Eksponentti- ja logaritmifunktiot

Eksponenttilausekkeen \(a^b\) avulla voidaan määritellä potenssifunktion lisäksi myös toinen alkeisfunktioiden laji. Potenssifunktion tapauksessa tässä luku \(a\) olisi syöte ja eksponentti \(b\) vakio, mutta eksponenttifunktiota varten nämä roolit vaihdetaan keskenään.

Määritelmä.

Eksponenttifunktioksi (exponential function) kutsutaan funktiota

\[f(x)=a^x,\]

missä kantaluku (base) \(a>0\).

Koska potenssifunktio \(x^r\) on määritelty silloin, kun \(r\) on rationaaliluku, niin myös eksponenttifunktio \(a^x\) on hyvin määritelty ainakin silloin, kun \(x\) on rationaaliluku. Samankaltaisesti eksponenttifunktion arvo määritellään asettamalla

\[\begin{split}\begin{aligned} a^0&=1,&&\\ a^x&=\underbrace{a\cdot a\cdots a}_{x\text{ kpl}},&&\text{kun }x\text{ on positiivinen kokonaisluku},\\ a^x&=\frac{1}{a^{-x}},&&\text{kun }x\text{ on negatiivinen kokonaisluku},\\ a^x&=\left(a^{1/n}\right)^m=\sqrt[n]{a^m},&&\text{kun }x=\frac{m}{n}\text{ on rationaaliluku}.\end{aligned}\end{split}\]

Laskusäännöt

\[a^{x+y}=a^xa^y,\qquad(a^x)^y=a^{xy}\qquad\text{ja}\qquad a^{-x}=\frac{1}{a^x}\]

ovat voimassa silloin, kun \(x\) ja \(y\) ovat rationaalilukuja.

Vastaavasti kuin muut alkeisfunktiot, myös eksponenttifunktio halutaan kuitenkin määritellä kaikilla reaaliluvuilla. Tämä ei ole aivan yksinkertainen tavoite, ja se voidaan perustella täsmällisesti vasta, kun tarkastellaan reaalilukujen täydellisyysaksioomaa. Epämuodollisesti ajateltuna jos \(a > 0\) ja \(x\) on irrationaaliluku, niin eksponenttifunktion arvo pisteessä \(x\) määritellään tutkimalla eksponenttilausekkeen arvoja hyvin lähelle lukua \(x\) sijoittuvilla rationaaliluvuilla. Nämä arvot lähestyvät jotakin tiettyä reaalilukua, ja lausekkeelle \(a^x\) annetaan tämä arvoksi tämä luku. Kyseessä on erityislaatuinen raja-arvon määritys. Voidaan osoittaa, että näin kaikilla reaaliluvuilla määritelty eksponenttifunktio \(a^x\) noudattaa kaikkia eksponenttien laskusääntöjä.

Eräs eksponenttifunktion keskeinen ominaisuus on, että sen kaikki arvot ovat positiivisia. Väite on ilmeinen rationaalisille eksponenteille, sillä positiivisen reaaliluvun kokonaislukupotenssi, juuri ja käänteisluku ovat positiivisia. Irrationaalisille eksponenteille epämuodollinen perustelu on, että positiiviset luvut (arvot rationaalipisteissä) eivät voi lähestyä negatiivista arvoa. Tähän liittyy myös seuraava tulos.

Lause.

Eksponenttifunktio \(a^x\) toteuttaa seuraavat ehdot.

1. Jos \(a > 1\), niin \(a^x < a^y\) aina, kun \(x < y\).
2. Jos \(0 < a < 1\), niin \(a^x > a^y\) aina, kun \(x < y\).
3. Jos \(a = 1\), niin \(a^x = 1\) aina, kun \(x\) on reaaliluku.

Tätä tulosta voidaan havainnollistaa piirtämällä eksponenttifunktion \(a^x\) kuvaajia eri kantaluvuilla \(a\). Nähdään, että eksponenttifunktion kuvaaja on nouseva, kun \(a > 1\), laskeva, kun \(0 < a < 1\) ja vaakasuora, kun \(a = 1\).

Erityisen merkittävä rooli on sillä eksponenttifunktiolla, jonka kantaluku on Neperin luku \(e \approx 2.718\). Tämän funktion erityisominaisuuksiin palataan myöhemmin.

