Processing math: 100%

L’Hôpitalin sääntö

Raja-arvojen yhteydessä esiteltiin epämääräisiä muotoja. Jos raja-arvoa etsittäessä saadaan epämääräinen muoto 00 tai , voidaan se yrittää määrittää derivointiin perustuvalla l’Hôpitalin säännöksi kutsutulla menetelmällä.

Lause 5.5.1 (l’Hôpitalin sääntö)

Olkoot f ja g derivoituvia funktioita ja g(x)0 jossakin pisteen a punkteeratussa ympäristössä. Jos

limxaf(x)=0=limxag(x),

niin

limxaf(x)g(x)=limxaf(x)g(x),

mikäli jälkimmäinen raja-arvo on olemassa. Vastaavat tulokset ovat voimassa myös tapauksissa a=± ja limxaf(x)==limxag(x).

Piilota/näytä todistus

Rajoitutaan todistamaan väite siinä tapauksessa, kun f ja g ovat derivoituvia myös pisteessä a, g(a)0 ja f ja g ovat jatkuvia. Silloin f ja g ovat jatkuvia pisteessä a, joten oletuksen vuoksi on oltava f(a)=g(a)=0. Derivaatan määritelmän nojalla

limxaf(x)g(x)=limxaf(x)limxag(x)=f(a)g(a)=limxaf(x)f(a)xalimxag(x)g(a)xa=limxaf(x)g(x)limxaxaxa=limxaf(x)g(x).

Tässä toisessa välivaiheessa käytetään lausetta 5.6.18, joka todistetaan myöhemmin.

Esimerkki 5.5.2

  1. limx1lnxx2100=limx1Dx(lnx)Dx(x21)=limx11x2x=limx112x2=12.
  2. limxln(2x)lnx=limx22x1x=limx1=1.
  3. limx0xsinxx300=limx01cosx3x200=limx0sinx6x00=limx0cosx6=16.

Huomautus 5.5.3

  1. On syytä muistaa, että l’Hôpitalin sääntö sopii vain tapauksiin 00 tai , ei esimerkiksi tapauksiin 01 tai 0. Tarvittaessa funktion lauseketta voi muokata siten, että haluttu epämääräinen muoto syntyy suoralla sijoituksella, ja sen jälkeen soveltaa sääntöä.
  2. L’Hôpitalin säännössä esiintyvää derivaattojen osamäärän raja-arvoa varten lasketaan osoittajan ja nimittäjän derivaatat erikseen, eikä osamäärän derivaattaa.
  3. L’Hôpitalin sääntöä saa soveltaa toistuvasti, kunnes raja-arvo ei enää suoran sijoituksen jälkeen ole epämääräisessä muodossa (kts. edellisen esimerkin kohta 3).

Esimerkki 5.5.4

Olkoon n luonnollinen luku. Tutkitaan raja-arvoa limxexxn soveltamalla toistuvasti l’Hôpitalin sääntöä.

limxexxn=limxexnxn1=limxexn(n1)xn2=limxexn(n1)(n2)xn3==limxexn(n1)(n2)2x1=limxexn(n1)(n2)21=.

Sama tulos on voimassa muillekin kuin reaaliluvun x kokonaislukueksponenteille,

limxexxa=,

kun a>0. Vastaasti voidaan osoittaa, että

limxxalnx=,

kun a>0.

Edellisen esimerkin vertailut antavat keinon asettaa eksponentti-, potenssi- ja logaritmifunktiot kasvunopeuden suhteen järjestykseen.

Huomautus 5.5.5

Olkoon a>0. Tällöin

  1. eksponenttifunktio ex kasvaa nopeammin kuin mikään potenssifunktio xa, ja
  2. logaritmifunktio lnx kasvaa hitaammin kuin mikään potenssifunktio xa.
Voidaanko l’Hôpitalin sääntöä käyttää toispuoleisten raja-arvojen laskemiseen. Toisin sanoen, voidaanko säännön todistuksessa oleva päättely toistaa esimerkiksi tapauksessa a0+?

Miksi l’Hôpitalin sääntöä ei voi käyttää raja-arvon

limxx+sinxx

laskemiseen? Merkitään vaihtoehdoissa f(x)=x+sinx ja g(x)=x.

Jos l’Hôpitalin sääntöä ei voi käyttää, voidaanko yllä esitetty raja-arvo silti laskea? Raja-arvo muokattuna on

limx(1+sinxx),

joten

Mitä voidaan sanoa luvun viimeisen esimerkin perusteella raja-arvosta

limxlnxex?
Palautusta lähetetään...