Processing math: 22%
Tämä kurssi on jo päättynyt.

Potenssisarjat

Määritelmä.

Reaaliluvusta x riippuvaa sarjaa

k=0ak(xc)k=a0+a1(xc)+a2(xc)2+a3(xc)3+

kutsutaan pisteen c ympärille kehitetyksi potenssisarjaksi (power series). Luvut ak, missä k=1,2,, ovat potenssisarjan kertoimia ja reaaliluku c on sarjan kehityskeskus.

Tässä ensimmäisessä termissä (xc)0=1, jos xc. Mukavuussyistä sovitaan, että potenssisarjoissa (mutta ei ilman harkintaa muualla) 00=1, jolloin ensimmäinen termi on a0(xc)0=a0 kaikilla x.

Esimerkki.

Sarja

k=0xkk!=k=01k!(x0)k

on pisteen 0 ympärille kehitetty potenssisarja, jonka kertoimet ovat ak=1k!. Suhdetestillä nähdään, että sarja suppenee itseisesti, kun x0. Nythän

|xk+1(k+1)!xkk!|=k!(k+1)!|xk+1xk|=|x|k+10,

kun k. Pisteessä x=0 on k=0|0kk!|=11!=1, joten potenssisarja suppenee itseisesti aina, kun xR.

Lause.

Jos potenssisarja k=0akxk suppenee jollakin x=x00, niin sarja suppenee itseisesti kaikilla x, jotka toteuttavat |x0|<x<|x0|.

Todistus.

Oletetaan, että x(|x0|,|x0|) ja merkitään r=|xx0|<1. Koska sarja suppenee pisteessä x0, on oltava lim ja täten löydetään sellainen indeksi K, että |a_kx_0^k|<1 aina, kun k\ge K. Nyt

\sum_{k=K}^\infty\left|a_kx^k\right| =\sum_{k=K}^\infty\left|a_kx_0^k\right|\left|\frac{x^k}{x_0^k}\right|<\sum_{k=K}^{\infty}\left|\frac{x}{x_0}\right|^k<\sum_{k=K}^\infty r^k<\infty,

missä oikeanpuoleisin sarja suppenee geometrisena sarjana. \square

Seuraus.

Jokaiselle potenssisarjalle on voimassa täsmälleen yksi seuraavista.

  1. Sarja suppenee vain, kun x=c.
  2. Sarja suppenee itseisesti aina, kun x\in\mathbb R.
  3. Löydetään sellainen R>0, että sarja suppenee itseisesti, kun |x-c|<R ja hajaantuu, kun |x-c|>R.
Todistus.
Väite seuraa edellisestä lauseesta asettamalla t=x-c, jolloin väite palautuu sarjan \sum\limits_{k=0}^{\infty} a_kt^k tutkimiseksi. \square

Lukua R\in[0,\infty) tai R=\infty kutsutaan sarjan suppenemissäteeksi (radius of convergence). Niiden pisteiden joukkoa, joissa sarja suppenee, kutsutaan sen suppenemisväliksi (interval of convergence). Jos R\in(0,\infty), niin päätepisteissä c-R ja c+R sarja voi supeta tai hajaantua. Potenssisarjan suppenemisväli on siis täsmälleen yksi joukoista \{c\}, (c-R,c+R), [c-R,c+R), (c-R,c+R], [c-R,c+R] tai \mathbb R.

Suppenemissäde selviää usein seuraavalla suhdetestillä. Oletetaan, että potenssisarjalle on olemassa (äärellinen) raja-arvo

\rho=\lim_{k\to\infty}\left|\frac{a_{k+1}}{a_k}\right|.

Tutkitaan nyt, milloin varsinainen potenssisarja toteuttaa suhdetestin ehdot itseiselle suppenemiselle, kun x \not= c.

\lim_{k\to\infty}\left|\frac{a_{k+1}(x-c)^{k+1}}{a_k(x-c)^k}\right|=\lim_{k\to\infty}\left|\frac{a_{k+1}}{a_k}\right|\lim_{k\to\infty}\frac{|x-c|^{k+1}}{|x-c|^k} =\rho|x-c|<1

jos ja vain jos |x-c|<\frac{1}{\rho}. Suppenemissäde on siis

R=\frac1\rho=\lim_{k\to\infty}\left|\frac{a_k}{a_{k+1}}\right|.

Jos raja-arvo \rho = 0, niin suppenemissäde R=\infty, ja jos \rho=\infty, niin R=0. Päätepisteissä c-R ja c+R suppenemista on tutkittava erikseen.

Esimerkki.

Määritä potenssisarjojen

  1. \displaystyle\sum_{k=1}^\infty\frac{x^k}{k}
  2. \displaystyle\sum_{n=0}^\infty n!\left(\frac{x}{2}\right)^n
  3. \displaystyle\sum_{n=0}^\infty\frac{(2x+5)^n}{(n^2+1)3^n}

suppenemisvälit.

Ratkaisu.
  1. Tämä on pisteen 0 ympärille kehitetty potenssisarja, jolle a_0=0 ja a_k=\frac{1}{k}, kun k \geq 1. Tutkitaan suppenemista suhdetestillä, kun x\ne0. Havaitaan, että

    \left|\frac{\frac{x^{k+1}}{k+1}}{\frac{x^k}{k}}\right|=\frac{k}{k+1}|x|\to|x|,

    kun k\to\infty. Sarja siis suppenee suhdetestin nojalla itseisesti, kun |x| < 1 ja hajaantuu, kun |x| > 1, eli suppenemissäde R=1. Tarkastellaan vielä päätepisteet erikseen. Kun x=1, sarja on harmoninen sarja ja siten hajaantuu. Kun x=-1, sarja on vuorotteleva harmoninen sarja ja siten suppenee. Sarjan suppenemisväli on siis [-1,1).

