$$\newcommand{\N}{\mathbb N} \newcommand{\Z}{\mathbb Z} \newcommand{\Q}{\mathbb Q} \newcommand{\R}{\mathbb R} \newcommand{\C}{\mathbb C} \newcommand{\ba}{\mathbf{a}} \newcommand{\bb}{\mathbf{b}} \newcommand{\bc}{\mathbf{c}} \newcommand{\bd}{\mathbf{d}} \newcommand{\be}{\mathbf{e}} \newcommand{\bff}{\mathbf{f}} \newcommand{\bh}{\mathbf{h}} \newcommand{\bi}{\mathbf{i}} \newcommand{\bj}{\mathbf{j}} \newcommand{\bk}{\mathbf{k}} \newcommand{\bN}{\mathbf{N}} \newcommand{\bn}{\mathbf{n}} \newcommand{\bo}{\mathbf{0}} \newcommand{\bp}{\mathbf{p}} \newcommand{\bq}{\mathbf{q}} \newcommand{\br}{\mathbf{r}} \newcommand{\bs}{\mathbf{s}} \newcommand{\bT}{\mathbf{T}} \newcommand{\bu}{\mathbf{u}} \newcommand{\bv}{\mathbf{v}} \newcommand{\bw}{\mathbf{w}} \newcommand{\bx}{\mathbf{x}} \newcommand{\by}{\mathbf{y}} \newcommand{\bz}{\mathbf{z}} \newcommand{\bzero}{\mathbf{0}} \newcommand{\nv}{\mathbf{0}} \newcommand{\cA}{\mathcal{A}} \newcommand{\cB}{\mathcal{B}} \newcommand{\cC}{\mathcal{C}} \newcommand{\cD}{\mathcal{D}} \newcommand{\cE}{\mathcal{E}} \newcommand{\cF}{\mathcal{F}} \newcommand{\cG}{\mathcal{G}} \newcommand{\cH}{\mathcal{H}} \newcommand{\cI}{\mathcal{I}} \newcommand{\cJ}{\mathcal{J}} \newcommand{\cK}{\mathcal{K}} \newcommand{\cL}{\mathcal{L}} \newcommand{\cM}{\mathcal{M}} \newcommand{\cN}{\mathcal{N}} \newcommand{\cO}{\mathcal{O}} \newcommand{\cP}{\mathcal{P}} \newcommand{\cQ}{\mathcal{Q}} \newcommand{\cR}{\mathcal{R}} \newcommand{\cS}{\mathcal{S}} \newcommand{\cT}{\mathcal{T}} \newcommand{\cU}{\mathcal{U}} \newcommand{\cV}{\mathcal{V}} \newcommand{\cW}{\mathcal{W}} \newcommand{\cX}{\mathcal{X}} \newcommand{\cY}{\mathcal{Y}} \newcommand{\cZ}{\mathcal{Z}} \newcommand{\rA}{\mathrm{A}} \newcommand{\rB}{\mathrm{B}} \newcommand{\rC}{\mathrm{C}} \newcommand{\rD}{\mathrm{D}} \newcommand{\rE}{\mathrm{E}} \newcommand{\rF}{\mathrm{F}} \newcommand{\rG}{\mathrm{G}} \newcommand{\rH}{\mathrm{H}} \newcommand{\rI}{\mathrm{I}} \newcommand{\rJ}{\mathrm{J}} \newcommand{\rK}{\mathrm{K}} \newcommand{\rL}{\mathrm{L}} \newcommand{\rM}{\mathrm{M}} \newcommand{\rN}{\mathrm{N}} \newcommand{\rO}{\mathrm{O}} \newcommand{\rP}{\mathrm{P}} \newcommand{\rQ}{\mathrm{Q}} \newcommand{\rR}{\mathrm{R}} \newcommand{\rS}{\mathrm{S}} \newcommand{\rT}{\mathrm{T}} \newcommand{\rU}{\mathrm{U}} \newcommand{\rV}{\mathrm{V}} \newcommand{\rW}{\mathrm{W}} \newcommand{\rX}{\mathrm{X}} \newcommand{\rY}{\mathrm{Y}} \newcommand{\rZ}{\mathrm{Z}} \newcommand{\pv}{\overline} \newcommand{\iu}{\mathrm{i}} \newcommand{\ju}{\mathrm{j}} \newcommand{\im}{\mathrm{i}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \newcommand{\real}{\operatorname{Re}} \newcommand{\imag}{\operatorname{Im}} \newcommand{\Arg}{\operatorname{Arg}} \newcommand{\Ln}{\operatorname{Ln}} \DeclareMathOperator*{\res}{res} \newcommand{\re}{\operatorname{Re}} \newcommand{\im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\arsinh}{\operatorname{ar\,sinh}} \newcommand{\arcosh}{\operatorname{ar\,cosh}} \newcommand{\artanh}{\operatorname{ar\,tanh}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\proj}{\operatorname{proj}} \newcommand{\rref}{\operatorname{rref}} \newcommand{\rank}{\operatorname{rank}} \newcommand{\Span}{\operatorname{span}} \newcommand{\vir}{\operatorname{span}} \renewcommand{\dim}{\operatorname{dim}} \newcommand{\alg}{\operatorname{alg}} \newcommand{\geom}{\operatorname{geom}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\norm}[1]{\lVert #1 \rVert} \newcommand{\tp}[1]{#1^{\top}} \renewcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-15mu}#1}^{\,#2}} \newcommand{\abs}[1]{\lvert#1\rvert} \newcommand{\pysty}[1]{\left[\begin{array}{@{}r@{}}#1\end{array}\right]} \newcommand{\piste}{\cdot} \newcommand{\qedhere}{} \newcommand{\taumatrix}[1]{\left[\!\!#1\!\!\right]} \newenvironment{augmatrix}[1]{\left[\begin{array}{#1}}{\end{array}\right]} \newenvironment{vaugmatrix}[1]{\left|\begin{array}{#1}}{\end{array}\right|} \newcommand{\trans}{\mathrm{T}} \newcommand{\EUR}{\text{\unicode{0x20AC}}} \newcommand{\SI}[3][]{#2\,\mathrm{#3}} \newcommand{\si}[2][]{\mathrm{#2}} \newcommand{\num}[2][]{#2} \newcommand{\ang}[2][]{#2^{\circ}} \newcommand{\meter}{m} \newcommand{\metre}{\meter} \newcommand{\kilo}{k} \newcommand{\kilogram}{kg} \newcommand{\gram}{g} \newcommand{\squared}{^2} \newcommand{\cubed}{^3} \newcommand{\minute}{min} \newcommand{\hour}{h} \newcommand{\second}{s} \newcommand{\degreeCelsius}{^{\circ}C} \newcommand{\per}{/} \newcommand{\centi}{c} \newcommand{\milli}{m} \newcommand{\deci}{d} \newcommand{\percent}{\%} \newcommand{\Var}{\operatorname{Var}} \newcommand{\Cov}{\operatorname{Cov}} \newcommand{\Corr}{\operatorname{Corr}} \newcommand{\Tasd}{\operatorname{Tasd}} \newcommand{\Ber}{\operatorname{Ber}} \newcommand{\Bin}{\operatorname{Bin}} \newcommand{\Geom}{\operatorname{Geom}} \newcommand{\Poi}{\operatorname{Poi}} \newcommand{\Hyperg}{\operatorname{Hyperg}} \newcommand{\Tas}{\operatorname{Tas}} \newcommand{\Exp}{\operatorname{Exp}} \newcommand{\tdist}{\operatorname{t}} \newcommand{\rd}{\mathrm{d}}$$

