Lineaarinen approksimaatio

Määritelmän mukaan pisteessä $a$ derivoituvalle funktiolle $f$ derivaatta

$$f'(a)=\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h},$$

eli toisin kirjoitettuna

$$\lim_{h\to0}\left(\frac{f(a+h)-f(a)}{h}-f'(a)\right)=0.$$

Merkitään sulkulauseketta parametrista $h$ riippuvalla luvulla $\varepsilon(h)$,

$$\varepsilon(h)=\frac{f(a+h)-f(a)}{h}-f'(a),$$

ja ratkaistaan tästä $f(a+h)$.

$$\underbrace{f(a+h)}_{\text{tarkka arvo}}=\underbrace{f(a)+f'(a)h}_{\text{arvio}}+\underbrace{h\varepsilon(h)}_{\text{virhe}},$$

missä $\varepsilon(h)$ on funktio, jolle $\varepsilon(h)\to0$, kun $h\to0$. Tätä esitystä kutsutaan funktion $f$ differentiaalikehitelmäksi pisteessä $a$. Päättely voidaan kääntää myös toiseen suuntaan, eli differentiaalikehitelmästä seuraa derivoituvuus.

Lause.

Funktio $f : (c,d)\to\mathbb R$ on derivoituva pisteessä $a\in(c,d)$ jos ja vain jos on löydetään sellainen reaaliluku $A$ ja funktio $\varepsilon : \mathbb R\to\mathbb R$, että $\lim\limits_{h\to0}\varepsilon(h)=0$ ja

$$f(a+h)=f(a)+Ah+h\varepsilon(h)$$

kaikilla (itseisarvoltaan pienillä) reaaliluvuilla $h\in\mathbb R$. Tämän toteutuessa $A=f'(a)$.

Jättämällä virhetermin $h\varepsilon(h)$ pois funktion $f$ differentiaalikehitelmästä saadaan arvio funktion arvolle pisteessä $a + h$.

$$f(a+h)\approx f(a)+f'(a)h,$$

tai merkitsemällä $x=a+h$

$$f(x)\approx f(a)+f'(a)(x-a).$$

Tässä oikean puolen lauseke

$$T(x)=f(a)+f'(a)(x-a)$$

määrittelee funktion, jonka kuvaaja on funktion $f$ kuvaajan pisteeseen $(a,f(a))$ piirretty tangenttisuora (vertaa aiempaan yhtälöön). Funktiota $T(x)$ kutsutaan funktion $f$ lineaariseksi approksimaatioksi (arvioksi), tangenttiapproksimaatioksi ja linearisoinniksi pisteessä $a$. Lineaarisessa arviossa $f(x) \approx T(x)$ tehty virhe on

$$f(x)-T(x)=h\epsilon(h),$$

ja virhe suhteessa etäisyyteen $h$ pisteestä $a$ on

$$\frac{h\epsilon(h)}{h}=\epsilon(h)\to0,$$

kun $h \to 0$. Lähellä pistettä $a$ approksimaation virhe on siis suhteellisesti hyvin pieni ja funktion $f$ kuvaaja näyttää likimain tangenttisuoraltaan $y=f(a)+f'(a)(x-a)$.

Nimitys ”lineaarinen arvio” juontuu siitä, että funktio $L : \mathbb R\to\mathbb R$, $L(h)=f'(a)h$ on lineaarinen (vertaa vektoriavaruuksien lineaarikuvauksiin), ja siitä että arvio voidaan kirjoittaa vakion ja lineaarikuvauksen summana $f(a+h)\approx f(a)+L(h)$.

Esimerkki.

Arvioi lukua $\displaystyle\sqrt{4{,}3}$ sopivalla lineaarisella approksimaatiolla.

Ratkaisu.

