\newcommand{\N}{\mathbb N}
\newcommand{\Z}{\mathbb Z}
\newcommand{\Q}{\mathbb Q}
\newcommand{\R}{\mathbb R}
\newcommand{\C}{\mathbb C}
\newcommand{\ba}{\mathbf{a}}
\newcommand{\bb}{\mathbf{b}}
\newcommand{\bc}{\mathbf{c}}
\newcommand{\bd}{\mathbf{d}}
\newcommand{\be}{\mathbf{e}}
\newcommand{\bff}{\mathbf{f}}
\newcommand{\bh}{\mathbf{h}}
\newcommand{\bi}{\mathbf{i}}
\newcommand{\bj}{\mathbf{j}}
\newcommand{\bk}{\mathbf{k}}
\newcommand{\bN}{\mathbf{N}}
\newcommand{\bn}{\mathbf{n}}
\newcommand{\bo}{\mathbf{0}}
\newcommand{\bp}{\mathbf{p}}
\newcommand{\bq}{\mathbf{q}}
\newcommand{\br}{\mathbf{r}}
\newcommand{\bs}{\mathbf{s}}
\newcommand{\bT}{\mathbf{T}}
\newcommand{\bu}{\mathbf{u}}
\newcommand{\bv}{\mathbf{v}}
\newcommand{\bw}{\mathbf{w}}
\newcommand{\bx}{\mathbf{x}}
\newcommand{\by}{\mathbf{y}}
\newcommand{\bz}{\mathbf{z}}
\newcommand{\bzero}{\mathbf{0}}
\newcommand{\nv}{\mathbf{0}}
\newcommand{\cA}{\mathcal{A}}
\newcommand{\cB}{\mathcal{B}}
\newcommand{\cC}{\mathcal{C}}
\newcommand{\cD}{\mathcal{D}}
\newcommand{\cE}{\mathcal{E}}
\newcommand{\cF}{\mathcal{F}}
\newcommand{\cG}{\mathcal{G}}
\newcommand{\cH}{\mathcal{H}}
\newcommand{\cI}{\mathcal{I}}
\newcommand{\cJ}{\mathcal{J}}
\newcommand{\cK}{\mathcal{K}}
\newcommand{\cL}{\mathcal{L}}
\newcommand{\cM}{\mathcal{M}}
\newcommand{\cN}{\mathcal{N}}
\newcommand{\cO}{\mathcal{O}}
\newcommand{\cP}{\mathcal{P}}
\newcommand{\cQ}{\mathcal{Q}}
\newcommand{\cR}{\mathcal{R}}
\newcommand{\cS}{\mathcal{S}}
\newcommand{\cT}{\mathcal{T}}
\newcommand{\cU}{\mathcal{U}}
\newcommand{\cV}{\mathcal{V}}
\newcommand{\cW}{\mathcal{W}}
\newcommand{\cX}{\mathcal{X}}
\newcommand{\cY}{\mathcal{Y}}
\newcommand{\cZ}{\mathcal{Z}}
\newcommand{\rA}{\mathrm{A}}
\newcommand{\rB}{\mathrm{B}}
\newcommand{\rC}{\mathrm{C}}
\newcommand{\rD}{\mathrm{D}}
\newcommand{\rE}{\mathrm{E}}
\newcommand{\rF}{\mathrm{F}}
\newcommand{\rG}{\mathrm{G}}
\newcommand{\rH}{\mathrm{H}}
\newcommand{\rI}{\mathrm{I}}
\newcommand{\rJ}{\mathrm{J}}
\newcommand{\rK}{\mathrm{K}}
\newcommand{\rL}{\mathrm{L}}
\newcommand{\rM}{\mathrm{M}}
\newcommand{\rN}{\mathrm{N}}
\newcommand{\rO}{\mathrm{O}}
\newcommand{\rP}{\mathrm{P}}
\newcommand{\rQ}{\mathrm{Q}}
\newcommand{\rR}{\mathrm{R}}
\newcommand{\rS}{\mathrm{S}}
\newcommand{\rT}{\mathrm{T}}
\newcommand{\rU}{\mathrm{U}}
\newcommand{\rV}{\mathrm{V}}
\newcommand{\rW}{\mathrm{W}}
\newcommand{\rX}{\mathrm{X}}
\newcommand{\rY}{\mathrm{Y}}
\newcommand{\rZ}{\mathrm{Z}}
\newcommand{\pv}{\overline}
\newcommand{\iu}{\mathrm{i}}
\newcommand{\ju}{\mathrm{j}}
\newcommand{\im}{\mathrm{i}}
\newcommand{\e}{\mathrm{e}}
\newcommand{\real}{\operatorname{Re}}
\newcommand{\imag}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\Arg}{\operatorname{Arg}}
\newcommand{\Ln}{\operatorname{Ln}}
\DeclareMathOperator*{\res}{res}
\newcommand{\re}{\operatorname{Re}}
\newcommand{\im}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\arsinh}{\operatorname{ar\,sinh}}
\newcommand{\arcosh}{\operatorname{ar\,cosh}}
\newcommand{\artanh}{\operatorname{ar\,tanh}}
\newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}}
\newcommand{\diag}{\operatorname{diag}}
\newcommand{\proj}{\operatorname{proj}}
\newcommand{\rref}{\operatorname{rref}}
\newcommand{\rank}{\operatorname{rank}}
