Matriisien laskutoimituksia

Aiemmin todettiin, että pystyvektorit ovat $n \times 1$-matriiseja. Kääntäen voisi myös ilmaista, että matriisit ovat eräänlainen vektorikäsitteen laajennus, ja tämän vuoksi myös niille määritellään samankaltaisia laskutoimituksia.

Oletetaan seuraavassa, että

$$A=\begin{bmatrix}\mathbf{a}_1 & \mathbf{a}_2 &\ldots &\mathbf{a}_n\end{bmatrix} \qquad\text{ja}\qquad B=\begin{bmatrix}\mathbf{b}_1 & \mathbf{b}_2 &\ldots &\mathbf{b}_n\end{bmatrix}$$

ovat $m \times n$-matriiseja. Kahden matriisin summa voidaan palauttaa tämän esityksen avulla vektorien summaksi. Asetetaan

$$A+B=\begin{bmatrix}\mathbf{a}_1+\mathbf{b}_1 & \mathbf{a}_2+\mathbf{b}_2 &\ldots &\mathbf{a}_n+\mathbf{b}_n\end{bmatrix},$$

eli kahden samankokoisen matriisin summaa varten lasketaan siis vastinsarakkeet yhteen vektoreina. Jos $A = [a_{ij}]$ ja $B = [b_{ij}]$, niin tästä määritelmästä seuraa myös se, että $A + B = [a_{ij} + b_{ij}]$, eli summa voidaan laskea alkioittain.

Vastaavalla tavalla matriisin ja skalaarin tuloksi asetetaan

$$rA = \begin{bmatrix} r\mathbf{a}_1 & r\mathbf{a}_2 & \cdots & r\mathbf{a}_n \end{bmatrix} = [ra_{ij}],$$

eli matriisin sarakkeet (vaihtoehtoisesti alkiot) kerrotaan skalaarilla $r$. Matriisin $A$ vastamatriisi on $-A = (-1)A$, ja kuten vektorien erotus myös matriisien erotus määritellään kaavalla

$$A - B = A + (-B).$$

Kaksi matriisia ovat samat, jos ne ovat samankokoisia ja niiden kaikki vastinsarakkeet (vastinalkiot) ovat samat.

Esimerkki.

Olkoon

$$\begin{split}A = \begin{bmatrix} -3 & 2 \\ 0 & 1 \end{bmatrix},\qquad B = \begin{bmatrix} -1 & 3 & 1 \\ 0 & 2 & 3 \end{bmatrix},\qquad C = \begin{bmatrix} 1 & -2 \\ 1 & 2 \\ -1 & 3 \end{bmatrix}\qquad\text{ja}\qquad D = \begin{bmatrix} 3 & 0 \\ 1 & -2 \end{bmatrix}.\end{split}$$

Jos mahdollista, laske

1. $2C + B$,
2. $A + 3D$,
3. $B - 2A$,
4. $D - 2A$.

Ratkaisu.

1. Matriisit $B$ ja $C$ ovat erikokoisia, joten ei voi laskea.

2. Matriisit $A$ ja $D$ ovat samankokoisia, joten voidaan laskea.

   $$\begin{split}\begin{aligned} A+3D&=\begin{bmatrix} -3 & 2 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}+ 3\begin{bmatrix} 3 & 0 \\ 1 & -2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -3 & 2 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 3 \cdot 3 & 3 \cdot 0 \\ 3 \cdot 1 & 3 \cdot (-2) \end{bmatrix} \\ &=\begin{bmatrix} -3+9 & 2+0 \\ 0+3 & 1+(-6) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 & 2 \\ 3 & -5 \end{bmatrix} \end{aligned}\end{split}$$

3. Matriisit $A$ ja $B$ ovat erikokoisia, joten ei voi laskea.

4. Matriisit $A$ ja $D$ ovat samankokoisia, joten voidaan laskea.

   $$\begin{split}\begin{aligned} D-2A&=\begin{bmatrix} 3 & 0 \\ 1 & -2 \end{bmatrix}-2\begin{bmatrix} -3 & 2 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 3 & 0 \\ 1 & -2 \end{bmatrix}- \begin{bmatrix} 2 \cdot (-3) & 2 \cdot 2 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} 3-(-6) & 0-4 \\ 1-0 & -2-2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 9 & -4 \\ 1 & -4 \end{bmatrix} \end{aligned}\end{split}$$

