- MATH.APP.111
- 7. Usean muuttujan funktiot
- 7.5 Suunnattu derivaatta ja gradientti
Suunnattu derivaatta ja gradientti¶
Kun korvataan standardikantavektori ei mielivaltaisella yksikkövektorilla e osittaisderivaatan määritelmässä, voidaan funktion muutosnopeutta tutkia muissakin kuin vain koordinaattiakselien suunnissa.
Määritelmä 7.5.1
Funktion f:Rn→R suunnattu derivaatta eli suuntaisderivaatta (directional derivative) pisteessä x∈Rn yksikkövektorin e∈Rn suuntaan on
(mikäli raja-arvo on olemassa).
Jos edellä e=ei, niin Def(x)=∂f∂xi(x). Piste x+he sijaitsee pisteen x kautta kulkevalla vektorin e virittämällä suoralla. Seuraavissa kuvissa h>0.
Suunnattua derivaattaa ei yleensä lasketa erotusosamäärän raja-arvona, vaan käyttäen laskukaavaa, jossa esiintyy funktion kaikki osittaisderivaatat sisältävä vektori.
Määritelmä 7.5.2
Olkoon funktiolla f:Rn→R kaikki osittaisderivaatat pisteessä x. Vektoria
kutsutaan funktion f gradientiksi (gradient) pisteessä x. (∇ luetaan ”nabla”.)
Suunnattu derivaatta yksikkövektorin e suuntaan pisteessä x voidaan laskea gradientin avulla kaavalla
Huomaa, että suunnatun derivaatan laskennassa käytettävää suuntaa ei useinkaan anneta suoraan yksikkösuuntana, vaan suuntavektorin u pituus on jotain muuta kuin 1. Tällöin yksikkövektori saadaan normeeraamalla,
Esimerkki 7.5.3
Laske funktion f(x,y,z)=x3−xy2−z hetkellinen muutosnopeus, kun pisteestä p=(1,1,0) lähdetään kulkemaan vektorin u=2i−3j+6k osoittamaan suuntaan.
On laskettava suunnattu derivaatta yksikkövektorin
suuntaan. Koska
niin
Funktio siis kasvaa hetkellisesti 4/7 verran pituusyksikköä kohden lähdettäessä vektorin u suuntaisesti pisteestä p.
Esimerkki 7.5.4
Tarkastellaan tilannetta, jossa ilmakehän lämpötila pisteessä (x,y,z) (km) on
ja sääluotaimen paikka hetkellä t (h) on annettu parametrisoituna käyränä
Laske sääluotaimen kokema lämpötilan muutosnopeus paikan suhteen ajanhetkellä t=1/2.
Funktion r derivaatta on r′(t)=(1,2,1−2t). Hetkellä t=1/2 luotaimen paikka on r(1/2)=(1/2,1,1/4)=:p ja kulkusuunta käyrän tangenttisuunta r′(1/2)=(1,2,0)=:u. Normeerataan u ja lasketaan gradientti. Nyt
ja
Kysytty muutosnopeus on
Gradientti ei ole suinkaan vain suunnatun derivaatan laskennallinen apukeino, vaan kertoo myös sen ääriarvoista. Todistus sivuutetaan.
Lause 7.5.5 (Gradientin geometrinen tulkinta)
Olkoon f:Rn→R differentioituva pisteessä x.
- Funktion f suunnatun derivaatan maksimiarvo pisteessä x on ‖∇f(x)‖ ja se saavutetaan gradientin ∇f(x) suunnassa.
- Funktio f vähenee nopeimmin gradientille vastakkaiseen suuntaan −∇f(x), jossa suunnassa kasvunopeus on −‖∇f(x)‖.
- Gradienttia vastaan kohtisuorissa suunnissa funktion paikallinen kasvunopeus on 0.
Toisin sanoen kussakin pisteessä gradienttivektori ilmoittaa suunnan, johon siirryttäessä funktio kasvaa paikallisesti (eli tehtäessä ”pieni” siirtymä) nopeimmin ja gradienttivektorin pituus ilmoittaa paikallisen kasvunopeuden kyseessä olevassa suunnassa.
Esimerkki 7.5.6
Esimerkissä 7.5.4 luotain kulkee pisteessä p=(1/2,1,1/4) suuntaan (1,2,0), jolloin sen kokema lämpötilan muutosnopeus on noin 0,72 ∘C/km. Mihin suuntaan pisteestä p pitäisi lähteä, jotta lämpötila kasvaisi mahdollisimman nopeasti? Mikä olisi tällöin lämpötilan muutosnopeus?
Olisi lähdettävä suuntaan
jolloin muutosnopeus olisi
Esimerkki 7.5.7
Olkoon tunturin korkeus pisteessä (x,y) (m)
Retkeilijä on huipun lähellä pisteessä (200,300).
- Mihin suuntaan rinne nousee jyrkimmin?
- Missä suunnissa ei ole nousua?
Funktion f gradientti on
joten nopeimman kasvun suunta on
Kasvunopeus on
Kasvunopeus on nolla gradienttia vastaan kohtisuorissa suunnissa, eli tässä tapauksessa vektorin
virittämässä suunnassa.