- MATH.APP.111
- 5. Derivaatta
- 5.5 L’Hôpitalin sääntö
L’Hôpitalin sääntö¶
Raja-arvojen yhteydessä esiteltiin epämääräisiä muotoja. Jos raja-arvoa etsittäessä saadaan epämääräinen muoto 00 tai ∞∞, voidaan se yrittää määrittää derivointiin perustuvalla l’Hôpitalin säännöksi kutsutulla menetelmällä.
Lause 5.5.1 (l’Hôpitalin sääntö)
Olkoot f ja g derivoituvia funktioita ja g′(x)≠0 jossakin pisteen a punkteeratussa ympäristössä. Jos
niin
mikäli jälkimmäinen raja-arvo on olemassa. Vastaavat tulokset ovat voimassa myös tapauksissa a=±∞ ja limx→af(x)=∞=limx→ag(x).
Rajoitutaan todistamaan väite siinä tapauksessa, kun f ja g ovat derivoituvia myös pisteessä a, g′(a)≠0 ja f′ ja g′ ovat jatkuvia. Silloin f ja g ovat jatkuvia pisteessä a, joten oletuksen vuoksi on oltava f(a)=g(a)=0. Derivaatan määritelmän nojalla
Tässä toisessa välivaiheessa käytetään lausetta 5.6.18, joka todistetaan myöhemmin.
Esimerkki 5.5.2
- limx→1lnxx2−100=limx→1Dx(lnx)Dx(x2−1)=limx→11x2x=limx→112x2=12.
- limx→∞ln(2x)lnx∞∞=limx→∞22x1x=limx→∞1=1.
- limx→0x−sinxx300=limx→01−cosx3x200=limx→0sinx6x00=limx→0cosx6=16.
Huomautus 5.5.3
- On syytä muistaa, että l’Hôpitalin sääntö sopii vain tapauksiin 00 tai ∞∞, ei esimerkiksi tapauksiin 01 tai ∞0. Tarvittaessa funktion lauseketta voi muokata siten, että haluttu epämääräinen muoto syntyy suoralla sijoituksella, ja sen jälkeen soveltaa sääntöä.
- L’Hôpitalin säännössä esiintyvää derivaattojen osamäärän raja-arvoa varten lasketaan osoittajan ja nimittäjän derivaatat erikseen, eikä osamäärän derivaattaa.
- L’Hôpitalin sääntöä saa soveltaa toistuvasti, kunnes raja-arvo ei enää suoran sijoituksen jälkeen ole epämääräisessä muodossa (kts. edellisen esimerkin kohta 3).
Esimerkki 5.5.4
Olkoon n luonnollinen luku. Tutkitaan raja-arvoa limx→∞exxn soveltamalla toistuvasti l’Hôpitalin sääntöä.
Sama tulos on voimassa muillekin kuin reaaliluvun x kokonaislukueksponenteille,
kun a>0. Vastaasti voidaan osoittaa, että
kun a>0.
Edellisen esimerkin vertailut antavat keinon asettaa eksponentti-, potenssi- ja logaritmifunktiot kasvunopeuden suhteen järjestykseen.
Huomautus 5.5.5
Olkoon a>0. Tällöin
- eksponenttifunktio ex kasvaa nopeammin kuin mikään potenssifunktio xa, ja
- logaritmifunktio lnx kasvaa hitaammin kuin mikään potenssifunktio xa.