbf{d}} \newcommand{\be}{\mathbf{e}} \newcommand{\bbf}{\mathbf{f}} \newcommand{\bh}{\mathbf{h}} \newcommand{\bi}{\mathbf{i}} \newcommand{\bj}{\mathbf{j}} \newcommand{\bk}{\mathbf{k}} \newcommand{\bN}{\mathbf{N}} \newcommand{\bn}{\mathbf{n}} \newcommand{\bo}{\mathbf{0}} \newcommand{\bp}{\mathbf{p}} \newcommand{\bq}{\mathbf{q}} \newcommand{\br}{\mathbf{r}} \newcommand{\bs}{\mathbf{s}} \newcommand{\bT}{\mathbf{T}} \newcommand{\bu}{\mathbf{u}} \newcommand{\bv}{\mathbf{v}} \newcommand{\bw}{\mathbf{w}} \newcommand{\bx}{\mathbf{x}} \newcommand{\by}{\mathbf{y}} \newcommand{\bz}{\mathbf{z}} \newcommand{\bzero}{\mathbf{0}} % Kaunokirjaimet \newcommand{\cA}{\mathcal{A}} \newcommand{\cB}{\mathcal{B}} \newcommand{\cC}{\mathcal{C}} \newcommand{\cD}{\mathcal{D}} \newcommand{\cE}{\mathcal{E}} \newcommand{\cF}{\mathcal{F}} \newcommand{\cG}{\mathcal{G}} \newcommand{\cH}{\mathcal{H}} \newcommand{\cI}{\mathcal{I}} \newcommand{\cJ}{\mathcal{J}} \newcommand{\cK}{\mathcal{K}} \newcommand{\cL}{\mathcal{L}} \newcommand{\cM}{\mathcal{M}} \newcommand{\cN}{\mathcal{N}} \newcommand{\cO}{\mathcal{O}} \newcommand{\cP}{\mathcal{P}} \newcommand{\cQ}{\mathcal{Q}} \newcommand{\cR}{\mathcal{R}} \newcommand{\cS}{\mathcal{S}} \newcommand{\cT}{\mathcal{T}} \newcommand{\cU}{\mathcal{U}} \newcommand{\cV}{\mathcal{V}} \newcommand{\cW}{\mathcal{W}} \newcommand{\cX}{\mathcal{X}} \newcommand{\cY}{\mathcal{Y}} \newcommand{\cZ}{\mathcal{Z}} % Pystykirjaimet \newcommand{\rA}{\mathrm{A}} \newcommand{\rB}{\mathrm{B}} \newcommand{\rC}{\mathrm{C}} \newcommand{\rD}{\mathrm{D}} \newcommand{\rE}{\mathrm{E}} \newcommand{\rF}{\mathrm{F}} \newcommand{\rG}{\mathrm{G}} \newcommand{\rH}{\mathrm{H}} \newcommand{\rI}{\mathrm{I}} \newcommand{\rJ}{\mathrm{J}} \newcommand{\rK}{\mathrm{K}} \newcommand{\rL}{\mathrm{L}} \newcommand{\rM}{\mathrm{M}} \newcommand{\rN}{\mathrm{N}} \newcommand{\rO}{\mathrm{O}} \newcommand{\rP}{\mathrm{P}} \newcommand{\rQ}{\mathrm{Q}} \newcommand{\rR}{\mathrm{R}} \newcommand{\rS}{\mathrm{S}} \newcommand{\rT}{\mathrm{T}} \newcommand{\rU}{\mathrm{U}} \newcommand{\rV}{\mathrm{V}} \newcommand{\rW}{\mathrm{W}} \newcommand{\rX}{\mathrm{X}} \newcommand{\rY}{\mathrm{Y}} \newcommand{\rZ}{\mathrm{Z}} % Operaattorit \newcommand{\re}{\operatorname{Re}} \newcommand{\im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\arsinh}{\operatorname{ar\,sinh}} \newcommand{\arcosh}{\operatorname{ar\,cosh}} \newcommand{\artanh}{\operatorname{ar\,tanh}} %\newcommand{\dist}{\operatorname{d}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\proj}{\operatorname{proj}} \newcommand{\rref}{\operatorname{rref}} \newcommand{\rank}{\operatorname{rank}} \newcommand{\Span}{\operatorname{span}} \renewcommand{\dim}{\operatorname{dim}} \newcommand{\alg}{\operatorname{alg}} \newcommand{\geom}{\operatorname{geom}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} % Todennäköisyyslaskenta \newcommand{\Var}{\operatorname{Var}} \newcommand{\Cov}{\operatorname{Cov}} \newcommand{\Corr}{\operatorname{Corr}} \newcommand{\Tasd}{\operatorname{Tasd}} \newcommand{\Ber}{\operatorname{Ber}} \newcommand{\Bin}{\operatorname{Bin}} \newcommand{\Geom}{\operatorname{Geom}} \newcommand{\Poi}{\operatorname{Poi}} \newcommand{\Hyperg}{\operatorname{Hyperg}} \newcommand{\Tas}{\operatorname{Tas}} \newcommand{\Exp}{\operatorname{Exp}} \newcommand{\tdist}{\operatorname{t}} % Pysty-d differentiaaliin \newcommand{\rd}{\mathrm{d}} % Sijoitus integraaliin \newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-10mu}\,#1}^{\,#2}}

