Sovellus: tason ja avaruuden suorat ja tasot

Monet sovellukset hyötyvät suoran ja tason erilaisista esityksistä avaruuksissa \(\mathbb R^2\) ja \(\mathbb R^3\). Seuraavassa käydään läpi tapoja kuvata suoraa ja tasoa, sekä niihin liittyviä tehtäviä.

Lähdetään liikkeelle tason \(\mathbb R^2\) suorasta. Entuudestaan on jo tuttua, että suoran yhtälö on \(y = kx + b\) tai \(x = a\), missä \(x\) ja \(y\) viittaavat suoran pisteiden koordinaatteihin, sekä \(a\), \(b\) ja \(k\) ovat reaalilukuja. Ensimmäinen tapaus kattaa kaikki suorat, jotka eivät ole \(y\)-akselin suuntaisia, ja jälkimmäinen täsmälleen ne. Jos suoran yleiseen pisteeseen liittyvää paikkavektoria merkitään

\[\begin{split}\mathbf{x}= \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix},\end{split}\]

niin saadaan

\[\begin{split}\mathbf{x}= \begin{bmatrix} x \\ kx + b \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ b \end{bmatrix} + x \begin{bmatrix} 1 \\ k \end{bmatrix} \qquad\text{tai}\qquad \mathbf{x}= \begin{bmatrix} a \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a \\ 0 \end{bmatrix} + y \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}.\end{split}\]

Kummassakin tapauksessa suoran yleinen piste voidaan esittää summana \(\mathbf{x}= \mathbf{p}+ t\mathbf{d}\), missä \(\mathbf{p}\) ja \(\mathbf{d}\) ovat vakiovektoreita. Tämä ajatus voidaan yleistää sekä tason \(\mathbb R^2\) että avaruuden \(\mathbb R^3\) suoran ensimmäisiksi esitysmuodoiksi.

Määritelmä.

Avaruuden \(\mathbb R^2\) tai \(\mathbb R^3\) suoran yhtälön vektorimuoto on

\[\mathbf{x}=\mathbf{p}+ t\mathbf{d},\]

missä \(\mathbf{p}\) on suoralle kuuluvan pisteen paikkavektori, \(\mathbf{d}\neq \mathbf{0}\) on suoran suuntavektori ja parametri \(t\) on reaaliluku. Kun vektorimuoto ilmoitetaan komponenteittain, saadaan suoran yhtälön parametrimuoto.

Vektorimuotoisen esityksen ajatus on seuraava.

1. Kuljetaan origosta suoralle pisteeseen \(\mathbf{p}\).
2. Jokaista parametrin \(t\) arvoa kohti kuljetaan vektorin \(t\mathbf{d}\) verran pisteestä \(\mathbf{p}\).
3. Näin on käyty läpi kaikki suoran pisteet.

Tyypillisesti suoran suuntavektori \(\mathbf{d}\) määritetään kahden tunnetun suoran pisteen \(A\) ja \(B\) avulla asettamalla \(\mathbf{d}= \overrightarrow{AB}\).

Esimerkki.

Tason \(\mathbb R^2\) suora kulkee pisteiden \((1, 1)\) ja \((4, 3)\) kautta. Esitä suoran yhtälö vektori- ja parametrimuodoissa.

Ratkaisu.

Eräs suoralta löytyvä piste on nyt \(\mathbf{p}= (1, 1)\) ja eräs suoran suuntainen vektori on \(\mathbf{d}= (4, 3) - (1, 1) = (3, 2)\). Kyseisen suoran vektorimuotoinen yhtälö on siis

\[\begin{split}\mathbf{x}= \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} + t \begin{bmatrix} 3 \\ 2 \end{bmatrix},\end{split}\]

missä parametri \(t\) saa kaikki reaaliset arvot. Suoran parametriesitystä varten kirjoitetaan \(\mathbf{x}= (x, y)\), jolloin suoran pisteiden koordinaatit toteuttavat ehdot

\[\begin{split}\begin{cases} x = 1 + 3t \\ y = 1 + 2t. \end{cases}\end{split}\]

Erityisesti tasossa \(\mathbb R^2\) suoran yhtälölle voidaan kehittää vielä kolmaskin hyödyllinen esitysmuoto. Suoran normaalivektoriksi kutsutaan mitä tahansa vektoria \(\mathbf{n}\), joka on kohtisuorassa suoran suuntavektoria \(\mathbf{d}\) vasten.