Korkeammat derivaatat

Jos derivoituvan funktion $f$ derivaatta $f'$ on sekin derivoituva, niin derivaattaa $D(f'(x))$ kutsutaan funktion $f$ toiseksi derivaataksi ja merkitään

$$f''(x)=f^{(2)}(x)=D(f'(x)).$$

Vastaavasti määritellään $f$:n kolmas derivaatta

$$f^{(3)}(x)=D(f''(x)),$$

ja yleisesti $n$:s derivaatta

$$f^{(n)}(x)=D(f^{(n-1)}(x)).$$

Huomaa, että korkeampien derivaattojen numerolla tai kirjaimella $n$ esitetty yläindeksimerkintä laitetaan aina sulkuihin erotukseksi potenssiin korotuksesta.

Esimerkki 5.7.1

Lasketaan funktion $f(x)=x^3+x^{3/2}$ neljä ensimmäistä derivaattaa.

$$\begin{split}\begin{aligned} f'(x)&=3x^2+\frac32x^{1/2}\\ f''(x)&=6x+\frac34x^{-1/2}\\ f^{(3)}(x)&=6-\frac38x^{-3/2}\\ f^{(4)}(x)&=\frac{9}{16}x^{-5/2} \end{aligned}\end{split}$$

Korkeampia derivaattoja käytetään esimerkiksi funktion approksimointiin Taylorin polynomeilla, jotka parantavat lineaarista approksimaatiota. Toisen derivaatan avulla voidaan lisäksi tutkia derivaattafunktion kulkua ja tehdä tarkempia päätelmiä myös funktion $f$ käyttäytymisestä.

