Jatkuvuus

Raja-arvon määritelmässä ei vaadita, että funktio \(f\) olisi määritelty rajapisteessä \(a\). Jos \(f(a)\) on määritelty, niin voidaan kysyä, onko funktion arvo sama kuin raja-arvo.

Määritelmä.

Olkoon funktio \(f\) määritelty välillä \((c, d)\) ja oletetaan, että \(a\in(c,d)\). Sanotaan, että \(f\) on jatkuva (continuous) pisteessä \(a\), jos

\[f(a)=\lim_{x\to a}f(x).\]

Jatkuvuutta varten vaaditaan siis, että

1. \(f\) on määritelty pisteessä \(a\),
2. funktiolla \(f\) on raja-arvo pisteessä \(a\),
3. funktion arvo ja raja-arvo ovat yhtä suuret.

Raja-arvon määritelmän \(\varepsilon\delta\)-ehto ja nämä vaatimukset voidaan muotoilla suoraan yhdeksi \(\varepsilon\delta\)-ehdoksi.

Lause.

Välillä \((c, d)\) määritelty funktio \(f\) on jatkuva välin \((c, d)\) pisteessä \(a\), jos ja vain jos jokaista \(\varepsilon > 0\) kohti löydetään \(\delta > 0\), jolle

\[|x - a| < \delta \Rightarrow |f(x) - f(a)| < \varepsilon,\]

tai yhtäpitävästi \(f\big((a - \delta, a + \delta)\big) \subseteq (f(a) - \varepsilon, f(a) + \varepsilon)\).

Esimerkki.

1. Aiemman esimerkin funktiota \(g : \mathbb R\setminus\{0\}\to\mathbb R\),

   \[g(x) = x\sin\left(\frac{1}{x}\right)\]

   ei ole määritelty pisteessä \(0\), mutta sillä on raja-arvo \(\lim\limits_{x\to0}g(x)=0\). Niinpä funktio \(f\colon\mathbb R\to\mathbb R\),

   \[\begin{split}f(x)=\begin{cases}x\sin\dfrac1x,&\text{kun }x\ne0\\ 0,&\text{kun }x=0\end{cases}\end{split}\]

   on jatkuva pisteessä \(0\). Funktio \(g\) saadaan siis jatkettua jatkuvaksi funktioksi pisteessä \(0\), kun määritellään \(g(0)\) sopivasti. Tällöin sanotaan, että piste \(0\) on funktion \(g\) poistuva epäjatkuvuuspiste.

2. Toisen aiemman esimerkin kohdissa 2–5 funktiota \(f\) ei saada millään määrittelyllä \(f(0)\) jatkuvaksi pisteessä \(0\).

Välin päätepisteessä jatkuvuus on määriteltävä erikseen.

Määritelmä.

Välillä \([a,d)\) määritelty funktio \(f\) on oikealta puolijatkuva pisteessä \(a\), jos

\[f(a)=\lim_{x\to a+}f(x).\]

Vastaavasti välillä \((c,a]\) määritelty funktio \(f\) on vasemmalta puolijatkuva pisteessä \(a\), jos

\[f(a)=\lim_{x\to a-}f(x).\]

Esimerkki.

Funktio

\[\begin{split}f(x)=\begin{cases} x^2-1,&\text{kun }x\le1\\ 2-x,&\text{kun }x>1 \end{cases}\end{split}\]

on vasemmalta puolijatkuva pisteessä \(1\), mutta ei oikealta.

Tällaisessa tilanteessa, jossa pisteessä \(a\) on olemassa äärelliset toispuoleiset raja-arvot, mutta ne ovat erisuuret, sanotaan funktiolla olevan hyppäysepäjatkuvuuspiste.

Jos funktio \(f\) on jatkuva pisteessä \(a\), se on selvästi myös sekä oikealta että vasemmalta puolijatkuva pisteessä \(a\).

Määritelmä.

Olkoon \(I\) reaalilukuväli ja funktio \(f\) määritelty joukossa \(I\). Funktio \(f\) on jatkuva välillä \(I\), jos jokin seuraavista ehdoista toteutuu.

