Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/jax.js
This course has already ended.

Trigonometriset funktiot ja arkusfunktiot

Tutkitaan r-säteisen ympyrän sektoria, jonka kaaren pituus on s. Sektorin kulma (angle) θ mitataan kaaren pituuden suhteena säteeseen.

../_images/alkeisfunktiotympyrasektori.svg

Karteesisen koordinaatiston origokeskistä 1-säteistä ympyrää x2+y2=1 kutsutaan yksikköympyräksi (unit circle). Suunnatun kulman (directed angle) θ rajaaman sektorin toinen kylki on positiivisella x-akselilla, ja toiselle kyljelle päästään kulkemalla yksikköympyrää vastapäivään, jos θ>0, ja myötäpäivään, jos θ<0.

Koska r-säteisen ympyrän kaaren pituus on 2πr, yksikköympyrälle se on 2π, ja täten kulma θ=2π tarkoittaa kokonaista kierrosta yksikköympyrällä vastapäivään. Puoli kierrosta vastapäivään on siis π ja neljänneskierros myötäpäivään π2. Jos θ>2π tai θ<2π, niin ajatellaan kierretyn useampia kierroksia. Kulmat θ, θ+2π, θ2π ja yleisemmin θ+n2π, missä n on kokonaisluku, ovat eri kulmia, mutta vastaavat samaa yksikköympyrän kehän pistettä.

Edellä määritellyn mukaisesti kulma on yksikötön suure, mutta toisinaan selvyyden vuoksi käytetään yksikkönä radiaania (radian). Tällöin yksi kierros yksikköympyrää vastapäivään on 2π rad. Kulman yksikkönä käytetään myös astetta (degree), jolloin samanlainen kierros on 360. Niinpä

1 rad=(180π),eli1=π180 rad.

Seuraavaan on taulukoitu hyödyllisimpiä vastaavuuksia, jotka olisi syytä muistaa tai pystyä päättelemään.

rad 0 π6 π4 π3 π2 2π3 3π4 5π6 π 3π2 2π
0 30 45 60 90 120 135 150 180 270 360

Määritelmä.

Merkitään yksikköympyrässä kulmaa θ vastaavaa kehäpistettä (x,y). Trigonometriset funktiot sini (sine), kosini (cosine) ja tangentti (tangent) määritellään säännöillä

sin(θ)=y,cos(θ)=xjatan(θ)=sin(θ)cos(θ)=yx,

missä tangentti on määritelty vain, jos cos(θ)=x0. Jos sekaantumisen vaaraa ei ole, niin voidaan merkitä myös sin(θ)=sinθ, cos(θ)=cosθ ja tan(θ)=tanθ.

Trigonometriset funktiot siis eräällä tavalla muuntavat yksikköympyrän suunnatun kulman vastaavaksi kehäpisteeksi. Jos kulma on θ, niin sin(θ) on vastaavan kehäpisteen y-koordinaatti ja cos(θ) x-koordinaatti. Luvun tan(θ) tulkinta on yksikköympyrän pisteeseen (1,0) tai (1,0) piirretyn tangenttisuoran ja kulman θ toisen kyljen jatkeen leikkauspisteen y-koordinaatti.

../_images/alkeisfunktiotrigonohavainnollistus.svg

Yksikköympyrästä päätellään sinin ja kosinin nollakohdat.

sinθ=0θ=nπcosθ=0θ=π2+nπ,

kun n on mielivaltainen kokonaisluku. Koska tanθ on määritelty vain silloin, kun cosθ0, niin tangentin määrittelyehto on θπ2+nπ, missä n on kokonaisluku. Tangentin nollakohdat ovat samat kuin sinin nollakohdat.

Koska yksikköympyrän yhtälö on x2+y2=1 ja sen kehäpiste (cosθ,sinθ), niin saadaan trigonometrian peruskaava

cos2θ+sin2θ=1,

missä potenssimerkinnöillä tarkoitetaan lukuja (cos(θ))2 ja (sin(θ))2.

Koulutrigonometriassa sini, kosini ja tangentti määritellään suorakulmaisen kolmion kateettien ja hypotenuusan pituuksien suhteina.

sinθ=vastainenhypotenuusa,cosθ=viereinenhypotenuusa,jatanθ=vastainenviereinen

Aiemmin esitetty yksikköympyrämääritelmä laajentaa trigonometriset funktiot kattamaan kaikki reaaliarvoiset suunnatut kulmat. Joitakin trigonometristen funktioiden arvoja välillä 0<θ<π2 voidaan edelleen päätellä muistikolmioista.

../_images/alkeisfunktiotmuistikolmiot.svg

Jos kulma ei ole välillä 0θπ2, niin trigonometrisen funktion arvon laskeminen voidaan palauttaa tälle välille seuraavien palautuskaavojen avulla.

