Määritelmä ja perusominaisuudet

Olkoon $s(t)$ kuljettu matka ajan $t$ funktiona. Kun nopeudella tarkoitetaan kuljetun matkan muutosta aikayksikössä, keskimääräinen nopeus aikavälillä $(t, t+\Delta t)$ on

$$\frac{\Delta s}{\Delta t}=\frac{s(t+\Delta t)-s(t)}{\Delta t}.$$

Lyhentämällä tarkasteltavan aikavälin pituutta $\Delta t$ saadaan tarkempi käsitys kuljetun matkan käyttäytymisestä, ja kun $\Delta t \to 0$ päädytään käsittelemään hetkellistä nopeutta

$$v(t)=\lim_{\Delta t\to0}\frac{s(t+\Delta t)-s(t)}{\Delta t}.$$

Näistä kinematiikan käsitteistä voidaan yleistää reaalifunktion $f$ derivaatan käsite.

Määritelmä.

Funktion $f : I\to\mathbb R$ derivaatta (derivative) määrittelyvälin $I$ pisteessä $a$ on

$$f'(a)=\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h},$$

mikäli kyseinen raja-arvo on olemassa. Tällöin sanotaan, että $f$ on derivoituva (differentiable) pisteessä $a$. Funktion $f$ oikeanpuoleinen derivaatta pisteessä $a$ on

$$f'(a+)=\lim_{h\to0+}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$$

ja vasemmanpuoleinen derivaatta

$$f'(a-)=\lim_{h\to0-}\frac{f(a+h)-f(a)}{h},$$

mikäli kyseiset raja-arvot ovat olemassa. Funktio $f$ on derivoituva (differentiable), mikäli sillä on oikean- tai vasemmanpuoleinen derivaatta välin $I$ päätepisteissä ja se on derivoituva kaikissa muissa välin $I$ pisteissä. Tällöin derivaatat joukon $I$ pisteissä $x$ määrittelevät funktion $f'(x)$, jota kutsutaan funktion $f$ derivaataksi.

Oikean- ja vasemmanpuoleisten raja-arvojen luonnehdinnasta havaitaan, että funktio on derivoituva pisteessä $a$ jos ja vain jos sillä on pisteessä $a$ sekä oikean- että vasemmanpuoleinen derivaatta ja ne ovat yhtäsuuret. Tällöin $f'(a)=f'(a-)=f'(a+)$. Funktion $f$ derivaattaa merkitään myös

$$f'(x)=D_xf(x)=Df(x)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}f(x)=\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}.$$

Määritelmässä esiintyvää osamäärää kutsutaan erotusosamääräksi (difference quotient). Asettamalla $x=a+h$ funktion $f$ derivaatta pisteessä $a$ voidaan yhtäpitävästi kirjoittaa myös raja-arvona

$$f'(a)=\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}.$$

Muistetaan, että pisteiden $(x_1,y_1)$ ja $(x_2,y_2)$ kautta kulkevan suoran kulmakerroin (slope) on

$$k=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1},$$

jolloin geometrisesti erotusosamäärä on $xy$-koordinaatiston pisteiden $(a,f(a))$ ja $(x,f(x))$ kautta kulkevan sekantin (secant) kulmakerroin. Kun näiden pisteiden vaakasuuntaista etäisyyttä $h = x - a$ pienennetään, sekantti lähestyy funktion $f$ kuvaajan pisteeseen $(a, f(a))$ piirrettyä tangenttia (tangent). Pisteessä $a$ syntyvän derivaatan geometrinen tulkinta onkin pisteeseen $(a, f(a))$ piirretyn tangentin kulmakerroin.

