Pisteestä vektoriin¶

Kolmiulotteisen avaruuden pisteet \(A\) voidaan esittää kolmikkoina

\[A=(a_1,a_2,a_3),\]

missä komponentit \(a_1\), \(a_2\), \(a_3\) ovat reaalilukuja. Komponenttien avulla piste voidaan sijoittaa koordinaatistoon, liikkumalla niiden mukaisesti koordinaattiakseleita pitkin. Tämä ajatus yleistetään \(n\)-ulotteiseksi avaruudeksi, jonka pisteet \(A\) ovat muotoa

\[A=(a_1,a_2,...,a_n),\]

missä komponentit \(a_1, a_2, \ldots, a_n\) ovat reaalilukuja. Havainnollistavaa koordinaatistoesitystä tällaiselle pisteelle ei ole kuin tapauksissa \(n = 1\), \(n = 2\) ja \(n = 3\), sillä havaitsemme ympäröivässä fysikaalisessa maailmassa vain kolme paikkaulottuvuutta.

Tässä osiossa käsitellään \(n\)-ulotteisten vektorien perusominaisuuksia ja -laskutoimituksia, sekä muita vektorilaskennan peruskäsitteitä. Sovelluksena käsitellään suoria ja tasoja fysikaalisesti merkittävissä kaksi- ja kolmiulotteisissa tapauksissa.

Tärppejä tähän osioon:

Vektori ja \(n\)-ulotteinen avaruus
Vektorien laskutoimitusten määritelmät ja laskusäännöt, lineaarikombinaatio
Pistetulo, normi, vektoreiden välinen kulma ja etäisyys
Vektorin projektio toiselle, Cauchy-Schwartzin epäyhtälö ja kolmioepäyhtälö
Determinantin merkintä ja laskeminen, ristitulo ja sen laskeminen, skalaarikolmitulo
Suora ja taso kaksi- ja kolmiulotteisessa avaruudessa