$\newcommand{\N}{\mathbb N} \newcommand{\Z}{\mathbb Z} \newcommand{\Q}{\mathbb Q} \newcommand{\R}{\mathbb R} \newcommand{\C}{\mathbb C} \newcommand{\ba}{\mathbf{a}} \newcommand{\bb}{\mathbf{b}} \newcommand{\bc}{\mathbf{c}} \newcommand{\bd}{\mathbf{d}} \newcommand{\be}{\mathbf{e}} \newcommand{\bff}{\mathbf{f}} \newcommand{\bh}{\mathbf{h}} \newcommand{\bi}{\mathbf{i}} \newcommand{\bj}{\mathbf{j}} \newcommand{\bk}{\mathbf{k}} \newcommand{\bN}{\mathbf{N}} \newcommand{\bn}{\mathbf{n}} \newcommand{\bo}{\mathbf{0}} \newcommand{\bp}{\mathbf{p}} \newcommand{\bq}{\mathbf{q}} \newcommand{\br}{\mathbf{r}} \newcommand{\bs}{\mathbf{s}} \newcommand{\bT}{\mathbf{T}} \newcommand{\bu}{\mathbf{u}} \newcommand{\bv}{\mathbf{v}} \newcommand{\bw}{\mathbf{w}} \newcommand{\bx}{\mathbf{x}} \newcommand{\by}{\mathbf{y}} \newcommand{\bz}{\mathbf{z}} \newcommand{\bzero}{\mathbf{0}} \newcommand{\nv}{\mathbf{0}} \newcommand{\cA}{\mathcal{A}} \newcommand{\cB}{\mathcal{B}} \newcommand{\cC}{\mathcal{C}} \newcommand{\cD}{\mathcal{D}} \newcommand{\cE}{\mathcal{E}} \newcommand{\cF}{\mathcal{F}} \newcommand{\cG}{\mathcal{G}} \newcommand{\cH}{\mathcal{H}} \newcommand{\cI}{\mathcal{I}} \newcommand{\cJ}{\mathcal{J}} \newcommand{\cK}{\mathcal{K}} \newcommand{\cL}{\mathcal{L}} \newcommand{\cM}{\mathcal{M}} \newcommand{\cN}{\mathcal{N}} \newcommand{\cO}{\mathcal{O}} \newcommand{\cP}{\mathcal{P}} \newcommand{\cQ}{\mathcal{Q}} \newcommand{\cR}{\mathcal{R}} \newcommand{\cS}{\mathcal{S}} \newcommand{\cT}{\mathcal{T}} \newcommand{\cU}{\mathcal{U}} \newcommand{\cV}{\mathcal{V}} \newcommand{\cW}{\mathcal{W}} \newcommand{\cX}{\mathcal{X}} \newcommand{\cY}{\mathcal{Y}} \newcommand{\cZ}{\mathcal{Z}} \newcommand{\rA}{\mathrm{A}} \newcommand{\rB}{\mathrm{B}} \newcommand{\rC}{\mathrm{C}} \newcommand{\rD}{\mathrm{D}} \newcommand{\rE}{\mathrm{E}} \newcommand{\rF}{\mathrm{F}} \newcommand{\rG}{\mathrm{G}} \newcommand{\rH}{\mathrm{H}} \newcommand{\rI}{\mathrm{I}} \newcommand{\rJ}{\mathrm{J}} \newcommand{\rK}{\mathrm{K}} \newcommand{\rL}{\mathrm{L}} \newcommand{\rM}{\mathrm{M}} \newcommand{\rN}{\mathrm{N}} \newcommand{\rO}{\mathrm{O}} \newcommand{\rP}{\mathrm{P}} \newcommand{\rQ}{\mathrm{Q}} \newcommand{\rR}{\mathrm{R}} \newcommand{\rS}{\mathrm{S}} \newcommand{\rT}{\mathrm{T}} \newcommand{\rU}{\mathrm{U}} \newcommand{\rV}{\mathrm{V}} \newcommand{\rW}{\mathrm{W}} \newcommand{\rX}{\mathrm{X}} \newcommand{\rY}{\mathrm{Y}} \newcommand{\rZ}{\mathrm{Z}} \newcommand{\pv}{\overline} \newcommand{\iu}{\mathrm{i}} \newcommand{\ju}{\mathrm{j}