$$\newcommand{\N}{\mathbb N} \newcommand{\Z}{\mathbb Z} \newcommand{\Q}{\mathbb Q} \newcommand{\R}{\mathbb R} \newcommand{\C}{\mathbb C} \newcommand{\ba}{\mathbf{a}} \newcommand{\bb}{\mathbf{b}} \newcommand{\bc}{\mathbf{c}} \newcommand{\bd}{\mathbf{d}} \newcommand{\be}{\mathbf{e}} \newcommand{\bff}{\mathbf{f}} \newcommand{\bh}{\mathbf{h}} \newcommand{\bi}{\mathbf{i}} \newcommand{\bj}{\mathbf{j}} \newcommand{\bk}{\mathbf{k}} \newcommand{\bN}{\mathbf{N}} \newcommand{\bn}{\mathbf{n}} \newcommand{\bo}{\mathbf{0}} \newcommand{\bp}{\mathbf{p}} \newcommand{\bq}{\mathbf{q}} \newcommand{\br}{\mathbf{r}} \newcommand{\bs}{\mathbf{s}} \newcommand{\bT}{\mathbf{T}} \newcommand{\bu}{\mathbf{u}} \newcommand{\bv}{\mathbf{v}} \newcommand{\bw}{\mathbf{w}} \newcommand{\bx}{\mathbf{x}} \newcommand{\by}{\mathbf{y}} \newcommand{\bz}{\mathbf{z}} \newcommand{\bzero}{\mathbf{0}} \newcommand{\nv}{\mathbf{0}} \newcommand{\cA}{\mathcal{A}} \newcommand{\cB}{\mathcal{B}} \newcommand{\cC}{\mathcal{C}} \newcommand{\cD}{\mathcal{D}} \newcommand{\cE}{\mathcal{E}} \newcommand{\cF}{\mathcal{F}} \newcommand{\cG}{\mathcal{G}} \newcommand{\cH}{\mathcal{H}} \newcommand{\cI}{\mathcal{I}} \newcommand{\cJ}{\mathcal{J}} \newcommand{\cK}{\mathcal{K}} \newcommand{\cL}{\mathcal{L}} \newcommand{\cM}{\mathcal{M}} \newcommand{\cN}{\mathcal{N}} \newcommand{\cO}{\mathcal{O}} \newcommand{\cP}{\mathcal{P}} \newcommand{\cQ}{\mathcal{Q}} \newcommand{\cR}{\mathcal{R}} \newcommand{\cS}{\mathcal{S}} \newcommand{\cT}{\mathcal{T}} \newcommand{\cU}{\mathcal{U}} \newcommand{\cV}{\mathcal{V}} \newcommand{\cW}{\mathcal{W}} \newcommand{\cX}{\mathcal{X}} \newcommand{\cY}{\mathcal{Y}} \newcommand{\cZ}{\mathcal{Z}} \newcommand{\rA}{\mathrm{A}} \newcommand{\rB}{\mathrm{B}} \newcommand{\rC}{\mathrm{C}} \newcommand{\rD}{\mathrm{D}} \newcommand{\rE}{\mathrm{E}} \newcommand{\rF}{\mathrm{F}} \newcommand{\rG}{\mathrm{G}} \newcommand{\rH}{\mathrm{H}} \newcommand{\rI}{\mathrm{I}} \newcommand{\rJ}{\mathrm{J}} \newcommand{\rK}{\mathrm{K}} \newcommand{\rL}{\mathrm{L}} \newcommand{\rM}{\mathrm{M}} \newcommand{\rN}{\mathrm{N}} \newcommand{\rO}{\mathrm{O}} \newcommand{\rP}{\mathrm{P}} \newcommand{\rQ}{\mathrm{Q}} \newcommand{\rR}{\mathrm{R}} \newcommand{\rS}{\mathrm{S}} \newcommand{\rT}{\mathrm{T}} \newcommand{\rU}{\mathrm{U}} \newcommand{\rV}{\mathrm{V}} \newcommand{\rW}{\mathrm{W}} \newcommand{\rX}{\mathrm{X}} \newcommand{\rY}{\mathrm{Y}} \newcommand{\rZ}{\mathrm{Z}} \newcommand{\pv}{\overline} \newcommand{\iu}{\mathrm{i}} \newcommand{\ju}{\mathrm{j