- MAT-04601
- 10. Derivaatta
- 10.3 Alkeisfunktioiden derivaatat
Alkeisfunktioiden derivaatat¶
Tutkitaan nyt tuttujen alkeisfunktioiden derivointia lähtien liikkeelle eksponenttifunktiosta.
Lause.
D(ex)=ex.
Tutkitaan ensin pisteen x=0 erotusosamäärää
kun 0<h<1. Valitaan sellainen luonnollinen luku n, joka toteuttaa epäyhtälöt
jolloin eksponenttifunktion kasvavuuden nojalla
Neperin luku e toteuttaa epäyhtälöt
jokaisella luonnollisella luvulla k, joten erityisesti
ja näistä voidaan edelleen ratkaista epäyhtälöt
Vertaamalla aiempaan epäyhtälöön nähdään, että
ja siten edelleen
Kun h→0+, niin luvun n valinnan perusteella n→∞. Samalla erotusosamäärää rajaavat lausekkeet lähestyvät lukua 1, joten kuristusperiaatteen nojalla
Vastaavasti perustellen myös erotusosamäärän vasemmanpuoleinen raja-arvo on 1 ja täten
Erotusosamäärä pisteessä x toteuttaa nyt halutun ehdon, sillä
kun h→0. ◻
Esimerkki.
- D(e3x2)=e3x2D(3x2)=6xe3x2.
- D(√1+e2x)=D(1+e2x)2√1+e2x=2e2x2√1+e2x=e2x√1+e2x
Lause.
D(lnx)=1x.
Funktion f(x)=lnx käänteisfunktio on f−1(y)=ey, joten käänteisfunktion derivoimissäännön mukaan
◻
Lause.
D(ax)=axlna ja D(logax)=1xlna.
Kun a>0 ja a≠1, eksponentti- ja logaritmifunktioiden kannanvaihtokaavojen avulla saadaan
◻
Esimerkki.
- D(3x2)=3x2ln3D(x2)=2x3x2ln3
- Dln(√1+x2)=D(√1+x2)√1+x2=D(1+x2)2√1+x2√1+x2=x1+x2
- D(ln(lnx))=D(lnx)lnx=1xlnx
Lause.
D(xa)=axa−1, kun a∈R ja x>0.
Esimerkki.
D(exe)=exeD(xe)=exe−1exe
Lause.
Trigonometriset funktiot ovat derivoituvia määrittelyjoukoissaan ja
Kirjoitetaan erotusosamäärä sinille ja käytetään sinin summakaavaa, tulosta
ja siihen liittyvän esimerkin tulosta. Tällöin
kun h→0. Ennen kosinin derivointikaavan johtamista kirjoitetaan palautuskaavan mukaisesti cosx=sin(π2−x) ja sinx=cos(π2−x), jolloin ketjusäännön nojalla
Tangentin derivointikaava saadaan osamäärän derivoimissäännöllä. Määritelmään nojaten
missä viimeinen vaihe voidaan sieventää myös
◻
Lause.
Arkusfunktioiden derivaatat ja niiden määrittelyjoukot ovat kuten alla.
Funktiolla y=sinx on välillä [−π2,π2] käänteisfunktio x=arcsiny. Välillä (−π2,π2), joka kuvautuu sinifunktiossa joukolle (−1,1), on Dsinx=cosx≠0, joten käänteisfunktion derivoimissäännön mukaan
Tässä toiseksi viimeinen vaihe seuraa kaavasta sin2x+cos2x=1, kun havaitaan että cosx>0, kun x∈(−π2,π2). Vastaavalla tavoin voidaan päätellä derivoimiskaavat arkuskosinille ja arkustangentille. ◻
Lause.
Hyperboliset funktiot ovat derivoituvia määrittelyjoukoissaan, ja
Väite seuraa suoraan hyperbolisten funktioiden määritelmistä. Esimerkiksi hyperbolisen kosinin derivaatta
◻
Lause.
Areafunktioiden derivaatat ja niiden määrittelyjoukot ovat kuten alla.
Väite seuraa suoraan derivoimalla areafunktioille kehitetyt kaavat. Esimerkiksi areakosinin derivaatta
kun x>1. ◻
Derivoimissäännöistä ja derivointikaavoista on yhteenveto liitetaulukossa.