} \newcommand{\im}{\mathrm{i}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \newcommand{\real}{\operatorname{Re}} \newcommand{\imag}{\operatorname{Im}} \newcommand{\Arg}{\operatorname{Arg}} \newcommand{\Ln}{\operatorname{Ln}} \DeclareMathOperator*{\res}{res} \newcommand{\re}{\operatorname{Re}} \newcommand{\im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\arsinh}{\operatorname{ar\,sinh}} \newcommand{\arcosh}{\operatorname{ar\,cosh}} \newcommand{\artanh}{\operatorname{ar\,tanh}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\proj}{\operatorname{proj}} \newcommand{\rref}{\operatorname{rref}} \newcommand{\rank}{\operatorname{rank}} \newcommand{\Span}{\operatorname{span}} \newcommand{\vir}{\operatorname{span}} \renewcommand{\dim}{\operatorname{dim}} \newcommand{\alg}{\operatorname{alg}} \newcommand{\geom}{\operatorname{geom}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\norm}[1]{\lVert #1 \rVert} \newcommand{\tp}[1]{#1^{\top}} \renewcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-15mu}#1}^{\,#2}} \newcommand{\abs}[1]{\lvert#1\rvert} \newcommand{\pysty}[1]{\left[\begin{array}{@{}r@{}}#1\end{array}\right]} \newcommand{\piste}{\cdot} \newcommand{\qedhere}{} \newcommand{\taumatrix}[1]{\left[\!\!#1\!\!\right]} \newenvironment{augmatrix}[1]{\left[\begin{array}{#1}}{\end{array}\right]} \newenvironment{vaugmatrix}[1]{\left|\begin{array}{#1}}{\end{array}\right|} \newcommand{\trans}{\mathrm{T}} \newcommand{\EUR}{\text{\unicode{0x20AC}}} \newcommand{\SI}[3][]{#2\,\mathrm{#3}} \newcommand{\si}[2][]{\mathrm{#2}} \newcommand{\num}[2][]{#2} \newcommand{\ang}[2][]{#2^{\circ}} \newcommand{\meter}{m} \newcommand{\metre}{\meter} \newcommand{\kilo}{k} \newcommand{\kilogram}{kg} \newcommand{\gram}{g} \newcommand{\squared}{^2} \newcommand{\cubed}{^3} \newcommand{\minute}{min} \newcommand{\hour}{h} \newcommand{\second}{s} \newcommand{\degreeCelsius}{^{\circ}C} \newcommand{\per}{/} \newcommand{\centi}{c} \newcommand{\milli}{m} \newcommand{\deci}{d} \newcommand{\percent}{\%} \newcommand{\Var}{\operatorname{Var}} \newcommand{\Cov}{\operatorname{Cov}} \newcommand{\Corr}{\operatorname{Corr}} \newcommand{\Tasd}{\operatorname{Tasd}} \newcommand{\Ber}{\operatorname{Ber}} \newcommand{\Bin}{\operatorname{Bin}} \newcommand{\Geom}{\operatorname{Geom}} \newcommand{\Poi}{\operatorname{Poi}} \newcommand{\Hyperg}{\operatorname{Hyperg}} \newcommand{\Tas}{\operatorname{Tas}} \newcommand{\Exp}{\operatorname{Exp}} \newcommand{\tdist}{\operatorname{t}} \newcommand{\rd}{\mathrm{d}}$

