Ääriarvot ja funktion kulku

Derivaatan tärkein sovellus matematiikassa on funktion kuvaajan kulun tutkiminen. Piirteitä, joista ollaan kiinnostuneita, ovat erityisesti funktion kasvavuus tai vähenevyys kysytyillä väleillä, sekä niiden pisteiden sijainnit joissa funktio saa muita pisteitä suurempia tai pienempiä arvoja.

Määritelmä.

Reaalifunktiolla \(f : A\to\mathbb R\) on määrittelyjoukon \(A\) pisteessä \(c\)

• (globaali) maksimi, jos \(f(x)\le f(c)\) kaikilla \(x\in A\),
• (globaali) minimi, jos \(f(x)\ge f(c)\) kaikilla \(x\in A\),
• lokaali maksimi, jos on olemassa pisteen \(c\) sellainen ympäristö \(I\), että \(f(x)\le f(c)\) kaikilla \(x\in I\cap A\),
• lokaali minimi, jos on olemassa pisteen \(c\) sellainen ympäristö \(I\), että \(f(x)\ge f(c)\) kaikilla \(x\in I\cap A\).

Pistettä \(c\) kutsutaan ääriarvopisteeksi (minimipisteeksi tai maksimipisteeksi) ja arvoa \(f(c)\) ääriarvoksi (minimiarvoksi tai maksimiarvoksi). Funktion \(f\) globaalia maksimiarvoa joukossa \(A\) merkitään \(\max_Af\) tai \(\max f\) ja minimiarvoa \(\min_Af\) tai \(\min f\).

Tyypillisesti tarkastelujoukko on suljettu ja rajoitettu väli, eli \(A=[a,b]\).

Otetaan seuraava, varsin intuitiivinen ääriarvolause käyttöön ilman todistusta. Täsmällinen todistus nojaa reaalilukujoukon supremumin käsitteeseen ja reaalilukujen täydellisyysaksioomaan.

Lause.

Suljetulla ja rajoitetulla välillä jatkuva funktio saavuttaa suurimman ja pienimmän arvonsa tällä välillä. Toisin sanottuna, jos funktio \(f\) on jatkuva välillä \([a,b]\), niin löydetään sellaiset välin \([a, b]\) pisteet \(c\) ja \(d\), että

\[f(c) \leq f(x) \leq f(d),\]

kun \(x \in [a, b]\).

Seuraavat esimerkit osoittavat, että kaikki ääriarvolauseen oletukset (väli on suljettu, väli on rajoitettu ja funktio on jatkuva) ovat tarpeen.

Esimerkki.

1. Määritellään funktio \(f : [-1, 2) \to \mathbb R\) asettamalla \(f(x) = x^2\). Tällöin \(f\) on jatkuva ja väli on rajoitettu, mutta ei suljettu. Funktiolla \(f\) on minimi \(f(0) = 0\), mutta ei maksimia.

2. Määritellään funktio \(g : [-1, \infty) \to \mathbb R\) asettamalla \(g(x) = x^2\). Tällöin \(g\) on jatkuva ja väli on suljettu, mutta ei rajoitettu. Funktiolla \(g\) on minimi \(g(0) = 0\), mutta ei maksimia.

3. Määritellään funktio \(h : [-1, 2] \to \mathbb R\) asettamalla

   \[\begin{split}h(x) = \begin{cases} -2x - 1, & \text{kun } x < 0 \\ x^2, & \text{kun } x \geq 0. \end{cases}\end{split}\]

   Tällöin väli on suljettu ja rajoitettu, mutta \(h\) ei ole jatkuva. Funktiolla \(h\) on maksimi \(h(2) = 4\), mutta ei minimiä.

Lause.

Jos piste \(c\) on funktion \(f\) lokaali ääriarvokohta ja \(f\) on derivoituva pisteessä \(c\), niin \(f'(c)=0\).

Todistus.