• \(I\) on \((c, d)\) ja \(f\) on jatkuva jokaisessa välin \((c, d)\) pisteessä.
• \(I\) on \([c, d)\), \(f\) on jatkuva välillä \((c, d)\) ja \(f\) on oikealta puolijatkuva pisteessä \(c\).
• \(I\) on \((c, d]\), \(f\) on jatkuva välillä \((c, d)\) ja \(f\) on vasemmalta puolijatkuva pisteessä \(d\).
• \(I\) on \([c, d]\), \(f\) on jatkuva välillä \((c, d)\) ja \(f\) on puolijatkuva molemmissa päätepisteissä.

Olkoot \(I_1, I_2, \ldots, I_n\) reaalilukuvälejä, \(A = I_1 \cup I_2 \cup \cdots \cup I_n\) ja funktio \(f\) määritelty joukossa \(A\). Funktio \(f\) on jatkuva joukossa \(A\), jos se on jatkuva jokaisella välillä \(I_j\), \(j = 1, \ldots, n\).

Lisäksi funktio on paloittain jatkuva välillä \(I\), jos sillä on äärellinen määrä epäjatkuvuuspisteitä ja ne kaikki ovat hyppäysepäjatkuvuuksia.

Jatkossakin joukolla \(I\) tarkoitetaan yleistä reaalilukuväliä, joka voi olla avoin, puoliavoin tai suljettu, sekä rajoitettu tai rajoittamaton.

Raja-arvon laskusääntöjen mukaisesti jatkuvien funktioiden summa, erotus, tulo ja osamäärä ovat myös jatkuvia.

Lause.

Olkoot funktiot \(f\) ja \(g\) jatkuvia pisteessä \(a\). Tällöin \(f(x)+g(x)\), \(f(x)-g(x)\) ja \(f(x)g(x)\) ovat jatkuvia pisteessä \(a\). Jos lisäksi \(g(a)\ne0\), niin myös \(\frac{f(x)}{g(x)}\) on jatkuva pisteessä \(a\).

Esimerkiksi jokainen polynomifunktio \(f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0\) on jatkuva joukossa \(\mathbb R\) ja edelleen jokainen rationaalifunktio on jatkuva määrittelyjoukossaan.

Esimerkki.

1. Funktio \(f(x)=-3x^2+7x-1\) on jatkuva joukossa \(\mathbb R\).

2. Funktio \(f(x)=\dfrac1x\) on jatkuva määrittelyjoukossaan \(\mathbb R\setminus\{0\}=(-\infty,0)\cup(0,\infty)\).

3. Funktio

   \[f(x)=\frac{x^2+5x+6}{x^2-2x-8}\]

   on jatkuva määrittelyjoukossaan \(\mathbb R\setminus\{-2,4\}\). Koska

   \[f(x)=\frac{(x+2)(x+3)}{(x+2)(x-4)}=\frac{x+3}{x-4},\]

   niin

   \[\lim_{x \to -2}f(x) = \frac{-2 + 3}{-2 - 4} = -\frac{1}{6}\]

   ja piste \(-2\) on funktion \(f\) poistuva epäjatkuvuuspiste. Täten \(f\) saadaan jatkuvaksi joukkoon \(\mathbb R\setminus\{4\}\) määrittelemällä \(f(-2) = \frac{1}{6}\).

4. Aiemman esimerkin funktio on paloittain jatkuva joukossa \(\mathbb R\) ja kohdan 3 funktio on paloittain jatkuva joukossa \(\mathbb R\setminus\{4\}\). Miksi kohtien 2 ja 3 funktiot eivät ole paloittain jatkuvia koko reaalilukujen joukossa?

Lause.

Olkoon funktio \(g\) jatkuva pisteessä \(a\) ja olkoon \(f\) jatkuva pisteessä \(g(a)\). Tällöin yhdistetty funktio \((f\circ g)(x)=f(g(x))\) on jatkuva pisteessä \(a\).

Esimerkki.

Koska \(\sqrt{x}\) on jatkuva joukossa \([0,\infty)\), niin funktio

\[f(x)=\sqrt{\frac{x+3}{x-4}}\]

on jatkuva määrittelyjoukossaan \((-\infty,-3]\cup(4,\infty)\).

Jatkuvuuden ajatus voidaan kiteyttää sen geometriseen tulkintaan, jonka mukaan jatkuvan funktion kuvaaja voidaan piirtää nostamatta kynää paperista. Tämän vuoksi seuraava lause, jonka perustelut sivuutetaan tässä, on helppo ymmärtää.

Lause.