Osittaisderivaatat¶

Perehdytään seuraavaksi tarkastelemaan osittaisderivaattoja, joiden avulla usean muuttujan funktioiden käyttäytymistä tullaan tutkimaan.

Kahden muuttujan funktiot¶

Yhden muuttujan reaaliarvoiselle funktiolle $$f\colon\R\to\R$$ derivaatta pisteessä $$a$$ määritellään erotusosamäärän raja-arvona

$f'(a)=\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}.$

Derivaatta antaa funktion $$f$$ hetkellisen muutosnopeuden pisteessä $$a$$. Vastaavalla tavoin voidaan tutkia kahden (ja usemman) muuttujan reaaliarvoisen funktion $$f(x,y)$$ muutosnopeutta pisteessä $$(a,b)$$. Yhden muuttujan tapauksessa muutosnopeutta voidaan tutkia vain ainoan muuttujan $$x$$ suunnassa, kahden ja useamman muuttujan tapauksessa tutkittavia suuntia on sen sijaan äärettömän monta. Aloitetaan tutkimalla muutosnopeuksia $$x$$- ja $$y$$-akselien suuntaisesti siirryttäessä.

Määritelmä 7.3.1

Funktion $$f\colon\R^2\to\R$$ osittaisderivaatta (partial derivative) muuttujan $$x$$ suhteen pisteessä $$(a,b)$$ on

$\frac{\partial f}{\partial x}(a,b)=\lim_{h\to0}\frac{f(a+h,b)-f(a,b)}{h}$

ja osittaisderivaatta muuttujan $$y$$ suhteen pisteessä $$(a,b)$$

$\frac{\partial f}{\partial y}(a,b)=\lim_{k\to0}\frac{f(a,b+k)-f(a,b)}{k}$

(mikäli ko. raja-arvo on olemassa).

Merkintä $$\partial$$ luetaan ”doo” ja esimerkiksi $$\frac{\partial f}{\partial x}$$ ”doo f doo x”. Muita kirjoissa tyypillisesti käytettäviä merkintöjä osittaisderivaatoille ovat

\begin{split}\begin{aligned} &\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}f(x,y)=f_x(x,y)=f_1(x,y)=D_xf(x,y)=D_1f(x,y),\\[10pt] &\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}f(x,y)=f_y(x,y)=f_2(x,y)=D_yf(x,y)=D_2f(x,y). \end{aligned}\end{split}

Huomautus 7.3.2

Jos merkitään $$g(x)=f(x,b)$$, niin

$\frac{\partial f}{\partial x}(a,b) =\lim_{h\to0}\frac{f(a+h,b)-f(a,b)}{h} =\lim_{h\to0}\frac{g(a+h)-g(a)}{h} =g'(a).$

Osittaisderivointi muuttujan $$x$$ suhteen palautuu siten yhden muuttujan funktion derivoimiseksi, jossa funktion lauseketta derivoidaan normaalisti muuttujan $$x$$ suhteen ja pidetään muuttujaa $$y$$ vakiona. Vastaavasti osittaisderivoitaessa muuttujan $$y$$ suhteen ajatellaan muuttuja $$x$$ vakioksi.

Geometrisesti $$\frac{\partial f}{\partial x}(a,b)$$ ilmaisee pinnan $$z=f(x,y)$$ ja tason $$y=b$$ leikkauskäyrän $$z=f(x,b)$$ tangenttisuoran kulmakertoimen pisteessä $$(a,b,f(a,b))$$.

Vastaavasti $$\frac{\partial f}{\partial y}(a,b)$$ on käyrän $$z=f(a,y)$$ tangenttisuoran kulmakerroin. Siis $$\frac{\partial f}{\partial x}(a,b)$$ on funktion $$f$$ hetkellinen muutosnopeus $$x$$-suunnassa ja $$\frac{\partial f}{\partial y}(a,b)$$ on hetkellinen muutosnopeus $$y$$-suunnassa pisteessä $$(a,b)$$.

Esimerkki 7.3.3

Olkoon $$f(x,y)=x^2+2xy^2-y^3$$. Funktion $$f$$ osittaisderivaatat ovat

\begin{aligned} \frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=2x+2y^2\qquad\text{ja}\qquad \frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=4xy-3y^2 \end{aligned}

ja siten esimerkiksi

\begin{aligned} \frac{\partial f}{\partial x}(1,-1)=4\qquad\text{ja}\qquad \frac{\partial f}{\partial y}(1,-1)=-7. \end{aligned}

Oletetaan, että $$f(x,y)$$ ilmaisee lämpötilan ($$^\circ$$C) pisteessä $$(x,y)$$ (m). Lämpötilan hetkellinen muutosnopeus siirryttäessä pisteestä $$(1,-1)$$

\begin{split}\begin{aligned} \text{itään: }&4\ ^\circ\text{C/m}\\ \text{länteen: }&-4\ ^\circ\text{C/m}\\ \text{pohjoiseen: }&-7\ ^\circ\text{C/m}\\ \text{etelään: }&7\ ^\circ\text{C/m} \end{aligned}\end{split}

Usein merkitään lyhyesti $$\dfrac{\partial f}{\partial x}(x,y)=\dfrac{\partial f}{\partial x}$$.

