Matriisien laskutoimituksia

Aiemmin todettiin, että pystyvektorit ovat \(n \times 1\)-matriiseja. Kääntäen voisi myös ilmaista, että matriisit ovat eräänlainen vektorikäsitteen laajennus, ja tämän vuoksi myös niille määritellään samankaltaisia laskutoimituksia.

Oletetaan seuraavassa, että

\[A=\begin{bmatrix}\mathbf{a}_1 & \mathbf{a}_2 &\ldots &\mathbf{a}_n\end{bmatrix} \qquad\text{ja}\qquad B=\begin{bmatrix}\mathbf{b}_1 & \mathbf{b}_2 &\ldots &\mathbf{b}_n\end{bmatrix}\]

ovat \(m \times n\)-matriiseja. Kahden matriisin summa voidaan palauttaa tämän esityksen avulla vektorien summaksi. Asetetaan

\[A+B=\begin{bmatrix}\mathbf{a}_1+\mathbf{b}_1 & \mathbf{a}_2+\mathbf{b}_2 &\ldots &\mathbf{a}_n+\mathbf{b}_n\end{bmatrix},\]

eli kahden samankokoisen matriisin summaa varten lasketaan siis vastinsarakkeet yhteen vektoreina. Jos \(A = [a_{ij}]\) ja \(B = [b_{ij}]\), niin tästä määritelmästä seuraa myös se, että \(A + B = [a_{ij} + b_{ij}]\), eli summa voidaan laskea alkioittain.

Vastaavalla tavalla matriisin ja skalaarin tuloksi asetetaan

\[rA = \begin{bmatrix} r\mathbf{a}_1 & r\mathbf{a}_2 & \cdots & r\mathbf{a}_n \end{bmatrix} = [ra_{ij}],\]

eli matriisin sarakkeet (vaihtoehtoisesti alkiot) kerrotaan skalaarilla \(r\). Matriisin \(A\) vastamatriisi on \(-A = (-1)A\), ja kuten vektorien erotus myös matriisien erotus määritellään kaavalla

\[A - B = A + (-B).\]

Kaksi matriisia ovat samat, jos ne ovat samankokoisia ja niiden kaikki vastinsarakkeet (vastinalkiot) ovat samat.

Esimerkki.

Olkoon

\[\begin{split}A = \begin{bmatrix} -3 & 2 \\ 0 & 1 \end{bmatrix},\qquad B = \begin{bmatrix} -1 & 3 & 1 \\ 0 & 2 & 3 \end{bmatrix},\qquad C = \begin{bmatrix} 1 & -2 \\ 1 & 2 \\ -1 & 3 \end{bmatrix}\qquad\text{ja}\qquad D = \begin{bmatrix} 3 & 0 \\ 1 & -2 \end{bmatrix}.\end{split}\]

Jos mahdollista, laske

1. \(2C + B\),
2. \(A + 3D\),
3. \(B - 2A\),
4. \(D - 2A\).

Ratkaisu.

1. Matriisit \(B\) ja \(C\) ovat erikokoisia, joten ei voi laskea.

2. Matriisit \(A\) ja \(D\) ovat samankokoisia, joten voidaan laskea.

   \[\begin{split}\begin{aligned} A+3D&=\begin{bmatrix} -3 & 2 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}+ 3\begin{bmatrix} 3 & 0 \\ 1 & -2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -3 & 2 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 3 \cdot 3 & 3 \cdot 0 \\ 3 \cdot 1 & 3 \cdot (-2) \end{bmatrix} \\ &=\begin{bmatrix} -3+9 & 2+0 \\ 0+3 & 1+(-6) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 & 2 \\ 3 & -5 \end{bmatrix} \end{aligned}\end{split}\]