  1. sin(θ+n2π)=sinθ, cos(θ+n2π)=cosθ ja tan(θ+nπ)=tanθ, kun n on kokonaisluku
  2. sin(θ)=sinθ ja cos(θ)=cosθ
  3. sin(θ+π)=sinθ ja cos(θ+π)=cosθ
  4. cosθ=sin(π2θ) ja sinθ=cos(π2θ)

Kaavat voidaan päätellä yksikköympyrästä, sillä esimerkiksi

  • kulmia θ ja θ+n2π vastaa samaa kehäpiste ja
  • kulmia θ ja θ vastaavilla kehäpisteillä on sama x-koordinaatti mutta y-koordinaatit ovat toistensa vastalukuja.

Keskustelun selkeyttämiseksi xy-taso jaetaan neljään koordinaattineljännekseen.

../_images/alkeisfunktiotkoordinaattineljannekset.svg

Trigonometristen funktioiden merkit eri koordinaattineljänneksiin osuvilla kulmilla voidaan nyt koota seuraaviksi kaavioiksi.

../_images/alkeisfunktiottrigmerkit.svg

Esimerkki.

Laske cos(2π3).

Ratkaisu.

Kulma 2π3=ππ3 on toisessa koordinaattineljänneksessä, jolloin sen kosinin laskeminen palautuu ensimmäiseen neljännekseen ja muistikolmioon palautuskaavojen avulla seuraavasti:

cos(2π3)=cos(ππ3)=cos(π3)=cos(π3)=12.

Vaihtoehtoinen tapa on piirtää suorakulmainen kolmio yksikköympyrän toiseen neljännekseen ja päätellä palauttaminen kulmaan π3 suoraan siitä.

Esimerkki.

Ratkaise yhtälö 3sin2xcos2x=2, kun 0xπ.

Ratkaisu.

Koska cos2x=1sin2x, niin yhtälö saadaan muotoon

3sin2x1+sin2x=24sin2x=3sin2x=34sinx=±32.

Koska halutaan, että 0xπ, niin rajoitutaan xy-tason ensimmäiseen ja toiseen neljännekseen, joissa sini on ei-negatiivinen. Täten riittää riittää hakea yhtälön sinx=32 kaikki ratkaisut tällä välillä. Siis x=π3 tai x=2π3.

Palautuskaavojen mukaan trigonometriset funktiot ovat jaksollisia, eli ne toistavat samat arvot säännöllisin välein. Sinin ja kosinin jakso on 2π ja tangentin jakso on π. Yksikköympyrän kehäpisteiden koordinaatit voidaan kääntää trigonometristen funktioiden kuvaajiksi.

../_images/alkeisfunktiotsinikosikuvaaja.svg
../_images/alkeisfunktiottangkuvaaja.svg

Palautuskaavoilla sin(θ)=sinθ ja cos(θ)=cosθ on erityinen merkitys.

Määritelmä.

Funktio f on parillinen, jos f(x)=f(x), ja pariton, jos f(x)=f(x) aina kun f(x) ja f(x) on määritelty.

Geometrisesti parillisuus tarkoittaa sitä, että funktion kuvaaja on peilisymmetrinen y-akselin suhteen, ja parittomuus sitä, että kuvaaja on kiertosymmetrinen origon suhteen. Esimerkiksi cosx, 1, x2, x4 ja x6 ovat parillisia funktioita, kun taas sinx, tanx, x, x3 ja x5 ovat parittomia funktioita. Valittu funktio ei yleensä ole parillinen eikä pariton.

Esimerkki.

  1. Osoita, että f(x)=x2sinx on pariton.
  2. Onko f(x)=(x+1)2 parillinen tai pariton?
Ratkaisu.
  1. Suoralla laskulla nähdään, että

    f(x)=(x)2sin(x)=x2(sinx)=x2sinx=f(x),

    joten f on pariton funktio.

  2. Koska f(1)=0 ja f(1)=4, niin funktio f ei ole parillinen eikä pariton.

Seuraavat sinin ja kosinin summakaavat ovat ratkaisevan tärkeitä myöhemmin kompleksilukujen käsittelyssä.

Lause.

sin(θ+φ)=sinθcosφ+cosθsinφ ja cos(θ+φ)=cosθcosφsinθsinφ.

Todistus.

Todistetaan sinin summakaava geometrisesti silloin, kun θ, φ ja θ+φ sijaitsevat ensimmäisessä neljänneksessä. Piirretään avuksi kuva.

../_images/alkeisfunktiotsummakaavatod.svg

Lasketaan siis kulmaa θ+φ vastaavan kehäpisteen y-koordinaatti. Piirretään tästä kehäpisteestä kohtisuora jana kulman θ vasemmalle kyljelle, sekä x-akselin suuntainen suora niiden leikkauspisteen kautta. Piirretään vielä kulman θ+φ kehäpisteeltä kohtisuora jana tälle suoralle. Kuvan mukaisesti muodostuu kaksi suorakulmaista kolmiota, joiden hypotenuusien pituudet ovat sinφ ja cosφ, sekä toinen terävistä kulmista θ. Tällöin halutun kehäpisteen y-koordinaatti on kahden kateetin pituuden summana

sin(φ+θ)=sinθcosφ+cosθsinφ.