Esimerkki 7.3.4

Laske $$\dfrac{\partial f}{\partial x}$$ ja $$\dfrac{\partial f}{\partial y}$$, kun $$f(x,y)=e^{xy}\sin x$$.

Piilota/näytä ratkaisu

Osittaisderivaatat ovat

\begin{split}\begin{aligned} \frac{\partial f}{\partial x}&=D_x(e^{xy})\sin x+e^{xy}D_x(\sin x)=ye^{xy}\sin x+e^{xy}\cos x,\\[10pt] \frac{\partial f}{\partial y}&=xe^{xy}\sin x. \end{aligned}\end{split}

Esimerkki 7.3.5

Tarkastellaan esimerkin 7.2.1 funktiota

$f(x,y)=\frac{x-y}{x+y}=z.$

Kun $$y\neq -x$$, osittaisderivaatoiksi saadaan

\begin{split}\begin{aligned} \frac{\partial f}{\partial x}&=\frac{2y}{(x+y)^2},\\[10pt] \frac{\partial f}{\partial y}&=\frac{-2x}{(x+y)^2}. \end{aligned}\end{split}

Huomataan, että jos $$x\neq 0$$ ja $$y$$ lähestyy arvoa $$-x$$, niin osittaisderivaatta $$x$$:n suhteen kasvaa tai pienenee rajattomasti. Tämä vastaa funktion käyttäytymistä suoralla $$y=-x$$, sillä aiemmin huomattiin, että tämän käyrän läheisyydessä funktion arvo hakeutuu kohti arvoa $$\pm\infty$$. Vastaava huomio pätee tietysti myös osittaisderivaatan $$D_y f$$ suhteen.

Kolmen ja useamman muuttujan funktiot¶

Yleistetään osittaisderivaatan määritelmä kolmen ja useamman muuttujan funktioille.

Määritelmä 7.3.6

Funktion $$f\colon\R^n\to\R$$ osittaisderivaatta muuttujan $$x_i$$ suhteen pisteessä $$\bx\in\R^n$$ on

\begin{split}\begin{aligned} \frac{\partial f}{\partial x_i}(\bx) &=\lim_{h\to0}\frac{f(x_1,\ldots,x_{i-1},x_i+h,x_{i+1},\ldots, x_n)-f(x_1,\ldots,x_n)}{h}\\ &=\lim_{h\to0}\frac{f(\bx+h\be_i)-f(\bx)}{h} \end{aligned}\end{split}

(mikäli raja-arvo on olemassa).

Tässä $$\be_i$$ on indeksiä $$i$$ vastaava standardikantavektori, jonka indeksiä $$i$$ vastaava komponentti on $$1$$ ja muut komponentit ovat nollia.

Huomautus 7.3.7

Jos funktion $$f$$ määrittelyjoukko on vain osajoukko $$D\subseteq\R^n$$ ja $$\bx\in D$$, niin voi olla, että piste $$\bx+h\be_i$$ ei ole joukossa $$D$$ eikä funktion $$f$$ arvoa tässä pisteessä voida laskea.

Jatkossa osittaisderivaatoista puhuttaessa oletamme, että määrittelyjoukko $$D$$ on alue, jolloin määritelmän erotusosamäärät ovat aina määriteltyjä, kun $$h$$ on pieni.

Useamman muuttujan funktion osittaisderivaatat lasketaan samaan tapaan kuin kahden muuttujan funktion osittaisderivaatat, eli derivoidaan yhden muuttujan suhteen ja muut muuttujat ajatellaan vakioina.

Esimerkki 7.3.8

1. Funktion $$f(x,y,z)=\ln\left(1+xe^{yz}\right)$$ osittaisderivaatat ovat

\begin{aligned} \frac{\partial f}{\partial x}=\frac{e^{yz}}{1+xe^{yz}},\quad \frac{\partial f}{\partial y}=\frac{xze^{yz}}{1+xe^{yz}}\quad\text{ja}\quad \frac{\partial f}{\partial z}=\frac{xye^{yz}}{1+xe^{yz}}. \end{aligned}
2. Funktion $$z=u^2v^3w^4$$ osittaisderivaatat ovat

\begin{aligned} \frac{\partial z}{\partial u}=2uv^3w^4,\quad \frac{\partial z}{\partial v}=3u^2v^2w^4\quad\text{ja}\quad \frac{\partial z}{\partial w}=4u^2v^3w^3. \end{aligned}
Mitkä ovat funktion $$f(x,y)=e^{xy}$$ osittaisderivaatat?
Valitse seuraavista kaikki funktion $$f(x,y,z)=\sin(x) \cos(y) \tan(z)$$ osittaisderivaatat.