Oletetaan, että \(c\) on samassa pisteessä derivoituvan funktion \(f\) lokaali maksimipiste. Koska \(f\) on derivoituva, niin

\[f'(c)=\lim_{h\to0-}\frac{f(c+h)-f(c)}{h}=\lim_{h\to0+}\frac{f(c+h)-f(c)}{h}\]

ja koska \(c\) on lokaali maksimipiste, niin \(f(c+h) - f(c) \leq 0\) pienillä reaaliluvuilla \(h\). Jos nyt \(h > 0\), niin

\[\frac{f(c+h)-f(c)}{h}\le0\]

ja tämän vuoksi myös

\[f'(c)=\lim_{h\to0+}\frac{f(c+h)-f(c)}{h}\le0.\]

Vastaavasti, jos \(h<0\), niin

\[\frac{f(c+h)-f(c)}{h}\ge0\]

ja siten

\[f'(c)=\lim_{h\to0-}\frac{f(c+h)-f(c)}{h}\ge0.\]

On osoitettu, että \(f'(c)\le0\) ja \(f'(c)\ge0\), joten on oltava \(f'(c)=0\). Minimikohdan tapauksessa todistus on vastaava. \(\square\)

Edellisen lauseen nojalla siis ne funktion \(f\) ääriarvokohdat, joissa \(f\) on derivoituva, löytyvät derivaatan nollakohtien joukosta. Jokainen derivaatan nollakohta ei kuitenkaan ole ääriarvokohta.

Esimerkki.

Olkoon \(f(x)=\dfrac14x^4-\dfrac43x^3+2x^2-1\). Haetaan derivaatan \(f'(x)=x^3-4x^2+4x\) nollakohdat.

\[\begin{split}\begin{aligned} &x^3-4x^2+4x=0\\ \Leftrightarrow\quad &x(x^2-4x+4)=0\\ \Leftrightarrow\quad &x=0\quad\text{tai}\quad x^2-4x+4=0\\ \Leftrightarrow\quad &x=0\quad\text{tai}\quad x=2\end{aligned}\end{split}\]

Kuvan avulla arvataan, että näistä \(x=0\) on lokaali minimipiste, mutta \(x=2\) ei ole lokaali ääriarvopiste. Tarkemmat perustelut jätetään myöhemmäksi.

Määritelmä.

Pistettä \(c\), jossa \(f'(c)=0\) tai jossa \(f\) ei ole derivoituva, kutsutaan funktion \(f\) kriittiseksi pisteeksi.

Kriittisten pisteiden avulla voidaan kuvata myös ääriarvoja, jotka eivät osu pisteisiin, joissa funktio on derivoituva.

Lause.

Olkoon \(f : [a,b] \to \mathbb R\) jatkuva funktio ja olkoon \(c\) funktion \(f\) ääriarvopiste. Tällöin \(c\) on joko kriittinen piste tai välin \([a,b]\) päätepiste.

Tämä tulos voidaan vihdoin muotoilla jatkuvan funktion \(f\) globaalien ääriarvojen etsintäohjeeksi suljetulla välillä \([a,b]\).

1. Etsi kriittiset pisteet, eli derivaatan nollakohdat ja pisteet, joissa \(f\) ei ole derivoituva.
2. Laske funktion \(f\) arvo kriittisissä pisteissä ja välin päätepisteissä \(a\) ja \(b\).
3. Poimi saamistasi arvoista suurin ja pienin.

Esimerkki.

Etsi funktion \(f(x) = x^3 - 3x^2 + 9x + 2\) suurin ja pienin arvo välillä \([-2, 2]\).

Ratkaisu.

Funktio \(f\) on derivoituva ja \(f'(x)=3x^2-6x-9 = 3(x + 1)(x - 3)\). Derivaatan nollakohdat ovat siis \(x=-1\) ja \(x=3\), joista vain ensin mainittu on tarkasteluvälillä. Lasketaan funktion \(f\) arvot päätepisteissä ja kriittisessä pisteessä.

\[f(-2) = 0, \qquad f(-1) = 7, \qquad f(2) = -20\]

Täten \(\min_{[-2, 2]}f = -20\) ja \(\max_{[-2, 2]} = 7\).

Esimerkki.

