- MAT-04601
- 2. Alkeisfunktioiden kertaus
- 2.5 Eksponentti- ja logaritmifunktiot
Eksponentti- ja logaritmifunktiot¶
Eksponenttilausekkeen ab avulla voidaan määritellä potenssifunktion lisäksi myös toinen alkeisfunktioiden laji. Potenssifunktion tapauksessa tässä luku a olisi syöte ja eksponentti b vakio, mutta eksponenttifunktiota varten nämä roolit vaihdetaan keskenään.
Määritelmä.
Eksponenttifunktioksi (exponential function) kutsutaan funktiota
missä kantaluku (base) a>0.
Koska potenssifunktio xr on määritelty silloin, kun r on rationaaliluku, niin myös eksponenttifunktio ax on hyvin määritelty ainakin silloin, kun x on rationaaliluku. Samankaltaisesti eksponenttifunktion arvo määritellään asettamalla
Laskusäännöt
ovat voimassa silloin, kun x ja y ovat rationaalilukuja.
Vastaavasti kuin muut alkeisfunktiot, myös eksponenttifunktio halutaan kuitenkin määritellä kaikilla reaaliluvuilla. Tämä ei ole aivan yksinkertainen tavoite, ja se voidaan perustella täsmällisesti vasta, kun tarkastellaan reaalilukujen täydellisyysaksioomaa. Epämuodollisesti ajateltuna jos a>0 ja x on irrationaaliluku, niin eksponenttifunktion arvo pisteessä x määritellään tutkimalla eksponenttilausekkeen arvoja hyvin lähelle lukua x sijoittuvilla rationaaliluvuilla. Nämä arvot lähestyvät jotakin tiettyä reaalilukua, ja lausekkeelle ax annetaan tämä arvoksi tämä luku. Kyseessä on erityislaatuinen raja-arvon määritys. Voidaan osoittaa, että näin kaikilla reaaliluvuilla määritelty eksponenttifunktio ax noudattaa kaikkia eksponenttien laskusääntöjä.
Eräs eksponenttifunktion keskeinen ominaisuus on, että sen kaikki arvot ovat positiivisia. Väite on ilmeinen rationaalisille eksponenteille, sillä positiivisen reaaliluvun kokonaislukupotenssi, juuri ja käänteisluku ovat positiivisia. Irrationaalisille eksponenteille epämuodollinen perustelu on, että positiiviset luvut (arvot rationaalipisteissä) eivät voi lähestyä negatiivista arvoa. Tähän liittyy myös seuraava tulos.
Lause.
Eksponenttifunktio ax toteuttaa seuraavat ehdot.
- Jos a>1, niin ax<ay aina, kun x<y.
- Jos 0<a<1, niin ax>ay aina, kun x<y.
- Jos a=1, niin ax=1 aina, kun x on reaaliluku.
Tätä tulosta voidaan havainnollistaa piirtämällä eksponenttifunktion ax kuvaajia eri kantaluvuilla a. Nähdään, että eksponenttifunktion kuvaaja on nouseva, kun a>1, laskeva, kun 0<a<1 ja vaakasuora, kun a=1.
Erityisen merkittävä rooli on sillä eksponenttifunktiolla, jonka kantaluku on Neperin luku e≈2.718. Tämän funktion erityisominaisuuksiin palataan myöhemmin.
Määritelmä.
Funktiota ex=exp(x) kutsutaan luonnolliseksi eksponenttifunktioksi.
Samalla tapaa kuin juuren ottaminen on potenssiin korottamiselle käänteinen operaatio, myös eksponenttilausekkeita halutaan usein ”kääntää”. Luvun x a-kantaiseksi logaritmiksi kutsutaan sitä lukua y, jolle ay=x. Eksponenttifunktion ominaisuuksista seuraa, että tällaisia lukuja voi olla vain yksi.
Määritelmä.
Olkoon a>0 ja a≠1. Jos x>0, niin ehto x=ay, jos ja vain jos y=loga(x) määrittelee a-kantaisen logaritmifunktion loga(x). Jos sekaantumisen vaaraa ei ole, voidaan merkitä myös y=logax.
Olkoon a>0 ja a≠1, sekä x>0 ja y reaaliluku. Logaritmifunktion määrittelyehto ilmaistaan usein lyhyesti kirjoittamalla
ja tästä seuraa, että
Lause.
