- MATH.APP.111
- 8. Kompleksiluvut
- 8.3 Liittoluku ja itseisarvo
Liittoluku ja itseisarvo¶
Määritelmä 8.3.1
Kompleksiluvun z=a+bi liittoluku eli kompleksikonjugaatti (conjugate) ¯z määritellään asettamalla
Aiemmissa esimerkeissä lavennettiin siis aina nimittäjän liittoluvulla. Geometrisesti tulkittuna liittoluku on alkuperäisen kompleksiluvun peilikuva reaaliakselin suhteen. Jos kompleksiluvun imaginaariosa on negatiivinen, eli b<0, niin sen liittoluvun imaginaariosa −b on positiivinen.
Esimerkki 8.3.2
¯−2−3i=−2+3i.
Lause 8.3.3
Jos z ja w ovat kompleksilukuja, niin
- ¯¯z=z
- ¯z+w=¯z+¯w
- ¯zw=¯z⋅¯w
- ¯(zw)=¯z¯w(w≠0)
- z on reaalinen jos ja vain jos z=¯z.
Merkitään z=a+bi ja w=c+di ja todistetaan esimerkkinä kohdat 2 ja 4. Nyt
ja jos w≠0, niin
Loput kohdasta 4 voidaan todistaa kohdan 3 avulla. Muut kohdat todistetaan samaan tapaan, ja lisäksi 1 ja 5 ovat geometrisesti ilmeisiä väittämiä.
Määritelmä 8.3.4
Kompleksiluvun z=a+bi itseisarvo eli moduli (absolute value, modulus) |z| määritellään asettamalla
Kun muistetaan kompleksiluvun tulkinta tasovektorina, on selvää että itseisarvon geometrinen vastine on luvun paikkavektorin pituus, eli luvun etäisyys origosta.
Esimerkki 8.3.5
|−2−3i|=√(−2)2+(−3)2=√13
Lause 8.3.6
Jos z ja w ovat kompleksilukuja, niin
- |z|2=z¯z
- |z|=0 jos ja vain jos z=0
- |z|=|¯z|
- |zw|=|z||w|
- |zw|=|z||w|(w≠0)
- |z+w|≤|z|+|w| (kolmioepäyhtälö)
Merkitään z=a+bi ja todistetaan esimerkkinä kohdat 1 ja 4. Nyt
ja tätä hyödyntämällä nähdään, että
eli |zw|=|z||w|. Muut kohdista 1–5 todistetaan samaan tapaan. Kohta 6 on geometrisesti selvä, sillä lukua |z+w| edustaa summavektorin pituus, kun |z| ja |w| ovat summattavien vektorien pituuksia. Nämä puolestaan muodostavat kuvan mukaisen kolmion, jossa intuitiivisesti kahden sivun pituuden summa on suurempi kuin kolmannen.
Täsmällisempi todistus sivuutetaan.
Huomautus 8.3.7
Jos z ja w ovat kompleksilukuja, niin |z−w| on niiden välinen etäisyys. Piirrä kuva, jonka avulla vakuutut asiasta.
Itseisarvoihin tai liittolukuihin liittyvän yhtälön tai epäyhtälön ratkaisut voidaan monesti selvittää merkitsemällä z=x+yi, missä x ja y ovat reaalilukuja. Tällöin siirrytään tarkastelemaan vastaavia ratkaisuja xy-koordinaatistossa.
Esimerkki 8.3.8
Ratkaise seuraavat yhtälöt ja epäyhtälöt.
- ¯z−z=i¯z+4
- |z−2iz−1|=1
- |z−(2+3i)|=2
Merkitään kaikissa kohdissa z=x+yi, missä x ja y ovat reaalilukuja.
Sijoituksen jälkeen yhtälö tulee muotoon
x−yi−(x+yi)=i(x−yi)+4⇔−2yi=xi+y+4⇔−(y+4)−(x+2y)i=0.Yhtälön vasen puoli on kompleksiluku, jonka reaali- ja imaginaariosan on oltava nolla. Täten −(y+4)=0 ja −(x+2y)=0, eli y=−4 ja x=−2y=8. Sijoittamalla takaisin nähdään, että yhtälön ratkaisu on z=8−4i.
Jotta yhtälön vasen puoli olisi määritelty, on oltava z≠1. Tällöin myös
|z−2iz−1|=|z−2i||z−1|=1,eli |z−2i|=|z−1|. Sijoituksen jälkeen yhtälö palautuu seuraavaan muotoon.
|x+yi−2i|=|x+yi−1|⇔|x+(y−2)i|=|(x−1)+yi|⇔√x2+(y−2)2=√(x−1)2+y2⇒x2+y2−4y+4=x2−2x+1+y2⇔y=12x+34Ratkaisujoukko on kuvan mukainen suora kompleksitasossa. Geometrinen tulkinta yhtälölle |z−2i|=|z−1| on, että haetaan kaikki ne pisteet z, jotka ovat yhtä kaukana luvuista 2i ja 1.
Sijoituksen jälkeen yhtälö tulee muotoon
|x+yi−(2+3i)|=|(x−2)+(y−3)i|=2⇔√(x−2)2+(y−3)2=2⇒(x−2)2+(y−3)2=4.Ratkaisujoukko on siis kompleksitason 2-säteinen ympyrä keskipisteenään 2+3i. Tämä voitaisiin päätellä myös suoraan aiemman huomautuksen avulla: itseisarvoyhtälön |z−w|=r toteuttavat täsmälleen ne kompleksiluvut z, joiden etäisyys luvusta w on r.