Jos \(\mathbf{x}\) on suoran yleinen piste ja \(\mathbf{p}\) jokin tunnettu piste, niin vektoriesityksen nojalla mikä tahansa vektori \(\mathbf{x}- \mathbf{p}\) on suoran suuntavektori. Tämä voidaan kääntää siten, että piste \(\mathbf{x}\) on pisteen \(\mathbf{p}\) kautta kulkevalla vektoria \(\mathbf{n}\) vasten kohtisuoralla suoralla vain, jos \(\mathbf{n}\cdot (\mathbf{x}- \mathbf{p}) = 0\).

Määritelmä.

Tason \(\mathbb R^2\) suoran yhtälön normaalimuoto on

\[\mathbf{n}\cdot (\mathbf{x}- \mathbf{p})=0 \qquad\text{tai}\qquad \mathbf{n}\cdot \mathbf{x}= \mathbf{n}\cdot \mathbf{p},\]

missä \(\mathbf{p}\) on suoralle kuuluvan pisteen paikkavektori ja \(\mathbf{n}\neq \mathbf{0}\) on suoran normaalivektori. Kun merkitään \(\mathbf{x}= (x, y)\), \(\mathbf{n}= (a, b)\) ja \(\mathbf{n}\cdot \mathbf{p}= c\), ja sijoitetaan normaalimuotoon, saadaan suoran yhtälön yleinen muoto

\[ax + by = c.\]

Suoran yhtälön normaalimuoto on erityisen kätevä silloin, kun tunnetaan yksi piste ja normaalivektori. Muussa tapauksessa normaalivektori on ensin etsittävä.

Esimerkki.

Kirjoita edellisen esimerkin suoran yhtälö normaalimuodossa ja yleisessä muodossa.

Ratkaisu.

Merkitään normaalivektoria \(\mathbf{n}= (a, b)\), jolloin kohtisuoruusehdon nojalla

\[\mathbf{n}\cdot \mathbf{d}= 3a + 2b = 0.\]

Eräs keino toteuttaa tämä yhtälö, eli löytää suoralle normaalivektori, on vaihtaa suuntavektorin komponentit keskenään ja vaihtaa niistä toisen merkki. Voidaan siis valita esimerkiksi \(a = 2\) ja \(b = -3\), jolloin \(\mathbf{n}= (2, -3)\) on todellakin suoran normaalivektori. Suoran yhtälön normaalimuoto on siis nyt

\[\begin{split}\begin{bmatrix} 2 \\ -3 \end{bmatrix} \cdot \left(\mathbf{x}- \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} \right) = 0 \qquad\text{tai}\qquad \begin{bmatrix} 2 \\ -3 \end{bmatrix} \cdot \mathbf{x}= \begin{bmatrix} 2 \\ -3 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} = -1.\end{split}\]

Merkitään \(\mathbf{x}= (x, y)\), jolloin suoran yhtälön yleiseksi muodoksi saadaan

\[2x - 3y = -1.\]

Miten suoran yleinen yhtälö voitaisiin muuttaa vektoriesitykseksi?

Esimerkki.

Etsi pisteiden \((1, 1)\) ja \((4, 3)\), sekä pisteiden \((4, -1)\) ja \((-2, 0)\) kautta kulkevien suorien leikkauspiste.

Ratkaisu.

