Taylorin sarja ja Taylorin polynomi

Edellä todettiin, että jokainen potenssisarja \(\sum\limits_{k=1}^{\infty}a_kx^k\) esittää suppenemisvälillään derivoituvaa funktiota \(f(x)\). Kääntäen voidaan kysyä, että jos funktio \(f(x)\) on annettu, niin millä ehdoilla löydetään sellainen potenssisarja \(\sum\limits_{k=1}^{\infty}a_kx^k\), että \(f(x)=\sum\limits_{k=1}^{\infty}a_kx^k\). Miten kertoimet \(a_k\) löydetään? Potenssisarjan derivointia koskevaa lausetta soveltamalla nähdään, että ainakin funktiolla \(f(x)\) täytyy olla kaikkien kertalukujen derivaatat. Lisäksi seuraava lause kertoo, että kertoimet voidaan valita vain yhdellä tavalla.

Lause.

Jos \(f(x)=\sum\limits_{k=0}^\infty a_k(x-c)^k\) välillä \((c-R,c+R)\), niin

\[a_n=\frac{f^{(n)}(c)}{n!}\]

aina, kun \(n\) on ei-negatiivinen kokonaisluku.

Todistus.

Sovelletaan potenssisarjan derivointisääntöä \(n\) kertaa.

\[\begin{split}\begin{aligned} f'(x)&=\sum_{k=1}^\infty ka_k(x-c)^{k-1}\\ f''(x)&=\sum_{k=2}^\infty k(k-1)a_k(x-c)^{k-2}\\ &\mspace{9mu}\vdots\\ f^{(n)}(x)&=\sum_{k=n}^\infty k(k-1)(k-2)\cdots(k-(n-1))a_k(x-c)^{k-n}\end{aligned}\end{split}\]

Asetetaan viimeisessä yhtälössä \(x=c\), jolloin sarjasta jää jäljelle vain indeksiä \(k=n\) vastaava termi \(n!a_n=f^{(n)}(c)\). \(\square\)

Määritelmä.

Jos funktiolla \(f(x)\) on pisteessä \(x=c\) kaikkien kertalukujen derivaatat \(f^{(k)}(c)\), niin yksikäsitteistä potenssisarjaa

\[\sum_{k=0}^\infty\frac{f^{(k)}(c)}{k!}(x-c)^k=f(c)+f'(c)(x-c)+\frac{f''(c)}{2!}(x-c)^2+\frac{f^{(3)}(c)}{3!}(x-c)^3+\cdots\]

kutsutaan funktion \(f\) Taylorin sarjaksi (Taylor series) pisteessä \(c\) suhteen. Jos \(c=0\), niin sarjasta käytetään myös nimitystä Maclaurinin sarja (Maclaurin series).

Vaikka Taylorin sarja suppenisi pisteessä \(x\), niin se ei välttämättä suppene kohti funktion arvoa \(f(x)\).

Esimerkki.

Määritellään funktio \(f : \mathbb R\to\mathbb R\) asettamalla

\[\begin{split}f(x)=\begin{cases} e^{-1/x^2},&\text{kun }x\ne0,\\ 0,&\text{kun }x=0.\\ \end{cases}\end{split}\]

Funktio \(f\) on jatkuva myös pisteessä \(0\), sillä

\[\lim_{x\to0}f(x)=\lim_{x\to0}e^{-1/x^2}=0.\]

Kun \(x\ne0\), niin

\[f'(x)=\frac{2}{x^3}e^{-1/x^2}.\]

Muuttujanvaihdolla \(t=1/x^2\) nähdään, että

\[\lim_{x\to0}f'(x) =2\lim_{x\to0}\frac{e^{-1/x^2}}{x^3} =2\lim_{t\to\infty}\frac{t^{3/2}}{e^t} =0,\]

sillä on jo nähty, että eksponenttifunktio voittaa kasvussa potenssifunktion. Derivaatan raja-arvoja koskevan lauseen mukaan funktion \(f\) jatkuvuudesta ja äskeisestä yhtälöstä seuraa, että \(f'(0)=0\). Derivaattafunktio \(f'(x)\) on täten kaikkialla jatkuva, ja kun \(x\ne0\), niin vastaavasti kuin edellä saadaan

\[f''(x)=\left(-\frac{6}{x^4}+\frac{4}{x^6}\right)e^{-1/x^2}\to0,\]

kun \(x\to0\). Siten on olemassa \(f''(0)=0\). Näin jatkaen nähdään, että funktiolla \(f\) on kaikkien kertalukujen jatkuvat derivaatat ja että \(f^{(k)}(0)=0\) kaikilla \(k \ge 0\). Niinpä funktiolla \(f\) on kaikilla reaaliluvuilla \(x\) suppeneva Maclaurinin sarja

\[\sum_{k=0}^\infty\frac{f^{(k)}(0)}{k!}x^k=0.\]

Kuitenkin \(f(x)\ne0\) aina, kun \(x\ne0\), joten sarja esittää funktiota \(f\) vain pisteessä \(0\).