Määritä funktion \(f(x)=x^{2/3}-x\) suurin ja pienin arvo, kun \(-1\le x\le\frac{1}{2}\).

Ratkaisu.

Funktio \(f\) on jatkuva ja \(f'(x)=\frac{2}{3}x^{-1/3}-1\), kun \(x\ne0\). Pisteessä \(x=0\) funktio \(f\) ei ole derivoituva, koska \(|f'(x)|\to\infty\), kun \(x\to0\) (perustelu sivuutetaan). Ratkaistaan derivaatan nollakohdat.

\[\frac23x^{-1/3}-1=0 \Leftrightarrow x^{-1/3}=\frac32 \Leftrightarrow x=\left(\frac32\right)^{-3}=\frac{8}{27}.\]

Välille \(\left[-1,\frac{1}{2}\right]\) sijoittuu siis kriittiset pisteet \(0\) ja \(\frac{8}{27}\). Lasketaan funktion \(f\) arvot päätepisteissä ja kriittisissä pisteissä.

\[f(-1) = 2, \qquad f(0) = 0, \qquad f\left(\frac{8}{27}\right) = \frac{4}{27}, \qquad f\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{2 - \sqrt[3]{4}}{2\sqrt[3]{4}}\]

Täten \(\min_{\left[-1, \frac{1}{2}\right]} = 0\) ja \(\max_{\left[-1, \frac{1}{2}\right]} = 2\). Funktion kuvaaja hahmotellaan myöhemmässä esimerkissä.

Lause.

Oletetaan, että funktio \(f\) on jatkuva välillä \([a,b]\) ja derivoituva välillä \((a,b)\). Jos \(f(a)=f(b)=0\), niin \(f'(c)=0\) jollakin \(c\in(a,b)\). Tämä on Rollen lause.

Todistus.

Ääriarvolauseen mukaan \(f\) saavuttaa maksiminsa ja miniminsä välillä \([a,b]\). Tarkastellaan kolmea tapausta.

1. \(f = 0\) välillä \((a, b)\). Tällöin myös \(f' = 0\) välillä \((a, b)\), joten löydetään \(c \in (a, b)\), jolle \(f'(c) = 0\).
2. \(f\) saa positiivisen arvon välillä \((a, b)\). Tällöin \(f\) ei voi saada maksimiaan välin päätepisteessä, eli maksimikohta \(c\) on välillä \((a, b)\). Toisaalta nyt aiemman lauseen nojalla \(f'(c) = 0\).
3. \(f\) saa negatiivisen arvon välillä \((a, b)\). Tällöin \(f\) ei voi saada minimiään välin päätepisteessä, ja päätellään kuten edellisessä kohdassa.

Siis löydetään välin \((a, b)\) piste \(c\), jolle \(f'(c) = 0\). \(\square\)

Rollen lause voidaan yleistää differentiaalilaskennan väliarvolauseeksi.

Lause.

Oletetaan, että funktio \(f\) on jatkuva välillä \([a,b]\) ja derivoituva välillä \((a,b)\). Tällöin

\[f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\]

jollakin \(c \in (a, b)\). Tämä on differentiaalilaskennan väliarvolause.

Todistus.

Määritellään funktio \(F : [a, b] \to \mathbb R\) asettamalla

\[F(x)=f(x)-f(a)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a),\]

jolloin sen derivaatta on

\[F'(x) = f'(x) - \frac{f(b) - f(a)}{b - a}.\]

Nyt \(F(a) = f(a) - f(a) = 0\) ja \(F(b) = f(b) - f(a) - (f(b) - f(a)) = 0\), sekä \(F\) on jatkuvien ja derivoituvien funktioiden summana jatkuva välillä \([a, b]\) ja derivoituva välillä \((a, b)\). Funktio \(F\) siis toteuttaa Rollen lauseen oletukset, joten on olemassa sellainen välin \((a, b)\) piste \(c\), että

\[F'(c)=f'(c)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=0 \Leftrightarrow f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}.\]

\(\square\)

Geometrisesti lauseen väite on ilmeinen: jatkuvan ja derivoituvan funktion kuvaajan tangentin kulmakerroin on jossakin välin pisteessä \(c\) sama kuin pisteiden \((a,f(a))\) ja \((b,f(b))\) kautta kulkevan suoran kulmakerroin.

