\newcommand{\N}{\mathbb N}
\newcommand{\Z}{\mathbb Z}
\newcommand{\Q}{\mathbb Q}
\newcommand{\R}{\mathbb R}
\newcommand{\C}{\mathbb C}
\newcommand{\ba}{\mathbf{a}}
\newcommand{\bb}{\mathbf{b}}
\newcommand{\bc}{\mathbf{c}}
\newcommand{\bd}{\mathbf{d}}
\newcommand{\be}{\mathbf{e}}
\newcommand{\bff}{\mathbf{f}}
\newcommand{\bh}{\mathbf{h}}
\newcommand{\bi}{\mathbf{i}}
\newcommand{\bj}{\mathbf{j}}
\newcommand{\bk}{\mathbf{k}}
\newcommand{\bN}{\mathbf{N}}
\newcommand{\bn}{\mathbf{n}}
\newcommand{\bo}{\mathbf{0}}
\newcommand{\bp}{\mathbf{p}}
\newcommand{\bq}{\mathbf{q}}
\newcommand{\br}{\mathbf{r}}
\newcommand{\bs}{\mathbf{s}}
\newcommand{\bT}{\mathbf{T}}
\newcommand{\bu}{\mathbf{u}}
\newcommand{\bv}{\mathbf{v}}
\newcommand{\bw}{\mathbf{w}}
\newcommand{\bx}{\mathbf{x}}
\newcommand{\by}{\mathbf{y}}
\newcommand{\bz}{\mathbf{z}}
\newcommand{\bzero}{\mathbf{0}}
\newcommand{\nv}{\mathbf{0}}
\newcommand{\cA}{\mathcal{A}}
\newcommand{\cB}{\mathcal{B}}
\newcommand{\cC}{\mathcal{C}}
\newcommand{\cD}{\mathcal{D}}
\newcommand{\cE}{\mathcal{E}}
\newcommand{\cF}{\mathcal{F}}
\newcommand{\cG}{\mathcal{G}}
\newcommand{\cH}{\mathcal{H}}
\newcommand{\cI}{\mathcal{I}}
\newcommand{\cJ}{\mathcal{J}}
\newcommand{\cK}{\mathcal{K}}
\newcommand{\cL}{\mathcal{L}}
\newcommand{\cM}{\mathcal{M}}
\newcommand{\cN}{\mathcal{N}}
\newcommand{\cO}{\mathcal{O}}
\newcommand{\cP}{\mathcal{P}}
\newcommand{\cQ}{\mathcal{Q}}
\newcommand{\cR}{\mathcal{R}}
\newcommand{\cS}{\mathcal{S}}
\newcommand{\cT}{\mathcal{T}}
\newcommand{\cU}{\mathcal{U}}
\newcommand{\cV}{\mathcal{V}}
\newcommand{\cW}{\mathcal{W}}
\newcommand{\cX}{\mathcal{X}}
\newcommand{\cY}{\mathcal{Y}}
\newcommand{\cZ}{\mathcal{Z}}
\newcommand{\rA}{\mathrm{A}}
\newcommand{\rB}{\mathrm{B}}
\newcommand{\rC}{\mathrm{C}}
\newcommand{\rD}{\mathrm{D}}
\newcommand{\rE}{\mathrm{E}}
\newcommand{\rF}{\mathrm{F}}
\newcommand{\rG}{\mathrm{G}}
\newcommand{\rH}{\mathrm{H}}
\newcommand{\rI}{\mathrm{I}}
\newcommand{\rJ}{\mathrm{J}}
\newcommand{\rK}{\mathrm{K}}
\newcommand{\rL}{\mathrm{L}}
\newcommand{\rM}{\mathrm{M}}
\newcommand{\rN}{\mathrm{N}}
\newcommand{\rO}{\mathrm{O}}
\newcommand{\rP}{\mathrm{P}}
\newcommand{\rQ}{\mathrm{Q}}
\newcommand{\rR}{\mathrm{R}}
\newcommand{\rS}{\mathrm{S}}
\newcommand{\rT}{\mathrm{T}}
\newcommand{\rU}{\mathrm{U}}
\newcommand{\rV}{\mathrm{V}}
\newcommand{\rW}{\mathrm{W}}
\newcommand{\rX}{\mathrm{X}}
\newcommand{\rY}{\mathrm{Y}}
\newcommand{\rZ}{\mathrm{Z}}
\newcommand{\pv}{\overline}
\newcommand{\iu}{\mathrm{i}}
\newcommand{\ju}{\mathrm{j}}
\newcommand{\im}{\mathrm{i}}
\newcommand{\e}{\mathrm{e}}
\newcommand{\real}{\operatorname{Re}}
\newcommand{\imag}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\Arg}{\operatorname{Arg}}
\newcommand{\Ln}{\operatorname{Ln}}
\DeclareMathOperator*{\res}{res}
\newcommand{\re}{\operatorname{Re}}
\newcommand{\im}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\arsinh}{\operatorname{ar\,sinh}}