Seuraava lause antaa keinon tutkia, milloin Taylorin sarja suppenee kohti funktiota.

Lause.

Olkoon funktiolla \(f : I\to\mathbb R\) kaikkien kertalukujen derivaatat välillä \(I\) ja olkoon \(c\) välin \(I\) piste. Silloin Taylorin kaava

\[f(x)=P_n(x)+R_n(x),\]

on voimassa aina, kun \(x \in I\) missä

\[P_n(x)=\sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(c)}{k!}(x-c)^k\]

on Taylorin sarjan \(n\):s osasumma eli \(n\). asteen Taylorin polynomi (Taylor polynomial) ja .. _kaava-taylorinvirhetermi:

\[R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(z)}{(n+1)!}(x-c)^{n+1},\quad\text{missä }z\in[c,x)\text{ tai }z\in(x,c]\]

on Taylorin sarjan virhetermi (Taylor remainder).

Funktion Taylorin sarja esittää funktiota itseään niillä \(x\), joilla virhetermin raja-arvo on nolla. Toisin sanoen

\[f(x)=\sum_{k=0}^\infty\frac{f^{(k)}(c)}{k!}(x-c)^k,\]

jos ja vain jos

\[\lim_{n\to\infty}R_n(x)=\lim_{n\to\infty}\frac{f^{(n+1)}(z)}{(n+1)!}(x-c)^{n+1}=0.\]

Korostettakoon, että Taylorin kaavan \(z\) riippuu pisteen \(x\) lisäksi myös kokonaisluvusta \(n\), eli \(z=z(x,n)\). Erityisesti edellä mainittua raja-arvoa laskettaessa ei voida olettaa, että \(z\) olisi vakio. Vertaa esimerkkiin eksponenttifuntiosta, jossa ongelma hoidetaan arvioimalla \(e^z<e^{|x|}\), missä \(e^{|x|}\) on luvun \(n\) suhteen vakio.

Aiemmassa esimerkissä saatiin johdettua funktioiden \((1-x)^{-2}\) ja \(\ln(1+x)\) potenssisarjaesitykset ikään kuin sattumalta derivoimalla ja integroimalla funktion \((1-x)^{-1}\) potenssisarjaa. Taylorin kaavalla saadaan (ainakin periaatteessa) potenssisarjaesitys mille tahansa funktiolle, jolla sellainen on olemassa. Yksikäsitteisyyslause takaa, että saatu potenssisarja on aina Taylorin sarja, olipa se saatu millä (kelvollisella) menetelmällä tahansa.

Seuraavaa lemmaa tarvitaan usein virhetermiä arvioitaessa.

Lemma.

Olkoon \(c>0\). Silloin

1. \(\dfrac{c^n}{n!}\) on vähenevä, kun \(n\ge c-1\) ja
2. \(\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{c^n}{n!}=0\).

Todistus.

Kumpikin osa erikseen.

1. Havaitaan, että \(\displaystyle\frac{\frac{c^{n+1}}{(n+1)!}}{\frac{c^n}{n!}}=\frac{c}{n+1}\le1\), kun \(n\ge c-1\).

2. Olkoon \(m=\lfloor c\rfloor\) luvun \(c\) desimaaliesityksen kokonaisosa. Nyt aina, kun \(n>m\),

   \[\begin{aligned} \frac{c^n}{n!}=\underbrace{\frac{c}{1}\frac{c}{2}\cdots\frac{c}{m}}_{=:A}\underbrace{\frac{c}{m+1}}_{\le1}\underbrace{\frac{c}{m+2}}_{\le1}\cdots\underbrace{\frac{c}{n-1}}_{\le1}\frac{c}{n} \le A\frac{c}{n}\to0, \end{aligned}\]

   kun \(n\to\infty\).

