$$\newcommand{\N}{\mathbb N} \newcommand{\Z}{\mathbb Z} \newcommand{\Q}{\mathbb Q} \newcommand{\R}{\mathbb R} \newcommand{\C}{\mathbb C} \newcommand{\ba}{\mathbf{a}} \newcommand{\bb}{\mathbf{b}} \newcommand{\bc}{\mathbf{c}} \newcommand{\bd}{\mathbf{d}} \newcommand{\be}{\mathbf{e}} \newcommand{\bff}{\mathbf{f}} \newcommand{\bh}{\mathbf{h}} \newcommand{\bi}{\mathbf{i}} \newcommand{\bj}{\mathbf{j}} \newcommand{\bk}{\mathbf{k}} \newcommand{\bN}{\mathbf{N}} \newcommand{\bn}{\mathbf{n}} \newcommand{\bo}{\mathbf{0}} \newcommand{\bp}{\mathbf{p}} \newcommand{\bq}{\mathbf{q}} \newcommand{\br}{\mathbf{r}} \newcommand{\bs}{\mathbf{s}} \newcommand{\bT}{\mathbf{T}} \newcommand{\bu}{\mathbf{u}} \newcommand{\bv}{\mathbf{v}} \newcommand{\bw}{\mathbf{w}} \newcommand{\bx}{\mathbf{x}} \newcommand{\by}{\mathbf{y}} \newcommand{\bz}{\mathbf{z}} \newcommand{\bzero}{\mathbf{0}} \newcommand{\nv}{\mathbf{0}} \newcommand{\cA}{\mathcal{A}} \newcommand{\cB}{\mathcal{B}} \newcommand{\cC}{\mathcal{C}} \newcommand{\cD}{\mathcal{D}} \newcommand{\cE}{\mathcal{E}} \newcommand{\cF}{\mathcal{F}} \newcommand{\cG}{\mathcal{G}} \newcommand{\cH}{\mathcal{H}} \newcommand{\cI}{\mathcal{I}} \newcommand{\cJ}{\mathcal{J}} \newcommand{\cK}{\mathcal{K}} \newcommand{\cL}{\mathcal{L}} \newcommand{\cM}{\mathcal{M}} \newcommand{\cN}{\mathcal{N}} \newcommand{\cO}{\mathcal{O}} \newcommand{\cP}{\mathcal{P}} \newcommand{\cQ}{\mathcal{Q}} \newcommand{\cR}{\mathcal{R}} \newcommand{\cS}{\mathcal{S}} \newcommand{\cT}{\mathcal{T}} \newcommand{\cU}{\mathcal{U}} \newcommand{\cV}{\mathcal{V}} \newcommand{\cW}{\mathcal{W}} \newcommand{\cX}{\mathcal{X}} \newcommand{\cY}{\mathcal{Y}} \newcommand{\cZ}{\mathcal{Z}} \newcommand{\rA}{\mathrm{A}} \newcommand{\rB}{\mathrm{B}} \newcommand{\rC}{\mathrm{C}} \newcommand{\rD}{\mathrm{D}} \newcommand{\rE}{\mathrm{E}} \newcommand{\rF}{\mathrm{F}} \newcommand{\rG}{\mathrm{G}} \newcommand{\rH}{\mathrm{H}} \newcommand{\rI}{\mathrm{I}} \newcommand{\rJ}{\mathrm{J}} \newcommand{\rK}{\mathrm{K}} \newcommand{\rL}{\mathrm{L}} \newcommand{\rM}{\mathrm{M}} \newcommand{\rN}{\mathrm{N}} \newcommand{\rO}{\mathrm{O}} \newcommand{\rP}{\mathrm{P}} \newcommand{\rQ}{\mathrm{Q}} \newcommand{\rR}{\mathrm{R}} \newcommand{\rS}{\mathrm{S}} \newcommand{\rT}{\mathrm{T}} \newcommand{\rU}{\mathrm{U}} \newcommand{\rV}{\mathrm{V}} \newcommand{\rW}{\mathrm{W}} \newcommand{\rX}{\mathrm{X}} \newcommand{\rY}{\mathrm{Y}} \newcommand{\rZ}{\mathrm{Z}} \newcommand{\pv}{\overline} \newcommand{\iu}{\mathrm{i}} \newcommand{\ju}{\mathrm{j