3. Matriisit \(A\) ja \(B\) ovat erikokoisia, joten ei voi laskea.

4. Matriisit \(A\) ja \(D\) ovat samankokoisia, joten voidaan laskea.

   \[\begin{split}\begin{aligned} D-2A&=\begin{bmatrix} 3 & 0 \\ 1 & -2 \end{bmatrix}-2\begin{bmatrix} -3 & 2 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 3 & 0 \\ 1 & -2 \end{bmatrix}- \begin{bmatrix} 2 \cdot (-3) & 2 \cdot 2 \\ 2 \cdot 0 & 2 \cdot 1 \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} 3-(-6) & 0-4 \\ 1-0 & -2-2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 9 & -4 \\ 1 & -4 \end{bmatrix} \end{aligned}\end{split}\]

Kuten vektoreille, myös matriiseille määritellään kertolasku hieman omalaatuisella tavalla. Alkioittaisesta kertolaskusta on hyvin vähän teoreettista hyötyä, joten se hylätään. Lähdetään liikkeelle yhtälöryhmän

\[\begin{split}\begin{cases} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \cdots + a_{1n}x_n = b_1\\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \cdots + a_{2n}x_n = b_2\\ \phantom{a_{31}x_1 + a_{32}x_2 +}\vdots \\ a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \cdots + a_{mn}x_n = b_m. \end{cases}\end{split}\]

esittämisestä matriisien ja vektorien avulla mahdollisimman yksinkertaisessa muodossa. Aiemmin puhuttiin jo yhtälöryhmän kerroinmatriisista \(A\), sekä muuttuja- ja vakiotermivektoreista \(\mathbf{x}\) ja \(\mathbf{b}\).

\[\begin{split}A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{bmatrix}, \qquad \mathbf{x}= \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{bmatrix}, \qquad \mathbf{b}= \begin{bmatrix} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_m \end{bmatrix}\end{split}\]

Toisaalta yhtälöryhmä voidaan kirjoittaa kerroinmatriisin sarakkeiden avulla muodossa

\[\begin{split}\begin{bmatrix} a_{11} \\ a_{21} \\ \vdots \\ a_{m1} \end{bmatrix}x_1 + \begin{bmatrix} a_{12} \\ a_{22} \\ \vdots \\ a_{m2} \end{bmatrix}x_2 + \cdots + \begin{bmatrix} a_{1n} \\ a_{2n} \\ \vdots \\ a_{mn} \end{bmatrix}x_n = \begin{bmatrix} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_m \end{bmatrix}.\end{split}\]

Matriisin \(A\) ja vektorin \(\mathbf{x}\) välinen tulo halutaan nyt määritellä siten, että edellinen yhtälö voidaan kirjoittaa lyhyesti \(A\mathbf{x}= \mathbf{b}\).

Määritelmä.

\(m \times n\)-matriisin \(A\) ja avaruuden \(\mathbb R^n\) vektorin \(\mathbf{x}\) tulo on avaruuden \(\mathbb R^m\) vektori

\[\begin{split}A\mathbf{x}= \begin{bmatrix} \mathbf{a}_1 & \mathbf{a}_2 & \cdots & \mathbf{a}_n \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{bmatrix} = x_1\mathbf{a}_1 + x_2\mathbf{a}_2 + \cdots + x_n\mathbf{a}_n.\end{split}\]

Matriisin ja vektorin tulon ajatuksen hahmottaminen vaatii harjoittelua, mutta se käy kokemuksen karttuessa yhä luonnollisemmaksi.

Esimerkki.

Laske \(A\mathbf{x}\) kun \(A=\begin{bmatrix} 1 & 4 & -2\\ 2 & 0 & 3\\ 0 & 1 & 7\\ 3 & -3 & 6 \end{bmatrix}\) ja \(\mathbf{x}=\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3\end{bmatrix}\).

Ratkaisu.