Funktion $f$ derivoituvuus pisteessä $a$ tarkoittaa sitä, että kuvaajalla $y=f(x)$ on pisteessä $(a,f(a))$ yksikäsitteinen tangenttisuora kulmakertoimella $f'(a)$. Pisteen $(x_1, y_1)$ kautta kulmakertoimella $k$ kulkevan suoran yhtälö on

$$y = y_1 + k(x - x_1),$$

joten funktion $f$ kuvaajalle kohtaan $a$ piirretyn tangenttisuoran yhtälö on

$$y=f(a)+f'(a)(x-a).$$

Tangenttisuoran yksikäsitteisyys tarkoittaa sitä, että kuvaajalla ei voi olla pisteessä $a$ terävää kärkeä. Oheisessa kuvassa on hahmoteltu sekantti- ja tangenttisuoria, kun $h>0$ ($h$ voi olla myös negatiivinen).

Esimerkki.

Lasketaan funktion $f(x)=3x^2-7x+5$ derivaatta pisteessä $3$ määritelmän avulla.

$$\begin{split}\begin{aligned} \frac{f(3+h)-f(3)}{h} &=\frac{(3(3+h)^2-7(3+h)+5)-(3\cdot3^2-7\cdot3+5)}{h}\\ &=\frac{3h^2+11h}{h}=3h+11\to11,\end{aligned}\end{split}$$

kun $h \to 0$, joten $f'(3)=11$.

Lause.

Jos $f$ on derivoituva pisteessä $a$, niin $f$ on jatkuva pisteessä $a$.

Todistus.

On osoitettava, että $f(x)\to f(a)$, kun $x\to a$. Näin on, sillä

$$f(x)-f(a)=\frac{f(x)-f(a)}{x-a}(x-a)\to f'(a)\cdot0=0,$$

kun $x \to a$. Huomaa, että $x \not= a$, jolloin luvulla $x - a$ laventaminen ei tuota ongelmia. $\square$

Tälle lauseelle käänteinen väite ei ole voimassa, eli jatkuva funktio ei välttämättä ole derivoituva. Esimerkiksi tästä käy itseisarvofunktion $f(x)=|x|$ käyttäytyminen pisteessä $x=0$.

Lause.

Olkoot $f$ ja $g$ pisteessä $x$ derivoituvia funktioita ja olkoon $c$ reaaliluku. Tällöin

1. $D(cf(x))=cf'(x)$
2. $D(f(x)\pm g(x))=f'(x)\pm g'(x)$
3. $D(f(x)g(x))=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$
4. $D\left(\dfrac{f(x)}{g(x)}\right)=\dfrac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g(x)^2}$, jos $g(x)\ne0$.

Todistus.

Kohtaa 1 varten tarkastellaan funktion $cf$ erotusosamäärää, jolle

$$\frac{cf(x + h) - cf(x)}{h} = c\frac{f(x + h) - f(x)}{h} \to cf'(x),$$

kun $h \to 0$, sillä $f$ on derivoituva pisteessä $x$. Kohta 2 todistuu vastaavalla menetelmällä.

Kohdan 3 funktion $f(x)g(x)$ erotusosamäärän osoittajassa voidaan lisätä ja vähentää termi $f(x)g(x + h)$, jolloin

$$\begin{split}\begin{aligned} \frac{f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x)}{h} &=\frac{f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x+h)+f(x)g(x+h)-f(x)g(x)}{h}\\ &=\frac{f(x+h)-f(x)}{h}g(x+h)+f(x)\frac{g(x+h)-g(x)}{h}\\ &\to f'(x)g(x)+f(x)g'(x),\end{aligned}\end{split}$$

kun $h \to 0$. Tässä $\lim\limits_{h\to0}g(x+h)=g(x)$, sillä $g$ on jatkuva pisteessä $x$.