Määritelmä.

Funktiota \(e^x=\exp(x)\) kutsutaan luonnolliseksi eksponenttifunktioksi.

Samalla tapaa kuin juuren ottaminen on potenssiin korottamiselle käänteinen operaatio, myös eksponenttilausekkeita halutaan usein ”kääntää”. Luvun \(x\) \(a\)-kantaiseksi logaritmiksi kutsutaan sitä lukua \(y\), jolle \(a^y = x\). Eksponenttifunktion ominaisuuksista seuraa, että tällaisia lukuja voi olla vain yksi.

Määritelmä.

Olkoon \(a>0\) ja \(a\ne1\). Jos \(x > 0\), niin ehto \(x = a^y\), jos ja vain jos \(y = \log_a(x)\) määrittelee \(a\)-kantaisen logaritmifunktion \(\log_a(x)\). Jos sekaantumisen vaaraa ei ole, voidaan merkitä myös \(y = \log_ax\).

Olkoon \(a > 0\) ja \(a \not= 1\), sekä \(x > 0\) ja \(y\) reaaliluku. Logaritmifunktion määrittelyehto ilmaistaan usein lyhyesti kirjoittamalla

\[x = a^y \Leftrightarrow y = \log_ax,\]

ja tästä seuraa, että

\[\log_a(a^y)=y\qquad\text{ja}\qquad a^{\log_ax}=x.\]

Lause.

Logaritmifunktio \(\log_ax\) toteuttaa seuraavat ehdot.

1. Jos \(a > 1\), niin \(\log_ax < \log_ay\) aina, kun \(x < y\).
2. Jos \(0 < a < 1\), niin \(\log_ax > \log_ay\) aina, kun \(x < y\).

Koska \(a^0=1\), niin kaikille logaritmeille on voimassa \(\log_a1=0\). Seuraavaan kuvaan on hahmoteltu logaritmifunktion \(\log_ax\) kuvaaja eri kantaluvun \(a\) arvoilla. Vertaa vastaaviin eksponenttifunktion \(a^x\) kuvaajiin: kuvaajat ovat peilikuvia suoran \(y=x\) suhteen.

Kun logaritmifunktion kantaluvuksi asetetaan Neperin luku \(e\), saadaan jälleen aikaan erityinen funktio.

Määritelmä.

Funktiota \(\log_ex = \ln x\) kutsutaan luonnolliseksi logaritmifunktioksi.

Erityisesti logaritmisten asteikkojen sovelluksissa myös Briggsin logaritmina tunnettu \(10\)-kantainen logaritmifunktio \(\log_{10}x = \lg x\) on hyödyllinen. Kun jatkossa puhutaan pelkästä eksponenttifunktiosta tai logaritmifunktiosta täsmentämättä kantalukua, niin tarkoitetaan aina luonnollisia eksponentti- ja logaritmifunktioita \(e^x\) ja \(\ln x\).

Eksponenttien laskusäännöistä voidaan johtaa seuraavat logaritmien laskusäännöt.

\[\begin{split}\begin{aligned} \log_a(xy)&=\log_ax+\log_ay\\ \log_a(x^y)&=y\log_ax\\ \log_a\left(\frac{x}{y}\right)&=\log_ax-\log_ay\end{aligned}\end{split}\]

Todistetaan kaavoista ensimmäinen luonnolliselle logaritmille. Koska

\[xy=e^{\ln(xy)}\qquad\text{ja toisaalta}\qquad xy=e^{\ln x}e^{\ln y}=e^{\ln x+\ln y},\]

niin

\[e^{\ln(xy)}=e^{\ln x+\ln y}.\]

Ottamalla tästä puolittain luonnollisen logaritmin nähdään, että

\[\ln\left(e^{\ln(xy)}\right) = \ln\left(e^{\ln x + \ln y}\right) \Leftrightarrow \ln(xy)=\ln x+\ln y.\]

Oman erityismainintansa ansaitsevat vielä eksponentti- ja logaritmifunktioiden kannanvaihtokaavat, joilla \(a\)-kantaisten eksponentti- ja logaritmifunktioiden käsittely voidaan palauttaa mihin tahansa muuhun kantaan \(b\).

\[a^x=b^{x\log_b a}\qquad\text{ja}\qquad\log_ax=\frac{\log_b x}{\log_b a}\]

Näistä ensimmäinen voidaan perustella suoralla laskulla

\[a^x=\left(e^{\ln a}\right)^x=e^{x\ln a},\]

ja toinen saadaan ottamalla yhtälöstä \(x=a^{\log_ax}\) luonnollinen logaritmi puolittain ja käyttämällä logaritmien laskusääntöjä.

\[\ln x=\ln\left(a^{\log_ax}\right)=\log_ax\ln a\]

Esimerkki.

