# Taulukoita¶

## Derivointikaavoja¶

$$f(x)$$ $$f'(x)$$ $$f(x)$$ $$f'(x)$$ Kaava Nimi

$$x^a$$ $$ax^{a - 1}$$ $$x^{\frac{1}{a}}$$ $$\frac{x^{\frac{1}{a} - 1}}{a}$$ $$(cf)' = cf'$$ vakion siirto
$$e^x$$ $$e^x$$ $$\ln x$$ $$\frac{1}{x}$$ $$(f \pm g)' = f' \pm g'$$ lineaarisuus
$$a^x$$ $$a^x\ln a$$ $$\log_a x$$ $$\frac{1}{x\ln a}$$ $$(fg)' = f'g + fg'$$ tulon derivointi
$$\sin x$$ $$\cos x$$ $$\arcsin x$$ $$\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$$ $$\left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f'g - fg'}{g^2}$$ osamäärän derivointi
$$\cos x$$ $$-\sin x$$ $$\arccos x$$ $$-\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$$ $$(f \circ g)' = (f' \circ g)g'$$ ketjusääntö
$$\tan x$$ $$\frac{1}{\cos^2 x}$$ $$\arctan x$$ $$\frac{1}{1 + x^2}$$ $$(f^{-1})' = \frac{1}{(f' \circ f^{-1})}$$ käänteisfunktion derivointi
$$\sinh x$$ $$\cosh x$$ $$\operatorname{ar\,sinh}x$$ $$\frac{1}{\sqrt{1 + x^2}}$$
$$\cosh x$$ $$\sinh x$$ $$\operatorname{ar\,cosh}x$$ $$\frac{1}{\sqrt{x^2 - 1}}$$
$$\tanh x$$ $$\frac{1}{\cosh^2 x}$$ $$\operatorname{ar\,tanh}x$$ $$\frac{1}{1 - x^2}$$

## Perusintegraaleja¶

 $$f(x)$$ $$\int f(x)\,\mathrm{d}x$$ Huomioita $$x^n$$ $$\frac{x^{n + 1}}{n + 1} + C$$ $$n \in \mathbb Z\setminus \{-1\}$$, ei voimassa pisteen $$0$$ yli jos $$n < 0$$ $$x^a$$ $$\frac{x^{a + 1}}{a + 1} + C$$ $$a \in \mathbb R\setminus \{-1\}$$, voimassa kun $$x > 0$$ $$\frac{1}{x}$$ $$\ln|x| + C$$ ei voimassa pisteen $$0$$ yli $$e^x$$ $$e^x + C$$ $$\sin x$$ $$-\cos x + C$$ $$\cos x$$ $$\sin x + C$$ $$\tan x$$ $$-\ln|\cos x| + C$$ ei voimassa pisteiden $$\frac{\pi}{2} + n\pi$$, $$n \in \mathbb Z$$ yli $$\frac{1}{\tan x}$$ $$\ln|\sin x| + C$$ ei voimassa pisteiden $$n\pi$$, $$n \in \mathbb Z$$ yli $$\frac{1}{\cos^2 x}$$ $$\tan x + C$$ ei voimassa pisteiden $$\frac{\pi}{2} + n\pi$$, $$n \in \mathbb Z$$ yli $$\frac{1}{\sin^2 x}$$ $$-\frac{1}{\tan x} + C$$ ei voimassa pisteiden $$n\pi$$, $$n \in \mathbb Z$$ yli $$\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$$ $$\arcsin x + C$$ voimassa kun $$-1 < x < 1$$ $$\frac{1}{1 + x^2}$$ $$\arctan x + C$$ $$\frac{1}{\sqrt{1 + x^2}}$$ $$\operatorname{ar\,sinh}x + C$$ $$\frac{1}{\sqrt{x^2 - 1}}$$ $$\operatorname{ar\,cosh}x + C$$ ei voimassa kun $$-1 < x < 1$$ $$\frac{1}{1 - x^2}$$ $$\operatorname{ar\,tanh}x + C$$ voimassa kun $$-1 < x < 1$$

## Sarjakehitelmiä¶

Sarjakehitelmä Suppenemisväli

$$\frac{1}{1 - x} = \sum_{k = 0}^{\infty}x^k = 1 + x + x^2 + x^3 + x^4 + \cdots$$ $$-1 < x < 1$$
$$e^x = \sum_{k = 0}^{\infty}\frac{x^k}{k!} = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + \frac{x^4}{24} + \cdots$$ $$\mathbb R$$
$$\sin x = \sum_{k = 0}^{\infty}\frac{(-1)^{k}x^{2k + 1}}{(2k + 1)!} = x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} - \frac{x^7}{5040} + \frac{x^9}{362880} - \cdots$$ $$\mathbb R$$
$$\cos x = \sum_{k = 0}^{\infty}\frac{(-1)^kx^{2k}}{(2k)!} = 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} - \frac{x^6}{720} + \frac{x^8}{40320} - \cdots$$ $$\mathbb R$$
$$\ln(1 + x) = \sum_{k = 0}^{\infty}\frac{(-1)^kx^{k + 1}}{k + 1} = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \frac{x^5}{5} - \cdots$$ $$-1 < x \leq 1$$
Posting submission...