Vektoriprojektio

Tarkastellaan avaruuden \(\mathbb R^n\) vektoreita \(\mathbf{v}\) ja \(\mathbf{u}\) seuraavan ongelman näkökulmasta. Tiedetään, että molemmat voidaan esittää luonnollisen kannan vektoreiden \(\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2, \ldots, \mathbf{e}_n\) lineaarikombinaationa, eli näiden suuntaisten vektoreiden summana. Lisäksi nämä vektorit ovat ortogonaalisia. Onko näin mahdollista tehdä muidenkin vektoreiden suhteen? Voidaanko erityisesti \(\mathbf{v}\) jakaa kahden vektorin summaksi \(\mathbf{v}= \mathbf{p}+ \mathbf{w}\), missä \(\mathbf{p}\) on vektorin \(\mathbf{u}\) suuntainen ja \(\mathbf{w}\) sitä vastaan kohtisuorassa?

Käy ilmi, että vastaus on kyllä silloin, kun \(\mathbf{u}\not= \mathbf{0}\). Oletetaan, että \(\mathbf{v}= \mathbf{p}+ \mathbf{w}\), jolloin kahden ehdon on toteuduttava.

1. Vektorit \(\mathbf{p}\) ja \(\mathbf{u}\) ovat yhdensuuntaiset vain, jos \(\mathbf{p}= c\mathbf{u}\) jollakin skalaarilla \(c\). Toisin sanoen on oltava

   \[\mathbf{v}= c\mathbf{u}+ \mathbf{w}.\]

2. Vektorit \(\mathbf{w}\) ja \(\mathbf{u}\) ovat kohtisuorat vain, jos \(\mathbf{u}\cdot \mathbf{w}= 0\).

Lasketaan vektorin \(\mathbf{v}\) pistetulo vektorin \(\mathbf{u}\) kanssa, jolloin edellisten ehtojen toteutuessa

\[\mathbf{u}\cdot \mathbf{v}= \mathbf{u}\cdot (c\mathbf{u}+ \mathbf{w}) = c\mathbf{u}\cdot \mathbf{u}+ \mathbf{u}\cdot \mathbf{w}= c\|\mathbf{u}\|^2.\]

Nyt olettamalla, että \(\mathbf{u}\not= \mathbf{0}\) skalaariksi \(c\) voidaan valita

\[c=\frac{\mathbf{u}\cdot \mathbf{v}}{\|\mathbf{u}\|^2}.\]

Määritelmä.

Olkoot \(\mathbf{u}\not= \mathbf{0}\) ja \(\mathbf{v}\) avaruuden \(\mathbb R^n\) vektoreita. Vektorin \(\mathbf{v}\) projektio vektorille \(\mathbf{u}\) on vektori

\[\operatorname{proj}_{\mathbf{u}}(\mathbf{v}) = \frac{\mathbf{u}\cdot \mathbf{v}}{\|\mathbf{u}\|^2}\mathbf{u}.\]

Merkitsemällä nyt \(\mathbf{p}= \operatorname{proj}_{\mathbf{u}}(\mathbf{v})\) ja \(\mathbf{w}= \mathbf{v}- \operatorname{proj}_{\mathbf{u}}(\mathbf{v})\) nähdään, että \(\mathbf{p}+ \mathbf{w}= \mathbf{v}\) ja että vektorit \(\mathbf{p}\) ja \(\mathbf{u}\) ovat yhdensuuntaisia. Osoitetaan vielä, että näin määriteltynä vektori \(\mathbf{w}\) on todella ortogonaalinen vektorin \(\mathbf{u}\) kanssa laskemalla pistetuloksi

\[\mathbf{u}\cdot \mathbf{w}= \mathbf{u}\cdot \left(\mathbf{v}- \frac{\mathbf{u}\cdot \mathbf{v}}{\|\mathbf{u}\|^2}\mathbf{u}\right) = \mathbf{u}\cdot \mathbf{v}- \mathbf{u}\cdot \mathbf{v}\frac{\mathbf{u}\cdot \mathbf{u}}{\|\mathbf{u}\|^2} = 0.\]

Asetettu ongelma on täten ratkaistu. Sivutuotteena on esitelty vektoriprojektion käsite, jonka sovelluksiin lukeutuvat esimerkiksi mekaniikan voimakuviot. Projektiolle voidaan lisäksi todistaa seuraavat ominaisuudet.

Lause.

