Processing math: 100%
This course has already ended.
  1. MAT-04601
  2. 4. Vektorit
  3. 4.4 Vektoriprojektio

Vektoriprojektio

Tarkastellaan avaruuden Rn vektoreita v ja u seuraavan ongelman näkökulmasta. Tiedetään, että molemmat voidaan esittää luonnollisen kannan vektoreiden e1,e2,…,en lineaarikombinaationa, eli näiden suuntaisten vektoreiden summana. Lisäksi nämä vektorit ovat ortogonaalisia. Onko näin mahdollista tehdä muidenkin vektoreiden suhteen? Voidaanko erityisesti v jakaa kahden vektorin summaksi v=p+w, missä p on vektorin u suuntainen ja w sitä vastaan kohtisuorassa?

Käy ilmi, että vastaus on kyllä silloin, kun u≠0. Oletetaan, että v=p+w, jolloin kahden ehdon on toteuduttava.

  1. Vektorit p ja u ovat yhdensuuntaiset vain, jos p=cu jollakin skalaarilla c. Toisin sanoen on oltava

    v=cu+w.

  2. Vektorit w ja u ovat kohtisuorat vain, jos u⋅w=0.

Lasketaan vektorin v pistetulo vektorin u kanssa, jolloin edellisten ehtojen toteutuessa

u⋅v=u⋅(cu+w)=cu⋅u+u⋅w=c‖u‖2.

Nyt olettamalla, että u≠0 skalaariksi c voidaan valita

c=u⋅v‖u‖2.

Määritelmä.

Olkoot u≠0 ja v avaruuden Rn vektoreita. Vektorin v projektio vektorille u on vektori

proju(v)=u⋅v‖u‖2u.

Merkitsemällä nyt p=proju(v) ja w=v−proju(v) nähdään, että p+w=v ja että vektorit p ja u ovat yhdensuuntaisia. Osoitetaan vielä, että näin määriteltynä vektori w on todella ortogonaalinen vektorin u kanssa laskemalla pistetuloksi

u⋅w=u⋅(v−u⋅v‖u‖2u)=u⋅v−u⋅vu⋅u‖u‖2=0.

Asetettu ongelma on täten ratkaistu. Sivutuotteena on esitelty vektoriprojektion käsite, jonka sovelluksiin lukeutuvat esimerkiksi mekaniikan voimakuviot. Projektiolle voidaan lisäksi todistaa seuraavat ominaisuudet.

Lause.

Olkoot u≠0 ja v avaruuden Rn vektoreita. Tällöin seuraavat väitteet ovat voimassa.

  1. proju(proju(v))=proju(v), eli projektiota ei voi muuttaa uudella projisoinnilla.
  2. proju(v−proju(v))=0, eli kohtisuoran komponentin projektio on nollavektori.
  3. proju(v)=0 täsmälleen silloin, kun u ja v ovat ortogonaaliset.
Todistus.

Tulokset ovat geometrisesti ajateltuna intuitiivisia (piirrä kuva), mutta todistetaan ne vielä määritelmän avulla.

  1. Sijoitetaan projektion määritelmä kahdesti.

    proju(proju(v))=proju(u⋅v‖u‖2u)=u⋅v‖u‖2u⋅u‖u‖2u=u⋅v‖u‖2‖u‖2‖u‖2u=u⋅v‖u‖2u=proju(v)

  2. Projisoidaan kohtisuora osuus vektorista v.

    proju(v−proju(v))=proju(v−u⋅v‖u‖2u)=(v−u⋅v‖u‖2u)⋅u‖u‖2u=v⋅u−u⋅v‖u‖2u⋅u‖u‖2u=v⋅u−u⋅v‖u‖2=0

  3. Projektion määritelmästä seuraa, että proju(v)=0 täsmälleen silloin, kun u⋅v=0 tai u=0. Mutta oletuksena oli u≠0, jolloin proju(v)=0 täsmälleen silloin, kun u⋅v=0. Väite siis seuraa.

◻

Nämä vektoriprojektion perusominaisuudet ovat hyödyllisiä geometrisissa sovelluksissa.

Esimerkki.

Olkoon w=(2,7,−11) ja d=(3,0,−4).

  1. Etsi vektorin w komponentti vektorin d suuntaan, eli vektorin w projektio vektorille d, sekä niihin liittyvä kohtisuora komponentti.
  2. Laske pisteen w lyhyin etäisyys vektorin d suuntaiselta origon kautta kulkevalta suoralta.
Ratkaisu.

