$$\newcommand{\N}{\mathbb N} \newcommand{\Z}{\mathbb Z} \newcommand{\Q}{\mathbb Q} \newcommand{\R}{\mathbb R} \newcommand{\C}{\mathbb C} \newcommand{\ba}{\mathbf{a}} \newcommand{\bb}{\mathbf{b}} \newcommand{\bc}{\mathbf{c}} \newcommand{\bd}{\mathbf{d}} \newcommand{\be}{\mathbf{e}} \newcommand{\bff}{\mathbf{f}} \newcommand{\bh}{\mathbf{h}} \newcommand{\bi}{\mathbf{i}} \newcommand{\bj}{\mathbf{j}} \newcommand{\bk}{\mathbf{k}} \newcommand{\bN}{\mathbf{N}} \newcommand{\bn}{\mathbf{n}} \newcommand{\bo}{\mathbf{0}} \newcommand{\bp}{\mathbf{p}} \newcommand{\bq}{\mathbf{q}} \newcommand{\br}{\mathbf{r}} \newcommand{\bs}{\mathbf{s}} \newcommand{\bT}{\mathbf{T}} \newcommand{\bu}{\mathbf{u}} \newcommand{\bv}{\mathbf{v}} \newcommand{\bw}{\mathbf{w}} \newcommand{\bx}{\mathbf{x}} \newcommand{\by}{\mathbf{y}} \newcommand{\bz}{\mathbf{z}} \newcommand{\bzero}{\mathbf{0}} \newcommand{\nv}{\mathbf{0}} \newcommand{\cA}{\mathcal{A}} \newcommand{\cB}{\mathcal{B}} \newcommand{\cC}{\mathcal{C}} \newcommand{\cD}{\mathcal{D}} \newcommand{\cE}{\mathcal{E}} \newcommand{\cF}{\mathcal{F}} \newcommand{\cG}{\mathcal{G}} \newcommand{\cH}{\mathcal{H}} \newcommand{\cI}{\mathcal{I}} \newcommand{\cJ}{\mathcal{J}} \newcommand{\cK}{\mathcal{K}} \newcommand{\cL}{\mathcal{L}} \newcommand{\cM}{\mathcal{M}} \newcommand{\cN}{\mathcal{N}} \newcommand{\cO}{\mathcal{O}} \newcommand{\cP}{\mathcal{P}} \newcommand{\cQ}{\mathcal{Q}} \newcommand{\cR}{\mathcal{R}} \newcommand{\cS}{\mathcal{S}} \newcommand{\cT}{\mathcal{T}} \newcommand{\cU}{\mathcal{U}} \newcommand{\cV}{\mathcal{V}} \newcommand{\cW}{\mathcal{W}} \newcommand{\cX}{\mathcal{X}} \newcommand{\cY}{\mathcal{Y}} \newcommand{\cZ}{\mathcal{Z}} \newcommand{\rA}{\mathrm{A}} \newcommand{\rB}{\mathrm{B}} \newcommand{\rC}{\mathrm{C}} \newcommand{\rD}{\mathrm{D}} \newcommand{\rE}{\mathrm{E}} \newcommand{\rF}{\mathrm{F}} \newcommand{\rG}{\mathrm{G}} \newcommand{\rH}{\mathrm{H}} \newcommand{\rI}{\mathrm{I}} \newcommand{\rJ}{\mathrm{J}} \newcommand{\rK}{\mathrm{K}} \newcommand{\rL}{\mathrm{L}} \newcommand{\rM}{\mathrm{M}} \newcommand{\rN}{\mathrm{N}} \newcommand{\rO}{\mathrm{O}} \newcommand{\rP}{\mathrm{P}} \newcommand{\rQ}{\mathrm{Q}} \newcommand{\rR}{\mathrm{R}} \newcommand{\rS}{\mathrm{S}} \newcommand{\rT}{\mathrm{T}} \newcommand{\rU}{\mathrm{U}} \newcommand{\rV}{\mathrm{V}} \newcommand{\rW}{\mathrm{W}} \newcommand{\rX}{\mathrm{X}} \newcommand{\rY}{\mathrm{Y}} \newcommand{\rZ}{\mathrm{Z}} \newcommand{\pv}{\overline} \newcommand{\iu}{\mathrm{i}} \newcommand{\ju}{\mathrm{j