- MAT-04601
- 4. Vektorit
- 4.5 Ristitulo
Ristitulo¶
Siirrytään sitten tutkimaan toista, avaruuden R3 vektoreille määriteltyä kertolaskutoimitusta, jonka tuloksena saadaan uusi vektori. Kolmiulotteinen avaruus soveltuu tarkasteluun erityisesti siksi, että fysikaalisessa maailmassa havaitaan tyypillisesti kolme paikkaulottuvuutta. Ennen määritelmän antamista tutustutaan kuitenkin uusiin, yksinkertaistaviin merkintöihin.
Oletetaan, että alkiot xij, missä 0≤i,j≤2, ovat reaalilukuja. Kyseessä on siis neljän alkion x11, x12, x21 ja x22 kokoelma. Näihin alkioihin liittyvä 2×2-determinantti on luku
Siihen, mitä determinantilla oikeastaan tarkoitetaan, palataan myöhemmin. Tässä vaiheessa kyseessä on vain uudenlainen tapa merkitä lukua x11x22−x12x21. 2×2-determinantin avulla määritellään 3×3-determinantti asettamalla
3×3-determinantin laskeminen tapahtuu siis tietyillä säännöillä 2×2-alideterminanttien avulla. Esimerkiksi kertoimella x11 kerrottu alideterminantti
saadaan 3×3-determinantista poistamalla se rivi ja sarake, missä x11 sijaitsee. Muut termit etsitään vastaavasti.
Esimerkki.
Laske determinantit
Ensimmäinen voidaan laskea suoraviivaisesti kaavalla.
Toista varten tunnistetaan ensin alideterminantit ja niitä kertovat ylimmän rivin alkiot
Siis
Determinanteille voidaan osoittaa suorilla laskuilla seuraavat laskusäännöt.
Kahden rivin vaihto kertoo determinantin luvulla −1.
|x11x12x13x21x22x23x31x32x33|=−|x21x22x23x11x12x13x31x32x33|=−|x11x12x13x31x32x33x21x22x23|.Rivin kertominen skalaarilla kertoo determinantin samalla luvulla.
|x11x12x13rx21rx22rx23x31x32x33|=r|x11x12x13x21x22x23x31x32x33|Summat yhdellä rivillä voidaan jakaa kahdeksi determinantiksi.
|x11x12x13x21+y21x22+y22x23+y23x31x32x33|=|x11x12x13x21x22x23x31x32x33|+|x11x12x13y21y22y23x31x32x33|.
Ristitulon määrittelyä varten muistetaan luonnollisen kannan vektorit e1, e2 ja e3, joille käytetään joskus myös merkintöjä i, j ja k.
Jokainen avaruuden R3 vektori u voidaan esittää muodossa
Määritelmä.
Olkoon u=u1e1+u2e2+u3e3 ja v=v1e1+v2e2+v3e3. Vektoreiden u ja v ristitulo on
Ristitulo tuottaa siis vektorin, ja tästä syystä sitä kutsutaankin joskus vektorituloksi.
Tärkein ristitulon ominaisuus on, että u×v on ortogonaalinen sekä vektorin u että vektorin v kanssa. Tämä osoitetaan myöhemmin.
Käytännön laskuissa determinantin määrittäminen on usein turhan vaivalloista. Huomattavasti yksinkertaisempaa on huomata, että
ja että
Kun siis kuljetaan syklin ...→e1→e2→e3→e1→e2→... suuntaan, tulee ristitulossa vierekkäisten kantavektoreiden tuloksi syklin seuraava alkio. Sykliä vasten kuljettaessa vastaavasti tuloksi tulee järjestyksessä seuraava alkio, mutta miinus-merkillä varustettuna. Lisäksi voidaan osoittaa, että ristitulo toteuttaa seuraavat laskulait.
Lause.
Olkoot u, v ja w avaruuden R3 vektoreita, sekä r reaaliluku. Tällöin
- u×(v+w)=u×v+u×w,
- (u+v)×w=u×w+v×w,
- r(u×v)=(ru)×v=u×(rv).
Tulos seuraa suoraan determinantin laskusäännöistä. Todistetaan ensimmäinen kohta esimerkkinä hyödyntämällä rivin alkioiden yhteenlaskua. Oletetaan tässä, että u=u1e1+u2e2+u3e3, v=v1e1+v2e2+v3e3 ja w=w1e1+w2e2+w3e3.
◻
Deteminantin laskusääntöjen avulla todistetaan myös seuraavat tärkeät ominaisuudet.
Lause.
Olkoot u ja v avaruuden R3 vektoreita. Tällöin
- u×v=−v×u,
- u×0=0,
- u×u=0.
