Liittoluku ja itseisarvo

Määritelmä.

Kompleksiluvun \(z=a+bi\) liittoluku eli kompleksikonjugaatti (conjugate) \(\overline{z}\) määritellään asettamalla

\[\overline{z}=a-bi.\]

Aiemmissa esimerkeissä lavennettiin siis aina nimittäjän liittoluvulla. Geometrisesti tulkittuna liittoluku on alkuperäisen kompleksiluvun peilikuva reaaliakselin suhteen. Jos kompleksiluvun imaginaariosa on negatiivinen, eli \(b < 0\), niin sen liittoluvun imaginaariosa \(-b\) on positiivinen.

Esimerkki.

\(\overline{-2-3i}=-2+3i\).

Lause.

Jos \(z\) ja \(w\) ovat kompleksilukuja, niin

1. \(\overline{\overline{z}}=z\)
2. \(\overline{z+w}=\overline{z}+\overline{w}\)
3. \(\overline{zw}=\overline{z}\cdot\overline{w}\)
4. \(\overline{\left(\dfrac{z}{w}\right)}=\dfrac{\overline{z}}{\overline{w}}\quad(w\ne 0)\)
5. \(z\) on reaalinen jos ja vain jos \(z=\overline{z}\).

Todistus.

Merkitään \(z=a+bi\) ja \(w=c+di\) ja todistetaan esimerkkinä kohdat 2 ja 4. Nyt

\[\overline{z+w}=\overline{(a+c)+(b+d)i}=(a+c)-(b+d)i=(a-bi)+(c-di)= \overline{z}+\overline{w}\]

ja jos \(w \not= 0\), niin

\[\overline{w^{-1}} = \overline{\frac{c}{c^2 + d^2} - \frac{d}{c^2 + d^2}i} = \frac{c}{c^2 + d^2} + \frac{d}{c^2 + d^2}i = \overline{w}^{-1}.\]

Loput kohdasta 4 voidaan todistaa kohdan 3 avulla. Muut kohdat todistetaan samaan tapaan, ja lisäksi 1 ja 5 ovat geometrisesti ilmeisiä väittämiä. \(\square\)

Määritelmä.

Kompleksiluvun \(z=a+bi\) itseisarvo eli moduli (absolute value, modulus) \(|z|\) määritellään asettamalla

\[|z|=\sqrt{a^2+b^2}.\]

Kun muistetaan kompleksiluvun tulkinta tasovektorina, on selvää että itseisarvon geometrinen vastine on luvun paikkavektorin pituus, eli luvun etäisyys origosta.

Esimerkki.

\(\left|-2-3i\right|=\sqrt{(-2)^2+(-3)^2}=\sqrt{13}\)

Lause.

Jos \(z\) ja \(w\) ovat kompleksilukuja, niin

1. \(|z|^2=z\overline{z}\)
2. \(|z|=0\) jos ja vain jos \(z=0\)
3. \(|z|=|\overline{z}|\)
4. \(|zw|=|z||w|\)
5. \(\left|\dfrac{z}{w}\right|=\dfrac{|z|}{|w|}\quad(w\ne 0)\)
6. \(|z+w|\le|z|+|w|\quad\) (kolmioepäyhtälö)

Todistus.

Merkitään \(z = a + bi\) ja todistetaan esimerkkinä kohdat 1 ja 4. Nyt

\[z\overline{z}=(a+bi)(a-bi)=a^2-b^2i^2=a^2+b^2=|z|^2\]

ja tätä hyödyntämällä nähdään, että

\[|zw|^2=zw\overline{zw}=zw\overline{z}\,\overline{w} =z\overline{z}w\overline{w}=|z|^2|w|^2,\]

eli \(|zw| = |z||w|\). Muut kohdista 1–5 todistetaan samaan tapaan. Kohta 6 on geometrisesti selvä, sillä lukua \(|z+w|\) edustaa summavektorin pituus, kun \(|z|\) ja \(|w|\) ovat summattavien vektorien pituuksia. Nämä puolestaan muodostavat kuvan mukaisen kolmion, jossa intuitiivisesti kahden sivun pituuden summa on suurempi kuin kolmannen.

Täsmällisempi todistus sivuutetaan, sillä vastaava tulos käsitellään Euklidisen avaruuden vektoreille. \(\square\)

Huomautus.

Jos \(z\) ja \(w\) ovat kompleksilukuja, niin \(|z - w|\) on niiden välinen etäisyys. Piirrä kuva, jonka avulla vakuutut asiasta.

