- MAT-04601
- 10. Derivaatta
- 10.3 Alkeisfunktioiden derivaatat
Alkeisfunktioiden derivaatat¶
Tutkitaan nyt tuttujen alkeisfunktioiden derivointia lähtien liikkeelle eksponenttifunktiosta.
Lause.
D(ex)=ex.
Tutkitaan ensin pisteen x=0 erotusosamäärää
kun 0<h<1. Valitaan sellainen luonnollinen luku n, joka toteuttaa epäyhtälöt
jolloin eksponenttifunktion kasvavuuden nojalla
Neperin luku e toteuttaa epäyhtälöt
jokaisella luonnollisella luvulla k, joten erityisesti
ja näistä voidaan edelleen ratkaista epäyhtälöt
Vertaamalla aiempaan epäyhtälöön nähdään, että
ja siten edelleen
Kun h→0+, niin luvun n valinnan perusteella n→∞. Samalla erotusosamäärää rajaavat lausekkeet lähestyvät lukua 1, joten kuristusperiaatteen nojalla
Vastaavasti perustellen myös erotusosamäärän vasemmanpuoleinen raja-arvo on 1 ja täten
Erotusosamäärä pisteessä x toteuttaa nyt halutun ehdon, sillä
kun h \to 0. \square
Esimerkki.
- D\big(e^{3x^2}\big)=e^{3x^2}D\left(3x^2\right)=6xe^{3x^2}.
- \displaystyle D\left(\sqrt{1+e^{2x}}\right)=\frac{D(1+e^{2x})}{2\sqrt{1+e^{2x}}}=\frac{2e^{2x}}{2\sqrt{1+e^{2x}}}=\frac{e^{2x}}{\sqrt{1+e^{2x}}}
Lause.
D(\ln x)=\dfrac{1}{x}.
Funktion f(x)=\ln x käänteisfunktio on f^{-1}(y)=e^y, joten käänteisfunktion derivoimissäännön mukaan
\square
Lause.
D\left(a^x\right)=a^x\ln a ja D\left(\log_ax\right)=\dfrac{1}{x\ln a}.
Kun a > 0 ja a \not= 1, eksponentti- ja logaritmifunktioiden kannanvaihtokaavojen avulla saadaan
\square
Esimerkki.
- D(3^{x^2})=3^{x^2}\ln 3D(x^2)=2x3^{x^2}\ln 3
- D\ln\left(\sqrt{1+x^2}\right)=\dfrac{D\left(\sqrt{1+x^2}\right)}{\sqrt{1+x^2}}=\dfrac{D(1+x^2)}{2\sqrt{1+x^2}\sqrt{1+x^2}}=\dfrac{x}{1+x^2}
- D(\ln(\ln x))=\dfrac{D(\ln x)}{\ln x}=\dfrac{1}{x\ln x}
Lause.
D\left(x^a\right)=ax^{a-1}, kun a \in \mathbb R ja x > 0.
Yleisen potenssifunktion määritelmän mukaan
\square
Esimerkki.
D\left(e^{x^e}\right)=e^{x^e}D(x^e)=ex^{e-1}e^{x^e}
Lause.
Trigonometriset funktiot ovat derivoituvia määrittelyjoukoissaan ja
Kirjoitetaan erotusosamäärä sinille ja käytetään sinin summakaavaa, tulosta
ja siihen liittyvän esimerkin tulosta. Tällöin
kun h \to 0. Ennen kosinin derivointikaavan johtamista kirjoitetaan palautuskaavan mukaisesti \cos x = \sin\left(\frac{\pi}{2} - x\right) ja \sin x = \cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right), jolloin ketjusäännön nojalla
Tangentin derivointikaava saadaan osamäärän derivoimissäännöllä. Määritelmään nojaten
missä viimeinen vaihe voidaan sieventää myös
\square
Lause.
Arkusfunktioiden derivaatat ja niiden määrittelyjoukot ovat kuten alla.
Funktiolla y=\sin x on välillä \left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right] käänteisfunktio x=\arcsin y. Välillä (-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}), joka kuvautuu sinifunktiossa joukolle (-1,1), on D\sin x=\cos x\ne0, joten käänteisfunktion derivoimissäännön mukaan
Tässä toiseksi viimeinen vaihe seuraa kaavasta \sin^2x+\cos^2x=1, kun havaitaan että \cos x>0, kun x\in\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right). Vastaavalla tavoin voidaan päätellä derivoimiskaavat arkuskosinille ja arkustangentille. \square
Lause.
Hyperboliset funktiot ovat derivoituvia määrittelyjoukoissaan, ja
Väite seuraa suoraan hyperbolisten funktioiden määritelmistä. Esimerkiksi hyperbolisen kosinin derivaatta
\square
Lause.
Areafunktioiden derivaatat ja niiden määrittelyjoukot ovat kuten alla.
Väite seuraa suoraan derivoimalla areafunktioille kehitetyt kaavat. Esimerkiksi areakosinin derivaatta
kun x > 1. \square
Derivoimissäännöistä ja derivointikaavoista on yhteenveto liitetaulukossa.