Matriisin ja vektorin tulon laskemiseksi jokainen matriisin sarake kerrotaan vastaavalla vektorin komponentilla ja tulokset lasketaan yhteen.

\[\begin{split}A\mathbf{x}= 1 \cdot \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \\ 3 \end{bmatrix} + 2 \cdot \begin{bmatrix} 4 \\ 0 \\ 1 \\ -3 \end{bmatrix} + 3 \cdot \begin{bmatrix} -2 \\ 3 \\ 7 \\ 6 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \\ 3 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 8 \\ 0 \\ 2 \\ -6 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} -6 \\ 9 \\ 21 \\ 18 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 \\ 11 \\ 23 \\ 15 \end{bmatrix}\end{split}\]

Toinen tapa ajatella tulon laskemista on, että matriisin \(A\) jokaisella rivillä lasketaan ikään kuin rivin pistetulo vektorin \(\mathbf{x}\) kanssa.

\[\begin{split}A\mathbf{x}= \begin{bmatrix} 1 & 4 & -2\\ 2 & 0 & 3\\ 0 & 1 & 7\\ 3 & -3 & 6 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1\cdot 1+4\cdot 2 - 2\cdot 3 \\ 2\cdot 1+0\cdot 2+3\cdot 3 \\ 0\cdot1+1\cdot 2+7\cdot 3 \\ 3 \cdot 1 - 3 \cdot 2 + 6 \cdot 3 \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 3 \\ 11 \\ 23 \\ 15\end{bmatrix}\end{split}\]

Erityisen tärkeä tulos on, että vektorien pistetulo voidaan tulkita matriisin ja vektorin tulona.

Lause.

Olkoot \(\mathbf{x}\) ja \(\mathbf{y}\) avaruuden \(\mathbb R^n\) vektoreita. Tällöin \(\mathbf{x}\cdot \mathbf{y}= \mathbf{x}^T\mathbf{y}\).

Todistus.

Oletetaan, että

\[\begin{split}\mathbf{x}= \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{bmatrix} \qquad\text{ja}\qquad \mathbf{y}= \begin{bmatrix} y_1 \\ y_2 \\ \vdots \\ y_n. \end{bmatrix}\end{split}\]

Vektorin, eli \(n\times 1\)-matriisin \(\mathbf{x}\) transpoosi

\[\mathbf{x}^T=\begin{bmatrix} x_1 & x_2 & \cdots & x_n \end{bmatrix}\]

on \(1\times n\)-matriisi. Tällöin matriisin ja vektorin tulon määritelmän nojalla

\[\begin{split}\mathbf{x}^T\mathbf{y}= \begin{bmatrix} x_1 & x_2 & \cdots & x_n \end{bmatrix} \begin{bmatrix} y_1 \\ y_2 \\ \vdots \\ y_n \end{bmatrix} =y_1x_1+y_2x_2+\cdots+y_nx_n=\mathbf{y}\cdot\mathbf{x}=\mathbf{x}\cdot\mathbf{y}.\end{split}\]

Tässä jälleen samastetaan \(1\times 1\)-matriisit ja reaaliluvut. \(\square\)

Huomautus.

Edellisen lauseen ja pistetulon vaihdannaisuuden nojalla

\[\mathbf{x}^T\mathbf{y}= \mathbf{x}\cdot \mathbf{y}= \mathbf{y}\cdot \mathbf{x}= \mathbf{y}^T\mathbf{x}\]

kaikille avaruuden \(\mathbb R^n\) vektoreille.

Ajatellaan sitten, että matriisi \(A\) on esitetty riveittäin vaakavektorien avulla. Edellä on kirjoitettu pystyvektoreita rinnakkain, joten nyt vastaavasti asetetaan

\[\begin{split}A = \begin{bmatrix} \mathbf{a}_1^T \\ \mathbf{a}_2^T \\ \vdots \\ \mathbf{a}_m^T \end{bmatrix},\end{split}\]

