Napakoordinaattimuoto

Kompleksiluku $z=x+yi$ voidaan ilmaista myös napakoordinaattien (polar coordinates) $r$ ja $\theta$ avulla, missä $r=|z|$ on luvun $z$ etäisyys origosta kompleksitasossa ja $\theta$ on luvun $z$ paikkavektorin ja reaaliakselin välinen kulma mitattuna reaaliakselista vastapäivään. Kosinin ja sinin määritelmien mukaan kulmaa $\theta$ vastaava kehäpiste yksikköympyrällä on $(\cos\theta,\sin\theta)$, joten $r$-säteisellä ympyrällä kehäpiste on $(x,y)=(r\cos\theta,r\sin\theta)$. Niinpä kompleksiluvun $z$ napakoordinaattimuoto (polar form) on

$$z=r(\cos\theta+i\sin\theta)=r\cos\theta+ir\sin\theta.$$

Kulmaa $\theta$ merkitään myös $\theta=\arg z$ ja kutsutaan vaihekulmaksi eli argumentiksi (argument).

Reaali- ja imaginaariosien $x$ ja $y$ ja napakoordinaattien $r$ ja $\theta$ välinen riippuvuus on siis

$$\begin{split}\begin{aligned} x&=r\cos\theta\\ y&=r\sin\theta \end{aligned}\end{split}$$

Tapauksessa $0\leq\theta\leq\frac{\pi}{2}$ riippuvuudet voidaan lukea myös seuraavan kuvan suorakulmaisesta kolmiosta.

Käänteiseen suuntaan muunnoskaavat voidaan kirjoittaa muodossa

$$\begin{split}\begin{aligned} r&=\sqrt{x^2+y^2}\\ \tan\theta&=\frac{y}{x}\qquad(\text{kun }x\ne0) \end{aligned}\end{split}$$

Jälkimmäisestä yhtälöstä voidaan laskea argumentiksi suoraan $\theta=\arctan\left(\frac{y}{x}\right)$ silloin, kun $-\frac{\pi}{2}<\theta<\frac{\pi}{2}$, eli kun $\operatorname{Re}(x + yi) = x > 0$. Muissa tapauksissa kulman osuminen oikeaan neljännekseen tulee erikseen pohtia esimerkiksi kuvan avulla. Argumentti $\theta$ ei ole yksikäsitteinen, sillä siihen voidaan lisätä tai vähentää mielivaltainen määrä kokonaisia kierroksia ja päätyä jälleen samaan lukuun, eli

$$r(\cos\theta + i\sin\theta) = r(\cos(\theta + n2\pi) + i\sin(\theta + n2\pi))\qquad(n \text{ on kokonaisluku}).$$

Tilanteesta ja sovelluksesta riippuen käsiteltävä argumentti on tapana valita väliltä $[0,2\pi]$ tai $[-\pi,\pi]$.

Esimerkki.

Esitä kompleksiluvut $z = \sqrt{3} + i$ ja $w = -3 + i$ napakoordinaattimuodossa.

Ratkaisu.

Napakoordinaattimuotoa varten lasketaan kummankin luvun itseisarvo ja jokin vaihekulma. Itseisarvoiksi lasketaan

$$|z| = \sqrt{\left(\sqrt{3}\right)^2 + 1^2} = 2\qquad\text{ja}\qquad |w| = \sqrt{(-3)^2 + 1^2} = \sqrt{10}.$$

Merkitään $\theta = \arg z$ ja $\varphi = \arg w$, jolloin $\tan\theta = \frac{1}{\sqrt{3}}$ ja $\tan\varphi = -\frac{1}{3}$. Piirretään kuva.

Kulma $\theta$ voidaan päätellä muistikolmiosta, jolloin saadaan $\theta = \frac{\pi}{6}$. Kulman $\varphi$ määrittämiseksi lasketaan ensin esimerkiksi $\arctan\left(-\frac{1}{3}\right) \approx -0{,}3218$. Koska luku $w$ sijoittuu kompleksitason toiseen neljännekseen, tähän tulokseen voidaan lisätä $\pi$ oikean vaihekulman löytämiseksi. Siis $\varphi = \arctan\left(-\frac{1}{3}\right) + \pi \approx 2{,}820$, eli

$$z = 2\left(\cos\frac{\pi}{6} + i\sin\frac{\pi}{6}\right)\qquad\text{ja}\qquad w \approx \sqrt{10}\left(\cos(2{,}820) + i\sin(2{,}820)\right).$$

Lause.

Jos $z_1=r_1(\cos\theta_1+i\sin\theta_1)$ ja $z_2=r_2(\cos\theta_2+i\sin\theta_2)$, niin

1. $z_1z_2=r_1r_2\big(\cos(\theta_1+\theta_2)+i\sin(\theta_1+\theta_2)\big)$,
2. $\dfrac{z_1}{z_2}=\dfrac{r_1}{r_2} \big(\cos(\theta_1-\theta_2)+i\sin(\theta_1-\theta_2)\big)$, kun $z_2 \not= 0$.

Todistus.