Kuten vektoreille, myös matriiseille määritellään kertolasku hieman omalaatuisella tavalla. Alkioittaisesta kertolaskusta on hyvin vähän teoreettista hyötyä, joten se hylätään. Lähdetään liikkeelle yhtälöryhmän

$$\begin{split}\begin{cases} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \cdots + a_{1n}x_n = b_1\\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \cdots + a_{2n}x_n = b_2\\ \phantom{a_{31}x_1 + a_{32}x_2 +}\vdots \\ a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \cdots + a_{mn}x_n = b_m. \end{cases}\end{split}$$

esittämisestä matriisien ja vektorien avulla mahdollisimman yksinkertaisessa muodossa. Aiemmin puhuttiin jo yhtälöryhmän kerroinmatriisista $A$, sekä muuttuja- ja vakiotermivektoreista $\mathbf{x}$ ja $\mathbf{b}$.

$$\begin{split}A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{bmatrix}, \qquad \mathbf{x}= \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{bmatrix}, \qquad \mathbf{b}= \begin{bmatrix} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_m \end{bmatrix}\end{split}$$

Toisaalta yhtälöryhmä voidaan kirjoittaa kerroinmatriisin sarakkeiden avulla muodossa

$$\begin{split}\begin{bmatrix} a_{11} \\ a_{21} \\ \vdots \\ a_{m1} \end{bmatrix}x_1 + \begin{bmatrix} a_{12} \\ a_{22} \\ \vdots \\ a_{m2} \end{bmatrix}x_2 + \cdots + \begin{bmatrix} a_{1n} \\ a_{2n} \\ \vdots \\ a_{mn} \end{bmatrix}x_n = \begin{bmatrix} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_m \end{bmatrix}.\end{split}$$

Matriisin $A$ ja vektorin $\mathbf{x}$ välinen tulo halutaan nyt määritellä siten, että edellinen yhtälö voidaan kirjoittaa lyhyesti $A\mathbf{x}= \mathbf{b}$.

Määritelmä.

$m \times n$-matriisin $A$ ja avaruuden $\mathbb R^n$ vektorin $\mathbf{x}$ tulo on avaruuden $\mathbb R^m$ vektori

$$\begin{split}A\mathbf{x}= \begin{bmatrix} \mathbf{a}_1 & \mathbf{a}_2 & \cdots & \mathbf{a}_n \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{bmatrix} = x_1\mathbf{a}_1 + x_2\mathbf{a}_2 + \cdots + x_n\mathbf{a}_n.\end{split}$$

Matriisin ja vektorin tulon ajatuksen hahmottaminen vaatii harjoittelua, mutta se käy kokemuksen karttuessa yhä luonnollisemmaksi.

Esimerkki.

Laske $A\mathbf{x}$ kun $A=\begin{bmatrix} 1 & 4 & -2\\ 2 & 0 & 3\\ 0 & 1 & 7\\ 3 & -3 & 6 \end{bmatrix}$ ja $\mathbf{x}=\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3\end{bmatrix}$.

Ratkaisu.

Matriisin ja vektorin tulon laskemiseksi jokainen matriisin sarake kerrotaan vastaavalla vektorin komponentilla ja tulokset lasketaan yhteen.

$$\begin{split}A\mathbf{x}= 1 \cdot \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \\ 3 \end{bmatrix} + 2 \cdot \begin{bmatrix} 4 \\ 0 \\ 1 \\ -3 \end{bmatrix} + 3 \cdot \begin{bmatrix} -2 \\ 3 \\ 7 \\ 6 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \\ 3 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 8 \\ 0 \\ 2 \\ -6 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} -6 \\ 9 \\ 21 \\ 18 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 \\ 11 \\ 23 \\ 15 \end{bmatrix}\end{split}$$

Toinen tapa ajatella tulon laskemista on, että matriisin $A$ jokaisella rivillä lasketaan ikään kuin rivin pistetulo vektorin $\mathbf{x}$ kanssa.

$$\begin{split}A\mathbf{x}= \begin{bmatrix} 1 & 4 & -2\\ 2 & 0 & 3\\ 0 & 1 & 7\\ 3 & -3 & 6 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1\cdot 1+4\cdot 2 - 2\cdot 3 \\ 2\cdot 1+0\cdot 2+3\cdot 3 \\ 0\cdot1+1\cdot 2+7\cdot 3 \\ 3 \cdot 1 - 3 \cdot 2 + 6 \cdot 3 \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 3 \\ 11 \\ 23 \\ 15\end{bmatrix}\end{split}$$

Erityisen tärkeä tulos on, että vektorien pistetulo voidaan tulkita matriisin ja vektorin tulona.