  2. Muokkaamalla

    \sum_{n=0}^\infty n!\left(\frac{x}{2}\right)^n=\sum_{n=0}^\infty\frac{n!}{2^n}x^n

    nähdään, että kyseessä on potenssisarja, jolle a_n=\frac{n!}{2^n} ja c=0. Tarkastellaan suppenemista suhdetestillä, kun x\ne0. Tässä tapauksessa

    \left|\frac{\frac{(n+1)!}{2^{n+1}}x^{n+1}}{\frac{n!}{2^n}x^n}\right|=\frac{n+1}{2}|x|\to\infty,

    kun n\to\infty. Sarja siis suppenee vain kun x=0.

  3. Nyt

    \sum_{n=0}^\infty\frac{(2x+5)^n}{(n^2+1)3^n}=\sum_{n=0}^\infty\left(\frac{2}{3}\right)^n\frac{1}{n^2+1}\left(x-\left(-\frac{5}{2}\right)\right)^n.

    Tämän potenssisarjan kehityskeskus on c=-\frac{5}{2}. Jos x\ne -\frac{5}{2}, itseisen suppenemisen ehdoksi saadaan

    \begin{split}\begin{aligned} \lim_{n\to\infty}\left|\frac{\left(\frac{2}{3}\right)^{n+1}\frac{1}{(n+1)^2+1}\left(x-\left(-\frac{5}{2}\right)\right)^{n+1}}{\left(\frac{2}{3}\right)^n\frac{1}{n^2+1}\left(x-\left(-\frac{5}{2}\right)\right)^n}\right| &=\frac23\lim_{n\to\infty}\frac{n^2+1}{(n+1)^2+1}\left|x-\left(-\frac{5}{2}\right)\right| \\ &=\frac23\left|x-\left(-\frac{5}{2}\right)\right| < 1, \end{aligned}\end{split}

    eli

    \left|x-\left(-\frac{5}{2}\right)\right|<\frac32.

    Suppenemissäde R=\frac{3}{2} ja sarja suppenee ainakin välillä \left(\frac{-5-3}{2}, \frac{-5+3}{2}\right) = (-4, 1). Päätepisteet täytyy taas tarkastella erikseen. Pisteessä x=-4 sarja tulee muotoon

    \sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{n^2+1},

    joka suppenee itseisesti, sillä

    \sum_{n=1}^\infty\left|\frac{(-1)^n}{n^2+1}\right| =\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^2+1} \le\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^2}<\infty.

    Pisteessä x=-1 sarja tulee muotoon

    \sum_{n=0}^\infty\frac{1}{n^2+1},

    joka nähdään suppenevaksi samalla arviolla kuin edellä. Potenssisarjan suppenemisväli on siis [-4,-1].

Pisteessä 0 kehitetty potenssisarja määrittelee suppenemisvälillään funktion

f(x)=\sum_{k=0}^\infty a_kx^k=a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3+\cdots.

Seuraavan todistamatta käyttöön otettavan lauseen mukaan f on derivoituva ja integroituva, ja derivointi ja integrointi voidaan suorittaa termeittäin aivan kuten polynomille.

Lause.

Olkoon R>0 edellisen potenssisarjan suppenemissäde. Tällöin funktio f(x) on derivoituva välillä (-R,R) ja integroituva jokaisella välillä [a,b]\subseteq(-R,R). Kun |x|<R, niin

\begin{split}\begin{aligned} f'(x)&=\sum_{k=0}^\infty D(a_kx^k) =\sum_{k=1}^\infty ka_kx^{k-1}=a_1+2a_2x+3a_3x^2+4a_4x^3+\cdots\\ \int_0^xf(t)\,\mathrm{d}t &=\sum_{k=0}^\infty\int_0^xa_kt^k\,\mathrm{d}t =\sum_{k=0}^\infty\frac{a_kx^{k+1}}{k+1}=a_0x+\frac12a_1x^2+\frac13a_2x^3+\cdots.\end{aligned}\end{split}

Lisäksi derivoidulla ja integroidulla sarjalla on sama suppenemissäde R.

Muunnokselle x - c = u on voimassa \mathrm{d}x = \mathrm{d}u, ja tämän vuoksi lause yleistyy suoraan myös potenssisarjalle \sum\limits_{k=0}^{\infty}a_k(x-c)^k.

Esimerkki.

Tutkitaan geometrista sarjaa

\frac{1}{1-x}=\sum_{k=0}^\infty x^k=1+x+x^2+x^3+\cdots,

kun -1 < x < 1. Derivoimalla tämä yhtälö puolittain saadaan

\frac{1}{(1-x)^2}=\sum_{k=1}^\infty kx^{k-1}=1+2x+3x^2+4x^3+\cdots

välille -1 < x < 1. Toisaalta integroimalla yhtälö puolittain väliä [0,x] pitkin saadaan

-\ln(1-x)=\sum_{k=0}^\infty\frac{1}{k+1}x^{k+1}=x+\frac12x^2+\frac13x^3+\frac14x^4+\cdots.

Sijoitetaan tässä muuttujan x paikalle -x jolloin nähdään, että

\ln(1+x)=\sum_{k=0}^\infty\frac{(-1)^k}{k+1}x^{k+1}=x-\frac12x^2+\frac13x^3-\frac14x^4+\cdots,

kun -1 < x < 1.

Palautusta lähetetään...