Käänteisfunktio ja yhdistetty funktio¶

Edellä todettiin, että funktio \(f : A\to B\) on bijektio jos ja vain jos jokaista joukon \(B\) vastaa täsmälleen yksi sellainen joukon \(A\) alkio, että \(f(x)=y\). Tämä vastaavuus voidaan kääntää funktion \(f\) käänteisfunktion (inverse function) määrittelemiseksi.

\[\begin{aligned} f^{-1} : B \to A, \qquad f^{-1}(y)=x.\end{aligned}\]

Käänteisfunktio on olemassa vain, jos \(f\) on bijektio.

Funktio \(f : A \to B\) ja sen käänteisfunktio \(f^{-1} : B \to A\) toteuttavat siis ehdot

\[y=f(x)\ \Leftrightarrow\ x=f^{-1}(y)\]

\[f^{-1}(f(x))=x\qquad\text{ja}\qquad f(f^{-1}(y))=y\]

kaikilla joukon \(A\) alkioilla \(x\) ja kaikilla joukon \(B\) alkioilla \(y\).

Esimerkki.

Osoita, että funktio \(f : [0,\infty) \to [1,\infty)\), \(f(x)=x^2+1\) on bijektio ja määritä sen käänteisfunktion lauseke.

Ratkaisu.

Olkoon \(y\in[1,\infty)\). Tällöin

\[\begin{split}\begin{aligned} f(x)=y&\Leftrightarrow x^2+1=y\\ &\stackrel{\geq 0}{\Leftrightarrow} x^2=y-1\\ &\Leftrightarrow x=\sqrt{y-1} \quad\text{tai}\quad x=-\sqrt{y-1}\end{aligned}\end{split}\]

Näistä \(-\sqrt{y - 1}\) ei sisälly funktion \(f\) määrittelyjoukkoon, joten on olemassa täsmälleen yksi sellainen välin \([0, \infty)\) alkio \(x\), että \(f(x)=y\). Täten \(f\) on bijektio, ja sen käänteisfunktio on

\[f^{-1}\colon[1,\infty)\to[0,\infty),\ f^{-1}(y)=\sqrt{y-1}.\]

Tarkistetaan vielä käänteisfunktion ominaisuudet.

\[\begin{split}\begin{aligned} f(f^{-1}(y))&=(\sqrt{y-1})^2+1=(y-1)+1=y\\ f^{-1}(f(x))&=\sqrt{(x^2+1)-1}=\sqrt{x^2}=|x|=x\end{aligned}\end{split}\]

Funktio ja sen käänteisfunktio muistuttavat ominaisuuksiltaan matriisia \(A\), \(\det(A) \not= 0\) ja sen käänteismatriisia \(A^{-1}\), joille \(AA^{-1} = I = A^{-1}A\). Mikä funktioiden operaatio vastaisi tässä vertauksessa matriisikertolaskua?

Määritelmä.

Jos \(f : A\to B\) ja \(g : B\to C\) ovat funktioita, niin yhdistetty funktio (composite function) \(g\circ f : A\to C\) määritellään asettamalla

\[\begin{aligned} (g\circ f)(x)=g(f(x)).\end{aligned}\]

Funktiota \(f\) sanotaan sisäfunktioksi ja funktiota \(g\) ulkofunktioksi. Merkintä \(g\circ f\) luetaan yksinkertaisesti ”g pallo f”.

Kuvan mukaisesti yhdistetty funktio ikään kuin kuljettaa määrittelyjoukon \(A\) alkion \(x\) joukon \(B\) alkion \(f(x)\) kautta lopulliselle kuvalle \(g(f(x))\) arvojoukossa \(C\).

Esimerkki.

Olkoot \(f\) ja \(g\) funktioita säännöillä \(f(x)=x^3+3\) ja \(g(x)=\sqrt{x-1}\). Näistä voidaan muodostaa yhdistetyt funktiot

\[\begin{split}\begin{aligned} (f\circ g)(x)&=f(\sqrt{x-1})=(\sqrt{x-1})^3+3=(x-1)^{3/2}+3&&(x\ge1)\\ (g\circ f)(x)&=g(x^3+3)=\sqrt{(x^3+3)-1}=\sqrt{x^3+2}&&(x\ge-\sqrt[3]{2}). \end{aligned}\end{split}\]
Olkoot \(f\) ja \(g\) funktioita säännöillä \(f(x)=\dfrac{2}{x}\) ja \(g(x)=\dfrac{x}{1-x}\). Nyt

\[(f\circ g)(x)=f(g(x))=\frac{2}{\frac{x}{1-x}}=\frac{2(1-x)}{x}.\]

Jotta sisäfunktio \(g(x)\) olisi määritelty, on oltava \(x\ne1\). Toisaalta ulkofunktion määrittely vaatii, että \(g(x)\ne0\), eli \(x\ne0\). Yhdistetyn funktion \(f\circ g\) määrittelyjoukko on siis \(\mathbb R\setminus\{0,1\}\). Samalla tavoin yhdistetyn funktion

\[(g\circ f)(x)=g(f(x))=\frac{\frac2x}{1-\frac2x}=\frac{2}{x-2}\]

määrittelyjoukoksi saadaan \(\mathbb R\setminus\{0,2\}\).

Esimerkki.

Olkoot

\[\begin{split}\begin{aligned} &f : \mathbb R^2\to\mathbb R^3,\ f(x_1,x_2)=(x_1^2,x_1x_2,x_1+1)\qquad\text{ja}\\ &g : \mathbb R^3\to\mathbb R,\ g(x_1,x_2,x_3)=x_1x_2x_3\end{aligned}\end{split}\]

funktioita. Tällöin voidaan muodostaa yhdistetty funktio \(g\circ f\colon\mathbb R^2\to\mathbb R\),

\[(g\circ f)(x_1,x_2)=g(f(x_1,x_2))=g(x_1^2,x_1x_2,x_1+1)=x_1^2\cdot x_1x_2\cdot(x_1+1),\]

mutta \(f\circ g\) ei ole määritelty. Vertaa tilanteeseen, jossa matriisien tulo on määritelty vain tietyssä järjestyksessä.

Jos käänteisfunktio toimii kuin käänteisluku, niin mikä on funktioiden vastine matriisitulon \(AA^{-1} = I\) tulokselle? Identiteettimatriisilla kertominen tuottaa alkuperäisen matriisin, ja sellainen funktio, joka varmasti ei muuta yhdisteessä ulko- tai sisäfunktiota on \(\operatorname{id}(x) = x\)! Tässä funktiota \(\operatorname{id}\) kutsutaan identtiseksi kuvaukseksi. Aiemmin esitellyt käänteisfunktioparin \(f : A \to B\) ja \(f^{-1} : B \to A\) toteuttamat ehdot voidaan nyt tulkita funktioiden yhdisteen avulla muodossa

\[\begin{aligned} f^{-1}\circ f=\operatorname{id}_A\qquad\text{ja}\qquad f\circ f^{-1}=\operatorname{id}_B,\end{aligned}\]

missä alaindeksimerkintöjä käytetään muistuttamaan, minkä joukon alkioille identtinen kuvaus toimii.