Sarja

Jaetaan leipä kahteen osaan, joista toinen osa jaetaan edelleen kahteen osaan ja jatketaan samaan tapaan määräämättömän pitkään. Viipaleista muodostuu kokonainen leipä, joten on ilmeisesti oltava

$$\frac12+\frac14+\frac18+\frac{1}{16}+\cdots=1.$$

Mitä tämä ääretön summa tarkoittaa?

Määritelmä.

Olkoon $(a_k)$ lukujono. Muodollista summaa

$$a_1+a_2+a_3+\cdots=\sum_{k=1}^\infty a_k$$

kutsutaan sarjaksi (series). Luku $a_k$ on sarjan $k$:s termi. Sarjan ensimmäisten termien summa indeksiin $n$ saakka on sarjan $n$:s osasumma (partial sum)

$$S_n=a_1+a_2+a_3+\cdots+a_n=\sum_{k=1}^na_k.$$

Esimerkki.

Sarjan

$$\frac12+\frac14+\frac18+\frac{1}{16}+\cdots=\sum_{k=1}^\infty\frac{1}{2^k}$$

neljä ensimmäistä osasummaa ovat

$$\begin{split}\begin{aligned} S_1&=\frac12, \\ S_2&=\frac12+\frac14=\frac34, \\ S_3&=\frac12+\frac14+\frac18=\frac{7}{8}, \\ S_4&=\frac12+\frac14+\frac18+\frac{1}{16}=\frac{15}{16}.\end{aligned}\end{split}$$

Määritelmä.

Tarkastellaan sarjaa $\sum\limits_{k=1}^\infty a_k$. Jos osasummien $S_n$ muodostama lukujono $(S_n)$ suppenee ja sen raja-arvo on $S=\lim\limits_{n\to\infty}S_n$, niin sanotaan, että sarja suppenee (converges) ja että sen summa (sum) on $S$. Tällöin merkitään

$$\sum_{k=1}^\infty a_k=S.$$

Jos $(S_n)$ hajaantuu, niin sanotaan, että sarja hajaantuu (diverges). Jos $\lim\limits_{n\to\infty}S_n=\pm\infty$, niin merkitään

$$\sum_{k=1}^\infty a_k=\pm\infty.$$

Esimerkki.

Osoita, että $\displaystyle\sum_{k=1}^\infty\frac{1}{k(k+1)}=\frac{1}{1\cdot2}+\frac{1}{2\cdot3}+\frac{1}{3\cdot4}+\cdots$ suppenee.

Ratkaisu.

Muodostamalla osamurtokehitelmä nähdään, että yleinen termi voidaan kirjoittaa muodossa

$$a_k=\frac{1}{k(k+1)}=\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1},$$

joten osasumma

$$\begin{split}\begin{aligned} S_n&=\left(1-\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{2}-\frac13\right)+\left(\frac{1}{3}-\frac14\right)+\cdots+\left(\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}\right)+\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)\\ &=1-\frac{1}{n+1}\to1,\end{aligned}\end{split}$$

kun $n\to\infty$. Siten sarja suppenee ja $\displaystyle\sum_{k=1}^\infty\frac{1}{k(k+1)}=1$.

Esimerkki.

Osoita, että sarja $\displaystyle\sum_{k=1}^\infty(-1)^{k+1}=1-1+1-1+\cdots$ hajaantuu.

Ratkaisu.

Ensimmäiset osasummat ovat

$$\begin{split}\begin{aligned} S_1&=1, \\ S_2&=1-1=0, \\ S_3&=1-1+1=1, \\ S_4&=1-1+1-1=0.\end{aligned}\end{split}$$

Nähdään, että osasummien jono on $(1,0,1,0,1,0,\ldots)$, jolla ei ole raja-arvoa.

Huomautus.

Sarjan indeksointi voidaan aloittaa muustakin indeksistä kuin $1$. Esimerkiksi

$$\sum_{i=5}^\infty\frac{1}{(i-4)^2}=1+\frac14+\frac19+\cdots.$$

Tämän sarjan osasummat ovat

$$S_5=1,\quad S_6=1+\frac14=\frac34,\quad S_7=1+\frac14+\frac19=\frac{49}{36},\quad\ldots.$$

Määritelmä.

Sarja $\sum\limits_{k=0}^\infty a_k$ on geometrinen sarja (geometric series), jos on olemassa sellainen reaaliluku $r$, että

$$a_{k+1}=ra_k$$

kaikilla $k$. Toisin sanoen ensimmäisen termin jälkeen kukin termi saadaan edeltävästä termistä kertomalla suhdeluvulla (common ratio) $r$.