Kohdan 4 todistamiseksi tutkitaan ensin funktion $1/g(x)$ erotusosamäärää. Lavennetaan termillä $g(x+h)g(x)$, missä $g(x) \not= 0$, jolloin

$$\begin{aligned} \frac{\dfrac{1}{g(x+h)}-\dfrac{1}{g(x)}}{h} =\frac{g(x)-g(x+h)}{h}\,\frac{1}{g(x+h)g(x)} \to-g'(x)\frac{1}{g(x)^2},\end{aligned}$$

kun $h\to0$. On siis osoitettu, että

$$D\left(\dfrac{1}{g(x)}\right)=-\frac{g'(x)}{g(x)^2},$$

kun $g(x) \not= 0$. Nyt kohdasta 3 seuraa

$$\begin{split}\begin{aligned} D\left(\dfrac{f(x)}{g(x)}\right) &=D\left(f(x)\dfrac{1}{g(x)}\right) =f'(x)\dfrac{1}{g(x)}+f(x)\left(\dfrac{1}{g(x)}\right)'\\ &=\dfrac{f'(x)}{g(x)}-f(x)\frac{g'(x)}{g(x)^2} =\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g(x)^2}.\end{aligned}\end{split}$$

$\square$

Lause.

Vakiofunktion $f(x)=c$ derivaatta on $f'(x) = 0$.

Todistus.

Määritelmän mukaan

$$f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} =\lim_{h\to0}\frac{c-c}{h}=0.$$

$\square$

Esimerkki.

Laske $D\left(x^{-1}\right)$, $D\left(x\right)$ ja $D\left(x^2\right)$ määritelmän avulla.

Ratkaisu.

Sovelletaan derivaatan määritelmää.

$$\begin{split}\begin{aligned} D\left(x^{-1}\right) &=D\left(\frac1x\right) =\lim_{h\to0}\frac{\frac{1}{x+h}-\frac{1}{x}}{h} =\lim_{h\to0}\frac{\frac{x-(x+h)}{(x+h)x}}{h}=\lim_{h\to0}\frac{-1}{(x+h)x} =-\frac{1}{x^2} =-x^{-2}\\ D\left(x\right)&=\lim_{h\to0}\frac{(x+h)-x}{h}=\lim_{h\to0}1=1\\ D(x^2)&=\lim_{h\to0}\frac{(x+h)^2-x^2}{h} =\lim_{h\to0}\frac{x^2+2xh+h^2-x^2}{h} =\lim_{h\to0}(2x+h)=2x\end{aligned}\end{split}$$

Jokaisen vastaantulevan funktion derivointi suoraan määritelmän avulla käy työlääksi, joten käsitellään muutamia derivointikaavoja laskujen suoraviivaistamiseksi. Yleistetään tämän esimerkin laskujen perusteella potenssifunktion derivointikaava.

Lause.

Jos $n\in\mathbb Z$, ja $x\ne0$ jos $n<0$, niin $D(x^n) = nx^{n - 1}$.

Todistus.

Jos $n = 0$, niin väite on $D(1) = 0$, joka on tosi vakiofunktion derivointisäännön nojalla. Todistetaan väite positiiville kokonaisluvuille induktiolla.

1. Alkuaskel. Jos $n = 1$, niin väite on $D(x) = 1$, mikä osoitettiin edellä.

2. Induktioaskel. Tehdään induktio-oletus, jonka mukaan $D(x^k) = kx^{k - 1}$, kun $k$ on positiivinen kokonaisluku. Pyritään osoittamaan, että $D(x^{k + 1}) = (k + 1)x^k$. Tulon derivointisäännön nojalla

   $$D(x^{k + 1}) = D(x \cdot x^k) = D(x)x^k + xD(x^k) \stackrel{\text{io}}{=} x^k + kx^k = (k + 1)x^k,$$

   eli induktioväite on tosi.

Induktioperiaatteen nojalla $D(x^n) = nx^{n - 1}$ aina, kun $n$ on positiivinen kokonaisluku.

Negatiivisia kokonaislukuja $n$ varten oletetaan, että $x \not= 0$ ja merkitään $m = -n$. Tällöin $m$ on positiivinen kokonaisluku, ja edellä todistetun sekä osamäärän derivointisäännön nojalla

$$D(x^n) = D\left(\frac{1}{x^m}\right) = \frac{D(1)x^m - D(x^m)}{(x^m)^2} = -\frac{mx^{m - 1}}{x^{2m}} = -mx^{-m-1} = nx^{n - 1}.$$

$\square$

Polynomi- ja rationaalifunktiot rakentuvat täsmälleen tämän lauseen käsittelemistä potenssifunktioista, jolloin derivaatan laskusääntöjen vuoksi ne ovat derivoituvia määrittelyjoukoissaan.