Lause.

Olkoot $\mathbf{x}$ ja $\mathbf{y}$ avaruuden $\mathbb R^n$ vektoreita. Tällöin $\mathbf{x}\cdot \mathbf{y}= \mathbf{x}^T\mathbf{y}$.

Todistus.

Oletetaan, että

$$\begin{split}\mathbf{x}= \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{bmatrix} \qquad\text{ja}\qquad \mathbf{y}= \begin{bmatrix} y_1 \\ y_2 \\ \vdots \\ y_n. \end{bmatrix}\end{split}$$

Vektorin, eli $n\times 1$-matriisin $\mathbf{x}$ transpoosi

$$\mathbf{x}^T=\begin{bmatrix} x_1 & x_2 & \cdots & x_n \end{bmatrix}$$

on $1\times n$-matriisi. Tällöin matriisin ja vektorin tulon määritelmän nojalla

$$\begin{split}\mathbf{x}^T\mathbf{y}= \begin{bmatrix} x_1 & x_2 & \cdots & x_n \end{bmatrix} \begin{bmatrix} y_1 \\ y_2 \\ \vdots \\ y_n \end{bmatrix} =y_1x_1+y_2x_2+\cdots+y_nx_n=\mathbf{y}\cdot\mathbf{x}=\mathbf{x}\cdot\mathbf{y}.\end{split}$$

Tässä jälleen samastetaan $1\times 1$-matriisit ja reaaliluvut. $\square$

Huomautus.

Edellisen lauseen ja pistetulon vaihdannaisuuden nojalla

$$\mathbf{x}^T\mathbf{y}= \mathbf{x}\cdot \mathbf{y}= \mathbf{y}\cdot \mathbf{x}= \mathbf{y}^T\mathbf{x}$$

kaikille avaruuden $\mathbb R^n$ vektoreille.

Ajatellaan sitten, että matriisi $A$ on esitetty riveittäin vaakavektorien avulla. Edellä on kirjoitettu pystyvektoreita rinnakkain, joten nyt vastaavasti asetetaan

$$\begin{split}A = \begin{bmatrix} \mathbf{a}_1^T \\ \mathbf{a}_2^T \\ \vdots \\ \mathbf{a}_m^T \end{bmatrix},\end{split}$$

missä vaakavektorit $\mathbf{a}_1^T, \mathbf{a}_2^T, \ldots, \mathbf{a}_m^T$ ovat matriisin $A$ rivit. Merkinnällä ei siis tarkoiteta sarakevektorien transpooseja! Edellisen esimerkin ja lauseen innoittamina matriisin ja vektorin tulo voidaan kirjoittaa myös muodossa

$$\begin{split}A\mathbf{x}= \begin{bmatrix} \mathbf{a}_1^T\mathbf{x}\\ \mathbf{a}_2^T\mathbf{x}\\ \vdots \\ \mathbf{a}_m^T\mathbf{x} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \mathbf{a}_1 \cdot \mathbf{x}\\ \mathbf{a}_2 \cdot \mathbf{x}\\ \vdots \\ \mathbf{a}_m \cdot \mathbf{x} \end{bmatrix}.\end{split}$$

Tässä pystyvektorien $\mathbf{a}_1, \mathbf{a}_2, \ldots, \mathbf{a}_m$ transpoosit ovat siis matriisin $A$ rivit.

Lopultakin ollaan valmiita tutkimaan kahden matriisin välistä tuloa. Oletetaan, että $A$ on edellä riveittäin esitetty $m\times n$-matriisi ja että

$$B=\begin{bmatrix}\mathbf{b}_1 & \mathbf{b}_2 &\ldots &\mathbf{b}_r\end{bmatrix}$$

jokin sarakkeittain esitetty $n\times r$-matriisi. Matriisien $A$ ja $B$ tulo määritellään asettamalla

$$AB=\begin{bmatrix}A\mathbf{b}_1 & A\mathbf{b}_2 &\ldots &A\mathbf{b}_r\end{bmatrix},$$

