Käänteisfunktio ja yhdistetty funktio

Edellä todettiin, että funktio $f : A\to B$ on bijektio jos ja vain jos jokaista joukon $B$ vastaa täsmälleen yksi sellainen joukon $A$ alkio, että $f(x)=y$. Tämä vastaavuus voidaan kääntää funktion $f$ käänteisfunktion (inverse function) määrittelemiseksi.

$$\begin{aligned} f^{-1} : B \to A, \qquad f^{-1}(y)=x.\end{aligned}$$

Käänteisfunktio on olemassa vain, jos $f$ on bijektio.

Funktio $f : A \to B$ ja sen käänteisfunktio $f^{-1} : B \to A$ toteuttavat siis ehdot

$$y=f(x)\ \Leftrightarrow\ x=f^{-1}(y)$$

ja

$$f^{-1}(f(x))=x\qquad\text{ja}\qquad f(f^{-1}(y))=y$$

kaikilla joukon $A$ alkioilla $x$ ja kaikilla joukon $B$ alkioilla $y$.

Esimerkki.

Osoita, että funktio $f : [0,\infty) \to [1,\infty)$, $f(x)=x^2+1$ on bijektio ja määritä sen käänteisfunktion lauseke.

Ratkaisu.

Olkoon $y\in[1,\infty)$. Tällöin

$$\begin{split}\begin{aligned} f(x)=y&\Leftrightarrow x^2+1=y\\ &\stackrel{\geq 0}{\Leftrightarrow} x^2=y-1\\ &\Leftrightarrow x=\sqrt{y-1} \quad\text{tai}\quad x=-\sqrt{y-1}\end{aligned}\end{split}$$

Näistä $-\sqrt{y - 1}$ ei sisälly funktion $f$ määrittelyjoukkoon, joten on olemassa täsmälleen yksi sellainen välin $[0, \infty)$ alkio $x$, että $f(x)=y$. Täten $f$ on bijektio, ja sen käänteisfunktio on

$$f^{-1}\colon[1,\infty)\to[0,\infty),\ f^{-1}(y)=\sqrt{y-1}.$$

Tarkistetaan vielä käänteisfunktion ominaisuudet.

$$\begin{split}\begin{aligned} f(f^{-1}(y))&=(\sqrt{y-1})^2+1=(y-1)+1=y\\ f^{-1}(f(x))&=\sqrt{(x^2+1)-1}=\sqrt{x^2}=|x|=x\end{aligned}\end{split}$$

Funktio ja sen käänteisfunktio muistuttavat ominaisuuksiltaan matriisia $A$, $\det(A) \not= 0$ ja sen käänteismatriisia $A^{-1}$, joille $AA^{-1} = I = A^{-1}A$. Mikä funktioiden operaatio vastaisi tässä vertauksessa matriisikertolaskua?

Määritelmä.

Jos $f : A\to B$ ja $g : B\to C$ ovat funktioita, niin yhdistetty funktio (composite function) $g\circ f : A\to C$ määritellään asettamalla

$$\begin{aligned} (g\circ f)(x)=g(f(x)).\end{aligned}$$

Funktiota $f$ sanotaan sisäfunktioksi ja funktiota $g$ ulkofunktioksi. Merkintä $g\circ f$ luetaan yksinkertaisesti ”g pallo f”.

Kuvan mukaisesti yhdistetty funktio ikään kuin kuljettaa määrittelyjoukon $A$ alkion $x$ joukon $B$ alkion $f(x)$ kautta lopulliselle kuvalle $g(f(x))$ arvojoukossa $C$.

Esimerkki.

1. Olkoot $f$ ja $g$ funktioita säännöillä $f(x)=x^3+3$ ja $g(x)=\sqrt{x-1}$. Näistä voidaan muodostaa yhdistetyt funktiot

   $$\begin{split}\begin{aligned} (f\circ g)(x)&=f(\sqrt{x-1})=(\sqrt{x-1})^3+3=(x-1)^{3/2}+3&&(x\ge1)\\ (g\circ f)(x)&=g(x^3+3)=\sqrt{(x^3+3)-1}=\sqrt{x^3+2}&&(x\ge-\sqrt[3]{2}). \end{aligned}\end{split}$$

2. Olkoot $f$ ja $g$ funktioita säännöillä $f(x)=\dfrac{2}{x}$ ja $g(x)=\dfrac{x}{1-x}$. Nyt

   $$(f\circ g)(x)=f(g(x))=\frac{2}{\frac{x}{1-x}}=\frac{2(1-x)}{x}.$$

   Jotta sisäfunktio $g(x)$ olisi määritelty, on oltava $x\ne1$. Toisaalta ulkofunktion määrittely vaatii, että $g(x)\ne0$, eli $x\ne0$. Yhdistetyn funktion $f\circ g$ määrittelyjoukko on siis $\mathbb R\setminus\{0,1\}$. Samalla tavoin yhdistetyn funktion

   $$(g\circ f)(x)=g(f(x))=\frac{\frac2x}{1-\frac2x}=\frac{2}{x-2}$$

   määrittelyjoukoksi saadaan $\mathbb R\setminus\{0,2\}$.

Esimerkki.

Olkoot

$$\begin{split}\begin{aligned} &f : \mathbb R^2\to\mathbb R^3,\ f(x_1,x_2)=(x_1^2,x_1x_2,x_1+1)\qquad\text{ja}\\ &g : \mathbb R^3\to\mathbb R,\ g(x_1,x_2,x_3)=x_1x_2x_3\end{aligned}\end{split}$$

funktioita. Tällöin voidaan muodostaa yhdistetty funktio $g\circ f\colon\mathbb R^2\to\mathbb R$,

$$(g\circ f)(x_1,x_2)=g(f(x_1,x_2))=g(x_1^2,x_1x_2,x_1+1)=x_1^2\cdot x_1x_2\cdot(x_1+1),$$

mutta $f\circ g$ ei ole määritelty. Vertaa tilanteeseen, jossa matriisien tulo on määritelty vain tietyssä järjestyksessä.

Jos käänteisfunktio toimii kuin käänteisluku, niin mikä on funktioiden vastine matriisitulon $AA^{-1} = I$ tulokselle? Identiteettimatriisilla kertominen tuottaa alkuperäisen matriisin, ja sellainen funktio, joka varmasti ei muuta yhdisteessä ulko- tai sisäfunktiota on $\operatorname{id}(x) = x$! Tässä funktiota $\operatorname{id}$ kutsutaan identtiseksi kuvaukseksi. Aiemmin esitellyt käänteisfunktioparin $f : A \to B$ ja $f^{-1} : B \to A$ toteuttamat ehdot voidaan nyt tulkita funktioiden yhdisteen avulla muodossa

$$\begin{aligned} f^{-1}\circ f=\operatorname{id}_A\qquad\text{ja}\qquad f\circ f^{-1}=\operatorname{id}_B,\end{aligned}$$

missä alaindeksimerkintöjä käytetään muistuttamaan, minkä joukon alkioille identtinen kuvaus toimii.

Posting submission...