Lineaarinen approksimaatio

Määritelmän mukaan pisteessä \(a\) derivoituvalle funktiolle \(f\) derivaatta

\[f'(a)=\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h},\]

eli toisin kirjoitettuna

\[\lim_{h\to0}\left(\frac{f(a+h)-f(a)}{h}-f'(a)\right)=0.\]

Merkitään sulkulauseketta parametrista \(h\) riippuvalla luvulla \(\varepsilon(h)\),

\[\varepsilon(h)=\frac{f(a+h)-f(a)}{h}-f'(a),\]

ja ratkaistaan tästä \(f(a+h)\).

\[\underbrace{f(a+h)}_{\text{tarkka arvo}}=\underbrace{f(a)+f'(a)h}_{\text{arvio}}+\underbrace{h\varepsilon(h)}_{\text{virhe}},\]

missä \(\varepsilon(h)\) on funktio, jolle \(\varepsilon(h)\to0\), kun \(h\to0\). Tätä esitystä kutsutaan funktion \(f\) differentiaalikehitelmäksi pisteessä \(a\). Päättely voidaan kääntää myös toiseen suuntaan, eli differentiaalikehitelmästä seuraa derivoituvuus.

Lause.

Funktio \(f : (c,d)\to\mathbb R\) on derivoituva pisteessä \(a\in(c,d)\) jos ja vain jos on löydetään sellainen reaaliluku \(A\) ja funktio \(\varepsilon : \mathbb R\to\mathbb R\), että \(\lim\limits_{h\to0}\varepsilon(h)=0\) ja

\[f(a+h)=f(a)+Ah+h\varepsilon(h)\]

kaikilla (itseisarvoltaan pienillä) reaaliluvuilla \(h\in\mathbb R\). Tämän toteutuessa \(A=f'(a)\).

Jättämällä virhetermin \(h\varepsilon(h)\) pois funktion \(f\) differentiaalikehitelmästä saadaan arvio funktion arvolle pisteessä \(a + h\).

\[f(a+h)\approx f(a)+f'(a)h,\]

tai merkitsemällä \(x=a+h\)

\[f(x)\approx f(a)+f'(a)(x-a).\]

Tässä oikean puolen lauseke

\[T(x)=f(a)+f'(a)(x-a)\]

määrittelee funktion, jonka kuvaaja on funktion \(f\) kuvaajan pisteeseen \((a,f(a))\) piirretty tangenttisuora (vertaa aiempaan yhtälöön). Funktiota \(T(x)\) kutsutaan funktion \(f\) lineaariseksi approksimaatioksi (arvioksi), tangenttiapproksimaatioksi ja linearisoinniksi pisteessä \(a\). Lineaarisessa arviossa \(f(x) \approx T(x)\) tehty virhe on

\[f(x)-T(x)=h\epsilon(h),\]

ja virhe suhteessa etäisyyteen \(h\) pisteestä \(a\) on

\[\frac{h\epsilon(h)}{h}=\epsilon(h)\to0,\]

kun \(h \to 0\). Lähellä pistettä \(a\) approksimaation virhe on siis suhteellisesti hyvin pieni ja funktion \(f\) kuvaaja näyttää likimain tangenttisuoraltaan \(y=f(a)+f'(a)(x-a)\).

Nimitys ”lineaarinen arvio” juontuu siitä, että funktio \(L : \mathbb R\to\mathbb R\), \(L(h)=f'(a)h\) on lineaarinen (vertaa vektoriavaruuksien lineaarikuvauksiin), ja siitä että arvio voidaan kirjoittaa vakion ja lineaarikuvauksen summana \(f(a+h)\approx f(a)+L(h)\).

Esimerkki.

Arvioi lukua \(\displaystyle\sqrt{4{,}3}\) sopivalla lineaarisella approksimaatiolla.

Ratkaisu.

