Potenssisarjat

Määritelmä.

Reaaliluvusta \(x\) riippuvaa sarjaa

\[\sum_{k=0}^\infty a_k(x-c)^k=a_0+a_1(x-c)+a_2(x-c)^2+a_3(x-c)^3+\cdots\]

kutsutaan pisteen \(c\) ympärille kehitetyksi potenssisarjaksi (power series). Luvut \(a_k\), missä \(k = 1, 2, \ldots\), ovat potenssisarjan kertoimia ja reaaliluku \(c\) on sarjan kehityskeskus.

Tässä ensimmäisessä termissä \((x-c)^0=1\), jos \(x\ne c\). Mukavuussyistä sovitaan, että potenssisarjoissa (mutta ei ilman harkintaa muualla) \(0^0=1\), jolloin ensimmäinen termi on \(a_0(x-c)^0=a_0\) kaikilla \(x\).

Esimerkki.

Sarja

\[\sum_{k=0}^\infty\frac{x^k}{k!}=\sum_{k=0}^\infty\frac{1}{k!}(x-0)^k\]

on pisteen \(0\) ympärille kehitetty potenssisarja, jonka kertoimet ovat \(a_k = \frac{1}{k!}\). Suhdetestillä nähdään, että sarja suppenee itseisesti, kun \(x\ne0\). Nythän

\[\left|\frac{\frac{x^{k+1}}{(k+1)!}}{\frac{x^k}{k!}}\right|=\frac{k!}{(k+1)!}\left|\frac{x^{k+1}}{x^k}\right|=\frac{|x|}{k+1}\to0,\]

kun \(k\to\infty\). Pisteessä \(x=0\) on \(\sum\limits_{k=0}^{\infty}\left|\frac{0^k}{k!}\right| = \frac{1}{1!} = 1\), joten potenssisarja suppenee itseisesti aina, kun \(x\in\mathbb R\).

Lause.

Jos potenssisarja \(\sum\limits_{k=0}^\infty a_kx^k\) suppenee jollakin \(x=x_0\ne0\), niin sarja suppenee itseisesti kaikilla \(x\), jotka toteuttavat \(-|x_0|<x<|x_0|\).

Todistus.

Oletetaan, että \(x\in(-|x_0|,|x_0|)\) ja merkitään \(r=\left|\frac{x}{x_0}\right|<1\). Koska sarja suppenee pisteessä \(x_0\), on oltava \(\lim\limits_{k\to\infty}a_kx_0^k=0\) ja täten löydetään sellainen indeksi \(K\), että \(|a_kx_0^k|<1\) aina, kun \(k\ge K\). Nyt

\[\sum_{k=K}^\infty\left|a_kx^k\right| =\sum_{k=K}^\infty\left|a_kx_0^k\right|\left|\frac{x^k}{x_0^k}\right|<\sum_{k=K}^{\infty}\left|\frac{x}{x_0}\right|^k<\sum_{k=K}^\infty r^k<\infty,\]

missä oikeanpuoleisin sarja suppenee geometrisena sarjana. \(\square\)

Seuraus.

Jokaiselle potenssisarjalle on voimassa täsmälleen yksi seuraavista.

1. Sarja suppenee vain, kun \(x=c\).
2. Sarja suppenee itseisesti aina, kun \(x\in\mathbb R\).
3. Löydetään sellainen \(R>0\), että sarja suppenee itseisesti, kun \(|x-c|<R\) ja hajaantuu, kun \(|x-c|>R\).

Todistus.

Väite seuraa edellisestä lauseesta asettamalla \(t=x-c\), jolloin väite palautuu sarjan \(\sum\limits_{k=0}^{\infty} a_kt^k\) tutkimiseksi. \(\square\)

Lukua \(R\in[0,\infty)\) tai \(R=\infty\) kutsutaan sarjan suppenemissäteeksi (radius of convergence). Niiden pisteiden joukkoa, joissa sarja suppenee, kutsutaan sen suppenemisväliksi (interval of convergence). Jos \(R\in(0,\infty)\), niin päätepisteissä \(c-R\) ja \(c+R\) sarja voi supeta tai hajaantua. Potenssisarjan suppenemisväli on siis täsmälleen yksi joukoista \(\{c\}\), \((c-R,c+R)\), \([c-R,c+R)\), \((c-R,c+R]\), \([c-R,c+R]\) tai \(\mathbb R\).