}} \newcommand{\im}{\mathrm{i}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \newcommand{\real}{\operatorname{Re}} \newcommand{\imag}{\operatorname{Im}} \newcommand{\Arg}{\operatorname{Arg}} \newcommand{\Ln}{\operatorname{Ln}} \DeclareMathOperator*{\res}{res} \newcommand{\re}{\operatorname{Re}} \newcommand{\im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\arsinh}{\operatorname{ar\,sinh}} \newcommand{\arcosh}{\operatorname{ar\,cosh}} \newcommand{\artanh}{\operatorname{ar\,tanh}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\proj}{\operatorname{proj}} \newcommand{\rref}{\operatorname{rref}} \newcommand{\rank}{\operatorname{rank}} \newcommand{\Span}{\operatorname{span}} \newcommand{\vir}{\operatorname{span}} \renewcommand{\dim}{\operatorname{dim}} \newcommand{\alg}{\operatorname{alg}} \newcommand{\geom}{\operatorname{geom}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\norm}[1]{\lVert #1 \rVert} \newcommand{\tp}[1]{#1^{\top}} \renewcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-15mu}#1}^{\,#2}} \newcommand{\abs}[1]{\lvert#1\rvert} \newcommand{\pysty}[1]{\left[\begin{array}{@{}r@{}}#1\end{array}\right]} \newcommand{\piste}{\cdot} \newcommand{\qedhere}{} \newcommand{\taumatrix}[1]{\left[\!\!#1\!\!\right]} \newenvironment{augmatrix}[1]{\left[\begin{array}{#1}}{\end{array}\right]} \newenvironment{vaugmatrix}[1]{\left|\begin{array}{#1}}{\end{array}\right|} \newcommand{\trans}{\mathrm{T}} \newcommand{\EUR}{\text{\unicode{0x20AC}}} \newcommand{\SI}[3][]{#2\,\mathrm{#3}} \newcommand{\si}[2][]{\mathrm{#2}} \newcommand{\num}[2][]{#2} \newcommand{\ang}[2][]{#2^{\circ}} \newcommand{\meter}{m} \newcommand{\metre}{\meter} \newcommand{\kilo}{k} \newcommand{\kilogram}{kg} \newcommand{\gram}{g} \newcommand{\squared}{^2} \newcommand{\cubed}{^3} \newcommand{\minute}{min} \newcommand{\hour}{h} \newcommand{\second}{s} \newcommand{\degreeCelsius}{^{\circ}C} \newcommand{\per}{/} \newcommand{\centi}{c} \newcommand{\milli}{m} \newcommand{\deci}{d} \newcommand{\percent}{\%} \newcommand{\Var}{\operatorname{Var}} \newcommand{\Cov}{\operatorname{Cov}} \newcommand{\Corr}{\operatorname{Corr}} \newcommand{\Tasd}{\operatorname{Tasd}} \newcommand{\Ber}{\operatorname{Ber}} \newcommand{\Bin}{\operatorname{Bin}} \newcommand{\Geom}{\operatorname{Geom}} \newcommand{\Poi}{\operatorname{Poi}} \newcommand{\Hyperg}{\operatorname{Hyperg}} \newcommand{\Tas}{\operatorname{Tas}} \newcommand{\Exp}{\operatorname{Exp}} \newcommand{\tdist}{\operatorname{t}} \newcommand{\rd}{\mathrm{d}}$$