Edellä osoitettiin, että ensimmäisen suoran parametrimuotoinen yhtälö on

\[\begin{split}\begin{cases} x = 1 + 3t \\ y = 1 + 2t, \end{cases}\end{split}\]

missä \(t\) saa mielivaltaisia reaalilukuarvoja. Vastaavasti löydetään pisteiden \((4, -1)\) ja \((-2, 0)\) kautta kulkevan suoran yhtälöksi

\[\begin{split}\begin{cases} x = -2 + 6s \\ y = -s, \end{cases}\end{split}\]

missä myös \(s\) on reaalilukuparametri. Leikkauspisteessä molempien koordinaattien on oltava yhtä suuret, eli

\[\begin{split}\begin{cases} 1 + 3t = -2 + 6s \\ 1 + 2t = -s \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 6s - 3t = 3 \\ s + 2t = -1. \end{cases}\end{split}\]

Tämä yhtälöpari voidaan ratkaista esimerkiksi sijoitusmenetelmällä kirjoittamalla alemmalla riville \(s = -1 - 2t\) ja sijoittamalla ylempään yhtälöön. Tällöin

\[6(-1 - 2t) - 3t = -6 - 15t = 3,\]

eli \(t = -\frac{3}{5}\). Tällä parametrin arvolla

\[\begin{split}\begin{cases} x = 1 + 3 \cdot \left(-\frac{3}{5}\right) = -\frac{4}{5} \\ y = 1 + 2 \cdot \left(-\frac{3}{5}\right) = -\frac{1}{5}, \end{cases}\end{split}\]

eli ollaan leikkauspisteessä \(\left(-\frac{4}{5}, -\frac{1}{5}\right)\).

Siirryttäessä avaruuteen \(\mathbb R^3\) tarkastelemaan tasoja vektorimuotoisen yhtälön ajatus toimii edelleen. Siinä missä suoran pisteiden läpi käymiseen riittää yksi suuntavektori, taso tarvitsee kaksi.

Määritelmä.

Avaruuden \(\mathbb R^3\) tason yhtälön vektorimuoto on

\[\mathbf{x}= \mathbf{p}+ s\mathbf{u}+ t\mathbf{v},\]

missä \(\mathbf{p}\) on tasolle kuuluvan pisteen paikkavektori, vektorit \(\mathbf{u}\neq \mathbf{0}\) ja \(\mathbf{v}\neq \mathbf{0}\) ovat tason suuntaisia ja keskenään erisuuntaisia, sekä parametrit \(s\) ja \(t\) ovat reaalilukuja. Kun vektorimuoto ilmoitetaan komponenteittain, saadaan tason yhtälön parametrimuoto.

Esimerkki.

Avaruuden \(\mathbb R^3\) taso sisältää pisteet \((1, 2, 2)\), \((1, 1, 3)\) ja \((0, 2, 1)\). Esitä tason yhtälö vektori- ja parametrimuodoissa.

Ratkaisu.

Eräs tasolta löytyvä piste on nyt \(\mathbf{p}= (1, 2, 2)\) ja tason suuntaisiksi, mutta keskenään erisuuntaisiksi vektoreiksi saadaan esimerkiksi \(\mathbf{u}= (1, 1, 3) - (1, 2, 2) = (0, -1, 1)\) ja \(\mathbf{v}= (0, 2, 1) - (1, 2, 2) = (-1, 0, -1)\). Kyseisen tason vektorimuotoinen yhtälö on siis

\[\begin{split}\mathbf{x}= \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{bmatrix} + s \begin{bmatrix} 0 \\ -1 \\ 1 \end{bmatrix} + t \begin{bmatrix} -1 \\ 0 \\ -1 \end{bmatrix},\end{split}\]

missä parametrit \(s\) ja \(t\) saavat kaikki reaaliset arvot. Tason parametriesitystä varten kirjoitetaan \(\mathbf{x}= (x, y, z)\), jolloin tason pisteiden koordinaatit toteuttavat ehdot

\[\begin{split}\begin{cases} x = 1 - t \\ y = 2 - t \\ z = 2 + s - t. \end{cases}\end{split}\]

Suoran normaalimuotoinen yhtälö ei toimi avaruudessa \(\mathbb R^3\), sillä tällöin normaalivektorin suuntaa ei ole vielä määrätty. Suoran sijaan normaalivektorin avulla päädytäänkin kuvaamaan tasoa. Tason normaalivektori on kohtisuorassa jokaista tason suuntaista vektoria vasten.

Jos \(\mathbf{x}\) on tason yleinen piste ja \(\mathbf{p}\) jokin tunnettu piste, niin mikä tahansa vektori \(\mathbf{x}- \mathbf{p}\) on tason suuntainen. Tämä voidaan kääntää siten, että piste \(\mathbf{x}\) on pisteen \(\mathbf{p}\) sisältävällä vektoria \(\mathbf{n}\) vasten kohtisuoralla tasolla vain, jos \(\mathbf{n}\cdot (\mathbf{x}- \mathbf{p}) = 0\).