\newcommand{\arcosh}{\operatorname{ar\,cosh}}
\newcommand{\artanh}{\operatorname{ar\,tanh}}
\newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}}
\newcommand{\diag}{\operatorname{diag}}
\newcommand{\proj}{\operatorname{proj}}
\newcommand{\rref}{\operatorname{rref}}
\newcommand{\rank}{\operatorname{rank}}
\newcommand{\Span}{\operatorname{span}}
\newcommand{\vir}{\operatorname{span}}
\renewcommand{\dim}{\operatorname{dim}}
\newcommand{\alg}{\operatorname{alg}}
\newcommand{\geom}{\operatorname{geom}}
\newcommand{\id}{\operatorname{id}}
\newcommand{\norm}[1]{\lVert #1 \rVert}
\newcommand{\tp}[1]{#1^{\top}}
\renewcommand{\d}{\mathrm{d}}
\newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-15mu}#1}^{\,#2}}
\newcommand{\abs}[1]{\lvert#1\rvert}
\newcommand{\pysty}[1]{\left[\begin{array}{@{}r@{}}#1\end{array}\right]}
\newcommand{\piste}{\cdot}
\newcommand{\qedhere}{}
\newcommand{\taumatrix}[1]{\left[\!\!#1\!\!\right]}
\newenvironment{augmatrix}[1]{\left[\begin{array}{#1}}{\end{array}\right]}
\newenvironment{vaugmatrix}[1]{\left|\begin{array}{#1}}{\end{array}\right|}
\newcommand{\trans}{\mathrm{T}}
\newcommand{\EUR}{\text{\unicode{0x20AC}}}
\newcommand{\SI}[3][]{#2\,\mathrm{#3}}
\newcommand{\si}[2][]{\mathrm{#2}}
\newcommand{\num}[2][]{#2}
\newcommand{\ang}[2][]{#2^{\circ}}
\newcommand{\meter}{m}
\newcommand{\metre}{\meter}
\newcommand{\kilo}{k}
\newcommand{\kilogram}{kg}
\newcommand{\gram}{g}
\newcommand{\squared}{^2}
\newcommand{\cubed}{^3}
\newcommand{\minute}{min}
\newcommand{\hour}{h}
\newcommand{\second}{s}
\newcommand{\degreeCelsius}{^{\circ}C}
\newcommand{\per}{/}
\newcommand{\centi}{c}
\newcommand{\milli}{m}
\newcommand{\deci}{d}
\newcommand{\percent}{\%}
\newcommand{\Var}{\operatorname{Var}}
\newcommand{\Cov}{\operatorname{Cov}}
\newcommand{\Corr}{\operatorname{Corr}}
\newcommand{\Tasd}{\operatorname{Tasd}}
\newcommand{\Ber}{\operatorname{Ber}}
\newcommand{\Bin}{\operatorname{Bin}}
\newcommand{\Geom}{\operatorname{Geom}}
\newcommand{\Poi}{\operatorname{Poi}}
\newcommand{\Hyperg}{\operatorname{Hyperg}}
\newcommand{\Tas}{\operatorname{Tas}}
\newcommand{\Exp}{\operatorname{Exp}}
\newcommand{\tdist}{\operatorname{t}}
\newcommand{\rd}{\mathrm{d}}
L’Hôpitalin sääntö
Raja-arvojen yhteydessä esiteltiin epämääräisiä muotoja. Jos raja-arvoa etsittäessä saadaan epämääräinen muoto \frac00 tai \frac{\infty}{\infty}, voidaan se yrittää määrittää derivointiin perustuvalla l’Hôpitalin säännöksi kutsutulla menetelmällä.
Lause 5.5.1 (l’Hôpitalin sääntö)
Olkoot f ja g derivoituvia funktioita ja g'(x)\ne0 jossakin pisteen a punkteeratussa ympäristössä. Jos
\lim_{x\to a}f(x)=0=\lim_{x\to a}g(x),
niin
\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)},
mikäli jälkimmäinen raja-arvo on olemassa. Vastaavat tulokset ovat voimassa myös tapauksissa a=\pm\infty ja \displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=\infty=\lim_{x\to a}g(x).