Käytetään funktion \(f(x)=\sqrt{x}\) lineaarista arviota pisteessä \(4\). Idea on, että funktioiden \(f\) ja \(f'\) arvot on helppo laskea pisteessä \(4\), ja niitä käyttäen saadaan yksinkertainen arvio funktion \(f\) arvolle pisteessä \(4{,}3=4+0{,}3\). Nyt \(f'(x)=(2\sqrt{x})^{-1}\), joten \(f(4) = 2\) ja \(f'(4)=\frac{1}{4}\), ja edelleen

\[\sqrt{4{,}3}=f(4+0{,}3)\approx f(4)+f'(4)\cdot(4{,}3-4)=2+\frac14\cdot0{,}3=2{,}075.\]

Vertaamalla tätä laskimen antamaan tarkempaan likiarvoon \(\sqrt{4{,}3}\approx2{,}073644135\) nähdään, että lineaarisen approksimaation kaksi ensimmäistä desimaalia ovat oikein.

Määritelmä.

Suureen suhteellinen virhe on

\[\text{suhteellinen virhe}=\left|\frac{\text{virhe}}{\text{tarkka arvo}}\right|.\]

Edellisessä esimerkissä suhteellinen virhe on

\[\left|\frac{\displaystyle\sqrt{4{,}3}-2{,}075}{\displaystyle\sqrt{4{,}3}}\right|\approx0{,}0007=0{,}07\ \%.\]

Lineaarisen arvion käyttö on järkevää vain silloin, kun \(|h|\) on ”pieni”. Esimerkiksi edellisen esimerkin approksimaatiota käyttäen arvio luvulle \(\sqrt{2}\) olisi

\[\sqrt{2}=f(4-2)\approx f(4)+f'(4)\cdot(4-2)=2+\frac14\cdot(-2)=1{,}5,\]

missä on jo \(6\ \%\) virhe.

Käytännössä lineaarista arviota voidaan hyödyntää mittausvirheiden vaikutusten arvioimisessa. Jos suureen arvoksi mitataan \(x\) ja mittauksessa tehdään virhe \(\Delta x\), niin suureen oikea arvo on \(x+\Delta x\). Mikäli tätä virheellistä arvoa käytetään laskuissa funktion \(f\) syötteenä, se aiheuttaa virheen \(\Delta f = f(x + \Delta x) - f(x)\) lopputuloksessa. Toisaalta funktion \(f\) linearisoinnin avulla voidaan kirjoittaa

\[f(x+\Delta x)\approx f(x)+f'(x)\Delta x,\]

jolloin

\[\Delta f=f(x+\Delta x)-f(x)\approx f'(x)\Delta x.\]

Tässä yhteydessä todellista suhteellista virhettä arvioidaan usein mittaustuloksen avulla muodossa

\[\text{suhteellinen virhe}\approx\left|\frac{\text{virhe}}{\text{mitattu arvo}}\right|,\]

jolloin suhteellinen virhe funktion \(f\) arvossa on likimain \(\left|\dfrac{\Delta f}{f(x)}\right|\).

Esimerkki.

Ympyrän pinta-alan \(A(r) = \pi r^2\) laskemiseksi mitataan sen sädettä.

1. Mittaustulokseksi saadaan \(r = 32 \pm 2\) mm. Arvioi ympyrän pinta-alaa ja sen virhettä.
2. Säteen mittaamisessa tehdään korkeintaan \(2\ \%\) suhteellinen virhe. Arvioi pinta-alan suhteellista virhettä.

Ratkaisu.

1. Pinta-alan arvio on \(A(32) = \pi \cdot 32^2 \approx 3200\). Säteen mittauksessa tehty virhe on mittausepätarkkuuden rajoissa, eli \(|\Delta r| \leq 2\). Tämän vuoksi pinta-alaa laskettaessa tehty virhe on

   \[|\Delta A| \approx |A'(32)\Delta r| = 2\pi \cdot 32 \cdot |\Delta r| \leq 64\pi \cdot 2 \approx 400.\]

   Ympyrän pinta-ala on siis \(3200 \pm 400\) neliömillimetriä.

2. Arvioidaan mittaustuloksen \(r\) suhteellista virhettä luvulla \(\left|\frac{\Delta r}{r}\right| \leq 0.02\). Nyt pinta-alan suhteellinen virhe

   \[\left|\frac{\Delta A}{A}\right| \approx \left|\frac{A'(r)\Delta r}{A(r)}\right| = \left|\frac{2\pi r\Delta r}{\pi r^2}\right| = 2\left|\frac{\Delta r}{r}\right| \leq 2 \cdot 2\ \% = 4\ \%.\]

Palautusta lähetetään...