$$\newcommand{\N}{\mathbb N} \newcommand{\Z}{\mathbb Z} \newcommand{\Q}{\mathbb Q} \newcommand{\R}{\mathbb R} \newcommand{\C}{\mathbb C} \newcommand{\ba}{\mathbf{a}} \newcommand{\bb}{\mathbf{b}} \newcommand{\bc}{\mathbf{c}} \newcommand{\bd}{\mathbf{d}} \newcommand{\be}{\mathbf{e}} \newcommand{\bff}{\mathbf{f}} \newcommand{\bh}{\mathbf{h}} \newcommand{\bi}{\mathbf{i}} \newcommand{\bj}{\mathbf{j}} \newcommand{\bk}{\mathbf{k}} \newcommand{\bN}{\mathbf{N}} \newcommand{\bn}{\mathbf{n}} \newcommand{\bo}{\mathbf{0}} \newcommand{\bp}{\mathbf{p}} \newcommand{\bq}{\mathbf{q}} \newcommand{\br}{\mathbf{r}} \newcommand{\bs}{\mathbf{s}} \newcommand{\bT}{\mathbf{T}} \newcommand{\bu}{\mathbf{u}} \newcommand{\bv}{\mathbf{v}} \newcommand{\bw}{\mathbf{w}} \newcommand{\bx}{\mathbf{x}} \newcommand{\by}{\mathbf{y}} \newcommand{\bz}{\mathbf{z}} \newcommand{\bzero}{\mathbf{0}} \newcommand{\nv}{\mathbf{0}} \newcommand{\cA}{\mathcal{A}} \newcommand{\cB}{\mathcal{B}} \newcommand{\cC}{\mathcal{C}} \newcommand{\cD}{\mathcal{D}} \newcommand{\cE}{\mathcal{E}} \newcommand{\cF}{\mathcal{F}} \newcommand{\cG}{\mathcal{G}} \newcommand{\cH}{\mathcal{H}} \newcommand{\cI}{\mathcal{I}} \newcommand{\cJ}{\mathcal{J}} \newcommand{\cK}{\mathcal{K}} \newcommand{\cL}{\mathcal{L}} \newcommand{\cM}{\mathcal{M}} \newcommand{\cN}{\mathcal{N}} \newcommand{\cO}{\mathcal{O}} \newcommand{\cP}{\mathcal{P}} \newcommand{\cQ}{\mathcal{Q}} \newcommand{\cR}{\mathcal{R}} \newcommand{\cS}{\mathcal{S}} \newcommand{\cT}{\mathcal{T}} \newcommand{\cU}{\mathcal{U}} \newcommand{\cV}{\mathcal{V}} \newcommand{\cW}{\mathcal{W}} \newcommand{\cX}{\mathcal{X}} \newcommand{\cY}{\mathcal{Y}} \newcommand{\cZ}{\mathcal{Z}} \newcommand{\rA}{\mathrm{A}} \newcommand{\rB}{\mathrm{B}} \newcommand{\rC}{\mathrm{C}} \newcommand{\rD}{\mathrm{D}} \newcommand{\rE}{\mathrm{E}} \newcommand{\rF}{\mathrm{F}} \newcommand{\rG}{\mathrm{G}} \newcommand{\rH}{\mathrm{H}} \newcommand{\rI}{\mathrm{I}} \newcommand{\rJ}{\mathrm{J}} \newcommand{\rK}{\mathrm{K}} \newcommand{\rL}{\mathrm{L}} \newcommand{\rM}{\mathrm{M}} \newcommand{\rN}{\mathrm{N}} \newcommand{\rO}{\mathrm{O}} \newcommand{\rP}{\mathrm{P}} \newcommand{\rQ}{\mathrm{Q}} \newcommand{\rR}{\mathrm{R}} \newcommand{\rS}{\mathrm{S}} \newcommand{\rT}{\mathrm{T}} \newcommand{\rU}{\mathrm{U}} \newcommand{\rV}{\mathrm{V}} \newcommand{\rW}{\mathrm{W}} \newcommand{\rX}{\mathrm{X}} \newcommand{\rY}{\mathrm{Y}} \newcommand{\rZ}{\mathrm{Z}} \newcommand{\pv}{\overline} \newcommand{\iu}{\mathrm{i}} \newcommand{\ju}{\mathrm{j