Processing math: 100%

Liittoluku ja itseisarvo

Määritelmä 8.3.1

Kompleksiluvun z=a+bi liittoluku eli kompleksikonjugaatti (conjugate) ¯z määritellään asettamalla

¯z=abi.

Aiemmissa esimerkeissä lavennettiin siis aina nimittäjän liittoluvulla. Geometrisesti tulkittuna liittoluku on alkuperäisen kompleksiluvun peilikuva reaaliakselin suhteen. Jos kompleksiluvun imaginaariosa on negatiivinen, eli b<0, niin sen liittoluvun imaginaariosa b on positiivinen.

../_images/kompleksikonjugaatti1.svg

Esimerkki 8.3.2

¯23i=2+3i.

Lause 8.3.3

Jos z ja w ovat kompleksilukuja, niin

  1. ¯¯z=z
  2. ¯z+w=¯z+¯w
  3. ¯zw=¯z¯w
  4. ¯(zw)=¯z¯w(w0)
  5. z on reaalinen jos ja vain jos z=¯z.
Piilota/näytä todistus

Merkitään z=a+bi ja w=c+di ja todistetaan esimerkkinä kohdat 2 ja 4. Nyt

¯z+w=¯(a+c)+(b+d)i=(a+c)(b+d)i=(abi)+(cdi)=¯z+¯w

ja jos w0, niin

¯w1=¯cc2+d2dc2+d2i=cc2+d2+dc2+d2i=¯w1.

Loput kohdasta 4 voidaan todistaa kohdan 3 avulla. Muut kohdat todistetaan samaan tapaan, ja lisäksi 1 ja 5 ovat geometrisesti ilmeisiä väittämiä.

Määritelmä 8.3.4

Kompleksiluvun z=a+bi itseisarvo eli moduli (absolute value, modulus) |z| määritellään asettamalla

|z|=a2+b2.

Kun muistetaan kompleksiluvun tulkinta tasovektorina, on selvää että itseisarvon geometrinen vastine on luvun paikkavektorin pituus, eli luvun etäisyys origosta.

Esimerkki 8.3.5

|23i|=(2)2+(3)2=13

Lause 8.3.6

Jos z ja w ovat kompleksilukuja, niin

  1. |z|2=z¯z
  2. |z|=0 jos ja vain jos z=0
  3. |z|=|¯z|
  4. |zw|=|z||w|
  5. |zw|=|z||w|(w0)
  6. |z+w||z|+|w| (kolmioepäyhtälö)
Piilota/näytä todistus

Merkitään z=a+bi ja todistetaan esimerkkinä kohdat 1 ja 4. Nyt

z¯z=(a+bi)(abi)=a2b2i2=a2+b2=|z|2

ja tätä hyödyntämällä nähdään, että

|zw|2=zw¯zw=zw¯z¯w=z¯zw¯w=|z|2|w|2,

eli |zw|=|z||w|. Muut kohdista 1–5 todistetaan samaan tapaan. Kohta 6 on geometrisesti selvä, sillä lukua |z+w| edustaa summavektorin pituus, kun |z| ja |w| ovat summattavien vektorien pituuksia. Nämä puolestaan muodostavat kuvan mukaisen kolmion, jossa intuitiivisesti kahden sivun pituuden summa on suurempi kuin kolmannen.

../_images/kompleksikolmioepayhtalo1.svg

Täsmällisempi todistus sivuutetaan.

Tehtävää ladataan...

Huomautus 8.3.7

Jos z ja w ovat kompleksilukuja, niin |zw| on niiden välinen etäisyys. Piirrä kuva, jonka avulla vakuutut asiasta.

Itseisarvoihin tai liittolukuihin liittyvän yhtälön tai epäyhtälön ratkaisut voidaan monesti selvittää merkitsemällä z=x+yi, missä x ja y ovat reaalilukuja. Tällöin siirrytään tarkastelemaan vastaavia ratkaisuja xy-koordinaatistossa.

Esimerkki 8.3.8

Ratkaise seuraavat yhtälöt ja epäyhtälöt.

  1. ¯zz=i¯z+4
  2. |z2iz1|=1
  3. |z(2+3i)|=2
Piilota/näytä ratkaisu

Merkitään kaikissa kohdissa z=x+yi, missä x ja y ovat reaalilukuja.

  1. Sijoituksen jälkeen yhtälö tulee muotoon

    xyi(x+yi)=i(xyi)+42yi=xi+y+4(y+4)(x+2y)i=0.

    Yhtälön vasen puoli on kompleksiluku, jonka reaali- ja imaginaariosan on oltava nolla. Täten (y+4)=0 ja (x+2y)=0, eli y=4 ja x=2y=8. Sijoittamalla takaisin nähdään, että yhtälön ratkaisu on z=84i.

  2. Jotta yhtälön vasen puoli olisi määritelty, on oltava z1. Tällöin myös

    |z2iz1|=|z2i||z1|=1,

    eli |z2i|=|z1|. Sijoituksen jälkeen yhtälö palautuu seuraavaan muotoon.

    |x+yi2i|=|x+yi1||x+(y2)i|=|(x1)+yi|x2+(y2)2=(x1)2+y2x2+y24y+4=x22x+1+y2y=12x+34
    ../_images/kompleksisuora1.svg

    Ratkaisujoukko on kuvan mukainen suora kompleksitasossa. Geometrinen tulkinta yhtälölle |z2i|=|z1| on, että haetaan kaikki ne pisteet z, jotka ovat yhtä kaukana luvuista 2i ja 1.

  3. Sijoituksen jälkeen yhtälö tulee muotoon

    |x+yi(2+3i)|=|(x2)+(y3)i|=2(x2)2+(y3)2=2(x2)2+(y3)2=4.
    ../_images/kompleksiympyra1.svg

    Ratkaisujoukko on siis kompleksitason 2-säteinen ympyrä keskipisteenään 2+3i. Tämä voitaisiin päätellä myös suoraan aiemman huomautuksen avulla: itseisarvoyhtälön |zw|=r toteuttavat täsmälleen ne kompleksiluvut z, joiden etäisyys luvusta w on r.

Palautusta lähetetään...