}} \newcommand{\im}{\mathrm{i}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \newcommand{\real}{\operatorname{Re}} \newcommand{\imag}{\operatorname{Im}} \newcommand{\Arg}{\operatorname{Arg}} \newcommand{\Ln}{\operatorname{Ln}} \DeclareMathOperator*{\res}{res} \newcommand{\re}{\operatorname{Re}} \newcommand{\im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\arsinh}{\operatorname{ar\,sinh}} \newcommand{\arcosh}{\operatorname{ar\,cosh}} \newcommand{\artanh}{\operatorname{ar\,tanh}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\proj}{\operatorname{proj}} \newcommand{\rref}{\operatorname{rref}} \newcommand{\rank}{\operatorname{rank}} \newcommand{\Span}{\operatorname{span}} \newcommand{\vir}{\operatorname{span}} \renewcommand{\dim}{\operatorname{dim}} \newcommand{\alg}{\operatorname{alg}} \newcommand{\geom}{\operatorname{geom}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\norm}[1]{\lVert #1 \rVert} \newcommand{\tp}[1]{#1^{\top}} \renewcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-15mu}#1}^{\,#2}} \newcommand{\abs}[1]{\lvert#1\rvert} \newcommand{\pysty}[1]{\left[\begin{array}{@{}r@{}}#1\end{array}\right]} \newcommand{\piste}{\cdot} \newcommand{\qedhere}{} \newcommand{\taumatrix}[1]{\left[\!\!#1\!\!\right]} \newenvironment{augmatrix}[1]{\left[\begin{array}{#1}}{\end{array}\right]} \newenvironment{vaugmatrix}[1]{\left|\begin{array}{#1}}{\end{array}\right|} \newcommand{\trans}{\mathrm{T}} \newcommand{\EUR}{\text{\unicode{0x20AC}}} \newcommand{\SI}[3][]{#2\,\mathrm{#3}} \newcommand{\si}[2][]{\mathrm{#2}} \newcommand{\num}[2][]{#2} \newcommand{\ang}[2][]{#2^{\circ}} \newcommand{\meter}{m} \newcommand{\metre}{\meter} \newcommand{\kilo}{k} \newcommand{\kilogram}{kg} \newcommand{\gram}{g} \newcommand{\squared}{^2} \newcommand{\cubed}{^3} \newcommand{\minute}{min} \newcommand{\hour}{h} \newcommand{\second}{s} \newcommand{\degreeCelsius}{^{\circ}C} \newcommand{\per}{/} \newcommand{\centi}{c} \newcommand{\milli}{m} \newcommand{\deci}{d} \newcommand{\percent}{\%} \newcommand{\Var}{\operatorname{Var}} \newcommand{\Cov}{\operatorname{Cov}} \newcommand{\Corr}{\operatorname{Corr}} \newcommand{\Tasd}{\operatorname{Tasd}} \newcommand{\Ber}{\operatorname{Ber}} \newcommand{\Bin}{\operatorname{Bin}} \newcommand{\Geom}{\operatorname{Geom}} \newcommand{\Poi}{\operatorname{Poi}} \newcommand{\Hyperg}{\operatorname{Hyperg}} \newcommand{\Tas}{\operatorname{Tas}} \newcommand{\Exp}{\operatorname{Exp}} \newcommand{\tdist}{\operatorname{t}} \newcommand{\rd}{\mathrm{d}}$$

