Ominaisarvoyhtälö¶

Fysiikassa, matematiikassa ja yleisemmin insinööritieteissä törmätään usein ongelmaan, jossa ratkaistavaksi tulee yhtälö

\[A\mathbf{x}=\lambda\mathbf{x},\]

missä \(A\) on neliömatriisi, \(\mathbf{x}\) vektori ja \(\lambda\) jokin reaalinen parametri. Luonnollisesti yhtälöllä on aina triviaaliratkaisu \(\mathbf{x}=\mathbf{0}\), mutta yleisemmin ei ole lainkaan selvää, millä parametrien \(\lambda\) arvoilla yhtälöllä on ei-triviaaleja ratkaisuja.

Tämä ominaisarvoyhtälö muodostaa lähtökohdan koko tulevalle osiolle. Tavoitteena on tutustua yhtälön ratkaisemiseen ja yhdistää sivutuotteena syntyvät työkalut muuhun matriisien teoriaan.

Tärppejä tähän osioon:

Ominaisarvot ja -vektorit, ominaisavaruus, sekä näiden etsiminen neliömatriisille
Matriisin kääntyvyys ominaisarvojen avulla, transpoosin, kolmiomatriisin ja matriisin potenssin ominaisarvot
Lineaarisesti riippumattomat ominaisvektorit ja ominaisavaruuksien kannat
Matriisien similaarisuus ja similaaristen matriisien ominaisuudet, diagonalisoituvuus ja matriisin potenssien laskeminen