eli matriisilla $A$ kerrotaan jokaista matriisin $B$ sarakevektoria. Matriisin $A$ riviesityksen avulla nähdään välittömästi, että tulo voidaan kirjoittaa myös

$$\begin{split}AB = \begin{bmatrix} \mathbf{a}_1^T\mathbf{b}_1 & \mathbf{a}_1^T\mathbf{b}_2 & \cdots & \mathbf{a}_1^T\mathbf{b}_r \\ \mathbf{a}_2^T\mathbf{b}_1 & \mathbf{a}_2^T\mathbf{b}_2 & \cdots & \mathbf{a}_2^T\mathbf{b}_r \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \mathbf{a}_m^T\mathbf{b}_1 & \mathbf{a}_m^T\mathbf{b}_2 & \cdots & \mathbf{a}_m^T\mathbf{b}_r \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \mathbf{a}_1 \cdot \mathbf{b}_1 & \mathbf{a}_1 \cdot \mathbf{b}_2 & \cdots & \mathbf{a}_1 \cdot \mathbf{b}_r \\ \mathbf{a}_2 \cdot \mathbf{b}_1 & \mathbf{a}_2 \cdot \mathbf{b}_2 & \cdots & \mathbf{a}_2 \cdot \mathbf{b}_r \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \mathbf{a}_m \cdot \mathbf{b}_1 & \mathbf{a}_m \cdot \mathbf{b}_2 & \cdots & \mathbf{a}_m \cdot \mathbf{b}_r \end{bmatrix},\end{split}$$

missä edelleen vaakavektorit $\mathbf{a}_1^T, \mathbf{a}_2^T, \ldots, \mathbf{a}_m^T$ ovat matriisin $A$ rivit. Matriisin $AB$ rivin $i$ ja sarakkeen $j$ alkio on siis ikään kuin matriisin $A$ rivin $i$ ja matriisin $B$ sarakkeen $j$ pistetulo. Tästä esityksestä nähdään myös, että tulomatriisi $AB$ on kooltaan $m \times r$.

Huomautus.

Vain kooltaan sopivia matriiseja voidaan kertoa tällä tavoin keskenään. Tulon $AB$ muodostamista varten on olennaista, että matriisin $A$ sarakkeiden lukumäärä on yhtä suuri kuin matriisin $B$ rivien lukumäärä. Toinen tapa ilmaista asia on, että matriisin $A$ rivien on oltava yhtä pitkiä kuin matriisin $B$ sarakkeiden, jotta niiden välinen pistetulo voidaan laskea. Jos matriisien $A$ ja $B$ koot ovat $m \times n$ ja $n \times r$, niin tulomatriisin $AB$ koko on $m \times r$.

Kahden matriisin tulo lasketaan käytännössä alkioittaisella tulkinnalla tulon määritelmästä.

Esimerkki.

Laske matriisien

$$\begin{split}A=\begin{bmatrix} 1 & 2 & 1\\ 2 & -1 & 0 \end{bmatrix} \qquad\text{ja}\qquad B=\begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 3 & 2 \\ -1 & 3 \end{bmatrix}\end{split}$$

tulot $AB$ ja $BA$, mikäli mahdollista.

Ratkaisu.

Matriisit $A$ ja $B$ ovat kokoja $2 \times 3$ ja $3 \times 2$, joten molemmat tulot voidaan laskea. Tulo $AB$ on $2 \times 2$-matriisi

$$\begin{split}\begin{aligned} AB&=\begin{bmatrix} 1 & 2 & 1\\ 2 & -1 & 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 3 & 2 \\ -1 & 3 \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 1\cdot 1+2\cdot 3+1\cdot (-1) & 1\cdot (-1) + 2\cdot 2 + 1\cdot 3\\ 2\cdot 1 - 1 \cdot 3+0\cdot (-1) & 2\cdot (-1)- 1\cdot 2+0\cdot 3 \end{bmatrix}\\ &=\begin{bmatrix} 6 & 6\\ -1 & -4 \end{bmatrix}\end{aligned}\end{split}$$

ja tulo $BA$ on $3 \times 3$-matriisi

$$\begin{split}\begin{aligned} BA &= \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 3 & 2 \\ -1 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 2 & -1 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \cdot 1 - 1 \cdot 2 & 1 \cdot 2 - 1 \cdot (-1) & 1 \cdot 1 - 1 \cdot 0 \\ 3 \cdot 1 + 2 \cdot 2 & 3 \cdot 2 + 2 \cdot (-1) & 3 \cdot 1 + 2 \cdot 0 \\ -1 \cdot 1 + 3 \cdot 2 & -1 \cdot 2 - 3 \cdot (-1) & -1 \cdot 1 + 3 \cdot 0 \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} -1 & 3 & 1\\ 7 & 4 & 3\\ 5 & -5 & -1 \end{bmatrix}.\end{aligned}\end{split}$$

Huomautus.