Käytetään funktion $f(x)=\sqrt{x}$ lineaarista arviota pisteessä $4$. Idea on, että funktioiden $f$ ja $f'$ arvot on helppo laskea pisteessä $4$, ja niitä käyttäen saadaan yksinkertainen arvio funktion $f$ arvolle pisteessä $4{,}3=4+0{,}3$. Nyt $f'(x)=(2\sqrt{x})^{-1}$, joten $f(4) = 2$ ja $f'(4)=\frac{1}{4}$, ja edelleen

$$\sqrt{4{,}3}=f(4+0{,}3)\approx f(4)+f'(4)\cdot(4{,}3-4)=2+\frac14\cdot0{,}3=2{,}075.$$

Vertaamalla tätä laskimen antamaan tarkempaan likiarvoon $\sqrt{4{,}3}\approx2{,}073644135$ nähdään, että lineaarisen approksimaation kaksi ensimmäistä desimaalia ovat oikein.

Määritelmä.

Suureen suhteellinen virhe on

$$\text{suhteellinen virhe}=\left|\frac{\text{virhe}}{\text{tarkka arvo}}\right|.$$

Edellisessä esimerkissä suhteellinen virhe on

$$\left|\frac{\displaystyle\sqrt{4{,}3}-2{,}075}{\displaystyle\sqrt{4{,}3}}\right|\approx0{,}0007=0{,}07\ \%.$$

Lineaarisen arvion käyttö on järkevää vain silloin, kun $|h|$ on ”pieni”. Esimerkiksi edellisen esimerkin approksimaatiota käyttäen arvio luvulle $\sqrt{2}$ olisi

$$\sqrt{2}=f(4-2)\approx f(4)+f'(4)\cdot(4-2)=2+\frac14\cdot(-2)=1{,}5,$$

missä on jo $6\ \%$ virhe.

Käytännössä lineaarista arviota voidaan hyödyntää mittausvirheiden vaikutusten arvioimisessa. Jos suureen arvoksi mitataan $x$ ja mittauksessa tehdään virhe $\Delta x$, niin suureen oikea arvo on $x+\Delta x$. Mikäli tätä virheellistä arvoa käytetään laskuissa funktion $f$ syötteenä, se aiheuttaa virheen $\Delta f = f(x + \Delta x) - f(x)$ lopputuloksessa. Toisaalta funktion $f$ linearisoinnin avulla voidaan kirjoittaa

$$f(x+\Delta x)\approx f(x)+f'(x)\Delta x,$$

jolloin

$$\Delta f=f(x+\Delta x)-f(x)\approx f'(x)\Delta x.$$

Tässä yhteydessä todellista suhteellista virhettä arvioidaan usein mittaustuloksen avulla muodossa

$$\text{suhteellinen virhe}\approx\left|\frac{\text{virhe}}{\text{mitattu arvo}}\right|,$$

jolloin suhteellinen virhe funktion $f$ arvossa on likimain $\left|\dfrac{\Delta f}{f(x)}\right|$.

Esimerkki.

Ympyrän pinta-alan $A(r) = \pi r^2$ laskemiseksi mitataan sen sädettä.

1. Mittaustulokseksi saadaan $r = 32 \pm 2$ mm. Arvioi ympyrän pinta-alaa ja sen virhettä.
2. Säteen mittaamisessa tehdään korkeintaan $2\ \%$ suhteellinen virhe. Arvioi pinta-alan suhteellista virhettä.

Ratkaisu.

1. Pinta-alan arvio on $A(32) = \pi \cdot 32^2 \approx 3200$. Säteen mittauksessa tehty virhe on mittausepätarkkuuden rajoissa, eli $|\Delta r| \leq 2$. Tämän vuoksi pinta-alaa laskettaessa tehty virhe on

   $$|\Delta A| \approx |A'(32)\Delta r| = 2\pi \cdot 32 \cdot |\Delta r| \leq 64\pi \cdot 2 \approx 400.$$

   Ympyrän pinta-ala on siis $3200 \pm 400$ neliömillimetriä.

2. Arvioidaan mittaustuloksen $r$ suhteellista virhettä luvulla $\left|\frac{\Delta r}{r}\right| \leq 0.02$. Nyt pinta-alan suhteellinen virhe

   $$\left|\frac{\Delta A}{A}\right| \approx \left|\frac{A'(r)\Delta r}{A(r)}\right| = \left|\frac{2\pi r\Delta r}{\pi r^2}\right| = 2\left|\frac{\Delta r}{r}\right| \leq 2 \cdot 2\ \% = 4\ \%.$$

Posting submission...