Matriisialgebraa ominaisarvoilla

Tutkitaan seuraavaksi erilaisten matriisien ominaisarvojen ominaisuuksia.

Lause.

Matriisilla $A$ ja sen transpoosilla $A^T$ on samat ominaisarvot, eli $\sigma(A)=\sigma(A^T)$.

Todistus.

Koska

$$\det(A^T - \lambda I_n) = \det(A^T - (\lambda I_n)^T) = \det((A - \lambda I_n)^T) = \det(A - \lambda I_n),$$

matriiseilla $A$ ja $A^T$ on samat karakteristiset polynomit ja siten myös $\sigma(A^T) = \sigma(A)$. $\square$

Lause.

Ylä- ja alakolmiomatriisin ominaisarvot ovat sen päädiagonaalin alkiot.

Todistus.

Jos $A = [a_{ij}]_{n \times n}$ on ylä- tai alakolmiomatriisi, niin myös $A - \lambda I_n$ on. Tällöin determinantti saadaan diagonaalialkioiden tulona, eli karakteristinen polynomi

$$\det(A-\lambda I) = (a_{11}-\lambda)(a_{22}-\lambda) \cdots (a_{nn}-\lambda).$$

Siis karakteristisen polynomin juuret ovat $\lambda = a_{ii}$, kun $i = 1, 2, \ldots, n$. $\square$

Lause.

Ortogonaalisen matriisin $Q$ jokainen (kompleksinen) ominaisarvo $\lambda$ toteuttaa ehdon $|\lambda|=1$.

Todistus.

Ortogonaaliselle matriisille $Q^TQ = I_n = QQ^T$. Koska matriisilla ja sen transpoosilla on samat ominaisarvot, $Q\mathbf{x}= \lambda\mathbf{x}$ jos ja vain jos $Q^T\mathbf{x}= \lambda\mathbf{x}$. Tällöin

$$\|\mathbf{x}\| = \|I_n\mathbf{x}\| = \|Q^T(Q\mathbf{x})\| = \|Q^T(\lambda\mathbf{x})\| = \|\lambda(Q^T\mathbf{x})\| = \|\lambda^2\mathbf{x}\| = |\lambda|^2\|\mathbf{x}\|.$$

Koska $\mathbf{x}$ on ominaisvektori, on oltava $\mathbf{x}\not= \mathbf{0}$, ja täten $|\lambda| = 1$. $\square$

Huomautus.

Karakteristisen polynomin juurten ajatellaan tässä kattavan myös kompleksiset juuret. Tämä kuitenkin tarkoittaa sitä, että ominaisvektoreiden komponentit voivat olla kompleksisia. Täydellistä käsittelyä varten tulisi siis oikeastaan määritellä kompleksiset vektori- ja matriisiavaruudet $\mathbb C^n$ ja $\mathbb C^{m \times n}$, mutta tähän palataan vasta myöhemmillä opintojaksoilla. Esimerkiksi usean differentiaaliyhtälön systeemien ratkaiseminen on kätevämpää, kun käytössä on myös kompleksisia ominaisarvoja ja -vektoreita.

Matriisin $A$ ominaisarvojen ja -vektoreiden avulla voidaan välittömästi muodostaa ratkaisut myös seuraaviin ominaisarvo-ongelmiin.

Lause.

Olkoon $A$ neliömatriisi, sekä $\lambda$ sen ominaisarvo ja $\mathbf{x}$ tähän ominaisarvoon liittyvä ominaisvektori. Tällöin

1. $\lambda^n$ on matriisin $A^n$ ominaisarvo ja $\mathbf{x}$ siihen liittyvä ominaisvektori aina, kun $n$ on positiivinen kokonaisluku,
2. $\lambda^{-1}$ on matriisin $A^{-1}$ ominaisarvo ja $\mathbf{x}$ siihen liittyvä ominaisvektori aina, kun $A$ on kääntyvä.

Molempien väitteiden toteutuessa $\lambda^n$ on matriisin $A^n$ ominaisarvo ja $\mathbf{x}$ siihen liittyvä ominaisvektori aina, kun $n$ on kokonaisluku.

Todistus.

Jätetään harjoitustehtäväksi. Pohdi, miten voisit ilmaista väitteet yhtälömuotoisina, ja sovella oletuksia niihin. $\square$

Seuraava tulos on erityisen tärkeä jatkon kannalta.

Lause.

Olkoon $A$ $n \times n$-neliömatriisi, jolla on erilliset ominaisarvot $\lambda_1, \lambda_2, \ldots, \lambda_m$, sekä niihin liittyvät ominaisvektorit $\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \ldots, \mathbf{v}_m$. Tällöin vektorit $\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \ldots, \mathbf{v}_m$ ovat lineaarisesti riippumattomia.

Todistus.

Todistetaan väite induktiolla luvun $m$ suhteen.