}} \newcommand{\im}{\mathrm{i}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \newcommand{\real}{\operatorname{Re}} \newcommand{\imag}{\operatorname{Im}} \newcommand{\Arg}{\operatorname{Arg}} \newcommand{\Ln}{\operatorname{Ln}} \DeclareMathOperator*{\res}{res} \newcommand{\re}{\operatorname{Re}} \newcommand{\im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\arsinh}{\operatorname{ar\,sinh}} \newcommand{\arcosh}{\operatorname{ar\,cosh}} \newcommand{\artanh}{\operatorname{ar\,tanh}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\proj}{\operatorname{proj}} \newcommand{\rref}{\operatorname{rref}} \newcommand{\rank}{\operatorname{rank}} \newcommand{\Span}{\operatorname{span}} \newcommand{\vir}{\operatorname{span}} \renewcommand{\dim}{\operatorname{dim}} \newcommand{\alg}{\operatorname{alg}} \newcommand{\geom}{\operatorname{geom}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\norm}[1]{\lVert #1 \rVert} \newcommand{\tp}[1]{#1^{\top}} \renewcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-15mu}#1}^{\,#2}} \newcommand{\abs}[1]{\lvert#1\rvert} \newcommand{\pysty}[1]{\left[\begin{array}{@{}r@{}}#1\end{array}\right]} \newcommand{\piste}{\cdot} \newcommand{\qedhere}{} \newcommand{\taumatrix}[1]{\left[\!\!#1\!\!\right]} \newenvironment{augmatrix}[1]{\left[\begin{array}{#1}}{\end{array}\right]} \newenvironment{vaugmatrix}[1]{\left|\begin{array}{#1}}{\end{array}\right|} \newcommand{\trans}{\mathrm{T}} \newcommand{\EUR}{\text{\unicode{0x20AC}}} \newcommand{\SI}[3][]{#2\,\mathrm{#3}} \newcommand{\si}[2][]{\mathrm{#2}} \newcommand{\num}[2][]{#2} \newcommand{\ang}[2][]{#2^{\circ}} \newcommand{\meter}{m} \newcommand{\metre}{\meter} \newcommand{\kilo}{k} \newcommand{\kilogram}{kg} \newcommand{\gram}{g} \newcommand{\squared}{^2} \newcommand{\cubed}{^3} \newcommand{\minute}{min} \newcommand{\hour}{h} \newcommand{\second}{s} \newcommand{\degreeCelsius}{^{\circ}C} \newcommand{\per}{/} \newcommand{\centi}{c} \newcommand{\milli}{m} \newcommand{\deci}{d} \newcommand{\percent}{\%} \newcommand{\Var}{\operatorname{Var}} \newcommand{\Cov}{\operatorname{Cov}} \newcommand{\Corr}{\operatorname{Corr}} \newcommand{\Tasd}{\operatorname{Tasd}} \newcommand{\Ber}{\operatorname{Ber}} \newcommand{\Bin}{\operatorname{Bin}} \newcommand{\Geom}{\operatorname{Geom}} \newcommand{\Poi}{\operatorname{Poi}} \newcommand{\Hyperg}{\operatorname{Hyperg}} \newcommand{\Tas}{\operatorname{Tas}} \newcommand{\Exp}{\operatorname{Exp}} \newcommand{\tdist}{\operatorname{t}} \newcommand{\rd}{\mathrm{d}}$$