Olkoon funktio \(f\) jatkuva suljetulla ja rajoitetulla välillä \([a,b]\). Jos \(y \in [f(a), f(b)]\), niin löydetään välin \([a, b]\) piste \(c\), jolle \(f(c) = y\), eli funktio \(f\) saavuttaa lukujen \(f(a)\) ja \(f(b)\) välissä olevat arvot. Tämä on jatkuvien funktioiden väliarvolause.

Hyvin tunnettu väliarvolauseen erikoistapaus on Bolzanon lause.

Lause.

Olkoon funktio \(f\) jatkuva suljetulla ja rajoitetulla välillä \([a,b]\) ja olkoot \(f(a)\) ja \(f(b)\) erimerkkiset. Tällöin löydetään välin \([a, b]\) piste \(c\), jolle \(f(c) = 0\), eli funktiolla \(f\) on nollakohta välillä \([a, b]\).

Esimerkki.

Tutkitaan jatkuvan funktion \(f(x)=x^5-3x+1\) nollakohtia. Tiedetään, että tällä viidennen asteen polynomifunktiolla on korkeintaan \(5\) reaalista nollakohtaa, mutta yleistä ratkaisukaavaa niiden löytämiseksi ei ole. Lasketaan funktion arvoja muutamissa pisteissä. Koska \(f(-2)=-25<0\) ja \(f(-1)=3>0\), niin välillä \([-2,-1]\) on oltava ainakin yksi nollakohta. Puolivälissä \(f(-1.5)\approx-2.09<0\), joten nollakohta on välillä \([-1.5,-1]\). Tämän välin puolivälissä \(f(-1.25)\approx1.70>0\), joten nollakohta on välillä \([-1.5,-1.25]\). Näin voidaan jatkaa, kunnes haluttu tarkkuus on saavutettu. Kyseisen nollakohdan likiarvo yhdeksällä desimaalilla on \(-1.388~791~984\).

Tämä puolitusmenetelmä on yksinkertaisin esimerkki numeerisista nollakohtien laskualgoritmeista.

Tiedetään, että aidosti monotoninen funktio \(f : I\to\mathbb R\) on injektio ja tämän vuoksi sen maalijoukoltaan rajoitettulla versiolla \(f : I\to f(I)\) on käänteisfunktio \(f^{-1} : f(I)\to I\).

Lause.

Välillä \(I\) aidosti kasvavan (vähenevän) jatkuvan funktion \(f\) kuvajoukko \(f(I)\) on reaalilukuväli, ja käänteiskuvaus \(f^{-1} : f(I)\to I\) on jatkuva.

Todistus.

Olkoon funktio \(f\) aidosti kasvava (vähenevän funktion tapaus todistuu vastaavasti) ja käsitellään väitteet yksi kerrallaan.

1. \(f(I)\) on reaalilukuväli. Havainnollistetaan todistusta tapauksessa, jossa \(I = [a, b]\), missä \(a < b\). Koska \(f\) on aidosti kasvava \(f(a) \leq f(x) \leq f(b)\) aina, kun \(x \in [a, b]\), joten \(f(I) \subseteq [f(a), f(b)]\). Toisaalta jatkuvien funktioiden väliarvolauseen nojalla \(f\) saavuttaa kaikki arvot välillä \([f(a), f(b)]\), joten \([f(a), f(b)] \subseteq f(I)\). Täten kuvajoukko \(f(I) = [f(a), f(b)]\), reaalilukuväli. Täsmällisempi todistus sivuutetaan.

2. \(f^{-1}\) on jatkuva. Väite on intuitiivisesti selvä, sillä jos funktion \(f\) kuvaaja voidaan piirtää nostamatta kynää paperista, niin sama on totta myös sen peilikuvalle suoran \(y = x\) suhteen. Oletetaan, että välin \(f(I)\) piste \(c\) ei ole päätepiste. Valitaan niin pieni \(\varepsilon > 0\), että \((f^{-1}(c) - \varepsilon, f^{-1}(c) + \varepsilon) \subseteq I\). Koska funktio \(f : I \to f(I)\) on bijektio, sen käänteisfunktio \(f^{-1}\) on myös bijektio ja erityisesti surjektio. Tämän vuoksi löydetään välin \(f(I)\) pisteet \(x_1\) ja \(x_2\), joille \(f^{-1}(x_1) = f^{-1}(c) - \varepsilon\) ja \(f^{-1}(x_2) = f^{-1}(c) + \varepsilon\).