\newcommand{\Span}{\operatorname{span}}
\newcommand{\vir}{\operatorname{span}}
\renewcommand{\dim}{\operatorname{dim}}
\newcommand{\alg}{\operatorname{alg}}
\newcommand{\geom}{\operatorname{geom}}
\newcommand{\id}{\operatorname{id}}
\newcommand{\norm}[1]{\lVert #1 \rVert}
\newcommand{\tp}[1]{#1^{\top}}
\renewcommand{\d}{\mathrm{d}}
\newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-15mu}#1}^{\,#2}}
\newcommand{\abs}[1]{\lvert#1\rvert}
\newcommand{\pysty}[1]{\left[\begin{array}{@{}r@{}}#1\end{array}\right]}
\newcommand{\piste}{\cdot}
\newcommand{\qedhere}{}
\newcommand{\taumatrix}[1]{\left[\!\!#1\!\!\right]}
\newenvironment{augmatrix}[1]{\left[\begin{array}{#1}}{\end{array}\right]}
\newenvironment{vaugmatrix}[1]{\left|\begin{array}{#1}}{\end{array}\right|}
\newcommand{\trans}{\mathrm{T}}
\newcommand{\EUR}{\text{\unicode{0x20AC}}}
\newcommand{\SI}[3][]{#2\,\mathrm{#3}}
\newcommand{\si}[2][]{\mathrm{#2}}
\newcommand{\num}[2][]{#2}
\newcommand{\ang}[2][]{#2^{\circ}}
\newcommand{\meter}{m}
\newcommand{\metre}{\meter}
\newcommand{\kilo}{k}
\newcommand{\kilogram}{kg}
\newcommand{\gram}{g}
\newcommand{\squared}{^2}
\newcommand{\cubed}{^3}
\newcommand{\minute}{min}
\newcommand{\hour}{h}
\newcommand{\second}{s}
\newcommand{\degreeCelsius}{^{\circ}C}
\newcommand{\per}{/}
\newcommand{\centi}{c}
\newcommand{\milli}{m}
\newcommand{\deci}{d}
\newcommand{\percent}{\%}
\newcommand{\Var}{\operatorname{Var}}
\newcommand{\Cov}{\operatorname{Cov}}
\newcommand{\Corr}{\operatorname{Corr}}
\newcommand{\Tasd}{\operatorname{Tasd}}
\newcommand{\Ber}{\operatorname{Ber}}
\newcommand{\Bin}{\operatorname{Bin}}
\newcommand{\Geom}{\operatorname{Geom}}
\newcommand{\Poi}{\operatorname{Poi}}
\newcommand{\Hyperg}{\operatorname{Hyperg}}
\newcommand{\Tas}{\operatorname{Tas}}
\newcommand{\Exp}{\operatorname{Exp}}
\newcommand{\tdist}{\operatorname{t}}
\newcommand{\rd}{\mathrm{d}}
Liittoluku ja itseisarvo
Aiemmissa esimerkeissä lavennettiin siis aina nimittäjän liittoluvulla. Geometrisesti tulkittuna liittoluku on alkuperäisen kompleksiluvun peilikuva reaaliakselin suhteen. Jos kompleksiluvun imaginaariosa on negatiivinen, eli b < 0, niin sen liittoluvun imaginaariosa -b on positiivinen.
Esimerkki 8.3.2
\overline{-2-3\iu}=-2+3\iu.
Lause 8.3.3
Jos z ja w ovat kompleksilukuja, niin
- \overline{\overline{z}}=z
- \overline{z+w}=\overline{z}+\overline{w}
- \overline{zw}=\overline{z}\cdot\overline{w}
- \overline{\left(\dfrac{z}{w}\right)}=\dfrac{\overline{z}}{\overline{w}}\quad(w\ne 0)
- z on reaalinen jos ja vain jos z=\overline{z}.
Piilota/näytä todistus
Merkitään z=a+b\iu ja w=c+d\iu ja todistetaan esimerkkinä kohdat 2 ja 4. Nyt
\overline{z+w}=\overline{(a+c)+(b+d)\iu}=(a+c)-(b+d)\iu=(a-b\iu)+(c-d\iu)=
\overline{z}+\overline{w}
ja jos w \not= 0, niin
\overline{w^{-1}} = \overline{\frac{c}{c^2 + d^2} - \frac{d}{c^2 + d^2}\iu} = \frac{c}{c^2 + d^2} + \frac{d}{c^2 + d^2}\iu = \overline{w}^{-1}.
Loput kohdasta 4 voidaan todistaa kohdan 3 avulla. Muut kohdat todistetaan samaan tapaan, ja lisäksi 1 ja 5 ovat geometrisesti ilmeisiä väittämiä.
Kun muistetaan kompleksiluvun tulkinta tasovektorina, on selvää että itseisarvon geometrinen vastine on luvun paikkavektorin pituus, eli luvun etäisyys origosta.