Kompleksinen polynomi

Kompleksikertoiminen polynomi määritellään kuten vastaava reaalikertoiminen polynomi: astetta $n$ oleva polynomi (polynomial) $p$ on muuttujan $x$ lauseke

$$p=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_2x^2+a_1x+a_0,$$

missä kertoimet (coefficients) $a_0,a_1,\ldots,a_n$ ovat kompleksisia vakioita ja korkeimman asteen termin kerroin $a_n\ne0$.

Merkinnällä $p(z)$, missä $z$ on kompleksiluku, tarkoitetaan polynomin $p$ arvoa (value) pisteessä $z$, ja se voidaan selvittää kirjoittamalla muuttujan $x$ paikalle luku $z$ ja sieventämällä syntyvä lauseke. Jos halutaan selventää, minkä muuttujan polynomista on kyse, voidaan merkitä $p = p(x)$.

Esimerkki 8.7.1

1. Polynomin $p=7x^5-\iu x^2+3x+1+\iu$ aste $\deg p = 5$ ja sen arvo pisteessä $\iu$ on $p(\iu)=7\iu^5-\iu^3+3\iu+1+\iu=1+12\iu$.
2. Toisen ja kolmannen asteen polynomien $x^2+1$ ja $3x^3-2x+1$ tulo on viidennen asteen polynomi $(x^2+1)(3x^3-2x+1)=3x^5+x^3+x^2-2x+1$.

Lause 8.7.2 (Algebran peruslause)

Jokaisella vähintään ensimmäistä astetta olevalla polynomilla on ainakin yksi nollakohta kompleksitasossa.

Piilota/näytä todistus

Sivuutetaan tässä. Tälle lauseelle on olemassa monta eri todistusta, joista jokainen vaatii työkaluikseen hieman kompleksimuuttujan funktioiden teoriaa. Eräs helppolukuisemmista todistuksista on julkaistu Matematiikkalehti Solmussa.

Määritelmä 8.7.3

Olkoon $p$ polynomi ja $k$ luonnollinen luku. Jos $p=(x-z)^kq$, missä $q\ne0$ on polynomi, niin kompleksiluku $z$ on polynomin $p$ $k$-kertainen nollakohta.

Esimerkki 8.7.4

Polynomilla

$$p=x^3-4x^2-3x+18=(x+2)(x-3)^2=(x+2)(x-3)(x-3)$$

on yksinkertainen nollakohta $-2$ ja kaksinkertainen nollakohta $3$. Monikerrat huomioiden voidaan sanoa myös, että polynomin $p$ nollakohdat ovat $-2$, $3$ ja $3$.

Algebran peruslauseesta, eli vähintään yhden nollakohdan olemassaolosta seuraa myös $n$:n nollakohdan olemassaolo.

Lause 8.7.5

Polynomilla $p=a_nx^n+\cdots+a_1x+a_0$, jonka aste $\deg p = n$, on monikerrat huomioiden täsmälleen $n$ kompleksista nollakohtaa. Jos nollakohdat ovat $z_1, \ldots, z_n$, niin polynomi $p$ voidaan esittää muodossa

$$p=a_n(x-z_1)(x-z_2)\cdots(x-z_n).$$

Piilota/näytä todistus

Algebran peruslauseen mukaan polynomilla $p$ on vähintään yksi nollakohta. Merkitään täksi nollakohdaksi $z_1$, jolloin binomi $x - z_1$ jakaa polynomin $p$, eli

$$p=(x-z_1)q_{1},$$

missä polynomin $q_{1}$ aste on $n-1$. Algebran peruslauseen mukaan polynomilla $q_{1}$ on kompleksinen nollakohta $z_2$, joten $q_1 = (x - z_2)q_2$ ja

$$p=(x-z_1)(x-z_2)q_{2}(x),$$

missä polynomin $q_{2}$ aste on $n-2$. Menettelyä voidaan jatkaa kunnes viimeisenä saadun osamäärän $q_n$ aste on nolla. Samalla on tuotettu täsmälleen $n$ nollakohtaa polynomille $p$. Tällöin $q_n$ on vakiopolynomi $c$ ja polynomi $p$ voidaan kirjoittaa tulona

$$p=(x-z_1)(x-z_2)\cdots(x-z_n)q_n = c(x-z_1)(x-z_2)\cdots(x-z_n).$$

Jos nyt tämä tulo lasketaan, tuloksena syntyvän polynomin $n$. asteen termiksi saadaan $cx^n$. Sen on kuitenkin oltava sama kuin polynomin $p$ korkeimman asteen termi $a_nx^n$, eli $c=a_n$ ja väitteen viimeinen osa on todistettu.

Matala-asteisten polynomien tapauksessa voidaan löytää yleisiä ratkaisukaavoja, joissa nollakohdat määräytyvät suoraan polynomin kertoimista.