Tapahtumien riippumattomuus

Tapahtumien riippumattomuudella tarkoitetaan epämuodollisesti sitä, että niiden realisoitumiset eivät vaikuta toisiinsa. Täsmällisesti riippumattomuus voidaan määritellä seuraavalla tavalla.

Määritelmä 2.6.1

Saman otosavaruuden tapahtumat A ja B ovat tilastollisesti riippumattomia (statistically independent), eli riippumattomia, jos

P(A\cap B)=P(A)P(B).

Muistamalla ehdollisen todennäköisyyden ja kertolaskusäännön tälle saadaan välitön seuraus.

Seuraus 2.6.2

Jos A, B \subseteq \Omega ja P(B)>0, niin tapahtumat A ja B ovat riippumattomia täsmälleen silloin, kun

P(A\mid B)=P(A).

Riippumattomille tapahtumille siis toisen realisoituminen ei vaikuta toisen tapahtuman todennäköisyyteen, eli määritelmä vastaa arkista intuitiota riippumattomuudesta. Kaikissa tilanteissa riippumattomuudelle ei kuitenkaan välttämättä löydy selvää tulkintaa.

Esimerkki 2.6.3

Tarkastellaan nopanheittoa, missä \Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}. Olkoot tapahtumat A=\{1,2\} ja B=\{x \in \Omega : x = 2n, n \in \Z\}=\{2,4,6\}, jolloin määritelmän mukaan ne ovat riippumattomia, sillä

P(A\cap B)=P(\{2\})=\frac{1}{6} = \frac{2}{6} \cdot \frac{3}{6} = P(A)P(B).

Esimerkki 2.6.4

Osoitetaan, että jos A ja B ovat riippumattomia, niin myös A ja \overline{B} ovat riippumattomia. Oletuksen mukaan siis P(A\cap B)=P(A)P(B). Nyt tapahtumat A \cap \overline{B} ja A \cap B ovat erilliset, joten

P(A \cap \overline{B}) + P(A \cap B) = P((A \cap \overline{B}) \cup (A \cap B)) = P(A)

ja täten

\begin{split}\begin{aligned} P(A\cap\overline{B}) &= P(A)-P(A\cap B)\\ &= P(A)-P(A)P(B)\\ &= P(A)(1-P(B))\\ &= P(A)P(\overline{B}). \end{aligned}\end{split}

Siis myös tapahtumat A ja \overline{B} ovat riippumattomia.

Oletetaan, että otosavaruuden \Omega ositus on tehty pareittain erillisesti, siis \Omega = \bigcup_{i=1}^N A_i, missä A_n \cap A_m = \varnothing jos m \neq n. Ovatko tapahtumat A_n ja A_m tällöin varmasti riippumattomia?

Useamman kuin kahden tapahtuman riippumattomuus määritellään seuraavasti.

