Processing math: 23%
This course has already ended.

Alkeisfunktioiden derivaatat

Tutkitaan nyt tuttujen alkeisfunktioiden derivointia lähtien liikkeelle eksponenttifunktiosta.

Lause.

D(ex)=ex.

Todistus.

Tutkitaan ensin pisteen x=0 erotusosamäärää

e0+he0h=eh1h,

kun 0<h<1. Valitaan sellainen luonnollinen luku n, joka toteuttaa epäyhtälöt

1n+1<h1n,

jolloin eksponenttifunktion kasvavuuden nojalla

e1/(n+1)<ehe1/n.

Neperin luku e toteuttaa epäyhtälöt

(1+1k)k<eja(11k)k<1e

jokaisella luonnollisella luvulla k, joten erityisesti

(1+1n+1)n+1<eja(11n)n<1e,

ja näistä voidaan edelleen ratkaista epäyhtälöt

1n+1<e1/(n+1)1jae1/n1<1n1.

Vertaamalla aiempaan epäyhtälöön nähdään, että

1n+1<e1/(n+1)1<eh1e1/n1<1n1,

ja siten edelleen

nn+1<eh1h<n+1n1.

Kun h0+, niin luvun n valinnan perusteella n. Samalla erotusosamäärää rajaavat lausekkeet lähestyvät lukua 1, joten kuristusperiaatteen nojalla

lim

Vastaavasti perustellen myös erotusosamäärän vasemmanpuoleinen raja-arvo on 1 ja täten

\lim_{h\to0}\frac{e^h-1}{h}=1.

Erotusosamäärä pisteessä x toteuttaa nyt halutun ehdon, sillä

\frac{e^{x+h}-e^x}{h} =\frac{e^xe^h-e^x}{h} =e^x\left(\frac{e^h-1}{h}\right)\to e^x\cdot1=e^x,

kun h \to 0. \square

Esimerkki.

  1. D\big(e^{3x^2}\big)=e^{3x^2}D\left(3x^2\right)=6xe^{3x^2}.
  2. \displaystyle D\left(\sqrt{1+e^{2x}}\right)=\frac{D(1+e^{2x})}{2\sqrt{1+e^{2x}}}=\frac{2e^{2x}}{2\sqrt{1+e^{2x}}}=\frac{e^{2x}}{\sqrt{1+e^{2x}}}

Lause.

D(\ln x)=\dfrac{1}{x}.

Todistus.

Funktion f(x)=\ln x käänteisfunktio on f^{-1}(y)=e^y, joten käänteisfunktion derivoimissäännön mukaan

D_x(\ln x)=\frac{1}{D_y(e^y)}=\frac{1}{e^y}=\frac{1}{e^{\ln x}}=\frac{1}{x}.

\square

Lause.

D\left(a^x\right)=a^x\ln a ja D\left(\log_ax\right)=\dfrac{1}{x\ln a}.

Todistus.

Kun a > 0 ja a \not= 1, eksponentti- ja logaritmifunktioiden kannanvaihtokaavojen avulla saadaan

\begin{split}\begin{aligned} D\left(a^x\right)&=D\left(e^{x\ln a}\right)=e^{x\ln a}D(x\ln a)=a^x\ln a \\ D\left(\log_ax\right)&=D\left(\frac{\ln x}{\ln a}\right)=\frac{D(\ln x)}{\ln a}=\frac{1}{x\ln a}.\end{aligned}\end{split}

\square

Esimerkki.

  1. D(3^{x^2})=3^{x^2}\ln 3D(x^2)=2x3^{x^2}\ln 3
  2. D\ln\left(\sqrt{1+x^2}\right)=\dfrac{D\left(\sqrt{1+x^2}\right)}{\sqrt{1+x^2}}=\dfrac{D(1+x^2)}{2\sqrt{1+x^2}\sqrt{1+x^2}}=\dfrac{x}{1+x^2}
  3. D(\ln(\ln x))=\dfrac{D(\ln x)}{\ln x}=\dfrac{1}{x\ln x}

Lause.

D\left(x^a\right)=ax^{a-1}, kun a \in \mathbb R ja x > 0.

Todistus.

Yleisen potenssifunktion määritelmän mukaan

D\left(x^a\right)=D\left(e^{a\ln x}\right)=e^{a\ln x}D(a\ln x)=x^a\left(\frac{a}{x}\right)=ax^{a-1}.

\square

Esimerkki.

D\left(e^{x^e}\right)=e^{x^e}D(x^e)=ex^{e-1}e^{x^e}

Lause.

Trigonometriset funktiot ovat derivoituvia määrittelyjoukoissaan ja

\begin{split}\begin{aligned} D(\sin x)&=\cos x\\ D(\cos x)&=-\sin x\\ D(\tan x)&=1+\tan^2x=\frac{1}{\cos^2x}.\end{aligned}\end{split}
Todistus.