Lineaarinen approksimaatio

Tässä osiossa perehdytään funktioiden lineaariseen approksimointiin. Esimerkissä 5.2.9 määritettiin funktion tietyssä pisteessä sijaitsevan tangenttisuoran yhtälö. Kun tilannetta havainnollistavaa kuvaa katsotaan tarkemmin, huomataan, että sivuamispisteen läheisyydessä olevat tangenttisuoran pisteet ovat melko lähellä funktion kuvaajan pisteitä. Tästä voidaan päätellä, että funktion arvoja voidaan arvioida tangenttisuoran avulla, kunhan ollaan riittävän lähellä sivuamispistettä.

Perustellaan tätä vielä tarkemmin derivaatan määritelmän avulla. Tavoitteena on pystyä määrittämään funktion arvoja jonkin pisteen $a$ läheisyydessä. Derivoituvan funktion $f$ derivaatta pisteessä $a$ on

$$f'(a)=\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h},$$

ja yllä oleva yhtälö voidaan raja-arvojen laskusääntöjen nojalla ilmaista muodossa

$$\lim_{h\to0}\left(\frac{f(a+h)-f(a)}{h}-f'(a)\right)=0.$$

Merkitään sulkulauseketta parametrista $h$ riippuvalla luvulla $\varepsilon(h)$,

$$\varepsilon(h)=\frac{f(a+h)-f(a)}{h}-f'(a),$$

ja ratkaistaan tästä $f(a+h)$.

$$\underbrace{f(a+h)}_{\text{tarkka arvo}}=\underbrace{f(a)+f'(a)h}_{\text{arvio}}+\underbrace{h\varepsilon(h)}_{\text{virhe}},$$

missä $\varepsilon(h)$ on funktio, jolle $\varepsilon(h)\to0$, kun $h\to0$. Tätä esitystä kutsutaan funktion $f$ differentiaalikehitelmäksi pisteessä $a$, ja sen avulla saadaan laskettua funktion arvo pisteessä $a+h$.

Edellä differentiaalikehitelmä johdetaan lähtien siitä oletuksesta, että funktio $f$ on dervioituva. Päättely voidaan kääntää myös toiseen suuntaan, eli differentiaalikehitelmästä seuraa derivoituvuus. Differentiaalikehitelmä on erityisen tärkeä usean muuttujan funktioiden tapauksessa, mutta nyt kuitenkin keskitytään vain yhden muuttujan reaalifunktioihin.

Lause 5.4.1

Funktio $f : (c,d)\to\R$ on derivoituva pisteessä $a\in(c,d)$ jos ja vain jos on löydetään sellainen reaaliluku $A$ ja funktio $\varepsilon : \R\to\R$, että $\lim\limits_{h\to0}\varepsilon(h)=0$ ja

$$f(a+h)=f(a)+Ah+h\varepsilon(h)$$

kaikilla (itseisarvoltaan pienillä) reaaliluvuilla $h\in\R$. Tämän toteutuessa $A=f'(a)$.

Jättämällä virhetermin $h\varepsilon(h)$ pois funktion $f$ differentiaalikehitelmästä saadaan arvio funktion arvolle pisteessä $a + h$.

$$f(a+h)\approx f(a)+f'(a)h,$$

tai merkitsemällä $x=a+h$

$$f(x)\approx f(a)+f'(a)(x-a).$$

Tässä oikean puolen lauseke määrittelee funktion, jonka kuvaaja on funktion $f$ kuvaajan pisteeseen $(a,f(a))$ piirretty tangenttisuora (vertaa aiempaan yhtälöön). Funktiota kutsutaan funktion $f$ lineaariseksi approksimaatioksi (arvioksi), tangenttiapproksimaatioksi ja linearisoinniksi pisteessä $a$. Korostetaan tätä vielä kirjaamalla lineaarisen approksimaation kaava määritelmänä.

