Määritelmä ja perusominaisuudet

Olkoon \(s(t)\) kuljettu matka ajan \(t\) funktiona. Kun nopeudella tarkoitetaan kuljetun matkan muutosta aikayksikössä, keskimääräinen nopeus aikavälillä \((t, t+\Delta t)\) on

\[\frac{\Delta s}{\Delta t}=\frac{s(t+\Delta t)-s(t)}{\Delta t}.\]

Lyhentämällä tarkasteltavan aikavälin pituutta \(\Delta t\) saadaan tarkempi käsitys kuljetun matkan käyttäytymisestä, ja kun \(\Delta t \to 0\) päädytään käsittelemään hetkellistä nopeutta

\[v(t)=\lim_{\Delta t\to0}\frac{s(t+\Delta t)-s(t)}{\Delta t}.\]

Näistä kinematiikan käsitteistä voidaan yleistää reaalifunktion \(f\) derivaatan käsite.

Määritelmä.

Funktion \(f : I\to\mathbb R\) derivaatta (derivative) määrittelyvälin \(I\) pisteessä \(a\) on

\[f'(a)=\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h},\]

mikäli kyseinen raja-arvo on olemassa. Tällöin sanotaan, että \(f\) on derivoituva (differentiable) pisteessä \(a\). Funktion \(f\) oikeanpuoleinen derivaatta pisteessä \(a\) on

\[f'(a+)=\lim_{h\to0+}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}\]

ja vasemmanpuoleinen derivaatta

\[f'(a-)=\lim_{h\to0-}\frac{f(a+h)-f(a)}{h},\]

mikäli kyseiset raja-arvot ovat olemassa. Funktio \(f\) on derivoituva (differentiable), mikäli sillä on oikean- tai vasemmanpuoleinen derivaatta välin \(I\) päätepisteissä ja se on derivoituva kaikissa muissa välin \(I\) pisteissä. Tällöin derivaatat joukon \(I\) pisteissä \(x\) määrittelevät funktion \(f'(x)\), jota kutsutaan funktion \(f\) derivaataksi.

Oikean- ja vasemmanpuoleisten raja-arvojen luonnehdinnasta havaitaan, että funktio on derivoituva pisteessä \(a\) jos ja vain jos sillä on pisteessä \(a\) sekä oikean- että vasemmanpuoleinen derivaatta ja ne ovat yhtäsuuret. Tällöin \(f'(a)=f'(a-)=f'(a+)\). Funktion \(f\) derivaattaa merkitään myös

\[f'(x)=D_xf(x)=Df(x)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}f(x)=\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}.\]

Määritelmässä esiintyvää osamäärää kutsutaan erotusosamääräksi (difference quotient). Asettamalla \(x=a+h\) funktion \(f\) derivaatta pisteessä \(a\) voidaan yhtäpitävästi kirjoittaa myös raja-arvona

\[f'(a)=\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}.\]

Muistetaan, että pisteiden \((x_1,y_1)\) ja \((x_2,y_2)\) kautta kulkevan suoran kulmakerroin (slope) on

\[k=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1},\]

jolloin geometrisesti erotusosamäärä on \(xy\)-koordinaatiston pisteiden \((a,f(a))\) ja \((x,f(x))\) kautta kulkevan sekantin (secant) kulmakerroin. Kun näiden pisteiden vaakasuuntaista etäisyyttä \(h = x - a\) pienennetään, sekantti lähestyy funktion \(f\) kuvaajan pisteeseen \((a, f(a))\) piirrettyä tangenttia (tangent). Pisteessä \(a\) syntyvän derivaatan geometrinen tulkinta onkin pisteeseen \((a, f(a))\) piirretyn tangentin kulmakerroin.