missä vaakavektorit \(\mathbf{a}_1^T, \mathbf{a}_2^T, \ldots, \mathbf{a}_m^T\) ovat matriisin \(A\) rivit. Merkinnällä ei siis tarkoiteta sarakevektorien transpooseja! Edellisen esimerkin ja lauseen innoittamina matriisin ja vektorin tulo voidaan kirjoittaa myös muodossa

\[\begin{split}A\mathbf{x}= \begin{bmatrix} \mathbf{a}_1^T\mathbf{x}\\ \mathbf{a}_2^T\mathbf{x}\\ \vdots \\ \mathbf{a}_m^T\mathbf{x} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \mathbf{a}_1 \cdot \mathbf{x}\\ \mathbf{a}_2 \cdot \mathbf{x}\\ \vdots \\ \mathbf{a}_m \cdot \mathbf{x} \end{bmatrix}.\end{split}\]

Tässä pystyvektorien \(\mathbf{a}_1, \mathbf{a}_2, \ldots, \mathbf{a}_m\) transpoosit ovat siis matriisin \(A\) rivit.

Lopultakin ollaan valmiita tutkimaan kahden matriisin välistä tuloa. Oletetaan, että \(A\) on edellä riveittäin esitetty \(m\times n\)-matriisi ja että

\[B=\begin{bmatrix}\mathbf{b}_1 & \mathbf{b}_2 &\ldots &\mathbf{b}_r\end{bmatrix}\]

jokin sarakkeittain esitetty \(n\times r\)-matriisi. Matriisien \(A\) ja \(B\) tulo määritellään asettamalla

\[AB=\begin{bmatrix}A\mathbf{b}_1 & A\mathbf{b}_2 &\ldots &A\mathbf{b}_r\end{bmatrix},\]

eli matriisilla \(A\) kerrotaan jokaista matriisin \(B\) sarakevektoria. Matriisin \(A\) riviesityksen avulla nähdään välittömästi, että tulo voidaan kirjoittaa myös

\[\begin{split}AB = \begin{bmatrix} \mathbf{a}_1^T\mathbf{b}_1 & \mathbf{a}_1^T\mathbf{b}_2 & \cdots & \mathbf{a}_1^T\mathbf{b}_r \\ \mathbf{a}_2^T\mathbf{b}_1 & \mathbf{a}_2^T\mathbf{b}_2 & \cdots & \mathbf{a}_2^T\mathbf{b}_r \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \mathbf{a}_m^T\mathbf{b}_1 & \mathbf{a}_m^T\mathbf{b}_2 & \cdots & \mathbf{a}_m^T\mathbf{b}_r \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \mathbf{a}_1 \cdot \mathbf{b}_1 & \mathbf{a}_1 \cdot \mathbf{b}_2 & \cdots & \mathbf{a}_1 \cdot \mathbf{b}_r \\ \mathbf{a}_2 \cdot \mathbf{b}_1 & \mathbf{a}_2 \cdot \mathbf{b}_2 & \cdots & \mathbf{a}_2 \cdot \mathbf{b}_r \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \mathbf{a}_m \cdot \mathbf{b}_1 & \mathbf{a}_m \cdot \mathbf{b}_2 & \cdots & \mathbf{a}_m \cdot \mathbf{b}_r \end{bmatrix},\end{split}\]

missä edelleen vaakavektorit \(\mathbf{a}_1^T, \mathbf{a}_2^T, \ldots, \mathbf{a}_m^T\) ovat matriisin \(A\) rivit. Matriisin \(AB\) rivin \(i\) ja sarakkeen \(j\) alkio on siis ikään kuin matriisin \(A\) rivin \(i\) ja matriisin \(B\) sarakkeen \(j\) pistetulo. Tästä esityksestä nähdään myös, että tulomatriisi \(AB\) on kooltaan \(m \times r\).

Huomautus.