}} \newcommand{\im}{\mathrm{i}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \newcommand{\real}{\operatorname{Re}} \newcommand{\imag}{\operatorname{Im}} \newcommand{\Arg}{\operatorname{Arg}} \newcommand{\Ln}{\operatorname{Ln}} \DeclareMathOperator*{\res}{res} \newcommand{\re}{\operatorname{Re}} \newcommand{\im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\arsinh}{\operatorname{ar\,sinh}} \newcommand{\arcosh}{\operatorname{ar\,cosh}} \newcommand{\artanh}{\operatorname{ar\,tanh}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\proj}{\operatorname{proj}} \newcommand{\rref}{\operatorname{rref}} \newcommand{\rank}{\operatorname{rank}} \newcommand{\Span}{\operatorname{span}} \newcommand{\vir}{\operatorname{span}} \renewcommand{\dim}{\operatorname{dim}} \newcommand{\alg}{\operatorname{alg}} \newcommand{\geom}{\operatorname{geom}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\norm}[1]{\lVert #1 \rVert} \newcommand{\tp}[1]{#1^{\top}} \renewcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-15mu}#1}^{\,#2}} \newcommand{\abs}[1]{\lvert#1\rvert} \newcommand{\pysty}[1]{\left[\begin{array}{@{}r@{}}#1\end{array}\right]} \newcommand{\piste}{\cdot} \newcommand{\qedhere}{} \newcommand{\taumatrix}[1]{\left[\!\!#1\!\!\right]} \newenvironment{augmatrix}[1]{\left[\begin{array}{#1}}{\end{array}\right]} \newenvironment{vaugmatrix}[1]{\left|\begin{array}{#1}}{\end{array}\right|} \newcommand{\trans}{\mathrm{T}} \newcommand{\EUR}{\text{\unicode{0x20AC}}} \newcommand{\SI}[3][]{#2\,\mathrm{#3}} \newcommand{\si}[2][]{\mathrm{#2}} \newcommand{\num}[2][]{#2} \newcommand{\ang}[2][]{#2^{\circ}} \newcommand{\meter}{m} \newcommand{\metre}{\meter} \newcommand{\kilo}{k} \newcommand{\kilogram}{kg} \newcommand{\gram}{g} \newcommand{\squared}{^2} \newcommand{\cubed}{^3} \newcommand{\minute}{min} \newcommand{\hour}{h} \newcommand{\second}{s} \newcommand{\degreeCelsius}{^{\circ}C} \newcommand{\per}{/} \newcommand{\centi}{c} \newcommand{\milli}{m} \newcommand{\deci}{d} \newcommand{\percent}{\%} \newcommand{\Var}{\operatorname{Var}} \newcommand{\Cov}{\operatorname{Cov}} \newcommand{\Corr}{\operatorname{Corr}} \newcommand{\Tasd}{\operatorname{Tasd}} \newcommand{\Ber}{\operatorname{Ber}} \newcommand{\Bin}{\operatorname{Bin}} \newcommand{\Geom}{\operatorname{Geom}} \newcommand{\Poi}{\operatorname{Poi}} \newcommand{\Hyperg}{\operatorname{Hyperg}} \newcommand{\Tas}{\operatorname{Tas}} \newcommand{\Exp}{\operatorname{Exp}} \newcommand{\tdist}{\operatorname{t}} \newcommand{\rd}{\mathrm{d}}$$