Muita kuin ensimmäisen neljänneksen tapauksia varten voidaan soveltaa palautuskaavoja, kunnes edellämainitut ehdot toteutuvat, ja näin todistus laajenee kaikille kulmille θ ja φ. Kosinin summakaava todistuu vastaavasti.

Summakaavojen, palautuskaavojen ja peruskaavan avulla voidaan johtaa lukuisa määrä taulukkokirjoissa lueteltuja trigonometrisiin funktioihin liittyviä kaavoja, kuten kaksoiskulmakaavat

sin(2θ)=2sinθcosθjacos(2θ)=cos2θsin2θ

ja niiden johdannaiset

sin2θ=12(1cos(2θ))jacos2θ=12(1+cos(2θ)).

Lisäksi kulmien π3, π4 ja π6 yhdistelmien sinin ja kosinin tarkkoja arvoja voidaan laskea summakaavojen avulla.

Esimerkki.

Laske kulman 15 sinin, kosinin ja tangentin tarkat arvot.

Ratkaisu.

Nähdään, että 15=4530=π4π6 radiaania. Täten

sin(15)=sin(π4)cos(π6)+cos(π4)sin(π6)=22322212=624cos(15)=cos(π4)cos(π6)sin(π4)sin(π6)=2232+2212=6+24tan(15)=sin(15)cos(15)=626+2=(62)24=82124=23.

Joskus sinin, kosinin ja tangentin käänteisluvuille käytetään nimityksiä kosekantti, sekantti ja kotangentti, ja merkitään

cscθ=1sinθ,secθ=1cosθ,cotθ=1tanθ=cosθsinθ.

Näiden avulla monimutkaisia trigonometrisia lausekkeita voidaan ilmaista lyhyemmin.

Jos sini ja kosini muuntavat kulman yksikköympyrän kehäpisteen koordinaateiksi, niin voidaanko tämä kääntää ympäri? Onko mahdollista määrittää kulma kehäpisteen koordinaatista?

Määritelmä.

Merkitään yksikköympyrässä kulmaa θ vastaavaa kehäpistettä (x,y). Arkusfunktiot arkussini, arkuskosini ja arkustangentti määritellään säännöillä

arcsin(y)=θ,arccos(x)=θjaarctan(yx)=θ,

missä arkustangentti on määritelty vain, jos x0. Näistä funktioista käytetään joskus myös merkintöjä arcsin=sin1, arccos=cos1 ja arctan=tan1, joita ei tule sekoittaa potenssiin 1.

Jos tiedetään vaikkapa yksikköympyrän kehäpisteen x-koordinaatti, niin y-koordinaatille on kaksi mahdollista vaihtoehtoa, y=±1x2. Täten myös arkuskosinin arvolle on kaksi mahdollista vaihtoehtoa! Vastaavasti kuin juurifunktion määritelmässä sovitaan, että arkuskosinin arvoksi asetetaan ei-negatiivinen. Arkussinin ja arkustangentin tapauksissa sovitaan, että niiden arvo sijoittuu aina kulmien π2 ja π2 väliin.

Koska arkussini ja arkuskosini kuvaavat yksikköympyrän kehäpisteen koordinaatit kulmalle, niin niiden syötteen täytyy aina olla lukujen 1 ja 1 välissä! Esimerkiksi lukua arcsin(π) ei ole määritelty. Arkustangentin tapauksessa tällaista rajoitusta ei ole, sillä kehäpisteiden koordinaattien suhde yx käy läpi kaikki reaaliset arvot. Seuraavassa on esitetty kunkin arkusfunktion kuvaaja.

../_images/alkeisfunktiotarkussinikosikuvaajat.svg
../_images/alkeisfunktiotarkustangkuvaaja.svg

Laskuissa toisiaan vastaavat trigonometriset ja arkusfunktiot kumoavat toisensa, kunhan molemmat on määritelty, eli esimerkiksi

arcsin(sin(x))=xjasin(arcsin(y))=y

silloin, kun π2xπ2 ja 1y1. Kirjoita vastaavat tulokset kosinille ja tangentille!

Esimerkki.

Laske arcsin(12), arcsin(12) ja arccos(32).

Ratkaisu.

On siis löydettävä sellaiset kulmat, joiden sini tai kosini on mainittu luku. Muistikolmiosta nähdään, että

arcsin(12)=π6.

Merkitään arcsin(12)=x ja otetaan sini molemmin puolin. Tällöin

sin(arcsin(12))=12=sin(x),

joten 12=sin(x)=sin(x) ja edelleen

arcsin(12)=π6=x=arcsin(sin(x)).

Siis edellisen laskun nojalla arcsin(12)=π6. Vastaavasti viimeistä varten muistetaan, että cos(π6)=32, joten

cos(5π6)=cos(ππ6)=cos(π6)=32

ja arccos(32)=5π6.

Posting submission...