Korkeammat osittaisderivaatat¶

Tarkastellaan seuraavassa osittaisderivaattaa $$\frac{\partial f}{\partial x_i}(\bx)$$ muuttujan $$\bx$$ funktiona. Tätä funktiota voidaan edelleen osittaisderivoida.

Määritelmä 7.3.9

Olkoon funktiolla $$f\colon\R^n\to\R$$ pisteen $$\bx\in\R^n$$ ympäristössä kaikki osittaisderivaatat $$\frac{\partial f}{\partial x_i}$$. Funktioiden $$\frac{\partial f}{\partial x_i}$$ osittaisderivaattoja (mikäli ne ovat olemassa) sanotaan funktion $$f$$ toisen kertaluvun osittaisderivaatoiksi (second order partial derivatives) ja merkitään

\begin{aligned} \frac{\partial}{\partial x_j}\bigg(\frac{\partial f}{\partial x_i}\bigg)(\bx) =\frac{\partial^2f}{\partial x_j\,\partial x_i}(\bx). \end{aligned}

Muita käytettäviä merkintöjä ovat

$\frac{\partial^2f}{\partial x_j\,\partial x_i} =(f_{x_i})_{x_j}=f_{x_ix_j}=f_{ij}=D_jD_if.$

Merkinnässä $$f_{x_ix_j}$$ (osittaisderivointi ensin muuttujan $$x_i$$ suhteen, sitten muuttujan $$x_j$$ suhteen) alaindeksejä luetaan siis vasemmalta oikealle. Merkinnässä $$\frac{\partial^2f}{\partial x_j\,\partial x_i}$$ ajatellaan, että operaattori $$\frac{\partial^2}{\partial x_j\,\partial x_i}$$ operoi funktiota $$f$$ ensin osittaisderivoimalla muuttujan $$x_i$$ suhteen, sitten muuttujan $$x_j$$ suhteen. Tapauksessa $$i=j$$ voidaan merkitä

$\frac{\partial^2f}{\partial x_i\,\partial x_i} =\frac{\partial^2f}{\partial x_i^2}.$

Vastaavalla tavoin voidaan tarkastella kolmannen kertaluvun osittaisderivaattoja

\begin{aligned} \frac{\partial^3f}{\partial x_k\,\partial x_j\,\partial x_i} \end{aligned}

ja yleisesti $$m$$:nnen kertaluvun osittaisderivaattoja.

Huomautus 7.3.10

Kahden muuttujan funktion $$f(x,y)$$ kaikki toisen kertaluvun osittaisderivaatat ovat

\begin{aligned} \frac{\partial^2f}{\partial x^2},\quad \frac{\partial^2f}{\partial y\,\partial x},\quad \frac{\partial^2f}{\partial x\,\partial y}\quad\text{ja}\quad \frac{\partial^2f}{\partial y^2}. \end{aligned}

Kolmen muuttujan funktiolla $$f(x,y,z)$$ on yhteensä yhdeksän toisen kertaluvun osittaisderivaattaa, jotka ovat

\begin{aligned} \frac{\partial^2f}{\partial x^2},\ \frac{\partial^2f}{\partial y^2},\ \frac{\partial^2f}{\partial z^2},\ \frac{\partial^2f}{\partial x\,\partial y},\ \frac{\partial^2f}{\partial y\,\partial x},\ \frac{\partial^2f}{\partial x\,\partial z},\ \frac{\partial^2f}{\partial z\,\partial x},\ \frac{\partial^2f}{\partial y\,\partial z}\text{ ja } \frac{\partial^2f}{\partial z\,\partial y}. \end{aligned}

Esimerkki 7.3.11

Laske funktion $$f(x,y)=x^2+xy^2$$ toisen kertaluvun osittaisderivaatat.

