Integraali¶

Integraalilaskennan motivaationa ovat seuraavat ongelmat.

Etsi sellainen funktio \(F\), jonka derivaatta on annettu funktio \(f\). Ratkaisua merkitään

\[F(x)=\int f(x)\,\mathrm{d}x.\]
Laske sellaisen alueen \(A\) pinta-ala, jota rajoittavat \(x\)-akseli, suorat \(x=a\) ja \(x=b\) sekä funktion \(f>0\) kuvaaja. Ratkaisua merkitään

\[a(A)=\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x.\]

Esimerkki.

Kappale liikkuu pitkin \(x\)-akselia. Tiedetään, että kappaleen kiihtyvyys ajan \(t\) funktiona on \(a(t)=6t\). Kappale lähtee liikkeelle levosta ajanhetkellä \(t=0\). Ratkaise sen nopeus \(v(t)\) ajan funktiona.

Ratkaisu.

\(v'(t)=a(t)\), joten kyseessä on kohdan 1 mukainen ongelma. Helposti nähdään, että ainakin funktio \(v(t)=3t^2\) toteuttaa yhtälön \(v'(t)=a(t)\) ja alkuehdon \(v(0)=0\).

Osoittautuu, että hyvin erilaisilta näyttävillä ongelmilla 1 ja 2 on läheinen yhteys keskenään.

Tärppejä tähän osioon:

Integraalifunktio, integrointi, integroinnin lineaarisuus
Osittaisintegrointi, integrointi suoralla ja käänteisellä sijoituksella
Rationaalifunktion integrointi osamurtokehitelmällä
Riemann-integroituvuus, määrätyn integraalin lineaarisuus ja arviointi
Integraalilaskennan väliarvolause, analyysin peruslause, integraalin laskeminen integraalifunktion avulla
Määrätyn integraalin osittaisintegrointi ja sijoitus, parittomien ja parillisten funktioiden määrätyt integraalit
Funktioiden kuvaajien väliin jäävän alueen pinta-ala, kuvaajan pituus, pyörähdyskappaleen vaipan ala ja tilavuus
Integrointi numeerisesti Riemannin summilla, puolisuunnikassääntö ja Simpsonin kaava
Epäoleelliset integraalit rajoittamattomalla välillä, ja rajoittamattomalle funktiolle, sekä yhdistelmät
Muotoa \(\frac{1}{x^p}\) olevien funktioiden epäoleellisten integraalien suppeneminen ja vertailuperiaate