1. Alkuaskel. Jos $m = 1$, niin ominaisvektori $\mathbf{v}_1$ on lineaarisesti riippumaton, ja väite on tosi.

2. Induktioaskel. Tehdään induktio-oletus, jonka mukaan matriisin $A$ erillisiä ominaisarvoja $\lambda_1, \lambda_2, \ldots, \lambda_k$ vastaavat ominaisvektorit $\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \ldots, \mathbf{v}_k$ ovat lineaarisesti riippumattomia. Pyritään osoittamaan, että vielä erillistä ominaisarvoa $\lambda_{k + 1}$ vastaavan ominaisvektorin $\mathbf{v}_{k + 1}$ lisääminen ei riko tätä ominaisuutta. Tehdään vastaoletus, jonka mukaan $\mathbf{v}_{k + 1}$ on lineaarisesti riippuva muista vektoreista, eli

   $$\mathbf{v}_{k + 1} = c_1\mathbf{v}_1 + c_2\mathbf{v}_2 + \cdots + c_k\mathbf{v}_k.$$

   Koska kyseessä on ominaisvektori, tästä seuraa että

   $$\lambda_{k + 1}\mathbf{v}_{k + 1} = A\mathbf{v}_{k + 1} = c_1A\mathbf{v}_1 + c_2A\mathbf{v}_2 + \cdots + c_kA\mathbf{v}_k = c_1\lambda_1\mathbf{v}_1 + c_2\lambda_2\mathbf{v}_2 + \cdots + c_k\lambda_k\mathbf{v}_k.$$

   Toisaalta myös suoraan kertomalla nähdään, että

   $$\lambda_{k + 1}\mathbf{v}_{k + 1} = c_1\lambda_{k + 1}\mathbf{v}_1 + c_2\lambda_{k + 1}\mathbf{v}_2 + \cdots + c_k\lambda_{k + 1}\mathbf{v}_k.$$

   Vähennetään nämä kaksi yhtälöä puolittain, ja saadaan

   $$\mathbf{0}= c_1(\lambda_1 - \lambda_{k + 1})\mathbf{v}_1 + c_2(\lambda_2 - \lambda_{k + 1})\mathbf{v}_2 + \cdots + c_k(\lambda_k - \lambda_{k + 1})\mathbf{v}_k.$$

   Induktio-oletuksen nojalla vektorit $\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \ldots, \mathbf{v}_k$ ovat lineaarisesti riippumattomia, joten

   $$c_1(\lambda_1 - \lambda_{k + 1}) = c_2(\lambda_2 - \lambda_{k + 1}) = \cdots = c_k(\lambda_k - \lambda_{k + 1}) = 0.$$

   Nyt kuitenkin ominaisarvojen erillisyyden vuoksi on oltava $c_1 = c_2 = \cdots = c_k = 0$, jolloin

   $$\mathbf{v}_{k + 1} = 0 \cdot \mathbf{v}_1 + 0 \cdot \mathbf{v}_2 + \cdots + 0 \cdot \mathbf{v}_k = \mathbf{0}.$$

   Tämä on ristiriita, sillä nollavektori ei voi olla ominaisvektori, ja täten vastaoletus on väärä ja induktioväite tosi.

Induktioperiaatteen nojalla vektorit $\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \ldots, \mathbf{v}_m$ ovat lineaarisesti riippumattomia. $\square$

Esimerkki.

Tutki, onko riviekvivalenteilla matriiseilla aina samat ominaisarvot. Jos on, todista väite ja jos ei, anna vastaesimerkki.

Ratkaisu.

Riviekvivalentit matriisit voidaan muuttaa toisikseen rivimuunnoksilla, joten väite on tosi jos ja vain jos matriisin ominaisarvot säilyvät rivimuunnoksessa. Tarkastellaan yläkolmiomatriiseja

$$\begin{split}\begin{bmatrix} 1 & 3 & 2 \\ 0 & 4 & -1 \\ 0 & 0 & 3 \end{bmatrix} \xrightarrow{2R_1} \begin{bmatrix} 2 & 6 & 4 \\ 0 & 4 & -1 \\ 0 & 0 & 3 \end{bmatrix}.\end{split}$$

Tiedetään, että yläkolmiomatriisin ominaisarvot ovat sen diagonaalialkiot, joten ensimmäisen matriisin spektri on $\{1, 3, 4\}$, ja rivimuunnetun matriisin spektri $\{2, 3, 4\}$. Näillä kahdella riviekvivalentilla matriisilla ei siis ole samoja ominaisarvoja, joten väite on epätosi. Keksitkö yksinkertaisemman vastaesimerkin?

Esimerkki.

Neliömatriisi $A$ on idempotentti, jos $A^2 = A$. Osoita, että jos $\lambda$ on idempotentin matriisin $A$ ominaisarvo, niin $\lambda = 0$ tai $\lambda = 1$.

Todistus.

Tiedetään, että $\lambda$ on matriisin $A$ ominaisarvo, joten $\lambda^2$ on matriisin $A^2$ ominaisarvo. Koska nyt $A^2 = A$, niin

$$\lambda\mathbf{x}= A\mathbf{x}= A^2\mathbf{x}= \lambda^2\mathbf{x}$$

aina, kun $\mathbf{x}\not= \mathbf{0}$ on ominaisarvoon $\lambda$ liittyvä ominaisvektori. On siis oltava $(\lambda^2 - \lambda)\mathbf{x}= \mathbf{0}$, eli $\lambda^2 - \lambda = 0$, ja tämän vuoksi $\lambda = 0$ tai $\lambda = 1$. $\square$

Posting submission...