Väliarvolause perustelee keskeiset funktion kulkua kuvailevat tulokset.

Lause.

Oletetaan, että funktio \(f\) on jatkuva välillä \([a,b]\), ja että \(f'(x)=0\) aina, kun \(x\in(a,b)\). Tällöin \(f\) on vakiofunktio.

Todistus.

Valitaan piste \(x\) väliltä \((a, b)\) ja sovelletaan differentiaalilaskennan väliarvolausetta välillä \([a,x]\). Jollakin \(c\in(a,x)\) on toteuduttava

\[f'(c)=\frac{f(x)-f(a)}{x-a} = 0,\]

ja täten \(f(x)-f(a)=0\) eli \(f(x)=f(a)\) jokaisella \(x \in (a, b)\), missä \(f(a)\) on vakio. Funktio \(f\) saa pisteessä \(a\) luonnollisesti arvon \(f(a)\), ja jatkuvuuden nojalla \(f(b) = f(a)\). \(\square\)

Lause.

Oletetaan, että funktio \(f\) on jatkuva välillä \([a,b]\) ja että \(f'(x)>0\) (\(f'(x)<0\)) aina, kun \(x\in(a,b)\). Tällöin \(f\) on aidosti kasvava (aidosti vähenevä) välillä \([a,b]\).

Todistus.

Oletetaan, että \(f'(x)>0\) aina, kun \(x\in(a,b)\) (tapaus \(f'(x)<0\) todistuu vastaavasti). On osoitettava, että jos \(u, v \in [a, b]\) ja \(u < v\), niin \(f(u) < f(v)\). Sovelletaan differentiaalilaskennan väliarvolausetta välillä \([u,v]\). Jollakin \(c \in (u, v)\) on toteuduttava

\[f'(c)=\frac{f(v)-f(u)}{v-u} \Leftrightarrow f(v)-f(u)=f'(c)(v-u).\]

Mutta koska \(f'(c)>0\) ja \(v-u>0\), niin \(f(v)-f(u)>0\) ja siten \(f(u)<f(v)\). \(\square\)

Esimerkki.

Funktion \(f(x)=x^3-3x+1\) derivaatan \(f'(x)=3x^2-3\) nollakohdat ovat \(x=-1\) ja \(x=1\). Koska lisäksi derivaattafunktion kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli, tiedetään että \(f'\) saa negatiivisia arvoja välillä \((-1, 1)\) ja positiivisia muualla. Täten funktio \(f\) on siis aidosti kasvava väleillä \((-\infty, -1)\) ja \((1, \infty)\), sekä aidosti vähenevä välillä \((-1, 1)\). Tieto voidaan koota myös kuvan mukaiseksi merkkikaavioksi, josta voidaan myös päätellä, onko kriittisessä pisteessä lokaali minimi tai maksimi.

Samaa menetelmää voidaan yrittää soveltaa myös silloin, kun \(f\) ei ole derivoituva koko välillä, tai sen määrittelyjoukko ei ole suljettu ja rajoitettu väli. Tällöin etsitään nämä ehdot täyttäviä määrittelyjoukon osavälejä, ja otetaan muulla tavalla huomioon hankalat pisteet.

Esimerkki.

Tutkitaan aiemman esimerkin funktion \(f(x)=x^{2/3}-x\) kulkua. Derivaatan \(f'(x)=\frac23x^{-1/3}-1\) ainoa nollakohta on \(\frac{8}{27}\). Lisäksi \(f\) ei ole derivoituva pisteessä \(0\). Funktion kuvaaja ja merkkikaavio voidaan esittää kuten alla.

Esimerkki.