Funktion \(f\) derivoituvuus pisteessä \(a\) tarkoittaa sitä, että kuvaajalla \(y=f(x)\) on pisteessä \((a,f(a))\) yksikäsitteinen tangenttisuora kulmakertoimella \(f'(a)\). Pisteen \((x_1, y_1)\) kautta kulmakertoimella \(k\) kulkevan suoran yhtälö on

\[y = y_1 + k(x - x_1),\]

joten funktion \(f\) kuvaajalle kohtaan \(a\) piirretyn tangenttisuoran yhtälö on

\[y=f(a)+f'(a)(x-a).\]

Tangenttisuoran yksikäsitteisyys tarkoittaa sitä, että kuvaajalla ei voi olla pisteessä \(a\) terävää kärkeä. Oheisessa kuvassa on hahmoteltu sekantti- ja tangenttisuoria, kun \(h>0\) (\(h\) voi olla myös negatiivinen).

Esimerkki.

Lasketaan funktion \(f(x)=3x^2-7x+5\) derivaatta pisteessä \(3\) määritelmän avulla.

\[\begin{split}\begin{aligned} \frac{f(3+h)-f(3)}{h} &=\frac{(3(3+h)^2-7(3+h)+5)-(3\cdot3^2-7\cdot3+5)}{h}\\ &=\frac{3h^2+11h}{h}=3h+11\to11,\end{aligned}\end{split}\]

kun \(h \to 0\), joten \(f'(3)=11\).

Lause.

Jos \(f\) on derivoituva pisteessä \(a\), niin \(f\) on jatkuva pisteessä \(a\).

Todistus.

On osoitettava, että \(f(x)\to f(a)\), kun \(x\to a\). Näin on, sillä

\[f(x)-f(a)=\frac{f(x)-f(a)}{x-a}(x-a)\to f'(a)\cdot0=0,\]

kun \(x \to a\). Huomaa, että \(x \not= a\), jolloin luvulla \(x - a\) laventaminen ei tuota ongelmia. \(\square\)

Tälle lauseelle käänteinen väite ei ole voimassa, eli jatkuva funktio ei välttämättä ole derivoituva. Esimerkiksi tästä käy itseisarvofunktion \(f(x)=|x|\) käyttäytyminen pisteessä \(x=0\).

Lause.

Olkoot \(f\) ja \(g\) pisteessä \(x\) derivoituvia funktioita ja olkoon \(c\) reaaliluku. Tällöin

1. \(D(cf(x))=cf'(x)\)
2. \(D(f(x)\pm g(x))=f'(x)\pm g'(x)\)
3. \(D(f(x)g(x))=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)\)
4. \(D\left(\dfrac{f(x)}{g(x)}\right)=\dfrac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g(x)^2}\), jos \(g(x)\ne0\).

Todistus.

Kohtaa 1 varten tarkastellaan funktion \(cf\) erotusosamäärää, jolle

\[\frac{cf(x + h) - cf(x)}{h} = c\frac{f(x + h) - f(x)}{h} \to cf'(x),\]

kun \(h \to 0\), sillä \(f\) on derivoituva pisteessä \(x\). Kohta 2 todistuu vastaavalla menetelmällä.

Kohdan 3 funktion \(f(x)g(x)\) erotusosamäärän osoittajassa voidaan lisätä ja vähentää termi \(f(x)g(x + h)\), jolloin

\[\begin{split}\begin{aligned} \frac{f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x)}{h} &=\frac{f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x+h)+f(x)g(x+h)-f(x)g(x)}{h}\\ &=\frac{f(x+h)-f(x)}{h}g(x+h)+f(x)\frac{g(x+h)-g(x)}{h}\\ &\to f'(x)g(x)+f(x)g'(x),\end{aligned}\end{split}\]

kun \(h \to 0\). Tässä \(\lim\limits_{h\to0}g(x+h)=g(x)\), sillä \(g\) on jatkuva pisteessä \(x\).