Esimerkki.

1. Funktion $f(x) = x^3 - \dfrac{1}{x^5}$ derivaatta on

   $$f'(x) = D(x^3 - x^{-5}) = D(x^3) - D(x^{-5}) = 3x^2 - (-5)x^{-6} = 3x^2 + \frac{5}{x^6}.$$

2. Funktion $f(x) = \dfrac{x^2 + x}{x^3 - 7}$ derivaatta on

   $$\begin{split}\begin{aligned} f'(x) &= \frac{D(x^2 + x)(x^3 - 7) - (x^2 + x)D(x^3 - 7)}{(x^3 - 7)^2}\\ &= \frac{(2x + 1)(x^3 - 7) - 3x^2(x^2 + x)}{(x^3 - 7)^2} = \frac{-x^4-2x^3-14x-7}{(x^3-7)^2}. \end{aligned}\end{split}$$

Esimerkki.

Mikä on käyrän $y=x^3-4x^2+7$ pisteeseen $(3,-2)$ piirretyn tangenttisuoran yhtälö?

Ratkaisu.

Kyseessä on funktion $y=y(x)$ kuvaaja, joten tangenttisuoran kulmakertoimen antaa derivaatan arvo pisteessä $3$. Nyt $y(3) = -2$ $y'(x)=3x^2-8x$, joten $y'(3)=3$ ja tangenttisuoran yhtälö on

$$y=-2+3(x-3)=3x-11.$$

Oman derivointisääntönsä ansaitsevat myös yhdistetty funktio ja käänteisfunktio.

Lause.

Olkoon funktio $g$ derivoituva pisteessä $x$ ja funktio $f$ derivoituva pisteessä $g(x)$. Tällöin yhdistetty funktio $f \circ g$ on derivoituva pisteessä $x$ ja

$$(f\circ g)'(x)=f'(g(x))g'(x).$$

Todistus.

Koska $g$ on derivoituva pisteessä $x$, erotusosamäärä

$$\frac{g(x + h) - g(x)}{h} \to g'(x) \Leftrightarrow \frac{g(x + h) - g(x)}{h} - g'(x) \to 0,$$

kun $h \to 0$. Merkitään tässä

$$\frac{g(x + h) - g(x)}{h} - g'(x) = \varepsilon_g(h),$$

jolloin siis $\varepsilon_g(h) \to 0$, kun $h \to 0$. Ratkaisemalla nähdään, että

$$g(x + h) = g(x) + g'(x)h + h\varepsilon_g(h).$$

Vastaavasti, koska $f$ on derivoituva pisteessä $y = g(x)$, erotusosamäärä

$$\frac{f(y + k) - f(y)}{k} \to f'(y) \Leftrightarrow \frac{f(y + k) - f(y)}{k} - f'(y) \to 0,$$

kun $h \to 0$. Voidaan määritellä rinnakkainen $\varepsilon_f(k)$, joka toteuttaa ehdot

$$f(y + k) = f(y) + f'(y)k + k\varepsilon_f(k)$$

ja $\varepsilon_f(k) \to 0$, kun $k \to 0$.