Määritelmä 5.4.2

Jos funktio $f:\R\to\R$ ja $f'(a)$ on olemassa, niin funktion lineaarinen approksimaatio pisteessä $a$ on

$$T(x)=f(a)+f'(a)(x-a).$$

Lineaarisessa arviossa $f(x) \approx T(x)$ tehty virhe on

$$f(x)-T(x)=h\varepsilon(h),$$

ja virhe suhteessa etäisyyteen $h$ pisteestä $a$ on

$$\frac{h\varepsilon(h)}{h}=\varepsilon(h)\to0,$$

kun $h \to 0$. Lähellä pistettä $a$ approksimaation virhe on siis suhteellisesti hyvin pieni ja funktion $f$ kuvaaja näyttää likimain tangenttisuoraltaan $y=f(a)+f'(a)(x-a)$.

Nimitys ”lineaarinen arvio” juontuu siitä, että funktio $L : \R\to\R$, $L(h)=f'(a)h$ on lineaarinen, ja siitä että arvio voidaan kirjoittaa vakion ja lineaarikuvauksen summana $f(a+h)\approx f(a)+L(h)$.

Esimerkki 5.4.3

Arvioi lukua $\displaystyle\sqrt{4{,}3}$ sopivalla lineaarisella approksimaatiolla.

Piilota/näytä ratkaisu

Käytetään funktion $f(x)=\sqrt{x}$ lineaarista arviota pisteessä $4$. Idea on, että funktioiden $f$ ja $f'$ arvot on helppo laskea pisteessä $4$, ja niitä käyttäen saadaan yksinkertainen arvio funktion $f$ arvolle pisteessä $4{,}3=4+0{,}3$. Nyt $f'(x)=(2\sqrt{x})^{-1}$, joten $f(4) = 2$ ja $f'(4)=\frac{1}{4}$, ja edelleen

$$\sqrt{4{,}3}=f(4+0{,}3)\approx f(4)+f'(4)\cdot(4{,}3-4)=2+\frac14\cdot0{,}3=2{,}075.$$

Vertaamalla tätä laskimen antamaan tarkempaan likiarvoon $\sqrt{4{,}3}\approx2{,}073644135$ nähdään, että lineaarisen approksimaation kaksi ensimmäistä desimaalia ovat oikein.

Aina kun tarkan arvon sijaan lasketaankin jokin arvio, on syytä kiinnittää huomiota syntyvän virheen suuruuteen. Yksi tapa määrittää virheen suuruutta on verrata sitä todelliseen arvoon. Tällöin puhutaan suhteellisesta virheestä, joka määritellään seuraavaksi.

Määritelmä 5.4.4

Suureen suhteellinen virhe on

$$\text{suhteellinen virhe}=\left|\frac{\text{virhe}}{\text{tarkka arvo}}\right|.$$

Edellisessä esimerkissä suhteellinen virhe on

$$\left|\frac{\sqrt{4{,}3}-2{,}075}{\sqrt{4{,}3}}\right|\approx0{,}0007=0{,}07~\%.$$

Kysymys 1

Mikä on funktion $f(x)=x^2$ linearisointi pisteessä $1$?

$T(x)=1+1(x-1)$

$T(x)=2+1(x-1)$

$T(x)=1+2(x-1)$

$T(x)=1+1(x-2)$

Kysymys 2

Mikä on lineaarinen approksimaatio funktion $f$ arvolle pisteessä $x=1{,}2$?

$f(1{,}2)\approx T(1{,}2)=2+1(1{,}2-1)=2{,}2$

$f(1{,}2)\approx T(1{,}2)=1+1(1{,}2-2)=-0{,}6$

$f(1{,}2)\approx T(1{,}2)=1+1(1{,}2-1)=1{,}2$

$f(1{,}2)\approx T(1{,}2)=1+2(1{,}2-1)=1{,}4$

Kysymys 3

Kuinka suuri on tässä approksimaatiossa tehty virhe (itseisarvoltaan) funktion arvoon $(1{,}2)^2$ verrattuna?