Vain kooltaan sopivia matriiseja voidaan kertoa tällä tavoin keskenään. Tulon \(AB\) muodostamista varten on olennaista, että matriisin \(A\) sarakkeiden lukumäärä on yhtä suuri kuin matriisin \(B\) rivien lukumäärä. Toinen tapa ilmaista asia on, että matriisin \(A\) rivien on oltava yhtä pitkiä kuin matriisin \(B\) sarakkeiden, jotta niiden välinen pistetulo voidaan laskea. Jos matriisien \(A\) ja \(B\) koot ovat \(m \times n\) ja \(n \times r\), niin tulomatriisin \(AB\) koko on \(m \times r\).

Kahden matriisin tulo lasketaan käytännössä alkioittaisella tulkinnalla tulon määritelmästä.

Esimerkki.

Laske matriisien

\[\begin{split}A=\begin{bmatrix} 1 & 2 & 1\\ 2 & -1 & 0 \end{bmatrix} \qquad\text{ja}\qquad B=\begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 3 & 2 \\ -1 & 3 \end{bmatrix}\end{split}\]

tulot \(AB\) ja \(BA\), mikäli mahdollista.

Ratkaisu.

Matriisit \(A\) ja \(B\) ovat kokoja \(2 \times 3\) ja \(3 \times 2\), joten molemmat tulot voidaan laskea. Tulo \(AB\) on \(2 \times 2\)-matriisi

\[\begin{split}\begin{aligned} AB&=\begin{bmatrix} 1 & 2 & 1\\ 2 & -1 & 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 3 & 2 \\ -1 & 3 \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 1\cdot 1+2\cdot 3+1\cdot (-1) & 1\cdot (-1) + 2\cdot 2 + 1\cdot 3\\ 2\cdot 1 - 1 \cdot 3+0\cdot (-1) & 2\cdot (-1)- 1\cdot 2+0\cdot 3 \end{bmatrix}\\ &=\begin{bmatrix} 6 & 6\\ -1 & -4 \end{bmatrix}\end{aligned}\end{split}\]

ja tulo \(BA\) on \(3 \times 3\)-matriisi

\[\begin{split}\begin{aligned} BA &= \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 3 & 2 \\ -1 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 2 & -1 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \cdot 1 - 1 \cdot 2 & 1 \cdot 2 - 1 \cdot (-1) & 1 \cdot 1 - 1 \cdot 0 \\ 3 \cdot 1 + 2 \cdot 2 & 3 \cdot 2 + 2 \cdot (-1) & 3 \cdot 1 + 2 \cdot 0 \\ -1 \cdot 1 + 3 \cdot 2 & -1 \cdot 2 - 3 \cdot (-1) & -1 \cdot 1 + 3 \cdot 0 \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} -1 & 3 & 1\\ 7 & 4 & 3\\ 5 & -5 & -1 \end{bmatrix}.\end{aligned}\end{split}\]

Huomautus.

Edellisestä esimerkistä huomataan, että matriisitulo ei ole vaihdannainen, eli \(AB \not= BA\). Kaikille matriisipareille \(A\) ja \(B\) molemmat tulot eivät ole edes määritelty, tai ne ovat erikokoisia. Kehitä esimerkki \(2 \times 2\)-matriiseista \(A\) ja \(B\), joille \(AB \not= BA\).

Matriisit eivät myöskään toteuta tulon nollasääntöä, eli \(AB = O\) ei välttämättä tarkoita, että \(A = O\) tai \(B = O\). Kehitä esimerkki nollasta poikkeavista matriiseista, joiden tulo on nollamatriisi.

Kuitenkin seuraava tulos on voimassa.

Lemma.

Olkoon \(A\) \(m \times n\)-matriisi ja oletetaan, että \(A\mathbf{x}= \mathbf{0}\) aina, kun \(\mathbf{x}\) on avaruuden \(\mathbb R^n\) vektori. Tällöin \(A = O\).

Todistus.