Ensimmäiset kaksi kohtaa seuraavat suoraan determinantin rivien vaihtossäännöstä ja ristitulon määritelmästä. Oletetaan kohtaa 3 varten, että u=u1e1+u2e2+u3e3 ja v=v1e1+v2e2+v3e3, jolloin soveltamalla determinantin määritelmää ja rivien vaihtosääntöä saadaan
eli 2(u×u)=0. On siis oltava u×u=0. ◻
Näiden tulosten avulla voidaan laskea ristituloja nopeasti.
Esimerkki.
Olkoot u=i−k ja v=2j+k. Laske u×v.
Ryhdytään laskemaan ristitulon laskusääntöjen avulla.
jossa siis erityisesti k×k=0.
Todistetaan seuraavaksi tulos, joka yhdistää ristitulon normin vektoreiden väliseen kulmaan.
Lause.
Olkoot u ja v avaruuden R3 vektoreita, joiden välinen kulma on θ. Tällöin
Oletetaan tässä, että \mathbf{u}= u_1\mathbf{e}_1 + u_2\mathbf{e}_2 + u_3\mathbf{e}_3 ja \mathbf{v}= v_1\mathbf{e}_1 + v_2\mathbf{e}_2 + v_3\mathbf{e}_3. Normin ja ristitulon määritelmien nojalla
Laskemalla lausekkeet auki termeittäin voidaan nähdä, että alin muoto on tismalleen sama kuin
Oletuksen nojalla kuitenkin \mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=\|\mathbf{u}\|\|\mathbf{v}\|\cos(\theta), joten
Koska \sin(\theta)\ge 0, kun 0\le\theta\le\pi, voidaan ottaa yhtälöstä neliöjuuri puolittain, jolloin haluttu tulos seuraa välittömästi. \square
Palautetaan mieleen, että nollasta poikkeavat avaruuden \mathbb R^3 vektorit \mathbf{u} ja \mathbf{v} ovat yhdensuuntaiset täsmälleen silloin, kun niiden välinen kulma \theta = 0 tai \theta = \pi.
Seuraus.
Jos avaruuden \mathbb R^3 vektorit \mathbf{u} ja \mathbf{v} ovat yhdensuuntaiset, niin \mathbf{u}\times\mathbf{v}=\mathbf{0}.
Risti- ja pistetulo voidaan myös yhdistää eräänlaiseksi kolmen vektorin kertolaskutoimitukseksi.
Määritelmä.
Avaruuden \mathbb R^3 vektoreiden \mathbf{u}, \mathbf{v} ja \mathbf{w} skalaarikolmitulo on tulo \mathbf{u}\cdot (\mathbf{v}\times \mathbf{w}).
Skalaarikolmitulo voidaan ristitulon tapaan esittää determinanttina.
Lause.
Jos \mathbf{u}= u_1\mathbf{e}_1 + u_2\mathbf{e}_2 + u_3\mathbf{e}_3, \mathbf{v}= v_1\mathbf{e}_1 + v_2\mathbf{e}_2 + v_3\mathbf{e}_3 ja \mathbf{w}= w_1\mathbf{e}_1 + w_2\mathbf{e}_2 + w_3\mathbf{e}_3, niin
Suoraan laskemalla saadaan
kuten haluttiinkin. \square
Piste- ja ristitulon paikkaa voidaan vaihtaa seuraavasti skalaarikolmitulossa.
Lause.
Jos \mathbf{u}, \mathbf{v} ja \mathbf{w} ovat avaruuden \mathbb R^3 vektoreita, niin \mathbf{u}\cdot (\mathbf{v}\times \mathbf{w})=(\mathbf{u}\times \mathbf{v}) \cdot \mathbf{w}.
Oletetaan tässä, että \mathbf{u}= u_1\mathbf{e}_1 + u_2\mathbf{e}_2 + u_3\mathbf{e}_3, \mathbf{v}= v_1\mathbf{e}_1 + v_2\mathbf{e}_2 + v_3\mathbf{e}_3, sekä \mathbf{w}= w_1\mathbf{e}_1 + w_2\mathbf{e}_2 + w_3\mathbf{e}_3. Soveltamalla determinantin rivinvaihtosääntöä sekä pistetulon vaihdannaisuutta saadaan
\square
Nyt voidaan lopulta todistaa, että vektoreiden \mathbf{u} ja \mathbf{v} ristitulo \mathbf{u}\times \mathbf{v} on ortogonaalinen niiden molempien kanssa.
Seuraus.
Jos \mathbf{u} ja \mathbf{v} ovat avaruuden \mathbb R^3 vektoreita, niin vektorit \mathbf{u} ja \mathbf{v} ovat ortogonaalisia vektorin \mathbf{u}\times\mathbf{v} kanssa.