Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/jax.js
This course has already ended.

Alkeisfunktioiden derivaatat

Tutkitaan nyt tuttujen alkeisfunktioiden derivointia lähtien liikkeelle eksponenttifunktiosta.

Lause.

D(ex)=ex.

Todistus.

Tutkitaan ensin pisteen x=0 erotusosamäärää

e0+he0h=eh1h,

kun 0<h<1. Valitaan sellainen luonnollinen luku n, joka toteuttaa epäyhtälöt

1n+1<h1n,

jolloin eksponenttifunktion kasvavuuden nojalla

e1/(n+1)<ehe1/n.

Neperin luku e toteuttaa epäyhtälöt

(1+1k)k<eja(11k)k<1e

jokaisella luonnollisella luvulla k, joten erityisesti

(1+1n+1)n+1<eja(11n)n<1e,

ja näistä voidaan edelleen ratkaista epäyhtälöt

1n+1<e1/(n+1)1jae1/n1<1n1.

Vertaamalla aiempaan epäyhtälöön nähdään, että

1n+1<e1/(n+1)1<eh1e1/n1<1n1,

ja siten edelleen

nn+1<eh1h<n+1n1.

Kun h0+, niin luvun n valinnan perusteella n. Samalla erotusosamäärää rajaavat lausekkeet lähestyvät lukua 1, joten kuristusperiaatteen nojalla

limh0+eh1h=1.

Vastaavasti perustellen myös erotusosamäärän vasemmanpuoleinen raja-arvo on 1 ja täten

limh0eh1h=1.

Erotusosamäärä pisteessä x toteuttaa nyt halutun ehdon, sillä

ex+hexh=exehexh=ex(eh1h)ex1=ex,

kun h0.

Esimerkki.

  1. D(e3x2)=e3x2D(3x2)=6xe3x2.
  2. D(1+e2x)=D(1+e2x)21+e2x=2e2x21+e2x=e2x1+e2x

Lause.

D(lnx)=1x.

Todistus.

Funktion f(x)=lnx käänteisfunktio on f1(y)=ey, joten käänteisfunktion derivoimissäännön mukaan

Dx(lnx)=1Dy(ey)=1ey=1elnx=1x.

Lause.

D(ax)=axlna ja D(logax)=1xlna.

Todistus.

Kun a>0 ja a1, eksponentti- ja logaritmifunktioiden kannanvaihtokaavojen avulla saadaan

D(ax)=D(exlna)=exlnaD(xlna)=axlnaD(logax)=D(lnxlna)=D(lnx)lna=1xlna.

Esimerkki.

  1. D(3x2)=3x2ln3D(x2)=2x3x2ln3
  2. Dln(1+x2)=D(1+x2)1+x2=D(1+x2)21+x21+x2=x1+x2
  3. D(ln(lnx))=D(lnx)lnx=1xlnx

Lause.

D(xa)=axa1, kun aR ja x>0.

Todistus.

Yleisen potenssifunktion määritelmän mukaan

D(xa)=D(ealnx)=ealnxD(alnx)=xa(ax)=axa1.

Esimerkki.

D(exe)=exeD(xe)=exe1exe

Lause.

Trigonometriset funktiot ovat derivoituvia määrittelyjoukoissaan ja

D(sinx)=cosxD(cosx)=sinxD(tanx)=1+tan2x=1cos2x.
Todistus.

Kirjoitetaan erotusosamäärä sinille ja käytetään sinin summakaavaa, tulosta

limx0sinxx=1

ja siihen liittyvän esimerkin tulosta. Tällöin

sin(x+h)sinxh=sinxcosh+sinhcosxsinxh=sinx(1coshh)+cosx(sinhh)sinx0+cosx1=cosx,

kun h0. Ennen kosinin derivointikaavan johtamista kirjoitetaan palautuskaavan mukaisesti cosx=sin(π2x) ja sinx=cos(π2x), jolloin ketjusäännön nojalla

D(cosx)=D(sin(π2x))=cos(π2x)D(π2x)=sinx.

Tangentin derivointikaava saadaan osamäärän derivoimissäännöllä. Määritelmään nojaten

D(tanx)=D(sinxcosx)=cos2x+sin2xcos2x=1cos2x,

missä viimeinen vaihe voidaan sieventää myös

cos2x+sin2xcos2x=1+(sinxcosx)2=1+tan2x.

Lause.

Arkusfunktioiden derivaatat ja niiden määrittelyjoukot ovat kuten alla.

D(arcsinx)=11x2(1<x<1)D(arccosx)=11x2(1<x<1)D(arctanx)=11+x2(xR)
Todistus.

Funktiolla y=sinx on välillä [π2,π2] käänteisfunktio x=arcsiny. Välillä (π2,π2), joka kuvautuu sinifunktiossa joukolle (1,1), on Dsinx=cosx0, joten käänteisfunktion derivoimissäännön mukaan

Dy(arcsiny)=1Dx(sinx)=1cosx=11sin2x=11y2.

Tässä toiseksi viimeinen vaihe seuraa kaavasta sin2x+cos2x=1, kun havaitaan että cosx>0, kun x(π2,π2). Vastaavalla tavoin voidaan päätellä derivoimiskaavat arkuskosinille ja arkustangentille.

Lause.

Hyperboliset funktiot ovat derivoituvia määrittelyjoukoissaan, ja

D(sinhx)=coshxD(coshx)=sinhxD(tanhx)=1cosh2x.
Todistus.

Väite seuraa suoraan hyperbolisten funktioiden määritelmistä. Esimerkiksi hyperbolisen kosinin derivaatta

D(coshx)=D(ex+ex2)=D(ex)+D(ex)2=exex2=sinhx.

Lause.

Areafunktioiden derivaatat ja niiden määrittelyjoukot ovat kuten alla.

D(arsinhx)=11+x2(xR)D(arcoshx)=1x21(x>1)D(artanhx)=11x2(1<x<1)
Todistus.

Väite seuraa suoraan derivoimalla areafunktioille kehitetyt kaavat. Esimerkiksi areakosinin derivaatta

D(arcoshx)=D(ln(x+x21))=D(x+x21)x+x21=x21+xx21x+x21=1x21,

kun x>1.

Derivoimissäännöistä ja derivointikaavoista on yhteenveto liitetaulukossa.

Posting submission...