Tehdään vastaoletus, jonka mukaan \(A \not= O\). Tällöin jokin matriisin alkio \(a_{ij} \not= 0\). Oletuksen nojalla \(A\mathbf{e}_j = \mathbf{0}\), eli

\[\begin{split}A\mathbf{e}_j = \begin{bmatrix} &&&& \\ & \ddots & \vdots && \\ & \cdots & a_{ij} & \cdots & \\ && \vdots & \ddots & \\ &&&& \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 \\ \vdots \\ 1 \\ \vdots \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ \vdots \\ a_{ij} \\ \vdots \\ 0 \end{bmatrix} = \mathbf{0}.\end{split}\]

On siis oltava \(a_{ij} = 0\), mikä on ristiriita. Vastaoletus on siis väärä, ja \(A = O\). \(\square\)

Todistuksessa käytettiin seuraavaa tulosta, jonka mukaan matriisin ja luonnollisen kannan vektorin tulon avulla voidaan poimia matriisin tietty rivi tai sarake.

Lause.

Olkoon \(A\) \(m\times n\)-matriisi. Tällöin

1. \(\mathbf{e}_i^TA\) on matriisin \(A\) \(i\):s rivi,
2. \(A\mathbf{e}_j\) on matriisin \(A\) \(j\):s sarake.

Tässä oletetaan, että tulot on määritelty.

Todistus.

Oletetaan, että

\[\begin{split}A = \begin{bmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1j} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots && \vdots \\ a_{i1} & \cdots & a_{ij} & \cdots & a_{in} \\ \vdots && \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & \cdots & a_{mj} & \cdots & a_{mn} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \mathbf{a}_1 & \cdots & \mathbf{a}_j & \cdots & \mathbf{a}_n \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \mathbf{b}_1^T \\ \vdots \\ \mathbf{b}_i^T \\ \vdots \\ \mathbf{b}_m^T \end{bmatrix}\end{split}\]

ja huomataan, että

\[\begin{split}\mathbf{e}_i^T\mathbf{x}= \begin{bmatrix} 0 & \cdots & 1 & \cdots & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ \vdots \\ x_i \\ \vdots \\ x_m \end{bmatrix} = 0 \cdot x_1 + \cdots + 1 \cdot x_i + \cdots + 0 \cdot x_m = x_i\end{split}\]

ja

\[\begin{split}\mathbf{y}^T\mathbf{e}_j = \begin{bmatrix} y_1 & \cdots & y_j & \cdots & y_n \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 \\ \vdots \\ 1 \\ \vdots \\ 0 \end{bmatrix} = y_1 \cdot 0 + \cdots + y_j \cdot 1 + \cdots + y_n \cdot 0 = y_j.\end{split}\]

1. Kysytty tulo on

   \[\mathbf{e}_i^TA = \begin{bmatrix} \mathbf{e}_i^T\mathbf{a}_1 & \cdots & \mathbf{e}_i^T\mathbf{a}_j & \cdots & \mathbf{e}_i^T\mathbf{a}_n \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a_{i1} & \cdots & a_{ij} & \cdots & a_{in} \end{bmatrix} = \mathbf{b}_i^T,\]

   eli matriisin \(A\) rivi \(i\).

2. Kysytty tulo on

   \[\begin{split}A\mathbf{e}_j = \begin{bmatrix} \mathbf{b}_1^T\mathbf{e}_j \\ \vdots \\ \mathbf{b}_i^T\mathbf{e}_j \\ \vdots \\ \mathbf{b}_m^T\mathbf{e}_j \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a_{1j} \\ \vdots \\ a_{ij} \\ \vdots \\ a_{mj} \end{bmatrix} = \mathbf{a}_j,\end{split}\]

   eli matriisin \(A\) sarake \(j\).

\(\square\)

Esimerkki.