Laske \(\log_5 125\), \(\log_4 8\) ja \(\log_2 10 + \log_2 12 - \log_2 15\).

Ratkaisu.

Hyödyntämällä logaritmien laskusääntöjä nähdään, että

\[\begin{split}\begin{aligned} &\log_5 125 = \log_5(5^3) = 3\log_5 5 = 3 \cdot 1 = 3\\ &\log_4 8 = \frac{\log_2 8}{\log_2 4} = \frac{\log_2(2^3)}{\log_2(2^2)} = \frac{3}{2}\\ &\log_2 10 + \log_2 12 - \log_2 15 = \log_2(10 \cdot 12) - \log_2 15 = \log_2\left(\frac{10 \cdot 12}{15}\right) = \log_2 8 = 3\end{aligned}\end{split}\]

Esimerkki.

Tehdään \(5~000\) euron kertatalletus, jolle kertyy kuukausittain korkoa \(0{,}2\) %.

1. Muodosta pääoman suuruutta kuvaava funktio \(f(x)\), missä \(x\) on alkutalletuksesta kulunut aika vuosina.
2. Mikä on pääoma 4 vuoden ja 3 kuukauden kuluttua?
3. Milloin pääoman suuruus ylittää \(1~000~000\) euroa?

Ratkaisu.

1. Olkoon \(k\) alkutalletuksesta kulunut aika kuukausina. Ajanhetkellä \(k = 0\) pääoman suuruus on \(5~000\) euroa ja ensimmäisen kuukauden aikana se kasvaa koron ansiosta \(1{,}002\)-kertaiseksi. Sama toistuu joka vuosi, eli kuussa \(k\) pääoman suuruus on \(f(k) = f(k - 1) \cdot 1{,}002\). Tästä päätellään, että alkupääoman avulla ilmaistuna

   \[f(k) = f(0) \cdot 1{,}002^k = 5~000 \cdot 1{,}002^k\]

   euroa. Vuodessa on 12 kuukautta, eli \(k = 12x\), jolloin

   \[f(x) = 5~000 \cdot 1{,}002^{12x}.\]

2. 4 vuotta ja 3 kuukautta vastaa \(4{,}25\) vuotta, eli

   \[f(4{,}25) = 5~000 \cdot 1,002^{12 \cdot 4{,}25} \approx 5536{,}35\]

   euroa.

3. Merkitään \(f(x) = 5~000 \cdot 1{,}002^x \geq 10^6\) ja ratkaistaan epäyhtälö luonnollisen logaritmin avulla.

   \[1{,}002^x \geq \frac{10^6}{5~000} \Leftrightarrow \ln\left(1{,}002^x\right) \geq \ln\left(\frac{10^6}{5~000}\right) \Leftrightarrow x\ln(1{,}002) \geq \ln\left(\frac{10^6}{5~000}\right).\]

   Nyt siis, koska \(\ln(1{,}002) > 0\),

   \[x \geq \frac{\ln\left(\frac{10^6}{5~000}\right)}{\ln(1{,}002)} \approx 2~650.\]

   Pääoman kertymiseen miljonääriksi asti kuluu siis monta ihmisikää!

Tähän asti potenssifunktioita on käsitelty ainoastaan silloin, kun eksponentti on rationaaliluku. Eksponenttifunktion avulla määritelmä voidaan yleistää kaikille reaalilukueksponenteille.

Määritelmä.

Olkoon \(a\in\mathbb R\). Yleinen potenssifunktio \(x^a\) määritellään positiivisille reaaliluvuille \(x\) asettamalla

\[x^a=\left(e^{\ln x}\right)^a=e^{a\ln x}.\]

Palautusta lähetetään...