Edellisestä esimerkistä huomataan, että matriisitulo ei ole vaihdannainen, eli $AB \not= BA$. Kaikille matriisipareille $A$ ja $B$ molemmat tulot eivät ole edes määritelty, tai ne ovat erikokoisia. Kehitä esimerkki $2 \times 2$-matriiseista $A$ ja $B$, joille $AB \not= BA$.

Matriisit eivät myöskään toteuta tulon nollasääntöä, eli $AB = O$ ei välttämättä tarkoita, että $A = O$ tai $B = O$. Kehitä esimerkki nollasta poikkeavista matriiseista, joiden tulo on nollamatriisi.

Kuitenkin seuraava tulos on voimassa.

Lemma.

Olkoon $A$ $m \times n$-matriisi ja oletetaan, että $A\mathbf{x}= \mathbf{0}$ aina, kun $\mathbf{x}$ on avaruuden $\mathbb R^n$ vektori. Tällöin $A = O$.

Todistus.

Tehdään vastaoletus, jonka mukaan $A \not= O$. Tällöin jokin matriisin alkio $a_{ij} \not= 0$. Oletuksen nojalla $A\mathbf{e}_j = \mathbf{0}$, eli

$$\begin{split}A\mathbf{e}_j = \begin{bmatrix} &&&& \\ & \ddots & \vdots && \\ & \cdots & a_{ij} & \cdots & \\ && \vdots & \ddots & \\ &&&& \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 \\ \vdots \\ 1 \\ \vdots \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ \vdots \\ a_{ij} \\ \vdots \\ 0 \end{bmatrix} = \mathbf{0}.\end{split}$$

On siis oltava $a_{ij} = 0$, mikä on ristiriita. Vastaoletus on siis väärä, ja $A = O$. $\square$

Todistuksessa käytettiin seuraavaa tulosta, jonka mukaan matriisin ja luonnollisen kannan vektorin tulon avulla voidaan poimia matriisin tietty rivi tai sarake.

Lause.

Olkoon $A$ $m\times n$-matriisi. Tällöin

1. $\mathbf{e}_i^TA$ on matriisin $A$ $i$:s rivi,
2. $A\mathbf{e}_j$ on matriisin $A$ $j$:s sarake.

Tässä oletetaan, että tulot on määritelty.

Todistus.

Oletetaan, että

$$\begin{split}A = \begin{bmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1j} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots && \vdots \\ a_{i1} & \cdots & a_{ij} & \cdots & a_{in} \\ \vdots && \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & \cdots & a_{mj} & \cdots & a_{mn} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \mathbf{a}_1 & \cdots & \mathbf{a}_j & \cdots & \mathbf{a}_n \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \mathbf{b}_1^T \\ \vdots \\ \mathbf{b}_i^T \\ \vdots \\ \mathbf{b}_m^T \end{bmatrix}\end{split}$$

ja huomataan, että

$$\begin{split}\mathbf{e}_i^T\mathbf{x}= \begin{bmatrix} 0 & \cdots & 1 & \cdots & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ \vdots \\ x_i \\ \vdots \\ x_m \end{bmatrix} = 0 \cdot x_1 + \cdots + 1 \cdot x_i + \cdots + 0 \cdot x_m = x_i\end{split}$$

ja

$$\begin{split}\mathbf{y}^T\mathbf{e}_j = \begin{bmatrix} y_1 & \cdots & y_j & \cdots & y_n \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 \\ \vdots \\ 1 \\ \vdots \\ 0 \end{bmatrix} = y_1 \cdot 0 + \cdots + y_j \cdot 1 + \cdots + y_n \cdot 0 = y_j.\end{split}$$

1. Kysytty tulo on

   $$\mathbf{e}_i^TA = \begin{bmatrix} \mathbf{e}_i^T\mathbf{a}_1 & \cdots & \mathbf{e}_i^T\mathbf{a}_j & \cdots & \mathbf{e}_i^T\mathbf{a}_n \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a_{i1} & \cdots & a_{ij} & \cdots & a_{in} \end{bmatrix} = \mathbf{b}_i^T,$$

   eli matriisin $A$ rivi $i$.