Alkeisfunktioiden derivaatat

Tutkitaan nyt luvussa 3.1 esiteltyjen alkeisfunktioiden derivointia. Matemaattisesta näkökulmasta perustelluinta on lähteä liikeelle eksponenttifunktion derivaatasta, sillä sen avulla voidaan johtaa logaritmifunktioiden ja yleisen potenssifunktion derivaatat. Tämän jälkeen esitellään trigonometristen ja hyperbolisten funktioiden sekä niiden käänteisfunktioiden derivaatat. Derivointisääntöjä ja -kaavoja on koottu liitetaulukkoon.

Lause 5.3.1

$D(e^x)=e^x$.

Piilota/näytä todistus

Tutkitaan ensin pisteen $x = 0$ erotusosamäärää

$$\frac{e^{0+h}-e^0}{h}=\frac{e^h-1}{h},$$

kun $0<h<1$. Valitaan sellainen luonnollinen luku $n > 1$, joka toteuttaa epäyhtälöt

$$\frac{1}{n+1}<h\le\frac{1}{n},$$

jolloin eksponenttifunktion aidosti kasvavuuden nojalla

$$e^{1/(n + 1)} < e^{h} \leq e^{1/n}.$$

Neperin luku $e$ toteuttaa epäyhtälöt

$$\left(1 + \frac{1}{k}\right)^{k} < e\qquad\text{ja}\qquad \left(1 - \frac{1}{k}\right)^{k} < \frac{1}{e}$$

jokaisella luonnollisella luvulla $k$, joten erityisesti

$$\left(1+\frac{1}{n+1}\right)^{n+1}<e\qquad\text{ja}\qquad \left(1 - \frac{1}{n}\right)^{n} < \frac{1}{e},$$

ja näistä voidaan edelleen ratkaista epäyhtälöt

$$\frac{1}{n + 1} < e^{1/(n + 1)} - 1\qquad\text{ja}\qquad e^{1/n} - 1 < \frac{1}{n - 1}.$$

Vertaamalla aiempaan epäyhtälöön nähdään, että

$$\frac{1}{n+1}<e^{1/(n+1)}-1<e^h-1\le e^{1/n}-1<\frac{1}{n-1},$$

ja siten edelleen

$$\frac{n}{n+1}<\frac{e^h-1}{h}<\frac{n+1}{n-1}.$$

Kun $h\to0+$, niin luvun $n$ valinnan perusteella $n\to\infty$. Samalla erotusosamäärää rajaavat lausekkeet lähestyvät lukua $1$, joten kuristusperiaatteen nojalla

$$\lim_{h\to0+}\frac{e^h-1}{h}=1.$$

Vastaavasti perustellen myös erotusosamäärän vasemmanpuoleinen raja-arvo on $1$ ja täten

$$\lim_{h\to0}\frac{e^h-1}{h}=1.$$

Erotusosamäärä pisteessä $x$ toteuttaa nyt halutun ehdon, sillä

$$\frac{e^{x+h}-e^x}{h} =\frac{e^xe^h-e^x}{h} =e^x\left(\frac{e^h-1}{h}\right)\to e^x\cdot1=e^x,$$

kun $h \to 0$.

Esimerkki 5.3.2

1. $D\big(e^{3x^2}\big)=e^{3x^2}D\left(3x^2\right)=6xe^{3x^2}$.
2. $\displaystyle D\left(\sqrt{1+e^{2x}}\right)=\frac{D(1+e^{2x})}{2\sqrt{1+e^{2x}}}=\frac{2e^{2x}}{2\sqrt{1+e^{2x}}}=\frac{e^{2x}}{\sqrt{1+e^{2x}}}$.

Lause 5.3.3

$D(\ln x)=\dfrac{1}{x}$.

Piilota/näytä todistus

Funktion $f(x)=\ln x$ käänteisfunktio on $f^{-1}(y)=e^y$, joten käänteisfunktion derivoimissäännön mukaan

$$D_x(\ln x)=\frac{1}{D_y(e^y)}=\frac{1}{e^y}=\frac{1}{e^{\ln x}}=\frac{1}{x}.\qedhere$$

Esimerkki 5.3.4

Osoita, että Neperin luku $\displaystyle e = \lim_{x \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{x} \right)^{x}$.