Lause 8.7.6

Toisen asteen polynomiyhtälön $ax^2 + bx + c = 0$ juuret ovat

$$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a},$$

missä $\sqrt{b^2 - 4ac}$ tarkoittaa kompleksiluvun $b^2 - 4ac$ toista juurta.

Piilota/näytä todistus

Jotta yhtälö todella olisi toista astetta, oletetaan että $a \not= 0$. Tällöin yhtälön vasen puoli voidaan täydentää neliöksi seuraavalla tavalla.

$$\begin{split}\begin{aligned} && ax^2+bx+c&=0\\ \Leftrightarrow&& 4a^2x^2+4abx+4ac&=0\\ \Leftrightarrow&& (2ax)^2+2(2a)(b)x+b^2&=b^2-4ac\\ \Leftrightarrow&& (2ax+b)^2&=b^2-4ac \end{aligned}\end{split}$$

Kompleksiluvulla $\Delta = b^2 - 4ac$ on napakoordinaattiesitys $\Delta = |\Delta|e^{\iu \theta}$, missä $\theta = \arg\Delta$. Täten sen toiset juuret ovat

$$w_0 = \sqrt{|\Delta|}e^{\iu \theta/2}\qquad\text{ja}\qquad w_1 = \sqrt{|\Delta|}e^{\iu \theta/2 + \iu \frac{2\pi}{2}} = w_0e^{\iu \pi}.$$

Tässä kuitenkin $e^{\iu \pi} = -1$, joten $w_1 = -w_0$. Merkitään esimerkiksi juurta $w_0 = \sqrt{b^2 - 4ac}$, jolloin yhtälön ratkaisut voidaan esittää muodossa

$$2ax + b = \sqrt{b^2 - 4ac} \qquad\text{tai}\qquad 2ax + b = -\sqrt{b^2 - 4ac}.$$

Näiden lineaaristen yhtälöiden ratkaisut voidaan kirjoittaa lyhyesti muodossa

$$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}.\qedhere$$

Huomautus 8.7.7

Reaalisten kertoimien tapauksessa yhtälöllä $ax^2 + bx + c = 0$ on reaaliset ratkaisut vain, jos $\Delta = b^2 - 4ac \geq 0$. Tällöin ei myöskään tarvitse tehdä eroa luvun $\Delta$ toisen juuren ja neliöjuuren välille. Tapauksessa $\Delta < 0$ ratkaisukaavan käyttämiseksi on etsittävä negatiivisen reaaliluvun toiset juuret. Napakoordinaateissa $\Delta = |\Delta|e^{\iu \pi}$, joten luvun $\Delta$ toiset juuret ovat $w_0 = \sqrt{|\Delta|}e^{\iu \frac{\pi}{2}} = \iu \sqrt{|\Delta|}$ ja $w_1 = -\iu \sqrt{|\Delta|}$. Merkitsemällä

$$\sqrt{b^2 - 4ac} = w_0 = \iu \sqrt{|\Delta|} = \iu \sqrt{4ac - b^2}$$

nähdään, että ratkaisut ovat

$$x = \frac{-b \pm \iu \sqrt{4ac - b^2}}{2a}.$$

Esimerkki 8.7.8

Ratkaise yhtälö

1. $2x^2 + 4x - 3 = 0$,
2. $4x^2 - 4x + 3 = 0$,
3. $x^2 + 2\iu x - \iu \sqrt{3} = 0$.

Piilota/näytä ratkaisu

1. Ratkaisukaavalla $x = \dfrac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3)}}{2 \cdot 2} = -1 \pm \dfrac{\sqrt{10}}{2}$.

2. Ratkaisukaavalla

   $$x = \dfrac{4 \pm \sqrt{4^2 - 4 \cdot 4 \cdot 3}}{2 \cdot 4} = \dfrac{4 \pm \sqrt{-32}}{8} = \dfrac{4 \pm \iu \sqrt{32}}{8} = \dfrac{1}{2} \pm \dfrac{\sqrt{2}}{2}\iu .$$

   Jos ratkaisukaavan juuren alle jäävä luku on negatiivinen, voidaan käyttää muistisääntöä $\sqrt{-1} = \pm \iu$ kompleksisten ratkaisujen esittämiseksi.