Kohdan 4 todistamiseksi tutkitaan ensin funktion \(1/g(x)\) erotusosamäärää. Lavennetaan termillä \(g(x+h)g(x)\), missä \(g(x) \not= 0\), jolloin

\[\begin{aligned} \frac{\dfrac{1}{g(x+h)}-\dfrac{1}{g(x)}}{h} =\frac{g(x)-g(x+h)}{h}\,\frac{1}{g(x+h)g(x)} \to-g'(x)\frac{1}{g(x)^2},\end{aligned}\]

kun \(h\to0\). On siis osoitettu, että

\[D\left(\dfrac{1}{g(x)}\right)=-\frac{g'(x)}{g(x)^2},\]

kun \(g(x) \not= 0\). Nyt kohdasta 3 seuraa

\[\begin{split}\begin{aligned} D\left(\dfrac{f(x)}{g(x)}\right) &=D\left(f(x)\dfrac{1}{g(x)}\right) =f'(x)\dfrac{1}{g(x)}+f(x)\left(\dfrac{1}{g(x)}\right)'\\ &=\dfrac{f'(x)}{g(x)}-f(x)\frac{g'(x)}{g(x)^2} =\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g(x)^2}.\end{aligned}\end{split}\]

\(\square\)

Lause.

Vakiofunktion \(f(x)=c\) derivaatta on \(f'(x) = 0\).

Todistus.

Määritelmän mukaan

\[f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} =\lim_{h\to0}\frac{c-c}{h}=0.\]

\(\square\)

Esimerkki.

Laske \(D\left(x^{-1}\right)\), \(D\left(x\right)\) ja \(D\left(x^2\right)\) määritelmän avulla.

Ratkaisu.

Sovelletaan derivaatan määritelmää.

\[\begin{split}\begin{aligned} D\left(x^{-1}\right) &=D\left(\frac1x\right) =\lim_{h\to0}\frac{\frac{1}{x+h}-\frac{1}{x}}{h} =\lim_{h\to0}\frac{\frac{x-(x+h)}{(x+h)x}}{h}=\lim_{h\to0}\frac{-1}{(x+h)x} =-\frac{1}{x^2} =-x^{-2}\\ D\left(x\right)&=\lim_{h\to0}\frac{(x+h)-x}{h}=\lim_{h\to0}1=1\\ D(x^2)&=\lim_{h\to0}\frac{(x+h)^2-x^2}{h} =\lim_{h\to0}\frac{x^2+2xh+h^2-x^2}{h} =\lim_{h\to0}(2x+h)=2x\end{aligned}\end{split}\]

Jokaisen vastaantulevan funktion derivointi suoraan määritelmän avulla käy työlääksi, joten käsitellään muutamia derivointikaavoja laskujen suoraviivaistamiseksi. Yleistetään tämän esimerkin laskujen perusteella potenssifunktion derivointikaava.

Lause.

Jos \(n\in\mathbb Z\), ja \(x\ne0\) jos \(n<0\), niin \(D(x^n) = nx^{n - 1}\).

Todistus.

Jos \(n = 0\), niin väite on \(D(1) = 0\), joka on tosi vakiofunktion derivointisäännön nojalla. Todistetaan väite positiiville kokonaisluvuille induktiolla.

1. Alkuaskel. Jos \(n = 1\), niin väite on \(D(x) = 1\), mikä osoitettiin edellä.

2. Induktioaskel. Tehdään induktio-oletus, jonka mukaan \(D(x^k) = kx^{k - 1}\), kun \(k\) on positiivinen kokonaisluku. Pyritään osoittamaan, että \(D(x^{k + 1}) = (k + 1)x^k\). Tulon derivointisäännön nojalla

   \[D(x^{k + 1}) = D(x \cdot x^k) = D(x)x^k + xD(x^k) \stackrel{\text{io}}{=} x^k + kx^k = (k + 1)x^k,\]

   eli induktioväite on tosi.

Induktioperiaatteen nojalla \(D(x^n) = nx^{n - 1}\) aina, kun \(n\) on positiivinen kokonaisluku.

Negatiivisia kokonaislukuja \(n\) varten oletetaan, että \(x \not= 0\) ja merkitään \(m = -n\). Tällöin \(m\) on positiivinen kokonaisluku, ja edellä todistetun sekä osamäärän derivointisäännön nojalla

\[D(x^n) = D\left(\frac{1}{x^m}\right) = \frac{D(1)x^m - D(x^m)}{(x^m)^2} = -\frac{mx^{m - 1}}{x^{2m}} = -mx^{-m-1} = nx^{n - 1}.\]

\(\square\)

Polynomi- ja rationaalifunktiot rakentuvat täsmälleen tämän lauseen käsittelemistä potenssifunktioista, jolloin derivaatan laskusääntöjen vuoksi ne ovat derivoituvia määrittelyjoukoissaan.