Piilota/näytä ratkaisu

Eksponenttifunktio $\left( 1 + \frac{1}{x} \right)^{x}$ on määritelty joukossa $\left( -\infty, 0 \right)\cup\left( 0, \infty \right)$, joten se on myös jatkuva tässä joukkossa. Myös funktio $e^{x} = \exp(x)$ on jatkuva samassa joukossa ja yhdistetyn funktion jatkuvudella saadaan

$$\begin{split}\begin{aligned} \lim_{x\to \infty} \left( 1 + \frac{1}{x} \right)^{x} &= \lim_{x \to \infty} \exp\left({\ln\left( 1 + \frac{1}{x} \right)^{x}}\right) \\ &= \exp\left({\lim_{x \to \infty} \ln\left( 1 + \frac{1}{x} \right)^{x}}\right)\\ &= \exp\left({\lim_{x \to \infty} x\ln\left( 1 + \frac{1}{x} \right) }\right). \end{aligned}\end{split}$$

Tutkitaan eksponentin raja-arvoa ja hyödynnetään tietoa kun $x \to \infty$, niin $h = \frac{1}{x} \to 0$. Saadaan siis

$$\begin{aligned} \lim_{x \to \infty} x\ln\left( 1 + \frac{1}{x} \right) = \lim_{h \to 0} \frac{1}{h}\ln\left( 1 + h \right) = \lim_{h \to 0} \frac{\ln\left( 1 + h \right) - 0}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\ln\left( 1 + h \right) - \ln 1}{h} .\end{aligned}$$

Itse asiassa viimeinen lauseke on juuri funktion $\ln$ erotusosamaarän raja-arvo kohdassa $x = 1$. Aikaisemmin todettiin, että $D\ln x = \frac{1}{x}$, josta saadaan

$$\lim_{x \to \infty} \left( x\ln\left( 1 + \frac{1}{x} \right) \right) = \lim_{h \to 0} \frac{\ln\left( 1 + h \right) - \ln 1}{h} = \frac{1}{1} = 1.$$

Siis

$$\lim_{x \to \infty}\left( 1 + \frac{1}{x} \right)^{x} = \exp\left( \lim_{x\to \infty} x\ln\left( 1 + \frac{1}{x} \right) \right) = e^{1} = e.\qedhere$$

Edellisessä esimerkissä todistettiin, että

$$e = \displaystyle \lim_{x\to\infty} \left(1+\frac{1}{x}\right)^x.$$

Mietitään vielä vähän perusteluita todistuksen osille.

Todistuksen alkupuolella esitetään matemaattisten merkkien rivi, tai pikemminkin kolme riviä, joilla lauseketta $\lim_{x\to\infty} \left(1+\frac{1}{x}\right)^x$ on muokattu erilaiseen muotoon. Jokaisen kolmen yhtäsuuruusmerkin kohdalla käytetään yhtä laskusääntöä. Valitse ne kolme sääntöä, jotka ovat tämän muokkauksen aikana käytössä.

Kysymys 1

Ensimmäinen yhtäsuuruus pätee, sillä mille tahansa kääntyvälle funktiolle

funktion ja sen käänteisfunktion yhdistetty funktio palauttaa sen arvon, joka sisäfunktioon syötettiin,

funktion ja sen käänteisfunktion tulo palauttaa sen arvon, joka ensimmäiseen tulon tekijään syötettiin,

funktion ja sen käänteisfunktion tulo palauttaa sen arvon, joka jälkimmäiseen tulon tekijään syötettiin.

Kysymys 2

Toinen yhtäsuuruus pätee, sillä raja-arvo yhdistetystä funktiosta on sama kuin

sisäfunktion raja-arvon ja ulkofunktion raja-arvon tulo,

sisäfunktion arvo otettuna pisteessä, joka on ulkofunktion raja-arvo,

ulkofunktion arvo otettuna pisteessä, joka on sisäfunktion raja-arvo.

Kysymys 3

Kolmas yhtäsuuruus pätee, sillä

logaritmi potenssifunktiosta on eksponentti kertaa logaritmi kantaluvusta,

logaritmi eksponenttifunktiosta on kantaluku kertaa logaritmi potenssista,

logaritmi kantalukufunktiosta on potenssi kertaa logaritmi kantaluvusta.

Todistuksen keskellä on matemaattisten merkkien rivi, jolla tehdään muuttujanvaihto $h=\frac{1}{x}$. Siinä yhteydessä viimeisen yhtäsuuruusmerkin jälkeen nolla on muutettu muotoon $\ln(1)$.