Napakoordinaattimuoto

Kompleksiluku $z=x+y\iu$ voidaan ilmaista myös napakoordinaattien (polar coordinates) $r$ ja $\theta$ avulla, missä $r=|z|$ on luvun $z$ etäisyys origosta kompleksitasossa ja $\theta$ on luvun $z$ paikkavektorin ja reaaliakselin välinen kulma mitattuna reaaliakselista vastapäivään. Kosinin ja sinin määritelmien mukaan kulmaa $\theta$ vastaava kehäpiste yksikköympyrällä on $(\cos\theta,\sin\theta)$, joten $r$-säteisellä ympyrällä kehäpiste on $(x,y)=(r\cos\theta,r\sin\theta)$. Niinpä kompleksiluvun $z$ napakoordinaattimuoto (polar form) on

$$z=r(\cos\theta+\iu\sin\theta)=r\cos\theta+\iu r\sin\theta.$$

Kulmaa $\theta$ merkitään myös $\theta=\arg z$ ja kutsutaan vaihekulmaksi eli argumentiksi (argument).

Reaali- ja imaginaariosien $x$ ja $y$ ja napakoordinaattien $r$ ja $\theta$ välinen riippuvuus on siis

$$\begin{split}\begin{aligned} x&=r\cos\theta\\ y&=r\sin\theta \end{aligned}\end{split}$$

Tapauksessa $0\leq\theta\leq\frac{\pi}{2}$ riippuvuudet voidaan lukea myös seuraavan kuvan suorakulmaisesta kolmiosta.

Käänteiseen suuntaan muunnoskaavat voidaan kirjoittaa muodossa

$$\begin{split}\begin{aligned} r&=\sqrt{x^2+y^2}\\ \tan\theta&=\frac{y}{x}\qquad(\text{kun }x\ne0) \end{aligned}\end{split}$$

Jälkimmäisestä yhtälöstä voidaan laskea argumentiksi suoraan $\theta=\arctan\left(\frac{y}{x}\right)$ silloin, kun $-\frac{\pi}{2}<\theta<\frac{\pi}{2}$, eli kun $\re(x + y\iu ) = x > 0$. Muissa tapauksissa kulman osuminen oikeaan neljännekseen tulee erikseen pohtia esimerkiksi kuvan avulla. Argumentti $\theta$ ei ole yksikäsitteinen, sillä siihen voidaan lisätä tai vähentää mielivaltainen määrä kokonaisia kierroksia ja päätyä jälleen samaan lukuun, eli

$$r(\cos\theta + \iu \sin\theta) = r(\cos(\theta + n2\pi) + \iu \sin(\theta + n2\pi))\qquad(n \text{ on kokonaisluku}).$$

Tilanteesta ja sovelluksesta riippuen käsiteltävä argumentti on tapana valita väliltä $[0,2\pi]$ tai $[-\pi,\pi]$.

Esimerkki 8.4.1

Esitä kompleksiluvut $z = \sqrt{3} + \iu$ ja $w = -3 + \iu$ napakoordinaattimuodossa.

Piilota/näytä ratkaisu

Napakoordinaattimuotoa varten lasketaan kummankin luvun itseisarvo ja jokin vaihekulma. Itseisarvoiksi lasketaan

$$|z| = \sqrt{\left(\sqrt{3}\right)^2 + 1^2} = 2\qquad\text{ja}\qquad |w| = \sqrt{(-3)^2 + 1^2} = \sqrt{10}.$$

Merkitään $\theta = \arg z$ ja $\varphi = \arg w$, jolloin $\tan\theta = \frac{1}{\sqrt{3}}$ ja $\tan\varphi = -\frac{1}{3}$. Piirretään kuva.

