Processing math: 100%

Kompleksiluvun juuret

Määritelmä 8.6.1

Olkoon n luonnollinen luku. Kompleksiluvun z0 n:s juuri (root) on mikä tahansa kompleksiluku w, joka toteuttaa yhtälön

wn=z.

Reaaliluvun y reaalijuuria tarkasteltaessa voidaan tunnistaa seuraavat, kuvan avulla helposti muistettavat tapaukset.

  • Jos n on pariton, on täsmälleen yksi reaalinen juuri ny.
  • Jos n on parillinen ja y<0, ei ole reaalisia juuria.
  • Jos n on parillinen ja y>0, on täsmälleen kaksi reaalista juurta ny ja ny.
../_images/kompleksireaalijuuri1.svg

Esimerkki 8.6.2

  1. Luvun 1 eräät toiset juuret ovat i ja i, sillä

    i2=1ja(i)2=i2=1.

    Löydätkö muita kompleksilukuja, joiden neliö on 1?

  2. Luvun 8=8eiπ eräs kolmas juuri on 2eiπ/3, sillä

    (2eiπ/3)3=23ei(π/3)3=8eiπ=8.

    Mitkä muut luvut voisivat olla reaaliluvun 8 kolmansia juuria? Ovatko ne kaikki kompleksisia?

Jos tarkastellaan vain reaalilukuja, mahdollinen juurten lukumäärä vaihtelee nollasta kahteen. Kompleksilukujen mukaan ottaminen ikäänkuin täydentää juurten etsimisen teorian, sillä tällöin jokaisella luvulla on täsmälleen n kappaletta n:siä juuria.

Lause 8.6.3

Kompleksiluvulla z=reiθ0 on täsmälleen n erisuurta n:ttä juurta, jotka sijaitsevat nr-säteisellä origokeskisellä ympyrällä tasaisesti kulman 2πn välein.

Piilota/näytä todistus

Oletetaan, että kompleksiluku seiφ on luvun z n:s juuri, jolloin on siis oltava sneinφ=z=reiθ. Jotta kaksi kompleksilukua voisivat olla yhtä suuria, niiden itseisarvojen on oltava samat. Tästä päätellään, että sn=r. Tässä r>0 on reaaliluku, joten reaalinen n:s juuri on olemassa. Lisäksi luvun s on oltava myös positiivinen, sillä se on kompleksiluvun itseisarvo. Siis s=nr.

Myös molempien lukujen eksponenttiosien on oltava yhtä suuret, eli einφ=eiθ. Tämä ehto toteutuu varmasti, jos nφ=θ. Muistetaan kuitenkin, että kompleksiluvun argumentti ei ole yksikäsitteinen, vaan sitä voidaan aina kasvattaa tai vähentää luvun 2π verran aiheuttamatta muutoksia. Tämän vuoksi siis yleisesti nφ=θ+2πk, missä k on kokonaisluku. Argumentti saadaan ratkaistua jakamalla luvulla n, jolloin siis luvun z=reiθ n:net juuret ovat muotoa

wk=nrei(θ+2πk)/n,

missä k on kokonaisluku. Koska kaikkien juurten itseisarvo on nr, ne kaikki sijaitsevat nr-säteisellä origokeskisellä ympyrällä. Jokainen parametrin k valinta ei tuota erillistä juurta, sillä

wk+n=nrei(θ+2π(k+n))/n=nrei(θ+2πk)/n+i2π=nrei(θ+2πk)/n=wk.

Yhteensä n eri juurta saadaan siis tuotettua valitsemalla luvuksi k esimerkiksi kokonaisluvut 0,1,2,,n1. Peräkkäisten juurten vaihe-ero on

θ+2π(k+1)nθ+2πkn=2πn,

kuten väitettiinkin.

Huomautus 8.6.4

Kompleksiluvun z n:ttä juurta merkitään joskus z1/n tai nz. Näiden merkintöjen kanssa on kuitenkin oltava varovainen, sillä juuria on n kappaletta. Erityisesti tällä merkintätavalla 1=i ja 1=i, mutta silti ii!

Käytännössä kompleksiluvun reiθ juuret voi etsiä suoraan edellä esitetyn kaavan avulla, kun parametrin k arvoa vaihtelee sopivasti. Toinen helppo keino hakea yksi juuri kirjoittamalla suoraan

w0=nreiθ/n

ja muistaa, että loput juuret löytyvät kasvattamalla tämän argumenttia 2πn kerrallaan. Olennaisinta on kuitenkin, että kompleksiluvun juuret on ylivoimaisesti helpoin löytää eksponenttimuodon avulla! Kuvan piirtäminen selventää useissa tapauksissa ratkaisua.

Esimerkki 8.6.5

Etsi

  1. luvun 1 neljännet juuret, eli neljännet yksikönjuuret,
  2. luvun 1+i kolmannet juuret.
Piilota/näytä ratkaisu
  1. Kirjoitetaan 1=1ei0, jolloin sen erilliset neljännet juuret ovat

    wk=41ei(0+2πk)/4=eiπ2k,kun k=0,1,2,3.

    Juuret ovat siis w0=ei0=1, w1=eiπ2=i, w2=eiπ=1 ja w3=ei3π2=i. Toinen tapa olisi havaita, että w0=41ei0=1 on eräs juuri, jonka jälkeen loput juuret löytyvät kulman 2π4=π2 välein, eli w1=i, w2=1 ja w3=i. Alla oleva kuva havainnollistaa ratkaisua.

    ../_images/kompleksiyksikonjuuret1.svg
  2. Kirjoitetaan 1+i=2eiπ4, jolloin sen erilliset kolmannet juuret ovat

    wk=32ei(π4+2πk)/3=62ei(π12+2π3k),kun k=0,1,2.

    Juuret ovat siis w0=62eiπ12, w1=62ei3π4 ja w2=62ei17π12=62ei7π12. Alla oleva kuva havainnollistaa ratkaisua.

    ../_images/kompleksikolmannetjuuret1.svg

Oletetaan, että z on mikä tahansa kompleksiluku. Tiedät, että sen n:nnet juuret (vektoreiksi piirrettyinä) jakavat origokeskisen ympyrän n:ään yhtäsuureen osaan. Mitkä ovat seuraavien väitteiden totuusarvot?

Jos yksi n:nsistä juurista on w, on ˉw aina n:s juuri.
Jos yksi n:nsistä juurista on w, ei ˉw ole koskaan n:s juuri.
Jos n on parillinen ja w on n:s juuri, ei w voi olla n:s juuri.
Jos n on pariton ja w on n:s juuri, myös w on n:s juuri.
Vaikka z1/n ei olekaan yksikäsitteinen merkintä, vaan tarkoittaa useampaa kuin yhtä lukua, on sen modulille merkintä |z|1/n yksikäsitteinen.
Palautusta lähetetään...