Kysymys 4

Mikä seuraavista kysymyksistä tuottaa aina saman vastauksen kuin kysymys ”Mikä on logaritmi luvusta $x$”?

Mihin potenssiin on luku $x$ korotettava, jotta saadaan tulokseksi $e$?

Mihin potenssiin on luku $e$ korotettava, jotta saadaan tulokseksi $x$?

Mihin potenssiin on luonnollinen logaritmi korotettava, jotta saadaan tulokseksi $e^x$?

Kysymys 5

Millä perusteella todistuksen toiseksi viimeisellä matemaattisten merkkien rivillä on voimassa yhtälö

$$\lim_{h\to 0} \frac{\ln(1+h)-\ln{1}}{h} = \frac{1}{1}?$$

Koska siinä lasketaan logaritmifunktion raja-arvo pisteessä $1$.

Koska siinä lasketaan logaritmifunktion derivaatta pisteessä $1$.

Koska siinä lasketaan logaritmifunktion erotusosamäärä pisteessä $1$.

Lause 5.3.5

$D\left(a^x\right)=a^x\ln a$ ja $D\left(\log_ax\right)=\dfrac{1}{x\ln a}$, kun $a > 0$ ja $a \neq 1$.

Piilota/näytä todistus

Kun $a > 0$ ja $a \not= 1$, eksponentti- ja logaritmifunktioiden kannanvaihtokaavojen avulla saadaan

$$\begin{split}\begin{aligned} D\left(a^x\right)&=D\left(e^{x\ln a}\right)=e^{x\ln a}D(x\ln a)=a^x\ln a \\ D\left(\log_ax\right)&=D\left(\frac{\ln x}{\ln a}\right)=\frac{D(\ln x)}{\ln a}=\frac{1}{x\ln a}. \end{aligned}\end{split}$$

Lause 5.3.6

$D\left(x^a\right)=ax^{a-1}$, kun $a \in \R$ ja $x > 0$.

Piilota/näytä todistus

Yleisen potenssifunktion määritelmän mukaan

$$D\left(x^a\right)=D\left(e^{a\ln x}\right)=e^{a\ln x}D(a\ln x)=x^a\left(\frac{a}{x}\right)=ax^{a-1}.\qedhere$$

Esimerkki 5.3.7

1. $D(3^{x^2})=3^{x^2}\ln 3D(x^2)=2x3^{x^2}\ln 3$.
2. $D\ln\left(\sqrt{1+x^2}\right)=\dfrac{D\left(\sqrt{1+x^2}\right)}{\sqrt{1+x^2}}=\dfrac{D(1+x^2)}{2\sqrt{1+x^2}\sqrt{1+x^2}}=\dfrac{x}{1+x^2}$.
3. $D(\ln(\ln x))=\dfrac{D(\ln x)}{\ln x}=\dfrac{1}{x\ln x}$.
4. $D\left(e^{x^e}\right)=e^{x^e}D(x^e)=ex^{e-1}e^{x^e}$.

Lause 5.3.8

Trigonometriset funktiot ovat derivoituvia määrittelyjoukoissaan ja

$$\begin{aligned} D(\sin x)=\cos x, \quad D(\cos x)=-\sin x,\quad D(\tan x)=1+\tan^2x=\frac{1}{\cos^2x}. \end{aligned}$$

Piilota/näytä todistus

Kirjoitetaan erotusosamäärä sinille ja käytetään sinin summakaavaa, lauseen 4.2.13 tulosta

$$\lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x} = 1$$

ja siihen liittyvän esimerkin 4.2.14 tulosta. Tällöin

$$\begin{split}\begin{aligned} \frac{\sin(x+h)-\sin x}{h} &=\frac{\sin x\cos h+\sin h\cos x-\sin x}{h}\\ &=-\sin x\left(\frac{1-\cos h}{h}\right)+\cos x\left(\frac{\sin h}{h}\right)\\ &\to-\sin x\cdot0+\cos x\cdot1=\cos x, \end{aligned}\end{split}$$

kun $h \to 0$. Ennen kosinin derivointikaavan johtamista kirjoitetaan palautuskaavan mukaisesti $\cos x = \sin\left(\frac{\pi}{2} - x\right)$ ja $\sin x = \cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right)$, jolloin ketjusäännön nojalla

$$D(\cos x) = D\left(\sin\left(\frac{\pi}{2} - x\right)\right) = \cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right)D\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = -\sin x.$$

