Kompleksiluvun juuret¶
Reaaliluvun \(y\) reaalijuuria tarkasteltaessa voidaan tunnistaa seuraavat, kuvan avulla helposti muistettavat tapaukset.
- Jos \(n\) on pariton, on täsmälleen yksi reaalinen juuri \(\sqrt[n]{y}\).
- Jos \(n\) on parillinen ja \(y < 0\), ei ole reaalisia juuria.
- Jos \(n\) on parillinen ja \(y>0\), on täsmälleen kaksi reaalista juurta \(-\sqrt[n]{y}\) ja \(\sqrt[n]{y}\).
Esimerkki.
Luvun \(-1\) eräät toiset juuret ovat \(i\) ja \(-i\), sillä
\[i^2=-1\qquad\text{ja}\qquad (-i)^2=i^2=-1.\]Löydätkö muita kompleksilukuja, joiden neliö on \(-1\)?
Luvun \(-8 = 8e^{i\pi}\) eräs kolmas juuri on \(2e^{i\pi/3}\), sillä
\[\left(2e^{i\pi/3}\right)^3=2^3e^{i(\pi/3)\cdot 3}=8e^{i\pi}=-8.\]Mitkä muut luvut voisivat olla reaaliluvun \(-8\) kolmansia juuria? Ovatko ne kaikki kompleksisia?
Jos tarkastellaan vain reaalilukuja, mahdollinen juurten lukumäärä vaihtelee nollasta kahteen. Kompleksilukujen mukaan ottaminen ikäänkuin täydentää juurten etsimisen teorian, sillä tällöin jokaisella luvulla on täsmälleen \(n\) kappaletta \(n\):siä juuria.
Lause.
Kompleksiluvulla \(z=re^{i\theta}\ne0\) on täsmälleen \(n\) erisuurta \(n\):ttä juurta, jotka sijaitsevat \(\sqrt[n]{r}\)-säteisellä origokeskisellä ympyrällä tasaisesti kulman \(\frac{2\pi}{n}\) välein.
Oletetaan, että kompleksiluku \(se^{i\varphi}\) on luvun \(z\) \(n\):s juuri, jolloin on siis oltava \(s^ne^{in\varphi} = z = re^{i\theta}\). Jotta kaksi kompleksilukua voisivat olla yhtä suuria, niiden itseisarvojen on oltava samat. Tästä päätellään, että \(s^n = r\). Tässä \(r > 0\) on reaaliluku, joten reaalinen \(n\):s juuri on olemassa. Lisäksi luvun \(s\) on oltava myös positiivinen, sillä se on kompleksiluvun itseisarvo. Siis \(s = \sqrt[n]{r}\).
Myös molempien lukujen eksponenttiosien on oltava yhtä suuret, eli \(e^{in\varphi} = e^{i\theta}\). Tämä ehto toteutuu varmasti, jos \(n\varphi = \theta\). Muistetaan kuitenkin, että kompleksiluvun argumentti ei ole yksikäsitteinen, vaan sitä voidaan aina kasvattaa tai vähentää luvun \(2\pi\) verran aiheuttamatta muutoksia. Tämän vuoksi siis yleisesti \(n\varphi = \theta + 2\pi k\), missä \(k\) on kokonaisluku. Argumentti saadaan ratkaistua jakamalla luvulla \(n\), jolloin siis luvun \(z = re^{i\theta}\) \(n\):net juuret ovat muotoa
missä \(k\) on kokonaisluku. Koska kaikkien juurten itseisarvo on \(\sqrt[n]{r}\), ne kaikki sijaitsevat \(\sqrt[n]{r}\)-säteisellä origokeskisellä ympyrällä. Jokainen parametrin \(k\) valinta ei tuota erillistä juurta, sillä
Yhteensä \(n\) eri juurta saadaan siis tuotettua valitsemalla luvuksi \(k\) esimerkiksi kokonaisluvut \(0, 1, 2, \ldots, n - 1\). Peräkkäisten juurten vaihe-ero on
kuten väitettiinkin. \(\square\)
Huomautus.
Kompleksiluvun \(z\) \(n\):ttä juurta merkitään joskus \(z^{1/n}\) tai \(\sqrt[n]{z}\). Näiden merkintöjen kanssa on kuitenkin oltava varovainen, sillä juuria on \(n\) kappaletta. Erityisesti tällä merkintätavalla \(\sqrt{-1}=i\) ja \(\sqrt{-1}=-i\), mutta silti \(i \not= -i\)!
Käytännössä kompleksiluvun \(re^{i\theta}\) juuret voi etsiä suoraan edellä esitetyn kaavan avulla, kun parametrin \(k\) arvoa vaihtelee sopivasti. Toinen helppo keino hakea yksi juuri kirjoittamalla suoraan
ja muistaa, että loput juuret löytyvät kasvattamalla tämän argumenttia \(\frac{2\pi}{n}\) kerrallaan. Olennaisinta on kuitenkin, että kompleksiluvun juuret on ylivoimaisesti helpoin löytää eksponenttimuodon avulla! Kuvan piirtäminen selventää useissa tapauksissa ratkaisua.
Esimerkki.
Etsi
- luvun \(1\) neljännet juuret, eli neljännet yksikönjuuret,
- luvun \(1 + i\) kolmannet juuret.
Kirjoitetaan \(1 = 1e^{i \cdot 0}\), jolloin sen erilliset neljännet juuret ovat
\[w_k = \sqrt[4]{1}e^{i(0 + 2\pi k)/4} = e^{i\frac{\pi}{2}k}, \qquad \text{kun } k = 0, 1, 2, 3.\]Juuret ovat siis \(w_0 = e^{i \cdot 0} = 1\), \(w_1 = e^{i\frac{\pi}{2}} = i\), \(w_2 = e^{i\pi} = -1\) ja \(w_3 = e^{i\frac{3\pi}{2}} = -i\). Toinen tapa olisi havaita, että \(w_0 = \sqrt[4]{1}e^{i \cdot 0} = 1\) on eräs juuri, jonka jälkeen loput juuret löytyvät kulman \(\frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2}\) välein, eli \(w_1 = i\), \(w_2 = -1\) ja \(w_3 = -i\). Alla oleva kuva havainnollistaa ratkaisua.
align: center Kirjoitetaan \(1 + i = \sqrt{2}e^{i\frac{\pi}{4}}\), jolloin sen erilliset kolmannet juuret ovat
\[w_k = \sqrt[3]{\sqrt{2}}e^{i\left(\frac{\pi}{4} + 2\pi k\right)/3} = \sqrt[6]{2}e^{i\left(\frac{\pi}{12} + \frac{2\pi}{3}k\right)}, \qquad \text{kun } k = 0, 1, 2.\]Juuret ovat siis \(w_0 = \sqrt[6]{2}e^{i\frac{\pi}{12}}\), \(w_1 = \sqrt[6]{2}e^{i\frac{3\pi}{4}}\) ja \(w_2 = \sqrt[6]{2}e^{i\frac{17\pi}{12}} = \sqrt[6]{2}e^{-i\frac{7\pi}{12}}\). Alla oleva kuva havainnollistaa ratkaisua.
align: center