3. Ratkaisukaavalla

   $$x = \frac{-2\iu \pm \sqrt{(2\iu )^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-\iu \sqrt{3})}}{2 \cdot 1} = -\iu \pm \sqrt{-1 + \iu \sqrt{3}}.$$

   Tässä $\sqrt{-1 + \iu \sqrt{3}}$ tarkoittaa luvun $-1 + \iu \sqrt{3} = 2e^{\iu \frac{2\pi}{3}}$ toista juurta, jolloin voidaan valita esimerkiksi

   $$\sqrt{-1 + \iu \sqrt{3}} = \sqrt{2}e^{\iu \frac{\pi}{3}} = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{6}}{2}\iu .$$

   Täten yhtälön ratkaisut ovat

   $$x = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{6} - 2}{2}\iu \qquad\text{ja}\qquad x = -\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{6} + 2}{2}\iu .\qedhere$$

Muistellaan vielä paria asiaa toisen asteen polynomin nollakohtien selvittämisestä. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa oleva diskriminantti $\Delta=b^2-4ac$ kertoo, kuinka monta ratkaisua yhtälöstä saadaan.

Kysymys 1

Ratkaistaan yhtälöä $2x^2+8x+8=0$. Mikä on tässä tapauksessa diskriminantti?

$0$

$2$

$-2$

$8$

$-8$

Kysymys 2

Siis polynomilla $2x^2+8x+8$ on

kaksi erillistä reaalista nollakohtaa,

kaksinkertainen reaalinen nollakohta,

kaksi imaginaarista nollakohtaa,

ei yhtään nollakohtaa.

Kysymys 3

Itse asiassa yhtälön $2x^2+8x+8=0$ kaltaisten yhtälöiden tapauksessa voi laskuprosessia helpottaa tietyllä tavalla ennen toisen asteen yhtälön ratkaisukaavan käyttöä ilman teknisiä apuvälineitä. Millä tavalla?

Jättää $x^2$:n kerroin huomioimatta laskussa.

Jättää vakiotermi $8$ huomioimatta laskussa.

Jakaa yhtälö puolittain kakkosella.

Kertoa yhtälö puolittain kakkosella.

Myös kolmannen ja neljännen asteen polynomien nollakohdille on olemassa yleiset algebralliset ratkaisukaavat. Näissä tapauksissa juurten hakeminen tapahtuu kuitenkin jo useassa vaiheessa, ja mainittujen ratkaisukaavojen monimutkaisuuden vuoksi niitä ei kuitenkaan juuri käytetä. Kuuluisa Abel-Ruffinin lause toteaa lisäksi, että viidennen ja sitä korkeamman asteen polynomiyhtälöille ei ole olemassa yleistä ratkaisukaavaa. Kuitenkin meillä on olemassa numeerisia menetelmiä nollakohtien löytämiseen korkeamman asteen polynomiyhtälöille.

Polynomin tekijöihinjako tarjoaa eräänlaisen juurtenhakualgoritmin. Ensin etsitään yksi juuri arvaamalla ja kokeilemalla, jonka jälkeen tehdään jakolasku vastaavalla binomilla. Tuloksena on matalampiasteinen polynomi, jolle prosessi voidaan toistaa. Algoritmi jatkuu, kunnes tekijäksi saadaan toisen asteen polynomi, ja sen juuret haetaan lopuksi ratkaisukaavalla. Käsin laskettaessa menetelmä ei käytännössä ole käyttökelpoinen, jos ei ole tehokasta keinoa arvata uutta juurta. Tietokoneella voidaan arvauksen sijaan arvioida seuraavaa juurta numeerisesti, ja monet laskennalliset polynomin juurtenhakualgoritmit perustuvatkin tähän yksinkertaiseen runkoon.

Esimerkki 8.7.9

Hae polynomien $p = x^3 + \frac{1}{2}x^2 - 2x - \frac{3}{2}$ ja $q = x^3 - 6x^2 + 21x - 26$ nollakohdat ja jaa ne tekijöihin.