Tangentin derivointikaava saadaan osamäärän derivoimissäännöllä. Määritelmään nojaten

$$D(\tan x)=D\left(\frac{\sin x}{\cos x}\right)=\frac{\cos^2x+\sin^2x}{\cos^2x}=\frac{1}{\cos^2x},$$

missä viimeinen vaihe voidaan sieventää myös

$$\frac{\cos^2x+\sin^2x}{\cos^2x}=1+\left(\frac{\sin x}{\cos x}\right)^2=1+\tan^2x.\qedhere$$

Lause 5.3.9

Arkusfunktioiden derivaatat ja niiden määrittelyjoukot ovat kuten alla.

$$\begin{split}\begin{aligned} D(\arcsin x)&=\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}} && (-1<x<1)\\ D(\arccos x)&=-\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}} && (-1<x<1)\\ D(\arctan x)&=\dfrac{1}{1+x^2} && (x\in\R) \end{aligned}\end{split}$$

Piilota/näytä todistus

Funktiolla $y=\sin x$ on välillä $\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]$ käänteisfunktio $x=\arcsin y$. Välillä $(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$, joka kuvautuu sinifunktiossa joukolle $(-1,1)$, on $D\sin x=\cos x\ne0$, joten käänteisfunktion derivoimissäännön mukaan

$$D_y(\arcsin y)=\frac{1}{D_x(\sin x)}=\frac{1}{\cos x}=\frac{1}{\sqrt{1-\sin^2x}}=\frac{1}{\sqrt{1-y^2}}.$$

Tässä toiseksi viimeinen vaihe seuraa kaavasta $\sin^2x+\cos^2x=1$, kun havaitaan että $\cos x>0$, kun $x\in\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)$. Vastaavalla tavoin voidaan päätellä derivoimiskaavat arkuskosinille ja arkustangentille.

Lause 5.3.10

Hyperboliset funktiot ovat derivoituvia määrittelyjoukoissaan, ja

$$\begin{split}\begin{aligned} D(\sinh x) &= \cosh x, \\ D(\cosh x) &= \sinh x, \\ D(\tanh x) &= \frac{1}{\cosh^2 x}. \end{aligned}\end{split}$$

Piilota/näytä todistus

Väite seuraa suoraan hyperbolisten funktioiden määritelmistä. Esimerkiksi hyperbolisen kosinin derivaatta

$$D(\cosh x) = D\left(\frac{e^x + e^{-x}}{2}\right) = \frac{D(e^x) + D(e^{-x})}{2} = \frac{e^x - e^{-x}}{2} = \sinh x.\qedhere$$

Lause 5.3.11

Areafunktioiden derivaatat ja niiden määrittelyjoukot ovat kuten alla.

$$\begin{split}\begin{aligned} D(\arsinh x) &= \frac{1}{\sqrt{1 + x^2}} && (x \in \R) \\ D(\arcosh x) &= \frac{1}{\sqrt{x^2 - 1}} && (x > 1) \\ D(\artanh x) &= \frac{1}{1 - x^2} && (-1 < x < 1) \end{aligned}\end{split}$$

Piilota/näytä todistus

Väite seuraa suoraan derivoimalla areafunktioille kehitetyt kaavat. Esimerkiksi areakosinin derivaatta

$$D(\arcosh x)=D\left(\ln\left(x+\sqrt{x^2-1}\right)\right) = \frac{D\left(x + \sqrt{x^2 - 1}\right)}{x + \sqrt{x^2 - 1}} = \frac{\frac{\sqrt{x^2 - 1} + x}{\sqrt{x^2 - 1}}}{x + \sqrt{x^2 - 1}} = \frac{1}{\sqrt{x^2 - 1}},$$

kun $x > 1$.

Palautusta lähetetään...