Määritelmä 2.6.5

Tapahtumat A_1,A_2,\ldots,A_n \subseteq \Omega ovat riippumattomia, jos jokaiselle näiden tapahtumien joukon osajoukolle \{A_{i_1},A_{i_2},\ldots,A_{i_m}\}, m\leq n on voimassa

P(A_{i_1}\cap A_{i_2}\cap\cdots\cap A_{i_m})=P(A_{i_1})P(A_{i_2})\cdots P(A_{i_m}).

Esimerkki 2.6.6

Tapahtumat A_1, A_2 ja A_3 ovat riippumattomia, jos ne ovat pareittain riippumattomia ja P(A_1\cap A_2\cap A_3)=P(A_1)P(A_2)P(A_3).

Huomautus 2.6.7

Tapahtumien riippumattomuus säilyy, jos jo(t)kin tapahtuma(t) korvataan komplement(e)illaan.

Huomautus 2.6.8

Käytännössä, jos ei ole mitään näyttöä tapahtumien riippuvuudesta, tapahtumat oletetaan lähtökohtaisesti riippumattomiksi. Tällöin siis tapahtumien leikkauksien todennäköisyys on tapahtumien todennäköisyyksien tulo.

Esimerkki 2.6.9

Tarkastellaan toistokoetta. Toistot voidaan olettaa toisistaan riippumattomiksi. Olkoon A kokeen tapahtuma, jonka esiintymistä seurataan. Tällöin

P(\hat{A}_1\cap\hat{A}_2\cap\cdots\cap\hat{A}_n)=P(\hat{A}_1)P(\hat{A}_2)\cdots P(\hat{A}_n),

missä \hat{A}_i voi olla joko n-toistokokeen tapahtuma “i:nnessä toistossa realisoituu A” tai tapahtuma “i:nnessä toistossa realisoituu \overline{A}“.

Esimerkki 2.6.10

Olkoon laitteen komponenttien K_1, K_2, \ldots, K_m toiminta toisistaan riippumatonta, sekä olkoot A_i, 1 \leq i \leq m tapahtumat “komponentti K_i toimii aikavälin \Delta t“. Merkitään P(A_i)=p_i. Laske todennäköisyys, että laite toimii aikavälin \Delta t, kun laite muodostuu

  1. sarjaan kytketyistä komponenteista K_1, K_2, \ldots, K_m,
  2. rinnan kytketyistä komponenteista K_1, K_2, \ldots, K_m,
  3. alla olevan kuvan mukaisesti.
../_images/kuva16.svg
Ratkaisu
  1. Sarjaankytkentä toimii, jos jokainen komponentti toimii. Tällöin kysytty todennäköisyys on riippumattomuuden nojalla

    P\left(\bigcap_{i = 1}^{m}A_i\right) = P(A_1 \cap A_2 \cap \cdots \cap A_m) = P(A_1)P(A_2)\cdots P(A_m) = \prod_{i = 1}^{m}p_i.
  2. Rinnankytkentä toimii, jos vähintään yksi komponentti toimii. Tällöin kysytty todennäköisyys on de Morganin lain ja riippumattomuuden nojalla

    P\left(\bigcup_{i = 1}^{m}A_i\right) = 1 - P\left(\overline{\bigcup_{i = 1}^{m}A_i}\right) = 1 - P\left(\bigcap_{i = 1}^{m}\overline{A_i}\right) = 1 - \prod_{i = 1}^{m}P(\overline{A_i}) = 1 - \prod_{i = 1}^{m}(1 - p_i).
  3. Nyt laite toimii, jos ylärivi toimii (tapahtuma A_y) tai alarivi toimii (tapahtuma A_a). Koska ylä- ja alarivit ovat sarjaankytkentöjä, P(A_y) = P(A_a) = \prod_{i = 1}^{m}p_i. Nyt kysytty todennäköisyys on

    P(A_y \cup A_a) = 1 - P(\overline{A_y} \cap \overline{A_a}) = 1 - \left(1 - \prod_{i = 1}^{m}p_i\right)\left(1 - \prod_{i = 1}^{m}p_i\right) = 2\prod_{i = 1}^{m}p_i - \prod_{i = 1}^{m}p_i^2.
Palautusta lähetetään...