\(\square\)

Esimerkki.

Etsi funktion \(f(x)=e^x\) potenssisarjaesitys pisteen \(x=0\) suhteen.

Ratkaisu.

Koska \(D(e^x)=e^x\), niin \(f^{(k)}(0)=e^0=1\) kaikilla \(k\) ja täten eksponenttifunktion Maclaurinin sarja on

\[\sum_{k=0}^\infty\frac{x^k}{k!}.\]

Olkoon \(x\) reaaliluku. Jos \(x<0\), niin aina, kun \(x<z\leq0\), on voimassa \(z<|x|\). Jos taas \(x>0\), niin aina, kun \(0<z<x=|x|\), on voimassa \(z<|x|\). Löydetään siis reaaliluku \(z<|x|\), ja siten \(f^{(n+1)}(z)=e^z\le e^{|x|}\). Edellistä lemmaa hyödyntäen

\[0\le|R_n(x)|=\left|\frac{f^{(n+1)}(z)}{(n+1)!}\right||x|^{n+1} \le e^{|x|}\frac{|x|^{n+1}}{(n+1)!}\to0,\]

kun \(n\to\infty\), joten on osoitettu, että

\[e^x=\sum_{k=0}^\infty\frac{x^k}{k!}=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots\]

aina, kun \(x\in\mathbb R\).

Esimerkki.

Etsi sini- ja kosinifunktioiden potenssisarjaesitys pisteessä \(x=0\).

Ratkaisu.

Lasketaan funktion \(f\) derivaattoja pisteessä \(x=0\).

\[\begin{split}\begin{aligned} f(x)&=\sin x & f(0)&=0\\ f'(x)&=\cos x & f'(0)&=1\\ f''(x)&=-\sin x & f''(0)&=0\\ f^{(3)}(x)&=-\cos x & f^{(3)}(0)&=-1\\ f^{(4)}(x)&=\sin x & f^{(4)}(0)&=0\end{aligned}\end{split}\]

Neljäs derivaatta on \(\sin x\), joten funktiot ja arvot alkavat toistua syklisesti. Nyt \(|f^{(n)}(z)|\le 1\) kaikilla \(z\), joten

\[0\le|R_n(x)|=\left|\frac{f^{(n+1)}(z)}{(n+1)!}\right||x|^{n+1} \le\frac{|x|^{n+1}}{(n+1)!}\to0,\]

kun \(n\to\infty\). Niinpä

\[\sin x=\sum_{k=0}^\infty\frac{(-1)^k}{(2k+1)!}x^{2k+1}=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots\]

aina, kun \(x\in\mathbb R\). Tässä potenssisarjaesityksen

\[\sin x=\sum_{n=0}^\infty a_nx^n\]

parillisten potenssien kerroin on siis \(0\). Toisin sanoen

\[\begin{split}a_n= \begin{cases} 0,&\text{kun }n=2k,\\ \dfrac{(-1)^k}{(2k+1)!},&\text{kun }n=2k+1. \end{cases}\end{split}\]

Vastaavalla tavoin voidaan johtaa kaava

\[\cos x=\sum_{k=0}^\infty\frac{(-1)^k}{(2k)!}x^{2k}=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots\]

aina, kun \(x\in\mathbb R\).

Esimerkki.

Etsi funktion \(f(x)=(1+x)^k\), missä \(k\in\mathbb R\), potenssisarjaesitys pisteen \(x=0\) suhteen.

Ratkaisu.

Lasketaan funktion \(f\) derivaattoja pisteessä \(x=0\).

\[\begin{split}\begin{aligned} f(x)&=(1+x)^k & f(0)&=1\\ f'(x)&=k(1+x)^{k-1} & f'(0)&=k\\ f''(x)&=k(k-1)(1+x)^{k-2} & f''(0)&=k(k-1)\\ f^{(3)}(x)&=k(k-1)(k-2)(1+x)^{k-3} & f^{(3)}(0)&=k(k-1)(k-2)\\ &\mspace{9mu}\vdots &&\mspace{9mu}\vdots\\ f^{(n)}(x)&=k(k-1)\cdots(k-n+1)(1+x)^{k-n} & f^{(n)}(0)&=k(k-1)\cdots(k-n+1)\end{aligned}\end{split}\]