Esimerkki 8.3.5
\left|-2-3\iu\right|=\sqrt{(-2)^2+(-3)^2}=\sqrt{13}
Lause 8.3.6
Jos z ja w ovat kompleksilukuja, niin
- |z|^2=z\overline{z}
- |z|=0 jos ja vain jos z=0
- |z|=|\overline{z}|
- |zw|=|z||w|
- \left|\dfrac{z}{w}\right|=\dfrac{|z|}{|w|}\quad(w\ne 0)
- |z+w|\le|z|+|w|\quad (kolmioepäyhtälö)
Piilota/näytä todistus
Merkitään z = a + b\iu ja todistetaan esimerkkinä kohdat 1 ja 4. Nyt
z\overline{z}=(a+b\iu)(a-b\iu)=a^2-b^2\iu^2=a^2+b^2=|z|^2
ja tätä hyödyntämällä nähdään, että
|zw|^2=zw\overline{zw}=zw\overline{z}\,\overline{w}
=z\overline{z}w\overline{w}=|z|^2|w|^2,
eli |zw| = |z||w|. Muut kohdista 1–5 todistetaan samaan tapaan. Kohta 6 on geometrisesti selvä, sillä lukua |z+w| edustaa summavektorin pituus, kun |z| ja |w| ovat summattavien vektorien pituuksia. Nämä puolestaan muodostavat kuvan mukaisen kolmion, jossa intuitiivisesti kahden sivun pituuden summa on suurempi kuin kolmannen.
Täsmällisempi todistus sivuutetaan.
Huomautus 8.3.7
Jos z ja w ovat kompleksilukuja, niin |z - w| on niiden välinen etäisyys. Piirrä kuva, jonka avulla vakuutut asiasta.
Itseisarvoihin tai liittolukuihin liittyvän yhtälön tai epäyhtälön ratkaisut voidaan monesti selvittää merkitsemällä z=x+y\iu, missä x ja y ovat reaalilukuja. Tällöin siirrytään tarkastelemaan vastaavia ratkaisuja xy-koordinaatistossa.
Esimerkki 8.3.8
Ratkaise seuraavat yhtälöt ja epäyhtälöt.
- \overline{z} - z = \iu\overline{z} + 4
- \left|\dfrac{z - 2\iu}{z - 1}\right| = 1
- |z - (2 + 3\iu)| = 2
Piilota/näytä ratkaisu
Merkitään kaikissa kohdissa z = x + y\iu, missä x ja y ovat reaalilukuja.
Sijoituksen jälkeen yhtälö tulee muotoon
\begin{split}\begin{aligned}
&&x-y\iu-(x+y\iu)&=\iu(x-y\iu)+4\\
\Leftrightarrow&&-2y\iu&=x\iu+y+4\\
\Leftrightarrow&&-(y + 4)-(x + 2y)\iu&=0.
\end{aligned}\end{split}
Yhtälön vasen puoli on kompleksiluku, jonka reaali- ja imaginaariosan on oltava nolla. Täten -(y + 4) = 0 ja -(x + 2y) = 0, eli y = -4 ja x = -2y = 8. Sijoittamalla takaisin nähdään, että yhtälön ratkaisu on z = 8 - 4\iu.
Jotta yhtälön vasen puoli olisi määritelty, on oltava z \not= 1. Tällöin myös
\left|\frac{z - 2\iu}{z - 1}\right| = \frac{|z - 2\iu|}{|z - 1|} = 1,
eli |z - 2\iu| = |z - 1|. Sijoituksen jälkeen yhtälö palautuu seuraavaan muotoon.
\begin{split}\begin{aligned}
&&|x+y\iu-2\iu|&=|x+y\iu-1|\\
\Leftrightarrow&&|x+(y-2)\iu|&=|(x-1)+y\iu|\\
\Leftrightarrow&&\sqrt{x^2+(y-2)^2}&=\sqrt{(x-1)^2+y^2}\\
\Rightarrow&&x^2+y^2-4y+4&=x^2-2x+1+y^2\\
\Leftrightarrow&&y&=\frac12x+\frac34
\end{aligned}\end{split}
Ratkaisujoukko on kuvan mukainen suora kompleksitasossa. Geometrinen tulkinta yhtälölle |z-2\iu|=|z-1| on, että haetaan kaikki ne pisteet z, jotka ovat yhtä kaukana luvuista 2\iu ja 1.
Sijoituksen jälkeen yhtälö tulee muotoon
\begin{split}\begin{aligned}
&&|x+y\iu-(2+3\iu)|=|(x-2)+(y-3)\iu|&=2\\
\Leftrightarrow&&\sqrt{(x-2)^2+(y-3)^2}&=2\\
\Rightarrow&&(x-2)^2+(y-3)^2&=4.
\end{aligned}\end{split}
Ratkaisujoukko on siis kompleksitason 2-säteinen ympyrä keskipisteenään 2 + 3\iu. Tämä voitaisiin päätellä myös suoraan aiemman huomautuksen avulla: itseisarvoyhtälön |z - w| = r toteuttavat täsmälleen ne kompleksiluvut z, joiden etäisyys luvusta w on r.