Tutkitaan funktion

\[f(x)=\frac{1}{x^2-x}\]

kulkua. Nimittäjän \(x^2-x=x(x-1)\) nollakohdissa \(0\) ja \(1\) funktio \(f\) ei ole määritelty. Derivaatan

\[f'(x)=\frac{-2x+1}{(x^2-x)^2}\]

nimittäjä on määrittelyjoukossa positiivinen, joten derivaatan merkki määräytyy osoittajasta \(-2x+1\), jonka ainoa nollakohta on \(x=\frac{1}{2}\). Epäjatkuvuuskohdat on kuitenkin syytä ottaa huomioon merkkikaaviossa erikseen.

Differentiaalilaskennan väliarvolause antaa työkalun, jolla käytännössä lasketaan toispuoleiset derivaatat.

Lause.

Oletetaan, että funktio \(f\) on jatkuva välillä \([a,b]\) ja derivoituva välillä \((a,b)\). Jos derivaatalla on olemassa raja-arvo

\[L=\lim_{x\to a+}f'(x),\]

niin funktiolla \(f\) on pisteessä \(a\) oikeanpuoleinen derivaatta \(f'(a+)\) ja \(f'(a+)=L\). Vastaava tulos on voimassa vasemmanpuoleiselle derivaatalle \(f'(b-)\) pisteessä \(b\).

Todistus.

Oletetaan, että derivaattafunktiolla on oikeanpuoleinen raja-arvo \(L\) pisteessä \(a\). Oletetaan lisäksi, että \(x\in(a,b)\) ja sovelletaan differentiaalilaskennan väliarvolausetta välillä \([a,x]\). Nyt siis

\[\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=f'(c(x))\]

jollakin ylärajasta \(x\) riippuvalla välin \((a, x)\) pisteellä \(c(x)\). Toisaalta nyt

\[f'(a+) = \lim_{x \to a+}\frac{f(x) - f(a)}{x - a} = \lim_{x \to a+}f'(c(x)),\]

missä \(c(x) \to a+\), kun \(x \to a+\). Täten siis oletuksen nojalla

\[f'(a+) = \lim_{c \to a+}f'(c) = L.\]

\(\square\)

Lause tarkoittaa, että avoimella välillä derivoituvan funktion toispuoleiset derivaatat välin päätepisteissä voidaan laskea suoraan derivaattafunktion toispuoleisina raja-arvoina, jos kyseiset raja-arvot ovat olemassa.

Esimerkki.

Tarkastellaan itseisarvofunktiota \(f(x)=|x|\). Koska

\[\begin{split}f(x)=\begin{cases} -x,&\text{kun }x<0\\ x,&\text{kun }x\ge0,\end{cases}\end{split}\]

niin \(f(x)\) on derivoituva väleillä \((-\infty, 0)\) ja \((0, \infty)\), ja

\[\begin{split}f'(x)=\begin{cases} -1,&\text{kun }x<0\\ 1,&\text{kun }x>0.\end{cases}\end{split}\]

Funktio \(f\) on jatkuva pisteessä \(0\), joten edellisen lauseen nojalla toispuoleiset derivaatat siinä ovat

\[f'(0-)=\lim_{x\to0-}f'(x)=-1\ne1=\lim_{x\to0+}f'(x)=f'(0+).\]

Täten \(f\) ei ole derivoituva, mikä näkyy terävänä kulmana funktion \(f\) kuvaajassa.

Esimerkki.

Määritä ne vakioiden \(a\) ja \(b\) arvot, joilla funktio

\[\begin{split}f(x)= \begin{cases} x+a,&\text{ kun }x<1\\ bx^2,&\text{ kun }x\ge1 \end{cases}\end{split}\]

on derivoituva kaikkialla.

Ratkaisu.