Määritelmä.

Avaruuden \(\mathbb R^3\) tason yhtälön normaalimuoto on

\[\mathbf{n}\cdot (\mathbf{x}- \mathbf{p})=0 \qquad\text{tai}\qquad \mathbf{n}\cdot \mathbf{x}= \mathbf{n}\cdot \mathbf{p},\]

missä \(\mathbf{p}\) on tasolle kuuluvan pisteen paikkavektori ja \(\mathbf{n}\neq \mathbf{0}\) on tason normaalivektori. Kun merkitään \(\mathbf{x}= (x, y, z)\), \(\mathbf{n}= (a, b, c)\) ja \(\mathbf{n}\cdot \mathbf{p}= d\), ja sijoitetaan normaalimuotoon, saadaan tason yhtälön yleinen muoto

\[ax + by + cz = d.\]

Esimerkki.

Kirjoita edellisen esimerkin tason yhtälö normaalimuodossa ja yleisessä muodossa.

Ratkaisu.

Kyseisen tason normaalivektoria voidaan lähteä etsimään sen suuntavektoreiden \(\mathbf{u}= (0, -1, 1) = -\mathbf{e}_2 + \mathbf{e}_3\) ja \(\mathbf{v}= (-1, 0, -1) = -\mathbf{e}_1 - \mathbf{e}_3\) ristitulon avulla.

\[\mathbf{n}= \mathbf{u}\times \mathbf{v}= (-\mathbf{e}_2 + \mathbf{e}_3) \times (-\mathbf{e}_1 - \mathbf{e}_3) = \mathbf{e}_2 \times \mathbf{e}_1 + \mathbf{e}_2 \times \mathbf{e}_3 - \mathbf{e}_3 \times \mathbf{e}_1 - \mathbf{e}_3 \times \mathbf{e}_3 = \mathbf{e}_1 - \mathbf{e}_2 - \mathbf{e}_3\]

Siis \(\mathbf{n}= (1, -1, -1)\) ja tason yhtälön normaalimuoto on

\[\begin{split}\begin{bmatrix} 1 \\ -1 \\ -1 \end{bmatrix} \cdot \left(\mathbf{x}- \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{bmatrix} \right) = 0 \qquad\text{tai}\qquad \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \\ -1 \end{bmatrix} \cdot \mathbf{x}= \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \\ -1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{bmatrix} = -3.\end{split}\]

Merkitään \(\mathbf{x}= (x, y, z)\), jolloin tason yhtälön yleiseksi muodoksi saadaan

\[x - y - z = -3.\]

Esimerkki.

Etsi pisteen \((5, 3, -1)\) etäisyys tasosta \(x - y - z = -3\).

Ratkaisu.

Aiemmasta esimerkistä tiedetään, että piste \((1, 2, 2)\) sisältyy mainittuun tasoon. Merkitään vektoria pisteestä \((5, 3, -1)\) tason tähän pisteeseen

\[\mathbf{v}= (1, 2, 2) - (5, 3, -1) = (-4, -1, 3).\]

Tason normaalivektori on \(\mathbf{n}= (1, -1, -1)\) ja pisteen \((5, 3, -1)\) etäisyys tasosta on tällöin vektorille \(\mathbf{n}\) lasketun vektorin \(\mathbf{v}\) projektion pituus. Piirrä itsellesi kuva, jonka avulla vakuutut tuloksesta! Kysytty etäisyys on siis

\[\begin{split}\begin{aligned} \|\operatorname{proj}_{\mathbf{n}}(\mathbf{v})\| = \left\|\frac{1 \cdot (-4) - 1 \cdot (-1) - 1 \cdot 3}{1^2 + (-1)^2 + (-1)^2} \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \\ -1 \end{bmatrix} \right\| = \left|-2\right|\sqrt{1^2 + (-1)^2 + (-1)^2} = 2\sqrt{3}.\end{aligned}\end{split}\]

Palautusta lähetetään...