Esimerkki.

1. Funktion \(f(x) = x^3 - \dfrac{1}{x^5}\) derivaatta on

   \[f'(x) = D(x^3 - x^{-5}) = D(x^3) - D(x^{-5}) = 3x^2 - (-5)x^{-6} = 3x^2 + \frac{5}{x^6}.\]

2. Funktion \(f(x) = \dfrac{x^2 + x}{x^3 - 7}\) derivaatta on

   \[\begin{split}\begin{aligned} f'(x) &= \frac{D(x^2 + x)(x^3 - 7) - (x^2 + x)D(x^3 - 7)}{(x^3 - 7)^2}\\ &= \frac{(2x + 1)(x^3 - 7) - 3x^2(x^2 + x)}{(x^3 - 7)^2} = \frac{-x^4-2x^3-14x-7}{(x^3-7)^2}. \end{aligned}\end{split}\]

Esimerkki.

Mikä on käyrän \(y=x^3-4x^2+7\) pisteeseen \((3,-2)\) piirretyn tangenttisuoran yhtälö?

Ratkaisu.

Kyseessä on funktion \(y=y(x)\) kuvaaja, joten tangenttisuoran kulmakertoimen antaa derivaatan arvo pisteessä \(3\). Nyt \(y(3) = -2\) \(y'(x)=3x^2-8x\), joten \(y'(3)=3\) ja tangenttisuoran yhtälö on

\[y=-2+3(x-3)=3x-11.\]

Oman derivointisääntönsä ansaitsevat myös yhdistetty funktio ja käänteisfunktio.

Lause.

Olkoon funktio \(g\) derivoituva pisteessä \(x\) ja funktio \(f\) derivoituva pisteessä \(g(x)\). Tällöin yhdistetty funktio \(f \circ g\) on derivoituva pisteessä \(x\) ja

\[(f\circ g)'(x)=f'(g(x))g'(x).\]

Todistus.

Koska \(g\) on derivoituva pisteessä \(x\), erotusosamäärä

\[\frac{g(x + h) - g(x)}{h} \to g'(x) \Leftrightarrow \frac{g(x + h) - g(x)}{h} - g'(x) \to 0,\]

kun \(h \to 0\). Merkitään tässä

\[\frac{g(x + h) - g(x)}{h} - g'(x) = \varepsilon_g(h),\]

jolloin siis \(\varepsilon_g(h) \to 0\), kun \(h \to 0\). Ratkaisemalla nähdään, että

\[g(x + h) = g(x) + g'(x)h + h\varepsilon_g(h).\]

Vastaavasti, koska \(f\) on derivoituva pisteessä \(y = g(x)\), erotusosamäärä

\[\frac{f(y + k) - f(y)}{k} \to f'(y) \Leftrightarrow \frac{f(y + k) - f(y)}{k} - f'(y) \to 0,\]

kun \(h \to 0\). Voidaan määritellä rinnakkainen \(\varepsilon_f(k)\), joka toteuttaa ehdot

\[f(y + k) = f(y) + f'(y)k + k\varepsilon_f(k)\]

ja \(\varepsilon_f(k) \to 0\), kun \(k \to 0\).