Piilota/näytä todistus
Rajoitutaan todistamaan väite siinä tapauksessa, kun f ja g ovat derivoituvia myös pisteessä a, g'(a)\ne0 ja f' ja g' ovat jatkuvia. Silloin f ja g ovat jatkuvia pisteessä a, joten oletuksen vuoksi on oltava f(a)=g(a)=0. Derivaatan määritelmän nojalla
\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}
=\frac{\lim\limits_{x\to a}f'(x)}{\lim\limits_{x\to a}g'(x)}
=\frac{f'(a)}{g'(a)}=\frac{\lim\limits_{x\to a}\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}}{\lim\limits_{x\to a}\dfrac{g(x)-g(a)}{x-a}}
=\lim_{x \to a}\frac{f(x)}{g(x)}\lim_{x \to a}\frac{x - a}{x - a}
=\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}.
Tässä toisessa välivaiheessa käytetään lausetta 5.6.18, joka todistetaan myöhemmin.
Esimerkki 5.5.2
- \displaystyle\lim_{x\to1}\frac{\ln x}{x^2-1} \stackrel{\frac{0}{0}}{=} \lim_{x\to 1} \frac{D_x(\ln x)}{D_x(x^2-1)} = \lim_{x\to1}\frac{\frac{1}{x}}{2x} =\lim_{x\to1}\frac{1}{2x^2} =\frac{1}{2}.
- \displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{\ln(2x)}{\ln x} \stackrel{\frac{\infty}{\infty}}{=} \lim_{x\to\infty}\frac{\frac{2}{2x}}{\frac{1}{x}} =\lim_{x\to\infty}1=1.
- \displaystyle\lim_{x\to0}\frac{x-\sin x}{x^3} \stackrel{\frac{0}{0}}{=} \lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{3x^2} \stackrel{\frac{0}{0}}{=} \lim_{x\to0}\frac{\sin x}{6x} \stackrel{\frac{0}{0}}{=} \lim_{x\to0}\frac{\cos x}{6} =\frac16.
Huomautus 5.5.3
- On syytä muistaa, että l’Hôpitalin sääntö sopii vain tapauksiin \frac00 tai \frac{\infty}{\infty}, ei esimerkiksi tapauksiin \frac01 tai \frac\infty0. Tarvittaessa funktion lauseketta voi muokata siten, että haluttu epämääräinen muoto syntyy suoralla sijoituksella, ja sen jälkeen soveltaa sääntöä.
- L’Hôpitalin säännössä esiintyvää derivaattojen osamäärän raja-arvoa varten lasketaan osoittajan ja nimittäjän derivaatat erikseen, eikä osamäärän derivaattaa.
- L’Hôpitalin sääntöä saa soveltaa toistuvasti, kunnes raja-arvo ei enää suoran sijoituksen jälkeen ole epämääräisessä muodossa (kts. edellisen esimerkin kohta 3).
Esimerkki 5.5.4
Olkoon n luonnollinen luku. Tutkitaan raja-arvoa \displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{e^x}{x^n} soveltamalla toistuvasti l’Hôpitalin sääntöä.
\begin{split}\begin{aligned}
&\lim_{x\to\infty}\frac{e^x}{x^n}
=\lim_{x\to\infty}\frac{e^x}{nx^{n-1}}
=\lim_{x\to\infty}\frac{e^x}{n(n-1)x^{n-2}}
=\lim_{x\to\infty}\frac{e^x}{n(n-1)(n-2)x^{n-3}}\\
&=\cdots
=\lim_{x\to\infty}\frac{e^x}{n(n-1)(n-2)\cdots 2x^1}
=\lim_{x\to\infty}\frac{e^x}{n(n-1)(n-2)\cdots 2\cdot1}
=\infty.
\end{aligned}\end{split}
Sama tulos on voimassa muillekin kuin reaaliluvun x kokonaislukueksponenteille,
\lim_{x\to\infty}\frac{e^x}{x^a}=\infty,
kun a > 0. Vastaasti voidaan osoittaa, että
\lim_{x\to\infty}\frac{x^a}{\ln x}=\infty,
kun a > 0.
Edellisen esimerkin vertailut antavat keinon asettaa eksponentti-, potenssi- ja logaritmifunktiot kasvunopeuden suhteen järjestykseen.
Huomautus 5.5.5
Olkoon a>0. Tällöin
- eksponenttifunktio e^x kasvaa nopeammin kuin mikään potenssifunktio x^a, ja
- logaritmifunktio \ln x kasvaa hitaammin kuin mikään potenssifunktio x^a.