Jos geometrisen sarjan ensimmäistä termiä merkitään kirjaimella $a$, niin sarjan termit ovat $a_0=a$, $a_1=ar$, $a_2=ar^2$, $a_3=ar^3,\ldots$ Niinpä geometrinen sarja voidaan kirjoittaa muodossa

$$\sum_{k=0}^\infty ar^k=a+ar+ar^2+ar^3+\cdots.$$

Huomaa, että tässä ensimmäinen indeksi on $k=0$.

Lause.

Jos suhdeluku toteuttaa ehdon $|r|<1$, niin geometrinen sarja suppenee ja

$$\sum_{k=0}^\infty ar^k=\frac{a}{1-r}.$$

Jos taas suhdeluku $|r|\ge1$ ja $a\ne0$, niin geometrinen sarja hajaantuu.

Todistus.

Kirjoitetaan $n$:s osasumma ja kerrotaan yhtälö puolittain suhdeluvulla, jolloin saadaan

$$\begin{split}\begin{aligned} S_n&=a+ar+ar^2+\cdots+ar^n,\\ rS_n&=ar+ar^2+\cdots+ar^n+ar^{n+1}.\end{aligned}\end{split}$$

Vähentämällä nämä yhtälöt puolittain saadaan

$$(1-r)S_n=a-ar^{n+1},$$

joten

$$\begin{split}S_n= \begin{cases} \dfrac{a(1-r^{n+1})}{1-r},&\text{kun }r\ne1,\\ (n+1)a,&\text{kun }r=1. \end{cases}\end{split}$$

Kun $|r|<1$, niin

$$\lim\limits_{n\to\infty}r^{n+1}=0,$$

joten

$$S=\lim_{n\to\infty}S_n=\frac{a}{1-r}.$$

Kun $|r|>1$, niin raja-arvoa $\lim\limits_{n\to\infty}r^{n+1}$ ei ole olemassa ja silloin sarja hajaantuu, mikäli $a\ne0$. Myös tapauksissa $r=\pm1$, $a\ne0$, sarja hajaantuu. $\square$

Geometrisen sarjan indeksointia ei aina aloiteta nollasta. Jos aloitusindeksi on $p \geq 1$, niin paras tapa lukea geometrisen sarjan kaava on

$$\sum_{k=p}^\infty ar^k=\frac{1\text{. termi}}{1-\text{suhdeluku}}.$$

Geometrisen sarjan osasummaa $S_n$ kutsutaan geometriseksi summaksi, jolle edellisen todistuksen mukaan

$$\sum_{k=0}^nar^k=a+ar+ar^2+\cdots+ar^n=\frac{a(1-r^{n+1})}{1-r},$$

kun $r \not= 1$.

Esimerkki.

1. Sarja

   $$\dfrac12+\dfrac14+\dfrac18+\dfrac{1}{16}+\cdots=\sum_{k=1}^\infty\frac{1}{2^k}$$

   on geometrinen sarja, jonka suhdeluku $r=\frac{1}{2}$ ja ensimmäinen termi $a=\frac{1}{2}$. Siis

   $$\sum_{k=1}^\infty\frac{1}{2^k}=\frac{\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{2}}=1.$$

2. Sarja

   $$2-4+8-16+\cdots=\sum_{k=0}^\infty2(-2)^k$$

   on geometrinen sarja, jonka suhdeluku $r=-2$ ja ensimmäinen termi $a = 2$. Sarja siis hajaantuu.

3. Sarja $\displaystyle\sum_{k=2}^\infty\frac{2^{k+1}}{5^k}$ on suppeneva geometrinen sarja, sillä voidaan laskea, että

   $$\sum_{k=2}^\infty\frac{2^{k+1}}{5^k} =\sum_{k=2}^\infty2\left(\frac{2}{5}\right)^k=\frac{\frac{8}{25}}{1-\frac{2}{5}}=\frac{8}{15}.$$

Koska sarjan arvo on sen osasummien jonon raja-arvo, seuraava perustulos seuraa suoraan lukujonon raja-arvon laskusäännöistä.

Lause.