Tutkitaan nyt yhdistetyn funktion $f \circ g$ arvoa pisteessä $x + h$.

$$(f \circ g)(x + h) = f(g(x + h)) = f\Big(g(x) + g'(x)h + h\varepsilon_g(h)\Big),$$

missä $g(x) = y$ ja $0 \not= g'(x)h + h\varepsilon_g(h) = k$ on reaaliluku. Sijoittamalla nämä nähdään, että

$$\begin{aligned} f(g(x + h)) = f(y + k) = f(y) + f'(y)k + k\varepsilon_f(k) = f(g(x)) + f'(g(x))k + k\varepsilon_f(k).\end{aligned}$$

Järjestellään termejä uudelleen ja sijoitetaan $k = g'(x)h + h\varepsilon_g(h)$, jolloin

$$\begin{split}\begin{aligned} &\frac{f(g(x + h)) - f(g(x))}{h} - f'(g(x))g'(x) \\ &= f'(g(x))\varepsilon_g(h) + h(g'(x) + \varepsilon_g(h))^2\varepsilon_f\Big(h(g'(x) + \varepsilon_g(h))\Big) = \varepsilon_{f \circ g}(h).\end{aligned}\end{split}$$

Nyt väitteen todistamiseksi riittää osoittaa, että

$$\varepsilon_{f \circ g}(h) = f'(g(x))\varepsilon_g(h) + h(g'(x) + \varepsilon_g(h))^2\varepsilon_f\Big(h(g'(x) + \varepsilon_g(h))\Big) \to 0,$$

kun $h \to 0$. Tämä toteutuu, sillä oletusten nojalla $\varepsilon_g(h) \to 0$, kun $h \to 0$, ja luvut $f'(g(x))$ ja $g'(x)$ ovat vakioita. Täten

$$(f \circ g)'(x) = \lim_{h \to 0}\frac{f(g(x + h)) - f(g(x))}{h} = f'(g(x))g'(x).$$

$\square$

Merkintöjä $u=f(g(x))$ ja $y=g(x)$ käyttäen edellinen derivointisääntö voidaan kirjoittaa muotoon

$$D_x(u) = D_y(u)D_x(y)\qquad\text{tai}\qquad\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}=\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}y}\,\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}.$$

Kyseessä on siis eräänlainen ketju muuttujia, joiden suhteen edellinen funktio derivoidaan, ja lopuksi lasketaan derivaattojen tulo. Usein puhutaankin ketjusäännöstä, ja se on helppo muistaa derivaatan osamäärämerkinnässä. Kolmen funktion yhdistelmälle merkinnöin $u = f(g(h(x)))$, $v = g(h(x))$, $y = h(x)$ ketjusääntö voitaisiin kirjoittaa muodossa

$$(f \circ g \circ h)'(x) = f'(g(h(x)))g'(h(x))h'(x)\qquad\text{tai}\qquad \frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x} = \frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}v}\,\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}y}\,\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}.$$

Useammankin funktion yhdistelmän käsitteleminen on luonnollisesti myös mahdollista.

Esimerkki.

Derivoi $h(x)=\left(x^2+\dfrac{1}{x}\right)^{11}$.

Ratkaisu.

Tulkitaan $h$ funktioksi $h(x)=f(g(x))$, missä $f(y)=y^{11}$ ja $g(x)=x^2+\dfrac{1}{x}$. Koska $f'(y)=11y^{10}$, niin

$$h'(x)=11\Big(x^2+\dfrac{1}{x}\Big)^{10}D\Big(x^2+\dfrac{1}{x}\Big)=11\Big(x^2+\dfrac{1}{x}\Big)^{10}\Big(2x-\dfrac{1}{x^2}\Big).$$

Lause.

Olkoon $f$ aidosti kasvava (vähenevä) ja derivoituva välillä $I$. Merkitään $y=f(x)$. Tällöin käänteisfunktio $f^{-1} : f(I)\to I$ on derivoituva niissä välin $f(I)$ pisteissä $y$, joille $f'(x)\ne0$, ja derivaatta pisteessä $y = f(x)$ on

$$D_y(f^{-1}(y))=\frac{1}{f'(x)}.$$

Todistus.