Piilota/näytä ratkaisu

Polynomin $p$ tapauksessa havaitaan, että

$$p(-1) = (-1)^3 + \frac{1}{2} \cdot (-1)^2 - 2 \cdot (-1) - \frac{3}{2} = 0,$$

eli $-1$ on eräs sen nollakohdista. Binomi $x + 1$ siis jakaa polynomin $p$, ja jakolaskun tuloksena

$$p = (x + 1)\left(x^2 - \frac{1}{2}x - \frac{3}{2}\right).$$

Toisen asteen tekijän nollakohdat ovat

$$x = \frac{\frac{1}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^2 - 4 \cdot 1 \cdot \left(-\frac{3}{2}\right)}}{2 \cdot 1} = \frac{1 \pm 5}{4},$$

eli $\frac{3}{2}$ ja $-1$, jolloin

$$p = (x + 1)\left(x - \frac{3}{2}\right)(x + 1) = (x + 1)^2\left(x - \frac{3}{2}\right).$$

Polynomille $q$ puolestaan

$$q(2) = 2^3 - 6 \cdot 2^2 + 21 \cdot 2 - 26 = 0,$$

eli $2$ on eräs sen nollakohdista. Täten laskemalla osamäärä jakokulmassa havaitaan, että

$$q = (x - 2)(x^2 - 4x + 13).$$

Toisen asteen tekijän nollakohdat ovat

$$x = \frac{4 \pm \sqrt{4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 13}}{2 \cdot 1} = 2 \pm 3\iu ,$$

joten

$$q = (x - 2)(x - (2 + 3\iu ))(x - (2 - 3\iu )).\qedhere$$

Reaalikertoimisten polynomien kompleksiset nollakohdat löytyvät aina liittolukupareina.

Lause 8.7.10

Jos kompleksiluku $z$ on reaalikertoimisen polynomin $p$ nollakohta, niin myös $\overline{z}$ on saman polynomin nollakohta.

Piilota/näytä todistus

Merkitään $p = a_nx^n + \cdots + a_1x + a_0$, missä kaikki kertoimet ovat reaalisia. Tämän vuoksi $\overline{a_i} = a_i$ jokaisella $i = 0, 1, \ldots, n$. Jos nyt $p(z) = 0$, niin liittoluvun ominaisuuksien nojalla

$$\begin{split}\begin{aligned} p(\overline{z})&=a_n\overline{z}^n+\cdots+a_1\overline{z}+a_0\\ &=\overline{a_n}\cdot\overline{z^n}+\cdots+\overline{a_1}\cdot\overline{z}+\overline{a_0}\\ &=\overline{a_nz^n}+\cdots+\overline{a_1z}+\overline{a_0}\\ &=\overline{a_nz^n+\cdots+a_1z+a_0}\\ &=\overline{p(z)}=\overline{0}=0 \end{aligned}\end{split}$$

ja täten $\overline{z}$ on myös juuri.

Huomautus 8.7.11

Edellinen tulos on voimassa ainoastaan reaalikertoimisille polynomeille! Lisäksi reaalisen juuren $z$ tapauksessa liittoluku $\overline{z} = z$ on sama, eikä samaan pisteeseen syntyvä moninkertainen juuri.

Lause 8.7.12

Reaalikertoiminen polynomi $p=a_nx^n+\cdots+a_1x+a_0$ voidaan jakaa ensimmäisen ja toisen asteen reaalikertoimisiin tekijöihin seuraavasti:

$$p=a_n(x-x_1)^{m_1}\cdots(x-x_k)^{m_k}(x^2+b_1x+c_1)^{n_1}\cdots(x^2+b_lx+c_l)^{n_l},$$

missä $x_1,\ldots,x_k$ ovat polynomin $p$ erilliset reaaliset nollakohdat, $m_1,\ldots,m_k$ niiden kertaluvut, ja polynomeilla $x^2+b_i x+c_i$, $i = 1, \ldots, l$ ei ole reaalisia nollakohtia.