2. Kysytty tulo on

   $$\begin{split}A\mathbf{e}_j = \begin{bmatrix} \mathbf{b}_1^T\mathbf{e}_j \\ \vdots \\ \mathbf{b}_i^T\mathbf{e}_j \\ \vdots \\ \mathbf{b}_m^T\mathbf{e}_j \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a_{1j} \\ \vdots \\ a_{ij} \\ \vdots \\ a_{mj} \end{bmatrix} = \mathbf{a}_j,\end{split}$$

   eli matriisin $A$ sarake $j$.

$\square$

Esimerkki.

Olkoon

$$\begin{split}A = \begin{bmatrix} -3 & 2 \\ 0 & 1 \end{bmatrix},\qquad B = \begin{bmatrix} -1 & 3 & 1 \\ 0 & 2 & 3 \end{bmatrix},\qquad C = \begin{bmatrix} 1 & -2 \\ 1 & 2 \\ -1 & 3 \end{bmatrix}\qquad\text{ja}\qquad D = \begin{bmatrix} 3 & 0 \\ 1 & -2 \end{bmatrix}.\end{split}$$

Jos mahdollista, laske

1. $2AB$,
2. $AC$,
3. $AD$,
4. $DA$,
5. $AA=A^2$.

Ratkaisu.

1. Matriisien $A$ ja $B$ koot ovat $2 \times 2$ ja $2 \times 3$. Tässä vertailussa sisemmät luvut täsmäävät, eli tulo voidaan laskea. Tulo $2AB$ on $2 \times 3$-matriisi

   $$\begin{split}\begin{aligned} 2AB &= 2 \begin{bmatrix} -3 & 2 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -1 & 3 & 1 \\ 0 & 2 & 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -6 & 4 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -1 & 3 & 1 \\ 0 & 2 & 3 \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} -6\cdot(-1)+4\cdot0 & -6 \cdot 3+4 \cdot2 & -6 \cdot 1+4\cdot3 \\ 0 \cdot (-1)+2 \cdot0 & 0 \cdot3+2 \cdot2 & 0 \cdot1+2\cdot3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 & -10 & 6 \\ 0 & 4 & 6 \end{bmatrix} \end{aligned}\end{split}$$

2. Matriisien $A$ ja $C$ koot ovat $2 \times 2$ ja $3 \times 2$, eli tuloa $AC$ ei voi laskea.

3. Samankokoisten neliömatriisien tulo voidaan laskea, ja tulos on edelleen samankokoinen neliömatriisi.

   $$\begin{split}\begin{aligned} AD &= \begin{bmatrix} -3 & 2\\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3 & 0 \\ 1 & -2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -3\cdot3+2\cdot1 & -3\cdot0+2\cdot(-2) \\ 0\cdot3+1\cdot1 & 0\cdot0+1\cdot(-2) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -7 & 4 \\ 1 & -2 \end{bmatrix} \end{aligned}\end{split}$$

4. Kuten edellä. Neliömatriisienkaan tulo ei ole vaihdannainen, sillä

   $$\begin{split}\begin{aligned} DA &= \begin{bmatrix} 3 & 0 \\ 1 & -2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -3 & 2\\ 0 & 1 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 3\cdot(-3)+0\cdot0 & 3\cdot2+0\cdot1 \\ 1\cdot(-3)+(-2)\cdot0 & 1\cdot2+(-2)\cdot1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -9 & 6 \\ -3 & 0 \end{bmatrix} \not= AD. \end{aligned}\end{split}$$

5. Neliömatriisi voidaan aina kertoa itsellään, jolloin saadaan sen toinen potenssi.

   $$\begin{split}\begin{aligned} AA=A^2&=\begin{bmatrix} -3 & 2 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -3 & 2 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} -3\cdot(-3)+2\cdot0 & -3\cdot2+2\cdot1 \\ 0\cdot(-3)+1\cdot0 & 0\cdot2+1\cdot1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 9 & -4 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \end{aligned}\end{split}$$

Kun $A$ ja $B$ ovat $n \times n$-neliömatriiseja, niin tulo $AB$ on myös $n \times n$-neliömatriisi. Erityistapauksessa $A=B$ syntyy myös neliömatriisi $AA$.