Koska polynomifunktiot ovat derivoituvia, funktio \(f\) on jo valmiiksi derivoituva, kun \(x\ne1\). Derivoituvuuden edellytys on jatkuvuus, ja jotta \(f\) olisi jatkuva pisteessä \(x=1\), on oltava

\[\lim_{x\to1-}f(x)=\lim_{x\to1-}(x+a)=1+a=b=f(1).\]

Edellisen lauseen nojalla derivoituvuuteen pisteessä \(x=1\) vaaditaan

\[f'(1-)=\lim_{x\to1-}f'(x)=\lim_{x\to1-}1=1=2b=\lim_{x\to1+}2bx=\lim_{x\to1+}f'(x)=f'(1+).\]

Näistä kahdesta ehdosta muodostuu yhtälöpari

\[\begin{split}\begin{cases} 1+a=b\\ 1=2b, \end{cases}\end{split}\]

jonka ratkaisuksi saadaan \(a=-\frac{1}{2}\) ja \(b=\frac{1}{2}\). Geometrisesti ongelmassa on kyse suoran ja paraabelin liittämisestä pisteessä \(x=1\) siten, että kuvaajaan ei jää kulmaa.

Huomautus.

1. Toispuoleisia derivaattoja kuvaavan lauseen oletus jatkuvuudesta on oleellinen. Aiemman esimerkin funktion \(h\) derivaatan

   \[\begin{split}h'(x) = \begin{cases} -2, & \text{kun } x < 0 \\ 2x, & \text{kun } x > 0 \end{cases}\end{split}\]

   vasemmanpuoleinen raja-arvo pisteessä \(0\) on \(\lim\limits_{x\to0-}h'(x)=-2\), mutta erotusosamäärän raja-arvoa

   \[\lim_{x \to 0-}\frac{h(x) - h(0)}{x - 0} = -2 - \lim_{x \to 0-}\frac{1}{x},\]

   ja täten vasemmanpuoleista derivaattaa \(h'(0-)\) ei ole olemassa.

2. Oletus \(L = \lim\limits_{x \to a+}f'(x)\) tarkoittaa, että derivaattafunktio \(f'\) on oikealta jatkuva pisteessä \(a\). Tämä ei kuitenkaan aina ole välttämätöntä, sillä esimerkiksi funktiolle

   \[\begin{split}f(x)=\begin{cases} x^2\sin\left(\dfrac{1}{x}\right),&\text{kun }x\ne0\\ 0,&\text{kun }x=0, \end{cases}\end{split}\]

   on kuristusperiaatteen nojalla

   \[f'(0) = \lim_{x \to 0}\frac{f(x) - f(0)}{x - 0} = \lim_{x \to 0}x\sin\left(\frac{1}{x}\right) = 0,\]

   mutta raja-arvoa \(\lim\limits_{x\to0+}f'(x)\) ei ole olemassa.

Joskus funktion \(f : \mathbb R\to\mathbb R\) kuvaajan hahmottelemisessa voidaan käyttää apuna sen asymptoottista käyttäytymistä. Sanotaan, että suora \(y=ax+b\) on kuvaajan \(y=f(x)\) asymptootti, jos

\[\lim_{x\to\infty}\left(f(x)-(ax+b)\right)=0 \qquad\text{tai}\qquad \lim_{x\to-\infty}\left(f(x)-(ax+b)\right)=0.\]

Jos \(a = 0\), on kyseessä vaakasuora asymptootti. Tähän luokkaan kuuluva asymptootti kuvaa siis funktion käytöstä hyvin suurilla tai pienillä reaaliluvuilla: funktion kuvaaja lähestyy (mutta ei saavuta) asymptoottiaan, kun \(x\) kasvaa rajatta.

Suora \(x=a\) on puolestaan kuvaajan \(y=f(x)\) pystysuora asymptootti, jos

\[\lim_{x\to a-}f(x)=\pm\infty \qquad\text{tai}\qquad \lim_{x\to a+}f(x)=\pm\infty.\]

Esimerkki.

Hahmotellaan funktion \(f(x)=\dfrac{x^2-2x-3}{x+2}\) kuvaaja. Koska \(x + 2 \to 0\), kun \(x \to 2\pm\), niin

\[\lim_{x\to-2\pm}f(x)=\pm\infty\]

ja kuvaajalla on pystysuora asymptootti \(x=-2\). Derivaatan

\[f'(x)=\frac{(2x-2)(x+2)-(x^2-2x-3)}{(x+2)^2}=\frac{x^2+4x-1}{(x+2)^2}\]

nollakohdiksi saadaan ratkaisukaavalla \(x=-2\pm\sqrt5\). Lisäksi funktiota \(f\) ei ole määritelty, kun \(x=-2\). Kulkukaavioksi saadaan seuraavanlainen taulukko.