Piilota/näytä todistus

Olkoot $x_1, \ldots, x_k$ polynomin $p$ erilliset reaaliset ja $z_1, \overline{z}_1, \ldots, z_l, \overline{z}_l$ sen erilliset imaginaariset nollakohdat. Olkoot lisäksi $m_1, \ldots, m_k$ ja $n_1, \ldots, n_l$ niiden kertaluvut samassa järjestyksessä, jolloin tekijöihinjaon vuoksi

$$\begin{split}\begin{aligned} p&=a_n(x-x_1)^{m_1}\cdots(x-x_k)^{m_k}\cdot(x-z_1)^{n_1}(x-\overline{z}_1)^{n_1}\cdots(x-z_l)^{n_l}(x-\overline{z}_l)^{n_l}\\ &=a_n(x-x_1)^{m_1}\cdots(x-x_k)^{m_k}\cdot((x-z_1)(x-\overline{z}_1))^{n_1}\cdots((x-z_l)(x-\overline{z}_l))^{n_l}. \end{aligned}\end{split}$$

Reaalijuuria koskeva osuus on täten jo todistettu, ja loput väitteestä seuraa siitä, että jokaista $i = 1, \ldots, l$ kohti tulo

$$\begin{aligned} (x-z_i)(x-\overline{z}_i)=x^2-(z_i+\overline{z}_i)x+z_i\overline{z}_i =x^2-(2\re z_i)x+|z_i|^2 \end{aligned}$$

on toisen asteen polynomi, jonka kertoimet $b_i=-2\re z_i$ ja $c_i=|z_i|^2$ ovat reaalisia.

Korkea-asteisen polynomin nollakohtia voidaan joskus yrittää arvata seuraavanlaisella menetelmällä.

Oletetaan, että polynomin $p(x) = a_nx^n + a_{n - 1}x^{n - 1} + \cdots + a_1x + a_0$ kaikki kertoimet ovat kokonaislukuja. Jotta rationaaliluku $\frac{a}{b}$ voisi olla polynomin $p(x)$ nollakohta, kertoimen $a_0$ on oltava jaollinen osoittajalla $a$, ja kertoimen $a_n$ on oltava jaollinen nimittäjällä $b$. (Todistus sivuutetaan.)

Kysymys 1

Mille seuraavista polynomeista voidaan yrittää arvata rationaalisia nollakohtia edellisen tiedon avulla?

$x^4 + \frac{1}{2}x^3 - \frac{5}{2}x^2 - x + 1$

$x^3 + x^2 - 2x - 2$

$x^4 - 5x^2 + 6$

$x^3 - \sqrt{2}x + 3$

Yritetään sitten arvata systemaattisesti polynomin $6x^4 + 5x^3 - 13x^2 - 10x + 2$ rationaalisia nollakohtia.

Kysymys 2

Mitkä ovat polynomin vakiotermin kokonaislukutekijät?

$1, 2, 3, 6$

$1, 2, 3$

$1, 2$

$2, 3$

$-6, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 6$

$-3, -2, -1, 1, 2, 3$

$-2, -1, 1, 2$

$-3, -2, 2, 3$

Kysymys 3

Entä mitkä ovat polynomin korkeimman asteen termin kertoimen kokonaislukutekijät?

$1, 2, 3, 6$

$1, 2, 3$

$1, 2$

$2, 3$

$-6, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 6$

$-3, -2, -1, 1, 2, 3$

$-2, -1, 1, 2$

$-3, -2, 2, 3$

Kysymys 4

Mitkä seuraavista ovat polynomin $6x^4 + 5x^3 - 13x^2 - 10x + 2$ mahdollisia nollakohtia?

$-1$

$-2$

$3$

$6$

$-\frac{1}{2}$

$\frac{1}{3}$

$\frac{1}{6}$

$-\frac{2}{3}$

$-\frac{3}{2}$

Kysymys 5

Kuinka monta nollakohtakandidaattia kertoimien tekijöiden osamäärinä saadaan yhteensä tälle polynomille?

Kysymys 6

Kaikista nollakohtakandidaateista yhteensä kaksi kappaletta ovat oikeasti polynomin $6x^4 + 5x^3 - 13x^2 - 10x + 2$ nollakohtia. Mitkä ne ovat?

$1$ ja $\frac{1}{2}$

$1$ ja $-\frac{2}{3}$

$1$ ja $\frac{1}{6}$

$1$ ja $-\frac{2}{3}$

$-1$ ja $\frac{1}{2}$

$-1$ ja $-\frac{2}{3}$

$-1$ ja $\frac{1}{6}$

$-1$ ja $-\frac{2}{3}$

Palautusta lähetetään...