Olkoot \(\mathbf{u}\not= \mathbf{0}\) ja \(\mathbf{v}\) avaruuden \(\mathbb R^n\) vektoreita. Tällöin seuraavat väitteet ovat voimassa.

1. \(\operatorname{proj}_{\mathbf{u}}(\operatorname{proj}_{\mathbf{u}}(\mathbf{v}))=\operatorname{proj}_{\mathbf{u}}(\mathbf{v})\), eli projektiota ei voi muuttaa uudella projisoinnilla.
2. \(\operatorname{proj}_{\mathbf{u}}(\mathbf{v}-\operatorname{proj}_{\mathbf{u}}(\mathbf{v}))=\mathbf{0}\), eli kohtisuoran komponentin projektio on nollavektori.
3. \(\operatorname{proj}_{\mathbf{u}}(\mathbf{v})=\mathbf{0}\) täsmälleen silloin, kun \(\mathbf{u}\) ja \(\mathbf{v}\) ovat ortogonaaliset.

Todistus.

Tulokset ovat geometrisesti ajateltuna intuitiivisia (piirrä kuva), mutta todistetaan ne vielä määritelmän avulla.

1. Sijoitetaan projektion määritelmä kahdesti.

   \[\begin{aligned} \operatorname{proj}_{\mathbf{u}}(\operatorname{proj}_{\mathbf{u}}(\mathbf{v})) &= \operatorname{proj}_{\mathbf{u}}\left(\frac{\mathbf{u}\cdot \mathbf{v}}{\|\mathbf{u}\|^2}\mathbf{u}\right) = \frac{\frac{\mathbf{u}\cdot \mathbf{v}}{\|\mathbf{u}\|^2}\mathbf{u}\cdot \mathbf{u}}{\|\mathbf{u}\|^2}\mathbf{u}= \frac{\frac{\mathbf{u}\cdot \mathbf{v}}{\|\mathbf{u}\|^2}\|\mathbf{u}\|^2}{\|\mathbf{u}\|^2}\mathbf{u}=\frac{\mathbf{u}\cdot \mathbf{v}}{\|\mathbf{u}\|^2}\mathbf{u}= \operatorname{proj}_{\mathbf{u}}(\mathbf{v}) \end{aligned}\]

2. Projisoidaan kohtisuora osuus vektorista \(\mathbf{v}\).

   \[\begin{split}\begin{aligned} \operatorname{proj}_{\mathbf{u}}(\mathbf{v}-\operatorname{proj}_{\mathbf{u}}(\mathbf{v})) &= \operatorname{proj}_{\mathbf{u}}\left(\mathbf{v}-\frac{\mathbf{u}\cdot \mathbf{v}}{\|\mathbf{u}\|^2}\mathbf{u}\right) = \frac{\left(\mathbf{v}- \frac{\mathbf{u}\cdot \mathbf{v}}{\|\mathbf{u}\|^2}\mathbf{u}\right) \cdot \mathbf{u}}{\|\mathbf{u}\|^2}\mathbf{u}= \frac{\mathbf{v}\cdot \mathbf{u}- \frac{\mathbf{u}\cdot \mathbf{v}}{\|\mathbf{u}\|^2}\mathbf{u}\cdot \mathbf{u}}{\|\mathbf{u}\|^2}\mathbf{u}\\ &= \frac{\mathbf{v}\cdot \mathbf{u}- \mathbf{u}\cdot \mathbf{v}}{\|\mathbf{u}\|^2} = \mathbf{0} \end{aligned}\end{split}\]

3. Projektion määritelmästä seuraa, että \(\operatorname{proj}_{\mathbf{u}}(\mathbf{v}) = \mathbf{0}\) täsmälleen silloin, kun \(\mathbf{u}\cdot \mathbf{v}= 0\) tai \(\mathbf{u}= \mathbf{0}\). Mutta oletuksena oli \(\mathbf{u}\not= \mathbf{0}\), jolloin \(\operatorname{proj}_{\mathbf{u}}(\mathbf{v}) = \mathbf{0}\) täsmälleen silloin, kun \(\mathbf{u}\cdot \mathbf{v}= 0\). Väite siis seuraa.

\(\square\)

Nämä vektoriprojektion perusominaisuudet ovat hyödyllisiä geometrisissa sovelluksissa.

Esimerkki.

Olkoon \(\mathbf{w}= (2, 7, -11)\) ja \(\mathbf{d}= (3, 0, -4)\).