  1. Vektorin w projektio vektorille d on

    projd(w)=d⋅w‖d‖2d=3⋅2+0⋅7+(−4)⋅(−11)32+02+(−4)2d=2d=[60−8],

    jolloin kohtisuoraksi komponentiksi saadaan

    w−projd(w)=w−2d=[−47−3].

  2. Pisteen w lyhyin etäisyys vektorin d suuntaisesta origon kautta kulkevasta suorasta on projektion kohtisuoran komponentin normi

    ‖w−projd(w)‖=√(−4)2+72+(−3)2=√74.

Esimerkki.

Osoita, että jos ‖u0‖=1, niin proju0(v)=(u0⋅v)u0.

Todistus.

Olkoon ‖u0‖=1 ja lasketaan vektorin v projektio vektorille u0.

proju0(v)=u0⋅v‖u0‖2u0=u0⋅v12u0=(u0⋅v)u0

◻

Vektoreiden epäyhtälöitä

Vektoriprojektion eräs matemaattinen sovellus on Cauchy-Schwarzin epäyhtälön todistus, ja tätä epäyhtälöä voidaan puolestaan käyttää kolmioepäyhtälön todistamiseksi avaruuden Rn vektoreille.

Lause.

Jos u ja v ovat avaruuden Rn vektoreita, niin ne toteuttavat Cauchy-Schwarzin epäyhtälön

|u⋅v|≤‖u‖‖v‖.
Todistus.

Jos u=0, niin epäyhtälön molempien puolten lausekkeiden arvot ovat 0, ja todistus on valmis. Oletetaan, että u≠0 ja tarkastellaan vektorin v projektiota sille.

‖proju(v)‖=‖u⋅v‖u‖2u‖=|u⋅v|‖u‖2‖u‖=|u⋅v|‖u‖

Koska toisaalta

v=proju(v)+w,

missä proju(v) ja w ovat ortogonaalisia, saadaan Pythagoraan lauseen avulla arvio

‖v‖2=‖proju(v)+w‖2=‖proju(v)‖2+‖w‖2≥‖proju(v)‖2,

eli vektorin v projektion pituus ei koskaan ylitä vektorin v pituutta. Näin ollen

|u⋅v|‖u‖≤‖v‖,

mistä väite seuraa. ◻

Huomautus.

Vertaa Cauchy-Schwarzin epäyhtälöä vektoreiden u ja v välisen kulman määritelmään. Vaikka tiedetään, että reaalisilla θ on voimassa |cosθ|≤1, tätä ei voida hyödyntää epäyhtälön todistamisessa. Kulman määritelmää asetettaessa ei nimittäin voitu olla varmoja siitä, että osamäärä

|u⋅v‖u‖‖v‖|≤1,

mikä on Cauchy-Schwartzin epäyhtälön seuraus!

Vihdoin voidaan osoittaa, että vektoreiden etäisyys d(u,v)=‖u−v‖ todellakin määrittelee metriikan.

Lause.

Jos u ja v ovat avaruuden Rn vektoreita, niin ne toteuttavat kolmioepäyhtälön

‖u+v‖≤‖u‖+‖v‖.
Todistus.

Soveltamalla normin määritelmää ja pistetulon ominaisuuksia saadaan

‖u+v‖2=(u+v)⋅(u+v)=‖u‖2+2u⋅v+‖v‖2.

Kaikille reaaliluvuille a on voimassa a≤|a|, joten myös u⋅v≤|u⋅v|. Täten voidaan soveltaa Cauchy-Schwarzin epäyhtälöä, ja saadaan

‖u+v‖2≤‖u‖2+2|u⋅v|+‖v‖2≤‖u‖2+2‖u‖‖v‖+‖v‖2=(‖u‖+‖v‖)2.

Väite seuraa tästä ottamalla neliöjuuri puolittain. ◻

Kolmioepäyhtälö perustelee sen, että mielivaltaisille avaruuden Rn vektoreille u, v ja w on voimassa

d(u,v)≤d(u,w)+d(w,v).

Geometrinen tulkinta on, että kahden pisteen u ja v välinen lyhyin etäisyys mitataan suoraa pitkin. Jos kuljetaan minkä tahansa kolmannen pisteen w kautta, joka ei kuulu pisteet yhdistävälle janalle, kuljetun matkan pituus kasvaa.

Posting submission...