Piilota/näytä ratkaisu

Koska

$\frac{\partial f}{\partial x}=2x+y^2\quad\text{ja}\quad \frac{\partial f}{\partial y}=2xy,$

niin

\begin{split}\begin{aligned} \frac{\partial^2f}{\partial x^2}&=\frac{\partial}{\partial x}\left(2x+y^2\right)=2,\\[10pt] \frac{\partial^2f}{\partial y\,\partial x}&=\frac{\partial}{\partial y}\left(2x+y^2\right)=2y,\\[10pt] \frac{\partial^2f}{\partial x\,\partial y}&=\frac{\partial}{\partial x}(2xy)=2y,\\[10pt] \frac{\partial^2f}{\partial y^2}&=\frac{\partial}{\partial y}(2xy)=2x. \end{aligned}\end{split}

Seuraavan lauseen mukaan tietyissä tapauksissa osittaisderivaatat $$f_{x_ix_j}$$ ja $$f_{x_jx_i}$$ ovat yhtäsuuret, jolloin riittää laskea vain toinen. Tämän todistaminen kuitenkin sivuutetaan ja siihen vaaditaan usean muuttujan funktioiden jatkuvuuden käsite, mikä geometrisesti tarkoittaa, että funktion kuvaajaan ei muodostu piikkejä tai hyppyjä. Käytännössä alkeisfunktiot ovat jatkuvia määrittelyjoukoissaan ja niistä suoraan johdetut usean muuttujan funktiot ovat myös. Täten lauseen tulos on voimassa hyvin useissa tapauksissa.

Lause 7.3.12 (Osittaisderivoinnin vaihtosääntö)

Oletetaan, että funktiolla $$f$$ on osittaisderivaatat $$\frac{\partial f}{\partial x_i}$$, $$\frac{\partial f}{\partial x_j}$$ ja $$\frac{\partial^2f}{\partial x_j\,\partial x_i}$$ jossakin pisteen $$\bx$$ ympäristössä. Oletetaan lisäksi, että osittaisderivaatta $$\frac{\partial^2f}{\partial x_j\,\partial x_i}$$ on jatkuva. Silloin myös osittaisderivaatta $$\frac{\partial^2f}{\partial x_i\,\partial x_j}(\bx)$$ on olemassa ja

\begin{aligned} \frac{\partial^2f}{\partial x_j\,\partial x_i}(\bx)=\frac{\partial^2f}{\partial x_i\,\partial x_j}(\bx). \end{aligned}

Jos kolmen muuttujan funktion $$f(x,y,z)$$ toisen kertaluvun yhdeksän osittaisderivaattaa (katso huomautus) ovat jatkuvia, niin vaihtosäännön mukaan erisuuria niistä ovat (korkeintaan) vain

$\frac{\partial^2f}{\partial x^2},\quad \frac{\partial^2f}{\partial y^2},\quad \frac{\partial^2f}{\partial z^2},\quad \frac{\partial^2f}{\partial x\,\partial y},\quad \frac{\partial^2f}{\partial x\,\partial z}\quad\text{ja}\quad \frac{\partial^2f}{\partial y\,\partial z}.$

Esimerkki 7.3.13

$f_{zxx}=\dfrac{\partial^3f}{\partial x^2\,\partial z},\quad f_{xzx}=\dfrac{\partial^3f}{\partial x\,\partial z\,\partial x}\quad\text{ja}\quad f_{xxz}=\dfrac{\partial^3f}{\partial z\,\partial x^2}$

funktiolle $$f(x,y,z)=e^{2x-yz}$$.

Piilota/näytä ratkaisu

Lasketaan $$f_{zxx}$$. Nyt

$\dfrac{\partial^3f}{\partial x^2\,\partial z}=\dfrac{\partial^2}{\partial x^2}\left(-ye^{2x-yz}\right)=\dfrac{\partial}{\partial x}\left(-2ye^{2x-yz}\right)=-4ye^{2x-yz}.$

Koska tämä on jatkuva funktio, niin vaihtosäännön mukaan

$f_{zxx}=f_{xzx}=f_{xxz}=-4ye^{2x-yz}.$

Huomautus 7.3.14

Jos pyydetään laskemaan jonkin funktion ”kaikki osittaisderivaatat” ilman, että kertalukua mainitaan, on tarkoitus laskea vain ensimmäisen kertaluvun osittaisderivaatat.

Palautusta lähetetään...