Tutkitaan nyt yhdistetyn funktion \(f \circ g\) arvoa pisteessä \(x + h\).

\[(f \circ g)(x + h) = f(g(x + h)) = f\Big(g(x) + g'(x)h + h\varepsilon_g(h)\Big),\]

missä \(g(x) = y\) ja \(0 \not= g'(x)h + h\varepsilon_g(h) = k\) on reaaliluku. Sijoittamalla nämä nähdään, että

\[\begin{aligned} f(g(x + h)) = f(y + k) = f(y) + f'(y)k + k\varepsilon_f(k) = f(g(x)) + f'(g(x))k + k\varepsilon_f(k).\end{aligned}\]

Järjestellään termejä uudelleen ja sijoitetaan \(k = g'(x)h + h\varepsilon_g(h)\), jolloin

\[\begin{split}\begin{aligned} &\frac{f(g(x + h)) - f(g(x))}{h} - f'(g(x))g'(x) \\ &= f'(g(x))\varepsilon_g(h) + h(g'(x) + \varepsilon_g(h))^2\varepsilon_f\Big(h(g'(x) + \varepsilon_g(h))\Big) = \varepsilon_{f \circ g}(h).\end{aligned}\end{split}\]

Nyt väitteen todistamiseksi riittää osoittaa, että

\[\varepsilon_{f \circ g}(h) = f'(g(x))\varepsilon_g(h) + h(g'(x) + \varepsilon_g(h))^2\varepsilon_f\Big(h(g'(x) + \varepsilon_g(h))\Big) \to 0,\]

kun \(h \to 0\). Tämä toteutuu, sillä oletusten nojalla \(\varepsilon_g(h) \to 0\), kun \(h \to 0\), ja luvut \(f'(g(x))\) ja \(g'(x)\) ovat vakioita. Täten

\[(f \circ g)'(x) = \lim_{h \to 0}\frac{f(g(x + h)) - f(g(x))}{h} = f'(g(x))g'(x).\]

\(\square\)

Merkintöjä \(u=f(g(x))\) ja \(y=g(x)\) käyttäen edellinen derivointisääntö voidaan kirjoittaa muotoon

\[D_x(u) = D_y(u)D_x(y)\qquad\text{tai}\qquad\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}=\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}y}\,\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}.\]

Kyseessä on siis eräänlainen ketju muuttujia, joiden suhteen edellinen funktio derivoidaan, ja lopuksi lasketaan derivaattojen tulo. Usein puhutaankin ketjusäännöstä, ja se on helppo muistaa derivaatan osamäärämerkinnässä. Kolmen funktion yhdistelmälle merkinnöin \(u = f(g(h(x)))\), \(v = g(h(x))\), \(y = h(x)\) ketjusääntö voitaisiin kirjoittaa muodossa

\[(f \circ g \circ h)'(x) = f'(g(h(x)))g'(h(x))h'(x)\qquad\text{tai}\qquad \frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x} = \frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}v}\,\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}y}\,\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}.\]

Useammankin funktion yhdistelmän käsitteleminen on luonnollisesti myös mahdollista.

Esimerkki.

Derivoi \(h(x)=\left(x^2+\dfrac{1}{x}\right)^{11}\).

Ratkaisu.

Tulkitaan \(h\) funktioksi \(h(x)=f(g(x))\), missä \(f(y)=y^{11}\) ja \(g(x)=x^2+\dfrac{1}{x}\). Koska \(f'(y)=11y^{10}\), niin

\[h'(x)=11\Big(x^2+\dfrac{1}{x}\Big)^{10}D\Big(x^2+\dfrac{1}{x}\Big)=11\Big(x^2+\dfrac{1}{x}\Big)^{10}\Big(2x-\dfrac{1}{x^2}\Big).\]

Lause.

Olkoon \(f\) aidosti kasvava (vähenevä) ja derivoituva välillä \(I\). Merkitään \(y=f(x)\). Tällöin käänteisfunktio \(f^{-1} : f(I)\to I\) on derivoituva niissä välin \(f(I)\) pisteissä \(y\), joille \(f'(x)\ne0\), ja derivaatta pisteessä \(y = f(x)\) on

\[D_y(f^{-1}(y))=\frac{1}{f'(x)}.\]

Todistus.