Kirjoitetaan erotusosamäärä sinille ja käytetään sinin summakaavaa, tulosta

\lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x} = 1

ja siihen liittyvän esimerkin tulosta. Tällöin

\begin{split}\begin{aligned} \frac{\sin(x+h)-\sin x}{h} &=\frac{\sin x\cos h+\sin h\cos x-\sin x}{h}\\ &=-\sin x\left(\frac{1-\cos h}{h}\right)+\cos x\left(\frac{\sin h}{h}\right)\\ &\to-\sin x\cdot0+\cos x\cdot1=\cos x,\end{aligned}\end{split}

kun h \to 0. Ennen kosinin derivointikaavan johtamista kirjoitetaan palautuskaavan mukaisesti \cos x = \sin\left(\frac{\pi}{2} - x\right) ja \sin x = \cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right), jolloin ketjusäännön nojalla

D(\cos x) = D\left(\sin\left(\frac{\pi}{2} - x\right)\right) = \cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right)D\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = -\sin x.

Tangentin derivointikaava saadaan osamäärän derivoimissäännöllä. Määritelmään nojaten

D(\tan x)=D\left(\frac{\sin x}{\cos x}\right)=\frac{\cos^2x+\sin^2x}{\cos^2x}=\frac{1}{\cos^2x},

missä viimeinen vaihe voidaan sieventää myös

\frac{\cos^2x+\sin^2x}{\cos^2x}=1+\left(\frac{\sin x}{\cos x}\right)^2=1+\tan^2x.

\square

Lause.

Arkusfunktioiden derivaatat ja niiden määrittelyjoukot ovat kuten alla.

\begin{split}\begin{aligned} D(\arcsin x)&=\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}} && (-1<x<1)\\ D(\arccos x)&=-\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}} && (-1<x<1)\\ D(\arctan x)&=\dfrac{1}{1+x^2} && (x\in\mathbb R)\end{aligned}\end{split}
Todistus.

Funktiolla y=\sin x on välillä \left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right] käänteisfunktio x=\arcsin y. Välillä (-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}), joka kuvautuu sinifunktiossa joukolle (-1,1), on D\sin x=\cos x\ne0, joten käänteisfunktion derivoimissäännön mukaan

D_y(\arcsin y)=\frac{1}{D_x(\sin x)}=\frac{1}{\cos x}=\frac{1}{\sqrt{1-\sin^2x}}=\frac{1}{\sqrt{1-y^2}}.

Tässä toiseksi viimeinen vaihe seuraa kaavasta \sin^2x+\cos^2x=1, kun havaitaan että \cos x>0, kun x\in\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right). Vastaavalla tavoin voidaan päätellä derivoimiskaavat arkuskosinille ja arkustangentille. \square

Lause.

Hyperboliset funktiot ovat derivoituvia määrittelyjoukoissaan, ja

\begin{split}\begin{aligned} D(\sinh x) &= \cosh x \\ D(\cosh x) &= \sinh x \\ D(\tanh x) &= \frac{1}{\cosh^2 x}.\end{aligned}\end{split}
Todistus.

Väite seuraa suoraan hyperbolisten funktioiden määritelmistä. Esimerkiksi hyperbolisen kosinin derivaatta

D(\cosh x) = D\left(\frac{e^x + e^{-x}}{2}\right) = \frac{D(e^x) + D(e^{-x})}{2} = \frac{e^x - e^{-x}}{2} = \sinh x.

\square

Lause.

Areafunktioiden derivaatat ja niiden määrittelyjoukot ovat kuten alla.

\begin{split}\begin{aligned} D(\operatorname{ar\,sinh}x) &= \frac{1}{\sqrt{1 + x^2}} && (x \in \mathbb R) \\ D(\operatorname{ar\,cosh}x) &= \frac{1}{\sqrt{x^2 - 1}} && (x > 1) \\ D(\operatorname{ar\,tanh}x) &= \frac{1}{1 - x^2} && (-1 < x < 1)\end{aligned}\end{split}
Todistus.

Väite seuraa suoraan derivoimalla areafunktioille kehitetyt kaavat. Esimerkiksi areakosinin derivaatta

D(\operatorname{ar\,cosh}x)=D\left(\ln\left(x+\sqrt{x^2-1}\right)\right) = \frac{D\left(x + \sqrt{x^2 - 1}\right)}{x + \sqrt{x^2 - 1}} = \frac{\frac{\sqrt{x^2 - 1} + x}{\sqrt{x^2 - 1}}}{x + \sqrt{x^2 - 1}} = \frac{1}{\sqrt{x^2 - 1}},

kun x > 1. \square

Derivoimissäännöistä ja derivointikaavoista on yhteenveto liitetaulukossa.

Posting submission...