Olkoon

\[\begin{split}A = \begin{bmatrix} -3 & 2 \\ 0 & 1 \end{bmatrix},\qquad B = \begin{bmatrix} -1 & 3 & 1 \\ 0 & 2 & 3 \end{bmatrix},\qquad C = \begin{bmatrix} 1 & -2 \\ 1 & 2 \\ -1 & 3 \end{bmatrix}\qquad\text{ja}\qquad D = \begin{bmatrix} 3 & 0 \\ 1 & -2 \end{bmatrix}.\end{split}\]

Jos mahdollista, laske

1. \(2AB\),
2. \(AC\),
3. \(AD\),
4. \(DA\),
5. \(AA=A^2\).

Ratkaisu.

1. Matriisien \(A\) ja \(B\) koot ovat \(2 \times 2\) ja \(2 \times 3\). Tässä vertailussa sisemmät luvut täsmäävät, eli tulo voidaan laskea. Tulo \(2AB\) on \(2 \times 3\)-matriisi

   \[\begin{split}\begin{aligned} 2AB &= 2 \begin{bmatrix} -3 & 2 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -1 & 3 & 1 \\ 0 & 2 & 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -6 & 4 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -1 & 3 & 1 \\ 0 & 2 & 3 \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} -6\cdot(-1)+4\cdot0 & -6 \cdot 3+4 \cdot2 & -6 \cdot 1+4\cdot3 \\ 0 \cdot (-1)+2 \cdot0 & 0 \cdot3+2 \cdot2 & 0 \cdot1+2\cdot3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 & -10 & 6 \\ 0 & 4 & 6 \end{bmatrix} \end{aligned}\end{split}\]

2. Matriisien \(A\) ja \(C\) koot ovat \(2 \times 2\) ja \(3 \times 2\), eli tuloa \(AC\) ei voi laskea.

3. Samankokoisten neliömatriisien tulo voidaan laskea, ja tulos on edelleen samankokoinen neliömatriisi.

   \[\begin{split}\begin{aligned} AD &= \begin{bmatrix} -3 & 2\\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3 & 0 \\ 1 & -2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -3\cdot3+2\cdot1 & -3\cdot0+2\cdot(-2) \\ 0\cdot3+1\cdot1 & 0\cdot0+1\cdot(-2) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -7 & 4 \\ 1 & -2 \end{bmatrix} \end{aligned}\end{split}\]

4. Kuten edellä. Neliömatriisienkaan tulo ei ole vaihdannainen, sillä

   \[\begin{split}\begin{aligned} DA &= \begin{bmatrix} 3 & 0 \\ 1 & -2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -3 & 2\\ 0 & 1 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 3\cdot(-3)+0\cdot0 & 3\cdot2+0\cdot1 \\ 1\cdot(-3)+(-2)\cdot0 & 1\cdot2+(-2)\cdot1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -9 & 6 \\ -3 & 0 \end{bmatrix} \not= AD. \end{aligned}\end{split}\]

5. Neliömatriisi voidaan aina kertoa itsellään, jolloin saadaan sen toinen potenssi.

   \[\begin{split}\begin{aligned} AA=A^2&=\begin{bmatrix} -3 & 2 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -3 & 2 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} -3\cdot(-3)+2\cdot0 & -3\cdot2+2\cdot1 \\ 0\cdot(-3)+1\cdot0 & 0\cdot2+1\cdot1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 9 & -4 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \end{aligned}\end{split}\]

Kun \(A\) ja \(B\) ovat \(n \times n\)-neliömatriiseja, niin tulo \(AB\) on myös \(n \times n\)-neliömatriisi. Erityistapauksessa \(A=B\) syntyy myös neliömatriisi \(AA\).

Määritelmä.

Olkoon \(k\) positiivinen kokonaisluku ja \(A\) \(n \times n\)-neliömatriisi. Matriisin \(A\) potenssi

\[A^k = \underbrace{AA\cdots A}_{k \text{ kpl}},\]

ja lisäksi sovitaan, että \(A^0 = I_n\).

Jos \(A\) on neliömatriisi, sekä \(r\) ja \(s\) ei-negatiivisia kokonaislukuja, niin on selvää, että

1. \(A^rA^s=A^{r+s}\),
2. \((A^r)^s=A^{rs}\).