Suoritetaan funktion \(f\) määrittelevän lausekkeen jakolasku.

\[\begin{split}\begin{array}{r@{}l} &\;\phantom{x^2 - 2}x - 4\\ x+2\;|&\overline{\;x^2-2x-3} \\ &\underline{\;x^2+2x} \\ &\;\;\phantom{x^2}{-4x-3} \\ &\;\phantom{x^2}\underline{\;-4x-8} \\ &\;\;\phantom{x^2-2x-}5 \end{array}\end{split}\]

Jakojäännökseksi jää \(5\), joten

\[f(x)=\frac{x^2-2x-3}{x+2}=x-4+\frac{5}{x+2}.\]

Tässä \(\lim\limits_{x\to\pm\infty}\dfrac{5}{x+2}=0\), eli suora \(y=x-4\) on asymptootti.

Kun piirretään asymptootit, lasketaan funktion \(f\) arvot derivaatan nollakohdissa ja huomataan, että \(f(x)<x-4\), kun \(x<-2\) ja \(f(x)>x-4\), kun \(x>-2\), niin voidaan hahmotella kuvaaja.

Esimerkki.

Halutaan valmistaa puolen litran vetoinen suoran ympyrälieriön muotoinen säilyketölkki. Vaippa ja pohjat valmistetaan ohuesta metallilevystä. Miten tölkin korkeus ja pohjan halkaisija on valittava, jotta levyä kuluisi mahdollisimman vähän? Vaipan ja pohjan liitoskohdissa tarvittaviin taitoksiin kuluva levy jätetään yksinkertaisuuden vuoksi huomiotta.

Ratkaisu.

Olkoon tölkin korkeus \(h\) (cm) ja pohjan halkaisija \(d\) (cm). Tölkin tilavuudeksi halutaan 500 kuutiosenttimetriä, joten merkitään

\[\pi\left(\frac{d}{2}\right)^2h=500.\]

Ilmaistaan tölkin korkeus pohjan halkaisijan avulla.

\[h=\frac{2000}{\pi d^2}\]

Kulunutta levyn määrää on kätevä mitata tölkin pinta-alalla, joka on lierion vaipan ja kahden pohjaympyrän alan summa, eli

\[\begin{aligned} A = \pi dh+2\pi\left(\frac{d}{2}\right)^2 =\frac{2000}{d}+\frac{\pi}{2}d^2 = A(d).\end{aligned}\]

On selvitettävä funktion \(A(d)\) pienin arvo välillä \((0, \infty)\). Funktio \(A\) on jatkuva tällä välillä, joten riittää tarkastella vain derivaatan nollakohtia. Lasketaan derivaatta

\[A'(d)=-\frac{2000}{d^2}+\pi d\]

ja sen nollakohta

\[\begin{aligned} \frac{2000}{d^2}=\pi d \quad\Leftrightarrow\quad d=\sqrt[3]{\frac{2000}{\pi}}=10\sqrt[3]{\frac{2}{\pi}}\end{aligned}\]

Koska \(-2000/d^2\) ja \(\pi d\) ovat kasvavia funktioita joukossa \((0, \infty)\), niin derivaatta on kasvava funktio ja siten negatiivinen pisteen \(10\sqrt[3]{\frac{2}{\pi}}\) vasemmalla ja positiivinen oikealla puolella. Tämän vuoksi funktion \(A\) minimi saavutetaan kohdassa \(10\sqrt[3]{\frac{2}{\pi}}\). Vastaava korkeus on

\[h=\frac{2000}{\pi\left(10\sqrt[3]{\frac{2}{\pi}}\right)^2}=10\sqrt[3]{\frac{2}{\pi}} = d.\]

Sekä tölkin korkeudeksi että pohjan halkaisijaksi on siis valittava \(10\sqrt[3]{\frac{2}{\pi}}\), eli noin 8,6 cm.

Palautusta lähetetään...