$0{,}04$

$0{,}24$

$0{,}60$

$0{,}76$

Kysymys 4

Mikä on suhteellinen virhe prosentteina ilmaistuna?

$0{,}03$

$2{,}78$

$16{,}67$

$41{,}67$

Lineaarisen arvion käyttö on järkevää vain silloin, kun $|h|$ on riittävän pieni. Esimerkiksi edellisen esimerkin approksimaatiota käyttäen arvio luvulle $\sqrt{2}$ olisi

$$\sqrt{2}=f(4-2)\approx f(4)+f'(4)\cdot(2-4)=2+\frac14\cdot(-2)=1{,}5,$$

missä suhteellinen virhe on jo $6~\%$. Virheen sallittu suuruus riippuu luonnollisesti sovelluskohteesta, mutta yleisesti yli $5~\%$ olevat virheet ovat jo merkittäviä.

Käytännössä lineaarista arviota voidaan hyödyntää mittausvirheiden vaikutusten arvioimisessa. Jos suureen arvoksi mitataan $x$ ja mittauksessa tehdään virhe $\Delta x$, niin suureen oikea arvo on $x+\Delta x$. Mikäli tätä virheellistä arvoa käytetään laskuissa funktion $f$ syötteenä, se aiheuttaa virheen $\Delta f = f(x + \Delta x) - f(x)$ lopputuloksessa. Toisaalta funktion $f$ linearisoinnin avulla voidaan kirjoittaa

$$f(x+\Delta x)\approx f(x)+f'(x)\Delta x,$$

jolloin

$$\Delta f=f(x+\Delta x)-f(x)\approx f'(x)\Delta x.$$

Tässä yhteydessä todellista suhteellista virhettä arvioidaan usein mittaustuloksen avulla muodossa

$$\text{suhteellinen virhe}\approx\left|\frac{\text{virhe}}{\text{mitattu arvo}}\right|,$$

jolloin suhteellinen virhe funktion $f$ arvossa on likimain $\left|\dfrac{\Delta f}{f(x)}\right| \approx \left|\dfrac{f'(x)\Delta x}{f(x)}\right|$.

Esimerkki 5.4.5

Ympyrän pinta-alan $A(r) = \pi r^2$ laskemiseksi mitataan sen sädettä.

1. Mittaustulokseksi saadaan $r = 32 \pm 2$ mm. Arvioi ympyrän pinta-alaa ja sen virhettä.
2. Säteen mittaamisessa tehdään korkeintaan $2~\%$ suhteellinen virhe. Arvioi pinta-alan suhteellista virhettä.

Piilota/näytä ratkaisu

1. Pinta-alan arvio on $A(32) = \pi \cdot 32^2 \approx 3200$. Säteen mittauksessa tehty virhe on mittausepätarkkuuden rajoissa, eli $|\Delta r| \leq 2$. Tämän vuoksi pinta-alaa laskettaessa tehty virhe on

   $$|\Delta A| \approx |A'(32)\Delta r| = 2\pi \cdot 32 \cdot |\Delta r| \leq 64\pi \cdot 2 \approx 400.$$

   Ympyrän pinta-ala on siis $3200 \pm 400$ neliömillimetriä.

2. Arvioidaan mittaustuloksen $r$ suhteellista virhettä luvulla $\left|\frac{\Delta r}{r}\right| \leq 0.02$. Nyt pinta-alan suhteellinen virhe

   $$\left|\frac{\Delta A}{A}\right| \approx \left|\frac{A'(r)\Delta r}{A(r)}\right| = \left|\frac{2\pi r\Delta r}{\pi r^2}\right| = 2\left|\frac{\Delta r}{r}\right| \leq 2 \cdot 2~\% = 4~\%.\qedhere$$

Palautusta lähetetään...