Itseisarvoihin tai liittolukuihin liittyvän yhtälön tai epäyhtälön ratkaisut voidaan monesti selvittää merkitsemällä \(z=x+yi\), missä \(x\) ja \(y\) ovat reaalilukuja. Tällöin siirrytään tarkastelemaan vastaavia ratkaisuja \(xy\)-koordinaatistossa.

Esimerkki.

Ratkaise seuraavat yhtälöt ja epäyhtälöt.

1. \(\overline{z} - z = i\overline{z} + 4\)
2. \(\left|\dfrac{z - 2i}{z - 1}\right| = 1\)
3. \(|z - (2 + 3i)| = 2\)
4. \(|2z - \overline{z}| \leq 1\)

Ratkaisu.

Merkitään kaikissa kohdissa \(z = x + yi\), missä \(x\) ja \(y\) ovat reaalilukuja.

1. Sijoituksen jälkeen yhtälö tulee muotoon

   \[\begin{split}\begin{aligned} &&x-yi-(x+yi)&=i(x-yi)+4\\ \Leftrightarrow&&-2yi&=xi+y+4\\ \Leftrightarrow&&-(y + 4)-(x + 2y)i&=0. \end{aligned}\end{split}\]

   Yhtälön vasen puoli on kompleksiluku, jonka reaali- ja imaginaariosan on oltava nolla. Täten \(-(y + 4) = 0\) ja \(-(x + 2y) = 0\), eli \(y = -4\) ja \(x = -2y = 8\). Sijoittamalla takaisin nähdään, että yhtälön ratkaisu on \(z = 8 - 4i\).

2. Jotta yhtälön vasen puoli olisi määritelty, on oltava \(z \not= 1\). Tällöin myös

   \[\left|\frac{z - 2i}{z - 1}\right| = \frac{|z - 2i|}{|z - 1|} = 1,\]

   eli \(|z - 2i| = |z - 1|\). Sijoituksen jälkeen yhtälö palautuu seuraavaan muotoon.

   \[\begin{split}\begin{aligned} &&|x+yi-2i|&=|x+yi-1|\\ \Leftrightarrow&&|x+(y-2)i|&=|(x-1)+yi|\\ \Leftrightarrow&&\sqrt{x^2+(y-2)^2}&=\sqrt{(x-1)^2+y^2}\\ \Rightarrow&&x^2+y^2-4y+4&=x^2-2x+1+y^2\\ \Leftrightarrow&&y&=\frac12x+\frac34 \end{aligned}\end{split}\]
   
   align:center

   Ratkaisujoukko on kuvan mukainen suora kompleksitasossa. Geometrinen tulkinta yhtälölle \(|z-2i|=|z-1|\) on, että haetaan kaikki ne pisteet \(z\), jotka ovat yhtä kaukana luvuista \(2i\) ja \(1\).

3. Sijoituksen jälkeen yhtälö tulee muotoon

   \[\begin{split}\begin{aligned} &&|x+yi-(2+3i)|=|(x-2)+(y-3)i|&=2\\ \Leftrightarrow&&\sqrt{(x-2)^2+(y-3)^2}&=2\\ \Rightarrow&&(x-2)^2+(y-3)^2&=4. \end{aligned}\end{split}\]
   
   align:center

   Ratkaisujoukko on siis kompleksitason \(2\)-säteinen ympyrä keskipisteenään \(2 + 3i\). Tämä voitaisiin päätellä myös suoraan aiemman huomautuksen avulla: itseisarvoyhtälön \(|z - w| = r\) toteuttavat täsmälleen ne kompleksiluvut \(z\), joiden etäisyys luvusta \(w\) on \(r\).

4. Sijoituksen jälkeen epäyhtälö saa muodon

   \[\begin{split}\begin{aligned} &&|2x+2yi-(x-yi)|=|x+3yi|&\le1\\ \Leftrightarrow&&\sqrt{x^2 + (3y)^2}&\le1\\ \Rightarrow&&x^2+9y^2&\le1\\ \Leftrightarrow&&\frac{x^2}{1^2}+\frac{y^2}{\left(\frac13\right)^2}&\le1 \end{aligned}\end{split}\]
   
   align:center

   Epäyhtälön toteuttavat siis ellipsin \(x^2+9y^2=1\) sisäpuolelle jäävät kompleksiluvut \(x + yi\).

Posting submission...