Lause 5.7.2

Olkoon $f$ kahdesti derivoituva välillä $(a,b)$ ja olkoon välin $(a,b)$ piste $c$ funktion $f$ kriittinen piste, eli $f'(c)=0$.

1. Jos $f''(x)>0$ välillä $(a,b)$, niin $c$ on funktion $f$ lokaali minimipiste.
2. Jos $f''(x)<0$ välillä $(a,b)$, niin $c$ on funktion $f$ lokaali maksimipiste.

Piilota/näytä todistus

Jos $f''(x)>0$, niin lauseen 5.6.14 nojalla funktio $f'$ on aidosti kasvava välillä $(a,b)$. Tämän vuoksi sen merkin on vaihduttava negatiivisesta positiiviseksi pisteessä $c$, ja $c$ on funktion $f$ lokaali minimipiste. Tapaus $f''(x)<0$ todistuu vastaavasti.

Esimerkki 5.7.3

Esimerkin 5.6.15 funktion $f(x)=x^3-3x+1$ derivaatalla $f'(x)=3x^2-3$ on nollakohdat pisteissä $\pm 1$. Toinen derivaatta $f''(x)=6x$ on negatiivinen pisteen $-1$ ja positiivinen pisteen $1$ ympäristössä, joten funktiolla $f$ on pisteissä $-1$ ja $1$ lokaalit maksimi- ja minimipisteet.

Määritelmä 5.7.4

Kahdesti derivoituva funktio $f$ on välillä $(a,b)$ alaspäin kupera eli konveksi (convex function), jos $f''(x)>0$ ja ylöspäin kupera eli konkaavi (concave function), jos $f''(x)<0$. Pistettä $x$, jossa kuperuussuunta eli toisen derivaatan merkki muuttuu, kutsutaan käännepisteeksi (inflection point).

Alaspäin kupera funktion $f$ kuvaaja kaareutuu aina ylöspäin ja funktion kuvaaja on minkä tahansa tangenttisuoransa yläpuolella, sillä $f'$ on kasvava funktio. Vastaavasti ylöspäin kuperan funktion derivaatta on vähenevä, joten funktion kuvaaja kaareutuu alaspäin ja funktion kuvaaja on minkä tahansa tangenttisuoransa alapuolella.

Esitellään seuraavaksi hyvä muistisääntö siihen, miten toisen derivaatan merkki vaikuttaa ääriarvon laatuun. Funktion kuvaajan ääriarvokohdan paikalle kannattaa kuvitella kasvot, jonka suun funktion kuvaaja muodostaa. Jos toinen derivaatta on positiivinen, nostaa se hymyn kasvoille ja tällöin kuvaajassa on lokaali minimipiste. Negatiivinen toinen derivaatta saa puolestaan suunpielet alaspäin, eli kuvaajaan muodostuu lokaali maksimipiste.

Esimerkki 5.7.5

Tarkastellaan funktiota $f(x)=\sin x$ välillä $(-\pi,\pi)$. Nyt $f'(x)=\cos x$ ja $f''(x)=-\sin x$. Toisen derivaatan arvo pisteessä $0$ on $f''(0) = 0$, ja samalla $f''$ vaihtaa merkkiä. Piste $0$ on siis funktion $f$ käännepiste, jossa funktio muuttuu alaspäin kuperasta ylöspäin kuperaksi.

Kysymys 1

Jos toisen asteen polynomi on kupera ylöspäin, niin sen kuvaaja on paraabeli, joka

avautuu ylöspäin,

avautuu alaspäin.

Kysymys 2

Kaikki kriittiset pisteet eivät ole ääriarvopisteitä, joten voidaan sanoa, että $f'(x)=0$ ei ole riittävä ehto ääriarvon olemassaololle pisteessä $x$. Toisaalta ehto $f'(x)=0$ ei ole myöskään välttämätön, sillä ääriarvoja voidaan saada myös määrittelyvälin päätepisteissä. Onko $f''(x)=0$ välttämätön tai riittävä ehto jatkuvan funktion kuperuuden suunnan muuttumiselle eli käännepisteen olemassaololle pisteessä $x$? Vihje: $x^4$.

Se on sekä välttämätön että riittävä ehto.

Se on välttämätön ehto, mutta ei riittävä.

Se on riittävä ehto, mutta ei välttämätön.

Se ei ole välttämätön eikä riittävä ehto.

Kysymys 3

Jos piste $x=a$ on funktion $f$ käännepiste, niin pisteeseen $(a, f(a))$ piirretty tangenttisuora

pysyy funktion $f$ kuvaajan yläpuolella,

leikkaa funktion $f$ kuvaajaa pisteessä $(a, f(a))$,

pysyy funktion $f$ kuvaajan alapuolella,

ei ole olemassa.

Palautusta lähetetään...