Lasketaan.

$$\begin{split}\begin{aligned} z_1z_2&=r_1(\cos\theta_1+i\sin\theta_1)r_2(\cos\theta_2+i\sin\theta_2)\\ &=r_1r_2\left((\cos\theta_1\cos\theta_2-\sin\theta_1\sin\theta_2)+i(\sin\theta_1\cos\theta_2+\cos\theta_1\sin\theta_2)\right)\\ &=r_1r_2\big(\cos(\theta_1+\theta_2)+i\sin(\theta_1+\theta_2)\big),\end{aligned}\end{split}$$

missä viimeinen yhtäsuuruus seuraa sinin ja kosinin summakaavoista. Osamäärä $\frac{z_1}{z_2}$ lasketaan vastaavasti, kun ensin on lavennettu nimittäjän liittoluvulla $\overline{z}_2$. $\square$

Tämä lause mahdollistaa kompleksilukujen tulon ja osamäärän geometrisen tulkinnan. Ensimmäisen kaavan mukaan tulon $z_1z_2$ itseisarvo on $r_1r_2$, eli tekijöiden itseisarvojen tulo ja vastaavasti tulon argumentti on $\theta_1+\theta_2$, eli tekijöiden argumenttien summa. Osamäärän $z_1/z_2$ tulkinnassa puolestaan sen itseisarvoksi tulee $r_1/r_2$ ja argumentiksi $\theta_1 - \theta_2$.

Tulon ja osamäärän tulkinnat ovat erityisen yksinkertaisia silloin, kun kertojan ja jakajan itseisarvo on $1$. Tällaiset luvut ovat muotoa $\cos\theta + i\sin\theta$ jollakin reaalisella vaihekulmalla $\theta$, sillä

$$|\cos\theta + i\sin\theta| = \sqrt{\cos^2\theta + \sin^2\theta} = 1.$$

Tällä luvulla kertominen tai jakaminen jättää toisen luvun itseisarvon sikseen, jolloin kyseessä on vain kierto kulman $\theta$ tai $-\theta$ verran. Esimerkiksi luvulla $i=\cos\frac{\pi}{2}+i\sin\frac{\pi}{2}$ kertominen vastaa kiertoa kulman $\frac{\pi}{2}$ verran vastapäivään ja jakaminen samanlaista kiertoa myötäpäivään.

Kompleksilukujen potenssit $z^n$ ja $z^{-n}$, missä $n$ on luonnollinen luku, määritellään samoin kuin reaaliluvuille. Luku $z^{-n}$ on luvun $z^n$ käänteisluku, eli $z^{-n} = 1/z^n$ ja $z^0 = 1$ aina, kun $z \not= 0$.

Esimerkki.

Laske $(1 + i)^9$ ja $(1 + i)^{-9}$.

Ratkaisu.

Suoraan määritelmän avulla voidaan laskea esimerkiksi

$$(1 + i)^9 = \left((1 + i)^3\right)^3 = (-2 + 2i)^3 = 16 + 16i,$$

jolloin

$$(1 + i)^{-9} = \frac{1}{16 + 16i} = \frac{1}{16}\frac{1 - i}{(1 + i)(1 - i)} = \frac{1}{32} - \frac{1}{32}i.$$

Reaalisten binomien tapaan myös kompleksilukujen korkeat potenssit käyvät työläiksi laskea suoraan. Napakoordinaattiesitys tarjoaa tähän kuitenkin eräänlaisen oikotien.

Lause.

Jos $z=r(\cos\theta+i\sin\theta)$ ja $n$ on luonnollinen luku, niin

$$\begin{aligned} z^n=r^n\big(\cos(n\theta)+i\sin(n\theta)\big).\end{aligned}$$

Tämä on Moivren kaava.

Todistus.

Todistetaan väite induktiolla. Jos $n = 1$, väite on selvästi tosi. Oletetaan sitten, että se on tosi jollakin luonnollisella luvulla $k$, eli että

$$z^k=r^k\big(\cos(k\theta)+i\sin(k\theta)\big).$$

Nyt potenssi $z^{k + 1}$ on

$$\begin{split}\begin{aligned} z^{k+1}&=z^kz\stackrel{\text{io}}{=}r^k\big(\cos(k\theta)+i\sin(k\theta)\big)r\big(\cos(\theta)+i\sin(\theta)\big)\\ &=r^{k+1}\big(\cos(k\theta+\theta)+i\sin(k\theta+\theta)\big)\\ &=r^{k+1}\big(\cos((k+1)\theta)+i\sin((k+1)\theta)\big),\end{aligned}\end{split}$$

eli väite on tosi. Täten kaava toteutuu kaikilla luonnollisilla luvuilla $n$ induktioperiaatteen nojalla. $\square$

Esimerkki.

Laske $(1 + i)^9$ ja $(1 + i)^{-9}$ Moivren kaavan avulla.

Ratkaisu.

Luvun $1 + i$ napakoordinaattiesitys on $\sqrt{2}\left(\cos\frac{\pi}{4} + i\sin\frac{\pi}{4}\right)$ (tarkista). Tällöin Moivren kaavan mukaan

$$(1 + i)^9 = \left(\sqrt{2}\right)^9\left(\cos\frac{9\pi}{4} + i\sin\frac{9\pi}{4}\right) = 16 + 16i,$$

ja tämän käänteisluku

$$(1 + i)^{-9} = \frac{1}{\left(\sqrt{2}\right)^9}\left(\cos\left(0 - \frac{9\pi}{4}\right) + i\sin\left(0 - \frac{9\pi}{4}\right)\right) = \frac{1}{32} - \frac{1}{32}i.$$

Posting submission...