Aikaisemmin todistetun nojalla käänteisfunktio \(f^{-1}\) on jatkuva ja \(f(I)\) on todella reaalilukuväli. Tutkitaan käänteisfunktion erotusosamäärää pisteessä \(y_0=f(x_0)\). Merkitään \(y=f(x)\) ja vaaditaan, että \(y\ne y_0\), jolloin myös \(x\ne x_0\).

\[\begin{aligned} \frac{f^{-1}(y)-f^{-1}(y_0)}{y-y_0} =\frac{x-x_0}{f(x)-f(x_0)} =\frac{1}{\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}} \to\frac{1}{f'(x_0)},\end{aligned}\]

kun \(y \to y_0\), sillä \(f^{-1}\) on jatkuva ja siten \(x=f^{-1}(y)\to f^{-1}(y_0)=x_0\), kun \(y\to y_0\). \(\square\)

Muilla merkintätavoilla käänteisfunktion derivoimissääntö voidaan kirjoittaa helposti muistettavaan muotoon

\[\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y}=\frac{1}{\,\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\,}\]

missä \(\mathrm{d}x/\mathrm{d}y\) lasketaan pisteessä \(y=f(x)\) ja \(\mathrm{d}y/\mathrm{d}x\) pisteessä \(x\).

Esimerkki.

Olkoon \(y=f(x)=\sqrt[3]{x}\). Laske \(f'(x)\).

Ratkaisu.

Tähän mennessä todistettu potenssifunktion derivointikaava koskee vain kokonaislukupotensseja, joten sitä ei voi soveltaa. Funktion \(f\) käänteisfunktio \(f^{-1}(y) = y^3\) on kuitenkin aidosti kasvava ja derivoituva, ja \(D_yf^{-1}(y) = 3y^2 \not= 0\), kun \(y = f(x) \not= 0\), eli kun \(x \not= 0\). Täten funktio \(f\) on myös derivoituva kaikkialla paitsi pisteessä \(0\), ja

\[f'(x) = \frac{1}{3y^2} = \frac{1}{3(\sqrt[3]{x})^2} = \frac{1}{3}x^{-\frac{2}{3}}.\]

Käänteisfunktion derivointisäännön avulla potenssifunktion derivointikaava voidaan laajentaa kattamaan kaikki rationaaliluvut.

Lause.

Jos \(r\in\mathbb Q\), \(x \not= 0\) ja potenssilausekkeen \(x^r\) määrittelyehdot ovat voimassa, niin

\[D(x^r)=rx^{r-1}.\]

Todistus.

Tutkitaan ensin funktiota \(y=f(x)=x^{\frac{1}{n}}\), missä \(n\in\mathbb N\). Funktiolla \(f\) on aidosti kasvava ja derivoituva käänteisfunktio \(x=f^{-1}(y)=y^n\), jolle \(D_yf^{-1}(y)=ny^{n-1} \not= 0\), kun \(y \not= 0\), eli kun \(x \not= 0\). Täten myös \(f\) on derivoituva ja

\[f'(x)=\frac{1}{ny^{n-1}}=\frac{1}{n(x^{1/n})^{n-1}}=\frac{1}{n}x^{1/n-1}.\]

Siten lauseen väite on voimassa, kun \(r=\frac{1}{n}\).

Yleisessä tapauksessa kirjoitetaan \(r=\frac{m}{n}\), missä \(n\in\mathbb N\). Nyt ketjusäännön mukaan

\[\begin{split}\begin{aligned} D(x^r)&=D\left(\left(x^{\frac{1}{n}}\right)^m\right) =m\left(x^{\frac{1}{n}}\right)^{m-1}D\left(x^{\frac{1}{n}}\right) =m\left(x^{\frac{1}{n}}\right)^{m-1}\frac{1}{n}x^{\frac{1}{n}-1}\\ &=\frac{m}{n}x^{\frac{m}{n}-1}=rx^{r-1}.\end{aligned}\end{split}\]

\(\square\)

Esimerkki.

1. \(\displaystyle D(\sqrt{x})=D(x^{1/2})=\frac12x^{-1/2}=\frac{1}{2\sqrt{x}}\).
2. \(\displaystyle D\left((3x^2-7)^{\frac{3}{2}}\right)=\frac32(3x^2-7)^{1/2}\cdot 6x=9x\sqrt{3x^2-7}\).

Palautusta lähetetään...