Jos sarjat $\sum\limits_{k = 1}^{\infty}a_k$ ja $\sum\limits_{k = 1}^{\infty}b_k$ suppenevat, sekä $c\in \mathbb R$, niin myös sarjat $\sum\limits_{k = 1}^{\infty}ca_k$ ja $\sum\limits_{k = 1}^{\infty}(a_k+b_k)$ suppenevat. Lisäksi

$$\sum_{k = 1}^{\infty}ca_k=c\sum_{k = 1}^{\infty}a_k\qquad\text{ja}\qquad\sum_{k = 1}^{\infty}(a_k+b_k)=\sum_{k = 1}^{\infty}a_k+\sum_{k = 1}^{\infty}b_k.$$

Esimerkki.

Edellisen lauseen avulla saadaan

$$\begin{split}\begin{aligned} \sum_{k=1}^\infty\left(2\left(-\frac13\right)^k+\frac{\pi}{e^k}\right) &=2\sum_{k=1}^\infty\left(-\frac13\right)^k+\pi\sum_{k=1}^\infty\left(\frac{1}{e}\right)^k\\ &=2\cdot\frac{-1/3}{1-(-1/3)}+\pi\frac{1/e}{1-1/e}=-\frac12+\frac{\pi}{e-1}.\end{aligned}\end{split}$$

Lause.

Jos sarja $\sum\limits_{k = 1}^{\infty}a_k$ suppenee, niin $\lim\limits_{k\to\infty}a_k=0$.

Todistus.

Merkitään $S=\sum\limits_{k = 1}^{\infty}a_k$. Tällöin $S=\lim\limits_{n \to \infty} S_n=\lim\limits_{n \to \infty} S_{n-1}$, joten

$$\lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} (S_n-S_{n-1})= S-S=0.$$

$\square$

Seuraus.

Jos $\lim\limits_{k \to \infty}a_k\ne0$ tai raja-arvoa ei ole olemassa, niin sarja $\sum\limits_{k = 1}^{\infty}a_k$ hajaantuu.

Huomautus.

Äskeisen lauseen käänteinen väite ei päde. Siis sarja $\displaystyle\sum a_k$ voi hajaantua, vaikka olisi $\lim\limits_{k \to \infty} a_k=0$. Esimerkiksi tästä käy harmoninen sarja.

Esimerkki.

Sarja $\displaystyle\sum_{k=1}^\infty\frac{k-1}{k}$ hajaantuu, sillä

$$\dfrac{k-1}{k}=1-\dfrac{1}{k}\to1\ne0,$$

kun $k \to \infty$.

Määritelmä.

Sarjan $\sum\limits_{k=1}^\infty a_k$ $n$:s jäännöstermi (remainder) on sarja $\sum\limits_{k=n+1}^\infty a_k$, kun $n \geq 0$. Jos jäännöstermi suppenee, niin sen summaa merkitään $R_n$.

Seuraava lause toteaa sen ilmeisen seikan, että suppenevan sarjan summa $S$ voidaan jakaa osiin, eli

$$S=\underbrace{a_1+a_2+\cdots+a_n}_{=S_n}+\underbrace{a_{n+1}+a_{n+2}+\cdots}_{=R_n}=S_n+R_n,$$

kun $n \geq 0$.

Lause.

Sarja $\sum\limits_{k = 1}^\infty a_k$ suppenee, jos ja vain jos jäännöstermi $\sum\limits_{k = n + 1}^{\infty}a_k$ suppenee kaikilla $n \geq 0$. Suppenevassa tapauksessa

$$S = \sum_{k=1}^\infty a_k=\sum_{k=1}^na_k+\sum_{k=n+1}^\infty a_k = S_n + R_n$$

mielivaltaisella $n \geq 0$.

Todistus.

Todistetaan väite kahdessa osassa.

1. Jos jäännöstermit suppenevat, niin sarja suppenee. Jäännöstermi $R_0$ on itse asiassa koko sarja, joten väite on selvä.

2. Jos sarja suppenee, niin jäännöstermit suppenevat. Koska $\sum\limits_{k = 1}^{\infty}a_k$ suppenee, niin on olemassa raja-arvo

   $$S - S_n = \lim_{m \to \infty}S_m - S = \lim_{m \to \infty}(S_m - S_n).$$

   Jos nyt $m > n$, niin

   $$S - S_n = \lim_{m \to \infty}\sum_{k = n + 1}^{m}a_k = \sum_{k = n + 1}^{\infty}a_k = R_n.$$

$\square$

Jäännöstermien ja sarjan suppenemisen yhtäpitävyydestä seuraa erityisesti, että mikään äärellinen määrä sarjan alkupään termejä ei vaikuta sarjan suppenemiseen.

Posting submission...