   Olkoon \(\delta = \min\{c - x_1, x_2 - c\}\). Koska \(f\) on aidosti kasvava,

   \[x_1 = f(f^{-1}(c) - \varepsilon) < c < f(f^{-1}(c) + \varepsilon) = x_2,\]

   ja tämän vuoksi \(\delta > 0\). Valitaan \(c - \delta < x < c + \delta\). Myös käänteisfunktio \(f^{-1}\) on aidosti kasvava, joten

   \[f^{-1}(c - \delta) < f^{-1}(x) < f^{-1}(c + \delta).\]

   Mutta samalla \(\delta \leq x_2 - c\) ja \(-\delta \leq x_1 - c\), joten samoin perustein

   \[f^{-1}(x_1) = f^{-1}(c + x_1 - c) < f^{-1}(x) < f^{-1}(c + x_2 - c) = f^{-1}(x_2),\]

   eli \(f^{-1}(c) - \varepsilon < f^{-1}(y) < f^{-1}(c) + \varepsilon\). Toisin sanoen \(|f^{-1}(y) - f^{-1}(c)| < \varepsilon\), jolloin \(f^{-1}\) on jatkuva pisteessä \(c\). Välin \(f(I)\) mahdollisissa päätepisteissä sovelletaan samankaltaista päättelyä puolijatkuvuuden osoittamiseksi, ja täten \(f^{-1}\) on jatkuva välillä \(f(I)\).

\(\square\)

Lause.

Potenssifunktio \(x^r\), \(r\in\mathbb Q\), on jatkuva määrittelyjoukossaan.

Todistus.

Jaetaan todistus kahteen osaan.

1. \(r = \frac{1}{n}\), missä \(n \in \mathbb N\). Tällöin potenssilausekkeen \(x^r\) määräämä funktio on aidosti kasvavan ja jatkuvan funktion \(f(x) = x^n\) käänteisfunktio, ja täten jatkuva.
2. \(r = \frac{m}{n}\), missä \(m \in \mathbb Z\) ja \(n \in \mathbb N\). Tällöin potenssilausekkeen \(x^r\) määräämä funktio on jatkuvien funktioiden \(f(x) = x^m\) ja \(g(x) = x^{\frac{1}{n}}\) yhdisteenä jatkuva.

\(\square\)

Lause.

Trigonometriset funktiot ja arkusfunktiot ovat jatkuvia määrittelyjoukoissaan.

Todistus.

Olkoon \(a\) reaaliluku. Sinifunktion tapauksessa on osoitettava, että

\[\lim_{x\to a}\sin x=\sin a,\]

eli yhtäpitävästi kun \(x = a + h\)

\[\lim_{h\to0}\sin(a+h)=\sin a.\]

Sinin summakaavan avulla voidaan kirjoittaa

\[\begin{aligned} \lim_{h \to 0}\sin(a+h)=\sin a\left(\lim_{h \to 0}\cos h\right)+\cos a\left(\lim_{h \to 0}\sin h\right) = \sin a \cdot 1 + \cos a \cdot 0 = \sin a.\end{aligned}\]

missä :math:limlimits_{hto 0}sin h=0` ja \(\lim\limits_{h\to 0}\cos h=1\) <lemm-sinikosinirajatnollassa>`. Kosinifunktiota koskeva väite todistetaan vastaavasti. Tangenttifunktio on jatkuva määrittelyjoukossaan, sillä se on jatkuvien funktioiden osamäärä. Arkusfunktioiden jatkuvuus seuraa nyt aiemmasta lauseesta. \(\square\)

Lause.

Eksponentti- ja logaritmifunktiot ovat jatkuvia määrittelyjoukoissaan.

Todistus.

Eksponenttifunktion määritelmä koko reaalilukujen joukossa nojaa jo raja-arvon käsitteeseen, jolloin jatkuvuus on sen luonnollinen ominaisuus. Tarkempi todistus sivuutetaan. Logaritmifunktio on eksponenttifunktion käänteisfunktiona jatkuva. \(\square\)

Seuraus.

Hyperboliset funktiot ja areafunktiot ovat jatkuvia määrittelyjoukoissaan.

Todistus.

Hyperboliset funktiot määritellään eksponenttifunktion ja aritmeettisten laskutoimitusten avulla, ja areafunktiot ovat niiden käänteisfunktiot. \(\square\)

Palautusta lähetetään...