Suppenemissäde selviää usein seuraavalla suhdetestillä. Oletetaan, että potenssisarjalle on olemassa (äärellinen) raja-arvo

\[\rho=\lim_{k\to\infty}\left|\frac{a_{k+1}}{a_k}\right|.\]

Tutkitaan nyt, milloin varsinainen potenssisarja toteuttaa suhdetestin ehdot itseiselle suppenemiselle, kun \(x \not= c\).

\[\lim_{k\to\infty}\left|\frac{a_{k+1}(x-c)^{k+1}}{a_k(x-c)^k}\right|=\lim_{k\to\infty}\left|\frac{a_{k+1}}{a_k}\right|\lim_{k\to\infty}\frac{|x-c|^{k+1}}{|x-c|^k} =\rho|x-c|<1\]

jos ja vain jos \(|x-c|<\frac{1}{\rho}\). Suppenemissäde on siis

\[R=\frac1\rho=\lim_{k\to\infty}\left|\frac{a_k}{a_{k+1}}\right|.\]

Jos raja-arvo \(\rho = 0\), niin suppenemissäde \(R=\infty\), ja jos \(\rho=\infty\), niin \(R=0\). Päätepisteissä \(c-R\) ja \(c+R\) suppenemista on tutkittava erikseen.

Esimerkki.

Määritä potenssisarjojen

1. \(\displaystyle\sum_{k=1}^\infty\frac{x^k}{k}\)
2. \(\displaystyle\sum_{n=0}^\infty n!\left(\frac{x}{2}\right)^n\)
3. \(\displaystyle\sum_{n=0}^\infty\frac{(2x+5)^n}{(n^2+1)3^n}\)

suppenemisvälit.

Ratkaisu.

1. Tämä on pisteen \(0\) ympärille kehitetty potenssisarja, jolle \(a_0=0\) ja \(a_k=\frac{1}{k}\), kun \(k \geq 1\). Tutkitaan suppenemista suhdetestillä, kun \(x\ne0\). Havaitaan, että

   \[\left|\frac{\frac{x^{k+1}}{k+1}}{\frac{x^k}{k}}\right|=\frac{k}{k+1}|x|\to|x|,\]

   kun \(k\to\infty\). Sarja siis suppenee suhdetestin nojalla itseisesti, kun \(|x| < 1\) ja hajaantuu, kun \(|x| > 1\), eli suppenemissäde \(R=1\). Tarkastellaan vielä päätepisteet erikseen. Kun \(x=1\), sarja on harmoninen sarja ja siten hajaantuu. Kun \(x=-1\), sarja on vuorotteleva harmoninen sarja ja siten suppenee. Sarjan suppenemisväli on siis \([-1,1)\).

2. Muokkaamalla

   \[\sum_{n=0}^\infty n!\left(\frac{x}{2}\right)^n=\sum_{n=0}^\infty\frac{n!}{2^n}x^n\]

   nähdään, että kyseessä on potenssisarja, jolle \(a_n=\frac{n!}{2^n}\) ja \(c=0\). Tarkastellaan suppenemista suhdetestillä, kun \(x\ne0\). Tässä tapauksessa

   \[\left|\frac{\frac{(n+1)!}{2^{n+1}}x^{n+1}}{\frac{n!}{2^n}x^n}\right|=\frac{n+1}{2}|x|\to\infty,\]

   kun \(n\to\infty\). Sarja siis suppenee vain kun \(x=0\).

3. Nyt

   \[\sum_{n=0}^\infty\frac{(2x+5)^n}{(n^2+1)3^n}=\sum_{n=0}^\infty\left(\frac{2}{3}\right)^n\frac{1}{n^2+1}\left(x-\left(-\frac{5}{2}\right)\right)^n.\]