1. Etsi vektorin \(\mathbf{w}\) komponentti vektorin \(\mathbf{d}\) suuntaan, eli vektorin \(\mathbf{w}\) projektio vektorille \(\mathbf{d}\), sekä niihin liittyvä kohtisuora komponentti.
2. Laske pisteen \(\mathbf{w}\) lyhyin etäisyys vektorin \(\mathbf{d}\) suuntaiselta origon kautta kulkevalta suoralta.

Ratkaisu.

1. Vektorin \(\mathbf{w}\) projektio vektorille \(\mathbf{d}\) on

   \[\begin{split}\operatorname{proj}_{\mathbf{d}}(\mathbf{w})=\frac{\mathbf{d}\cdot \mathbf{w}}{\|\mathbf{d}\|^2}\mathbf{d}= \frac{3 \cdot 2 + 0 \cdot 7 + (-4) \cdot (-11)}{3^2 + 0^2 + (-4)^2}\mathbf{d}= 2\mathbf{d}= \begin{bmatrix} 6 \\ 0 \\ -8 \end{bmatrix},\end{split}\]

   jolloin kohtisuoraksi komponentiksi saadaan

   \[\begin{split}\mathbf{w}- \operatorname{proj}_{\mathbf{d}}(\mathbf{w}) = \mathbf{w}- 2\mathbf{d}= \begin{bmatrix} -4 \\ 7 \\ -3 \end{bmatrix}.\end{split}\]

2. Pisteen \(\mathbf{w}\) lyhyin etäisyys vektorin \(\mathbf{d}\) suuntaisesta origon kautta kulkevasta suorasta on projektion kohtisuoran komponentin normi

   \[\|\mathbf{w}- \operatorname{proj}_{\mathbf{d}}(\mathbf{w})\|=\sqrt{(-4)^2+7^2+(-3)^2}=\sqrt{74}.\]

Esimerkki.

Osoita, että jos \(\|\mathbf{u}_0\| = 1\), niin \(\operatorname{proj}_{\mathbf{u}_0}(\mathbf{v}) = (\mathbf{u}_0 \cdot \mathbf{v})\mathbf{u}_0\).

Todistus.

Olkoon \(\|\mathbf{u}_0\| = 1\) ja lasketaan vektorin \(\mathbf{v}\) projektio vektorille \(\mathbf{u}_0\).

\[\operatorname{proj}_{\mathbf{u}_0}(\mathbf{v}) = \frac{\mathbf{u}_0 \cdot \mathbf{v}}{\|\mathbf{u}_0\|^2}\mathbf{u}_0 = \frac{\mathbf{u}_0 \cdot \mathbf{v}}{1^2}\mathbf{u}_0 = (\mathbf{u}_0 \cdot \mathbf{v})\mathbf{u}_0\]

\(\square\)

Vektoreiden epäyhtälöitä

Vektoriprojektion eräs matemaattinen sovellus on Cauchy-Schwarzin epäyhtälön todistus, ja tätä epäyhtälöä voidaan puolestaan käyttää kolmioepäyhtälön todistamiseksi avaruuden \(\mathbb R^n\) vektoreille.

Lause.

Jos \(\mathbf{u}\) ja \(\mathbf{v}\) ovat avaruuden \(\mathbb R^n\) vektoreita, niin ne toteuttavat Cauchy-Schwarzin epäyhtälön

\[|\mathbf{u}\cdot \mathbf{v}| \leq \|\mathbf{u}\|\|\mathbf{v}\|.\]

Todistus.

Jos \(\mathbf{u}=\mathbf{0}\), niin epäyhtälön molempien puolten lausekkeiden arvot ovat \(0\), ja todistus on valmis. Oletetaan, että \(\mathbf{u}\neq\mathbf{0}\) ja tarkastellaan vektorin \(\mathbf{v}\) projektiota sille.

\[\|\operatorname{proj}_{\mathbf{u}}(\mathbf{v})\| = \left\|\frac{\mathbf{u}\cdot \mathbf{v}}{\|\mathbf{u}\|^2} \mathbf{u}\right\| = \frac{|\mathbf{u}\cdot \mathbf{v}|}{\|\mathbf{u}\|^2}\|\mathbf{u}\| = \frac{|\mathbf{u}\cdot \mathbf{v}|}{\|\mathbf{u}\|}\]