Kulma $\theta$ voidaan päätellä muistikolmiosta, jolloin saadaan $\theta = \frac{\pi}{6}$. Kulman $\varphi$ määrittämiseksi lasketaan ensin esimerkiksi $\arctan\left(-\frac{1}{3}\right) \approx -0{,}3218$. Koska luku $w$ sijoittuu kompleksitason toiseen neljännekseen, tähän tulokseen voidaan lisätä $\pi$ oikean vaihekulman löytämiseksi. Siis $\varphi = \arctan\left(-\frac{1}{3}\right) + \pi \approx 2{,}820$, eli

$$z = 2\left(\cos\frac{\pi}{6} + \iu \sin\frac{\pi}{6}\right)\qquad\text{ja}\qquad w \approx \sqrt{10}\left(\cos(2{,}820) + \iu \sin(2{,}820)\right).\qedhere$$

Lause 8.4.2

Jos $z_1=r_1(\cos\theta_1+\iu \sin\theta_1)$ ja $z_2=r_2(\cos\theta_2+\iu \sin\theta_2)$, niin

1. $z_1z_2=r_1r_2\big(\cos(\theta_1+\theta_2)+\iu \sin(\theta_1+\theta_2)\big)$,
2. $\dfrac{z_1}{z_2}=\dfrac{r_1}{r_2} \big(\cos(\theta_1-\theta_2)+\iu \sin(\theta_1-\theta_2)\big)$, kun $z_2 \not= 0$.

Piilota/näytä todistus

Lasketaan.

$$\begin{split}\begin{aligned} z_1z_2&=r_1(\cos\theta_1+\iu \sin\theta_1)r_2(\cos\theta_2+\iu \sin\theta_2)\\ &=r_1r_2\left((\cos\theta_1\cos\theta_2-\sin\theta_1\sin\theta_2)+\iu (\sin\theta_1\cos\theta_2+\cos\theta_1\sin\theta_2)\right)\\ &=r_1r_2\big(\cos(\theta_1+\theta_2)+\iu \sin(\theta_1+\theta_2)\big), \end{aligned}\end{split}$$

missä viimeinen yhtäsuuruus seuraa sinin ja kosinin summakaavoista. Osamäärä $\frac{z_1}{z_2}$ lasketaan vastaavasti, kun ensin on lavennettu nimittäjän liittoluvulla $\overline{z}_2$.

Tämä lause mahdollistaa kompleksilukujen tulon ja osamäärän geometrisen tulkinnan. Ensimmäisen kaavan mukaan tulon $z_1z_2$ itseisarvo on $r_1r_2$, eli tekijöiden itseisarvojen tulo ja vastaavasti tulon argumentti on $\theta_1+\theta_2$, eli tekijöiden argumenttien summa. Osamäärän $z_1/z_2$ tulkinnassa puolestaan sen itseisarvoksi tulee $r_1/r_2$ ja argumentiksi $\theta_1 - \theta_2$.

Oheiseen kuvaan on piirretty muutamien kompleksilukujen vektoriesitykset. Kiinnitä huomiota erityisesti lukujen vaihekulmiin, joissa kaikissa voi huomata tietynlaista samankaltaisuutta toisiinsa verrattuna. Vastaa kysymyksiin.

Kysymys 1

Mikä seuraavista on $\arg\left( c \right)$?

$\frac{7\pi}{12}$

$\frac{11\pi}{12}$

$\frac{13\pi}{12}$

$\frac{17\pi}{12}$

Kysymys 2

Missä kulmassa $\theta$ saadaan $\cos{\theta}=0$?

$\frac{\pi}{4}$

$\frac{\pi}{3}$

$\frac{\pi}{2}$

$\pi$

Kysymys 3

Mikä seuraavista luvuista on puhtaasti imaginaarinen? Vihje: Lause 8.4.2 ja edellinen kysymys.

$\frac{a}{b}$

$\frac{a}{d}$

$\frac{d}{c}$

$\frac{d}{b}$

Kysymys 4

Mikä seuraavista luvuista on reaalinen?

$ac$

$ba$

$bc$

$bd$

Tulon ja osamäärän tulkinnat ovat erityisen yksinkertaisia silloin, kun kertojan ja jakajan itseisarvo on $1$. Tällaiset luvut ovat muotoa $\cos\theta + \iu \sin\theta$ jollakin reaalisella vaihekulmalla $\theta$, sillä

$$|\cos\theta + \iu \sin\theta| = \sqrt{\cos^2\theta + \sin^2\theta} = 1.$$

Tällä luvulla kertominen tai jakaminen jättää toisen luvun itseisarvon sikseen, jolloin kyseessä on vain kierto kulman $\theta$ tai $-\theta$ verran. Esimerkiksi luvulla $\iu =\cos\frac{\pi}{2}+\iu \sin\frac{\pi}{2}$ kertominen vastaa kiertoa kulman $\frac{\pi}{2}$ verran vastapäivään ja jakaminen samanlaista kiertoa myötäpäivään.