Aikaisemmin todistetun nojalla käänteisfunktio $f^{-1}$ on jatkuva ja $f(I)$ on todella reaalilukuväli. Tutkitaan käänteisfunktion erotusosamäärää pisteessä $y_0=f(x_0)$. Merkitään $y=f(x)$ ja vaaditaan, että $y\ne y_0$, jolloin myös $x\ne x_0$.

$$\begin{aligned} \frac{f^{-1}(y)-f^{-1}(y_0)}{y-y_0} =\frac{x-x_0}{f(x)-f(x_0)} =\frac{1}{\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}} \to\frac{1}{f'(x_0)},\end{aligned}$$

kun $y \to y_0$, sillä $f^{-1}$ on jatkuva ja siten $x=f^{-1}(y)\to f^{-1}(y_0)=x_0$, kun $y\to y_0$. $\square$

Muilla merkintätavoilla käänteisfunktion derivoimissääntö voidaan kirjoittaa helposti muistettavaan muotoon

$$\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y}=\frac{1}{\,\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\,}$$

missä $\mathrm{d}x/\mathrm{d}y$ lasketaan pisteessä $y=f(x)$ ja $\mathrm{d}y/\mathrm{d}x$ pisteessä $x$.

Esimerkki.

Olkoon $y=f(x)=\sqrt[3]{x}$. Laske $f'(x)$.

Ratkaisu.

Tähän mennessä todistettu potenssifunktion derivointikaava koskee vain kokonaislukupotensseja, joten sitä ei voi soveltaa. Funktion $f$ käänteisfunktio $f^{-1}(y) = y^3$ on kuitenkin aidosti kasvava ja derivoituva, ja $D_yf^{-1}(y) = 3y^2 \not= 0$, kun $y = f(x) \not= 0$, eli kun $x \not= 0$. Täten funktio $f$ on myös derivoituva kaikkialla paitsi pisteessä $0$, ja

$$f'(x) = \frac{1}{3y^2} = \frac{1}{3(\sqrt[3]{x})^2} = \frac{1}{3}x^{-\frac{2}{3}}.$$

Käänteisfunktion derivointisäännön avulla potenssifunktion derivointikaava voidaan laajentaa kattamaan kaikki rationaaliluvut.

Lause.

Jos $r\in\mathbb Q$, $x \not= 0$ ja potenssilausekkeen $x^r$ määrittelyehdot ovat voimassa, niin

$$D(x^r)=rx^{r-1}.$$

Todistus.

Tutkitaan ensin funktiota $y=f(x)=x^{\frac{1}{n}}$, missä $n\in\mathbb N$. Funktiolla $f$ on aidosti kasvava ja derivoituva käänteisfunktio $x=f^{-1}(y)=y^n$, jolle $D_yf^{-1}(y)=ny^{n-1} \not= 0$, kun $y \not= 0$, eli kun $x \not= 0$. Täten myös $f$ on derivoituva ja

$$f'(x)=\frac{1}{ny^{n-1}}=\frac{1}{n(x^{1/n})^{n-1}}=\frac{1}{n}x^{1/n-1}.$$

Siten lauseen väite on voimassa, kun $r=\frac{1}{n}$.

Yleisessä tapauksessa kirjoitetaan $r=\frac{m}{n}$, missä $n\in\mathbb N$. Nyt ketjusäännön mukaan

$$\begin{split}\begin{aligned} D(x^r)&=D\left(\left(x^{\frac{1}{n}}\right)^m\right) =m\left(x^{\frac{1}{n}}\right)^{m-1}D\left(x^{\frac{1}{n}}\right) =m\left(x^{\frac{1}{n}}\right)^{m-1}\frac{1}{n}x^{\frac{1}{n}-1}\\ &=\frac{m}{n}x^{\frac{m}{n}-1}=rx^{r-1}.\end{aligned}\end{split}$$

$\square$

Esimerkki.

1. $\displaystyle D(\sqrt{x})=D(x^{1/2})=\frac12x^{-1/2}=\frac{1}{2\sqrt{x}}$.
2. $\displaystyle D\left((3x^2-7)^{\frac{3}{2}}\right)=\frac32(3x^2-7)^{1/2}\cdot 6x=9x\sqrt{3x^2-7}$.

Posting submission...