Niinpä Maclaurinin sarja on

\[\sum_{n=0}^\infty\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n =\sum_{n=0}^\infty\frac{k(k-1)\cdots(k-n+1)}{n!}x^n =\sum_{n=0}^\infty\binom{k}{n}x^n,\]

missä sarjan kerrointa kutsutaan binomikertoimeksi (binomial coefficient) ja merkitään

\[\binom{k}{n}=\frac{k(k-1)\cdots(k-n+1)}{n!},\qquad\text{kun }n\ge1\qquad\text{ja}\qquad\binom{k}{0}=1.\]

Merkintä \(\displaystyle\binom{k}{n}\) luetaan ”\(k\) yli \(n\)”. Tutkitaan sarjan suppenemista suhdetestillä. Nyt

\[\begin{aligned} \left|\frac{\binom{k}{n+1}x^{n+1}}{\binom{k}{n}x^n}\right| =\frac{|k-n|}{n+1}|x| =\frac{\left|\frac{k}{n}-1\right|}{1+\frac{1}{n}}|x| \to|x|,\end{aligned}\]

kun \(n\to\infty\). Sarja siis suppenee itseisesti, kun \(|x|<1\) ja hajaantuu, kun \(|x|>1\). Osoitetaan, että sarja suppenee kohti funktiota \(f(x)\). Virhetermin käyttäminen osoittautuu tässä hankalaksi, joten menetellään seuraavasti. Merkitään

\[g(x)=\sum_{n=0}^\infty\binom{k}{n}x^n\]

ja derivoidaan termeittäin välillä \(|x|<1\). Siis

\[\begin{aligned} g'(x)=\sum_{n=1}^\infty n\binom{k}{n}x^{n-1}.\end{aligned}\]

Nyt

\[\begin{split}\begin{aligned} (1+x)g'(x) &=\sum_{n=1}^\infty n\binom{k}{n}x^{n-1}+\sum_{n=1}^\infty n\binom{k}{n}x^n\nonumber\\ &=\sum_{n=0}^\infty(n+1)\binom{k}{n+1}x^n+\sum_{n=0}^\infty n\binom{k}{n}x^n\nonumber\\ &=\sum_{n=0}^\infty\left((n+1)\frac{k(k-1)\cdots(k-n)}{(n+1)!}+n\frac{k(k-1)\cdots(k-n+1)}{n!}\right)x^n\nonumber\\ &=\sum_{n=0}^\infty\left(\frac{k(k-1)\cdots(k-n+1)(k-n)}{n!}+n\frac{k(k-1)\cdots(k-n+1)}{n!}\right)x^n\nonumber\\ &=\sum_{n=0}^\infty(k-n+n)\frac{k(k-1)\cdots(k-n+1)}{n!}x^n\nonumber\\ &=k\sum_{n=0}^\infty\binom{k}{n}x^n=kg(x).\end{aligned}\end{split}\]

Merkitään edelleen \(h(x)=\dfrac{g(x)}{(1+x)^k}\), derivoidaan ja otetaan huomioon edellinen yhtälö.

\[h'(x)=\frac{-kg(x)}{(1+x)^{k+1}}+\frac{g'(x)}{(1+x)^k}=0,\]

joten \(h(x)\) on vakiofunktio \(h(x) = h(0)=g(0)=1\) kaikilla \(|x|<1\). Niinpä täytyy olla \(g(x)=(1+x)^k\). Saatiin todistettua binomisarjaesitys (binomial series)

\[(1+x)^k=\sum_{n=0}^\infty\binom{k}{n}x^n,\]

missä \(k\in\mathbb R\) ja \(-1 < x < 1\). Kokeile tarkistuksen vuoksi kaavaa tapauksissa \(k=2\), \(k=3\) ja \(k=-2\).

Joskus tunnettuja sarjoja voidaan käyttää apuna potenssisarjaesitystä muodostettaessa.

Esimerkki.

Määritä funktion \(f(x)=e^{x^2}\) Maclaurinin sarja.

Ratkaisu.

Merkitään \(t=x^2\) ja käytetään funktion \(e^t\) tunnettua Maclaurinin sarjaa. Saadaan siis

\[\begin{aligned} e^{x^2}&=e^t=1+t+\frac{t^2}{2!}+\frac{t^3}{3!}+\cdots=1+x^2+\frac{x^4}{2!}+\frac{x^6}{3!}+\cdots=\sum_{k=0}^\infty\frac{x^{2k}}{k!}\end{aligned}\]

aina, kun \(x\in\mathbb R\).

Posting submission...