Koska toisaalta

\[\mathbf{v}= \operatorname{proj}_{\mathbf{u}}(\mathbf{v})+\mathbf{w},\]

missä \(\operatorname{proj}_{\mathbf{u}}(\mathbf{v})\) ja \(\mathbf{w}\) ovat ortogonaalisia, saadaan Pythagoraan lauseen avulla arvio

\[\|\mathbf{v}\|^2 = \|\operatorname{proj}_{\mathbf{u}}(\mathbf{v}) + \mathbf{w}\|^2 = \|\operatorname{proj}_{\mathbf{u}}(\mathbf{v})\|^2 + \|\mathbf{w}\|^2 \ge \|\operatorname{proj}_{\mathbf{u}}(\mathbf{v})\|^2,\]

eli vektorin \(\mathbf{v}\) projektion pituus ei koskaan ylitä vektorin \(\mathbf{v}\) pituutta. Näin ollen

\[\frac{|\mathbf{u}\cdot \mathbf{v}|}{\|\mathbf{u}\|} \le \|\mathbf{v}\|,\]

mistä väite seuraa. \(\square\)

Huomautus.

Vertaa Cauchy-Schwarzin epäyhtälöä vektoreiden \(\mathbf{u}\) ja \(\mathbf{v}\) välisen kulman määritelmään. Vaikka tiedetään, että reaalisilla \(\theta\) on voimassa \(|\cos\theta| \leq 1\), tätä ei voida hyödyntää epäyhtälön todistamisessa. Kulman määritelmää asetettaessa ei nimittäin voitu olla varmoja siitä, että osamäärä

\[\left|\frac{\mathbf{u}\cdot \mathbf{v}}{\|\mathbf{u}\|\|\mathbf{v}\|}\right| \leq 1,\]

mikä on Cauchy-Schwartzin epäyhtälön seuraus!

Vihdoin voidaan osoittaa, että vektoreiden etäisyys \(d(\mathbf{u}, \mathbf{v}) = \|\mathbf{u}- \mathbf{v}\|\) todellakin määrittelee metriikan.

Lause.

Jos \(\mathbf{u}\) ja \(\mathbf{v}\) ovat avaruuden \(\mathbb R^n\) vektoreita, niin ne toteuttavat kolmioepäyhtälön

\[\|\mathbf{u}+ \mathbf{v}\| \leq \|\mathbf{u}\|+\|\mathbf{v}\|.\]

Todistus.

Soveltamalla normin määritelmää ja pistetulon ominaisuuksia saadaan

\[\|\mathbf{u}+ \mathbf{v}\|^2=(\mathbf{u}+\mathbf{v})\cdot (\mathbf{u}+\mathbf{v})=\|\mathbf{u}\|^2+2\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}+\|\mathbf{v}\|^2.\]

Kaikille reaaliluvuille \(a\) on voimassa \(a \leq |a|\), joten myös \(\mathbf{u}\cdot \mathbf{v}\leq |\mathbf{u}\cdot \mathbf{v}|\). Täten voidaan soveltaa Cauchy-Schwarzin epäyhtälöä, ja saadaan

\[\begin{split}\begin{aligned} \|\mathbf{u}+ \mathbf{v}\|^2 &\le \|\mathbf{u}\|^2+2|\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}|+\|\mathbf{v}\|^2\\ & \le \|\mathbf{u}\|^2+2\|\mathbf{u}\|\|\mathbf{v}\|+\|\mathbf{v}\|^2\\ &=(\|\mathbf{u}\|+\|\mathbf{v}\|)^2.\end{aligned}\end{split}\]

Väite seuraa tästä ottamalla neliöjuuri puolittain. \(\square\)

Kolmioepäyhtälö perustelee sen, että mielivaltaisille avaruuden \(\mathbb R^n\) vektoreille \(\mathbf{u}\), \(\mathbf{v}\) ja \(\mathbf{w}\) on voimassa

\[d(\mathbf{u},\mathbf{v})\le d(\mathbf{u},\mathbf{w})+ d(\mathbf{w},\mathbf{v}).\]

Geometrinen tulkinta on, että kahden pisteen \(\mathbf{u}\) ja \(\mathbf{v}\) välinen lyhyin etäisyys mitataan suoraa pitkin. Jos kuljetaan minkä tahansa kolmannen pisteen \(\mathbf{w}\) kautta, joka ei kuulu pisteet yhdistävälle janalle, kuljetun matkan pituus kasvaa.

Palautusta lähetetään...