Sen sijaan yleisesti \((AB)^r \not= A^rB^r\), sillä matriisitulo ei ole vaihdannainen.

Esimerkki.

Yksikkömatriisin potenssit ovat \(I_n^k = I_n\) aina, kun \(k\) on ei-negatiivinen kokonaisluku. Nimittäin

\[I_n= \begin{bmatrix} \mathbf{e}_1 & \mathbf{e}_2 & \cdots & \mathbf{e}_n \end{bmatrix},\]

joten

\[I_n^2 = I_nI_n = [\mathbf{e}_i^T\mathbf{e}_j] = [\mathbf{e}_i \cdot \mathbf{e}_j] = [\delta_{ij}] = I_n.\]

Täten \(I_n^k = I_n^2I_n^{k-2} = I_nI_n^{k - 2} = I_n^{k - 1} = \cdots = I_n\) aina, kun \(k \geq 2\).

Viimeinen esiteltävä matriisioperaatio ei ole varsinaisesti laskutoimitus, vaan yhdelle matriisille sovellettava toimenpide. Aiemmin puhuttiin pystyvektorin \(\mathbf{x}= (x_1, x_2, \ldots, x_n)\) transpoosista

\[\mathbf{x}^T = \begin{bmatrix} x_1 & x_2 & \cdots & x_n \end{bmatrix}\]

(huomaa ero merkinnöissä). Tämä yleistyy myös muiden matriisien transpoosiksi.

Määritelmä.

\(m \times n\)-matriisin

\[A=\begin{bmatrix} \mathbf{a}_1 & \mathbf{a}_2 & \cdots & \mathbf{a}_n \end{bmatrix}\]

transpoosi on \(n \times m\)-matriisi

\[\begin{split}A^T=\begin{bmatrix} \mathbf{a}_1^T \\ \mathbf{a}_2^T \\ \vdots \\ \mathbf{a}_n^T \end{bmatrix}.\end{split}\]

Transpoosin \(A^T\) rivit ovat siis matriisin \(A\) transponoidut sarakkeet.

Alkioittain tulkittuna matriisin \(A = [a_{ij}]\) transpoosi on \(A^T = [a_{ji}]\). Kyseessä on siis eräänlainen peilikuva matriisin \(A\) diagonaalin suhteen.

Huomautus.

\(1\times 1\)-matriisin eli skalaarin \(a\) transpoosi on \(a^T = a\).

Transpoosin avulla voidaan luokitella neliömatriiseja.

Määritelmä.

Neliömatriisi \(A\) on symmetrinen, jos \(A^T=A\), ja se on vinosymmetrinen, jos \(A^T=-A\).

Termi symmetrinen matriisi on luonnollinen, sillä jos \(A^T = A\), niin neliömatriisin \(A\) alkio \(a_{ji} = a_{ij}\). Vastaavasti vinosymmetriselle matriisille \(a_{ji} = -a_{ij}\). Tarkastellaan symmetrisyyttä ja vinosymmetrisyyttä esimerkkien avulla.

Esimerkki.

Yksikkömatriisille \(I_n^T=I_n\), eli yksikkömatriisi on symmetrinen.

Esimerkki.

Koska

\[\begin{split}\begin{bmatrix} 0 & b \\ -b & 0 \end{bmatrix}^T= \begin{bmatrix} 0 & -b\\ b & 0 \end{bmatrix}=-\begin{bmatrix} 0 & b\\ -b & 0 \end{bmatrix},\end{split}\]

kyseinen matriisi on vinosymmetrinen. Yleisemminkin vinosymmetrisen matriisin diagonaalialkioiden on oltava nollia. Vertaa edellistä puhtaasti imaginaarisen kompleksiluvun \(bi\) liittolukuun \(\overline{bi} = -bi\).

Posting submission...