Määritelmä.

Olkoon $k$ positiivinen kokonaisluku ja $A$ $n \times n$-neliömatriisi. Matriisin $A$ potenssi

$$A^k = \underbrace{AA\cdots A}_{k \text{ kpl}},$$

ja lisäksi sovitaan, että $A^0 = I_n$.

Jos $A$ on neliömatriisi, sekä $r$ ja $s$ ei-negatiivisia kokonaislukuja, niin on selvää, että

1. $A^rA^s=A^{r+s}$,
2. $(A^r)^s=A^{rs}$.

Sen sijaan yleisesti $(AB)^r \not= A^rB^r$, sillä matriisitulo ei ole vaihdannainen.

Esimerkki.

Yksikkömatriisin potenssit ovat $I_n^k = I_n$ aina, kun $k$ on ei-negatiivinen kokonaisluku. Nimittäin

$$I_n= \begin{bmatrix} \mathbf{e}_1 & \mathbf{e}_2 & \cdots & \mathbf{e}_n \end{bmatrix},$$

joten

$$I_n^2 = I_nI_n = [\mathbf{e}_i^T\mathbf{e}_j] = [\mathbf{e}_i \cdot \mathbf{e}_j] = [\delta_{ij}] = I_n.$$

Täten $I_n^k = I_n^2I_n^{k-2} = I_nI_n^{k - 2} = I_n^{k - 1} = \cdots = I_n$ aina, kun $k \geq 2$.

Viimeinen esiteltävä matriisioperaatio ei ole varsinaisesti laskutoimitus, vaan yhdelle matriisille sovellettava toimenpide. Aiemmin puhuttiin pystyvektorin $\mathbf{x}= (x_1, x_2, \ldots, x_n)$ transpoosista

$$\mathbf{x}^T = \begin{bmatrix} x_1 & x_2 & \cdots & x_n \end{bmatrix}$$

(huomaa ero merkinnöissä). Tämä yleistyy myös muiden matriisien transpoosiksi.

Määritelmä.

$m \times n$-matriisin

$$A=\begin{bmatrix} \mathbf{a}_1 & \mathbf{a}_2 & \cdots & \mathbf{a}_n \end{bmatrix}$$

transpoosi on $n \times m$-matriisi

$$\begin{split}A^T=\begin{bmatrix} \mathbf{a}_1^T \\ \mathbf{a}_2^T \\ \vdots \\ \mathbf{a}_n^T \end{bmatrix}.\end{split}$$

Transpoosin $A^T$ rivit ovat siis matriisin $A$ transponoidut sarakkeet.

Alkioittain tulkittuna matriisin $A = [a_{ij}]$ transpoosi on $A^T = [a_{ji}]$. Kyseessä on siis eräänlainen peilikuva matriisin $A$ diagonaalin suhteen.

Huomautus.

$1\times 1$-matriisin eli skalaarin $a$ transpoosi on $a^T = a$.

Transpoosin avulla voidaan luokitella neliömatriiseja.

Määritelmä.

Neliömatriisi $A$ on symmetrinen, jos $A^T=A$, ja se on vinosymmetrinen, jos $A^T=-A$.

Termi symmetrinen matriisi on luonnollinen, sillä jos $A^T = A$, niin neliömatriisin $A$ alkio $a_{ji} = a_{ij}$. Vastaavasti vinosymmetriselle matriisille $a_{ji} = -a_{ij}$. Tarkastellaan symmetrisyyttä ja vinosymmetrisyyttä esimerkkien avulla.

Esimerkki.

Yksikkömatriisille $I_n^T=I_n$, eli yksikkömatriisi on symmetrinen.

Esimerkki.

Koska

$$\begin{split}\begin{bmatrix} 0 & b \\ -b & 0 \end{bmatrix}^T= \begin{bmatrix} 0 & -b\\ b & 0 \end{bmatrix}=-\begin{bmatrix} 0 & b\\ -b & 0 \end{bmatrix},\end{split}$$

kyseinen matriisi on vinosymmetrinen. Yleisemminkin vinosymmetrisen matriisin diagonaalialkioiden on oltava nollia. Vertaa edellistä puhtaasti imaginaarisen kompleksiluvun $bi$ liittolukuun $\overline{bi} = -bi$.

Posting submission...