   Tämän potenssisarjan kehityskeskus on \(c=-\frac{5}{2}\). Jos \(x\ne -\frac{5}{2}\), itseisen suppenemisen ehdoksi saadaan

   \[\begin{split}\begin{aligned} \lim_{n\to\infty}\left|\frac{\left(\frac{2}{3}\right)^{n+1}\frac{1}{(n+1)^2+1}\left(x-\left(-\frac{5}{2}\right)\right)^{n+1}}{\left(\frac{2}{3}\right)^n\frac{1}{n^2+1}\left(x-\left(-\frac{5}{2}\right)\right)^n}\right| &=\frac23\lim_{n\to\infty}\frac{n^2+1}{(n+1)^2+1}\left|x-\left(-\frac{5}{2}\right)\right| \\ &=\frac23\left|x-\left(-\frac{5}{2}\right)\right| < 1, \end{aligned}\end{split}\]

   eli

   \[\left|x-\left(-\frac{5}{2}\right)\right|<\frac32.\]

   Suppenemissäde \(R=\frac{3}{2}\) ja sarja suppenee ainakin välillä \(\left(\frac{-5-3}{2}, \frac{-5+3}{2}\right) = (-4, 1)\). Päätepisteet täytyy taas tarkastella erikseen. Pisteessä \(x=-4\) sarja tulee muotoon

   \[\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{n^2+1},\]

   joka suppenee itseisesti, sillä

   \[\sum_{n=1}^\infty\left|\frac{(-1)^n}{n^2+1}\right| =\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^2+1} \le\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^2}<\infty.\]

   Pisteessä \(x=-1\) sarja tulee muotoon

   \[\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{n^2+1},\]

   joka nähdään suppenevaksi samalla arviolla kuin edellä. Potenssisarjan suppenemisväli on siis \([-4,-1]\).

Pisteessä \(0\) kehitetty potenssisarja määrittelee suppenemisvälillään funktion

\[f(x)=\sum_{k=0}^\infty a_kx^k=a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3+\cdots.\]

Seuraavan todistamatta käyttöön otettavan lauseen mukaan \(f\) on derivoituva ja integroituva, ja derivointi ja integrointi voidaan suorittaa termeittäin aivan kuten polynomille.

Lause.

Olkoon \(R>0\) edellisen potenssisarjan suppenemissäde. Tällöin funktio \(f(x)\) on derivoituva välillä \((-R,R)\) ja integroituva jokaisella välillä \([a,b]\subseteq(-R,R)\). Kun \(|x|<R\), niin

\[\begin{split}\begin{aligned} f'(x)&=\sum_{k=0}^\infty D(a_kx^k) =\sum_{k=1}^\infty ka_kx^{k-1}=a_1+2a_2x+3a_3x^2+4a_4x^3+\cdots\\ \int_0^xf(t)\,\mathrm{d}t &=\sum_{k=0}^\infty\int_0^xa_kt^k\,\mathrm{d}t =\sum_{k=0}^\infty\frac{a_kx^{k+1}}{k+1}=a_0x+\frac12a_1x^2+\frac13a_2x^3+\cdots.\end{aligned}\end{split}\]

Lisäksi derivoidulla ja integroidulla sarjalla on sama suppenemissäde \(R\).

Muunnokselle \(x - c = u\) on voimassa \(\mathrm{d}x = \mathrm{d}u\), ja tämän vuoksi lause yleistyy suoraan myös potenssisarjalle \(\sum\limits_{k=0}^{\infty}a_k(x-c)^k\).

Esimerkki.

Tutkitaan geometrista sarjaa

\[\frac{1}{1-x}=\sum_{k=0}^\infty x^k=1+x+x^2+x^3+\cdots,\]

kun \(-1 < x < 1\). Derivoimalla tämä yhtälö puolittain saadaan

\[\frac{1}{(1-x)^2}=\sum_{k=1}^\infty kx^{k-1}=1+2x+3x^2+4x^3+\cdots\]

välille \(-1 < x < 1\). Toisaalta integroimalla yhtälö puolittain väliä \([0,x]\) pitkin saadaan

\[-\ln(1-x)=\sum_{k=0}^\infty\frac{1}{k+1}x^{k+1}=x+\frac12x^2+\frac13x^3+\frac14x^4+\cdots.\]

Sijoitetaan tässä muuttujan \(x\) paikalle \(-x\) jolloin nähdään, että

\[\ln(1+x)=\sum_{k=0}^\infty\frac{(-1)^k}{k+1}x^{k+1}=x-\frac12x^2+\frac13x^3-\frac14x^4+\cdots,\]

kun \(-1 < x < 1\).

Posting submission...