Kompleksilukujen potenssit $z^n$ ja $z^{-n}$, missä $n$ on luonnollinen luku, määritellään samoin kuin reaaliluvuille. Luku $z^{-n}$ on luvun $z^n$ käänteisluku, eli $z^{-n} = 1/z^n$ ja $z^0 = 1$ aina, kun $z \not= 0$.

Esimerkki 8.4.3

Laske $(1 + \iu )^9$ ja $(1 + \iu )^{-9}$.

Piilota/näytä ratkaisu

Suoraan määritelmän avulla voidaan laskea esimerkiksi

$$(1 + \iu )^9 = \left((1 + \iu )^3\right)^3 = (-2 + 2\iu )^3 = 16 + 16\iu ,$$

jolloin

$$(1 + \iu )^{-9} = \frac{1}{16 + 16\iu } = \frac{1}{16}\frac{1 - \iu }{(1 + \iu )(1 - \iu )} = \frac{1}{32} - \frac{1}{32}\iu .\qedhere$$

Reaalisten binomien tapaan myös kompleksilukujen korkeat potenssit käyvät työläiksi laskea suoraan. Napakoordinaattiesitys tarjoaa tähän kuitenkin eräänlaisen oikotien.

Lause 8.4.4 (Moivren kaava)

Jos $z=r(\cos\theta+\iu \sin\theta)$ ja $n$ on luonnollinen luku, niin

$$z^n=r^n\big(\cos(n\theta)+\iu \sin(n\theta)\big).$$

Piilota/näytä todistus

Todistetaan väite induktiolla. Jos $n = 1$, väite on selvästi tosi. Oletetaan sitten, että se on tosi jollakin luonnollisella luvulla $k$, eli että

$$z^k=r^k\big(\cos(k\theta)+\iu \sin(k\theta)\big).$$

Nyt potenssi $z^{k + 1}$ on

$$\begin{split}\begin{aligned} z^{k+1}&=z^kz\stackrel{\text{io}}{=}r^k\big(\cos(k\theta)+\iu\sin(k\theta)\big)r\big(\cos(\theta)+\iu\sin(\theta)\big)\\ &=r^{k+1}\big(\cos(k\theta+\theta)+\iu\sin(k\theta+\theta)\big)\\ &=r^{k+1}\big(\cos((k+1)\theta)+\iu\sin((k+1)\theta)\big), \end{aligned}\end{split}$$

eli väite on tosi. Täten kaava toteutuu kaikilla luonnollisilla luvuilla $n$ induktioperiaatteen nojalla.

Esimerkki 8.4.5

Laske $(1 + \iu)^9$ ja $(1 + \iu)^{-9}$ Moivren kaavan avulla.

Piilota/näytä ratkaisu

Luvun $1 + \iu$ napakoordinaattiesitys on $\sqrt{2}\left(\cos\frac{\pi}{4} + \iu\sin\frac{\pi}{4}\right)$ (tarkista). Tällöin Moivren kaavan mukaan

$$(1 + \iu)^9 = \left(\sqrt{2}\right)^9\left(\cos\frac{9\pi}{4} + \iu\sin\frac{9\pi}{4}\right) = 16 + 16\iu,$$

ja tämän käänteisluku

$$(1 + \iu)^{-9} = \frac{1}{\left(\sqrt{2}\right)^9}\left(\cos\left(0 - \frac{9\pi}{4}\right) + \iu\sin\left(0 - \frac{9\pi}{4}\right)\right) = \frac{1}{32} - \frac{1}{32}\iu.\qedhere$$

Palautusta lähetetään...