Logaritmifunktio logax toteuttaa seuraavat ehdot.
- Jos a>1, niin logax<logay aina, kun x<y.
- Jos 0<a<1, niin logax>logay aina, kun x<y.
Koska a0=1, niin kaikille logaritmeille on voimassa loga1=0. Seuraavaan kuvaan on hahmoteltu logaritmifunktion logax kuvaaja eri kantaluvun a arvoilla. Vertaa vastaaviin eksponenttifunktion ax kuvaajiin: kuvaajat ovat peilikuvia suoran y=x suhteen.
Kun logaritmifunktion kantaluvuksi asetetaan Neperin luku e, saadaan jälleen aikaan erityinen funktio.
Määritelmä.
Funktiota logex=lnx kutsutaan luonnolliseksi logaritmifunktioksi.
Erityisesti logaritmisten asteikkojen sovelluksissa myös Briggsin logaritmina tunnettu 10-kantainen logaritmifunktio log10x=lgx on hyödyllinen. Kun jatkossa puhutaan pelkästä eksponenttifunktiosta tai logaritmifunktiosta täsmentämättä kantalukua, niin tarkoitetaan aina luonnollisia eksponentti- ja logaritmifunktioita ex ja lnx.
Eksponenttien laskusäännöistä voidaan johtaa seuraavat logaritmien laskusäännöt.
Todistetaan kaavoista ensimmäinen luonnolliselle logaritmille. Koska
niin
Ottamalla tästä puolittain luonnollisen logaritmin nähdään, että
Oman erityismainintansa ansaitsevat vielä eksponentti- ja logaritmifunktioiden kannanvaihtokaavat, joilla a-kantaisten eksponentti- ja logaritmifunktioiden käsittely voidaan palauttaa mihin tahansa muuhun kantaan b.
Näistä ensimmäinen voidaan perustella suoralla laskulla
ja toinen saadaan ottamalla yhtälöstä x=alogax luonnollinen logaritmi puolittain ja käyttämällä logaritmien laskusääntöjä.
Esimerkki.
Laske log5125, log48 ja log210+log212−log215.
Hyödyntämällä logaritmien laskusääntöjä nähdään, että
Esimerkki.
Tehdään 5 000 euron kertatalletus, jolle kertyy kuukausittain korkoa 0,2 %.
- Muodosta pääoman suuruutta kuvaava funktio f(x), missä x on alkutalletuksesta kulunut aika vuosina.
- Mikä on pääoma 4 vuoden ja 3 kuukauden kuluttua?
- Milloin pääoman suuruus ylittää 1 000 000 euroa?
Olkoon k alkutalletuksesta kulunut aika kuukausina. Ajanhetkellä k=0 pääoman suuruus on 5 000 euroa ja ensimmäisen kuukauden aikana se kasvaa koron ansiosta 1,002-kertaiseksi. Sama toistuu joka vuosi, eli kuussa k pääoman suuruus on f(k)=f(k−1)⋅1,002. Tästä päätellään, että alkupääoman avulla ilmaistuna
f(k)=f(0)⋅1,002k=5 000⋅1,002keuroa. Vuodessa on 12 kuukautta, eli k=12x, jolloin
f(x)=5 000⋅1,00212x.4 vuotta ja 3 kuukautta vastaa 4,25 vuotta, eli
f(4,25)=5 000⋅1,00212⋅4,25≈5536,35euroa.
Merkitään f(x)=5 000⋅1,002x≥106 ja ratkaistaan epäyhtälö luonnollisen logaritmin avulla.
1,002x≥1065 000⇔ln(1,002x)≥ln(1065 000)⇔xln(1,002)≥ln(1065 000).Nyt siis, koska ln(1,002)>0,
x≥ln(1065 000)ln(1,002)≈2 650.Pääoman kertymiseen miljonääriksi asti kuluu siis monta ihmisikää!
Tähän asti potenssifunktioita on käsitelty ainoastaan silloin, kun eksponentti on rationaaliluku. Eksponenttifunktion avulla määritelmä voidaan yleistää kaikille reaalilukueksponenteille.
Määritelmä.
Olkoon a∈R. Yleinen potenssifunktio xa määritellään positiivisille reaaliluvuille x asettamalla