\[\newcommand{\N}{\mathbb N} \newcommand{\Z}{\mathbb Z} \newcommand{\Q}{\mathbb Q} \newcommand{\R}{\mathbb R} \newcommand{\C}{\mathbb C} \newcommand{\ba}{\mathbf{a}} \newcommand{\bb}{\mathbf{b}} \newcommand{\bc}{\mathbf{c}} \newcommand{\bd}{\mathbf{d}} \newcommand{\be}{\mathbf{e}} \newcommand{\bff}{\mathbf{f}} \newcommand{\bh}{\mathbf{h}} \newcommand{\bi}{\mathbf{i}} \newcommand{\bj}{\mathbf{j}} \newcommand{\bk}{\mathbf{k}} \newcommand{\bN}{\mathbf{N}} \newcommand{\bn}{\mathbf{n}} \newcommand{\bo}{\mathbf{0}} \newcommand{\bp}{\mathbf{p}} \newcommand{\bq}{\mathbf{q}} \newcommand{\br}{\mathbf{r}} \newcommand{\bs}{\mathbf{s}} \newcommand{\bT}{\mathbf{T}} \newcommand{\bu}{\mathbf{u}} \newcommand{\bv}{\mathbf{v}} \newcommand{\bw}{\mathbf{w}} \newcommand{\bx}{\mathbf{x}} \newcommand{\by}{\mathbf{y}} \newcommand{\bz}{\mathbf{z}} \newcommand{\bzero}{\mathbf{0}} \newcommand{\nv}{\mathbf{0}} \newcommand{\cA}{\mathcal{A}} \newcommand{\cB}{\mathcal{B}} \newcommand{\cC}{\mathcal{C}} \newcommand{\cD}{\mathcal{D}} \newcommand{\cE}{\mathcal{E}} \newcommand{\cF}{\mathcal{F}} \newcommand{\cG}{\mathcal{G}} \newcommand{\cH}{\mathcal{H}} \newcommand{\cI}{\mathcal{I}} \newcommand{\cJ}{\mathcal{J}} \newcommand{\cK}{\mathcal{K}} \newcommand{\cL}{\mathcal{L}} \newcommand{\cM}{\mathcal{M}} \newcommand{\cN}{\mathcal{N}} \newcommand{\cO}{\mathcal{O}} \newcommand{\cP}{\mathcal{P}} \newcommand{\cQ}{\mathcal{Q}} \newcommand{\cR}{\mathcal{R}} \newcommand{\cS}{\mathcal{S}} \newcommand{\cT}{\mathcal{T}} \newcommand{\cU}{\mathcal{U}} \newcommand{\cV}{\mathcal{V}} \newcommand{\cW}{\mathcal{W}} \newcommand{\cX}{\mathcal{X}} \newcommand{\cY}{\mathcal{Y}} \newcommand{\cZ}{\mathcal{Z}} \newcommand{\rA}{\mathrm{A}} \newcommand{\rB}{\mathrm{B}} \newcommand{\rC}{\mathrm{C}} \newcommand{\rD}{\mathrm{D}} \newcommand{\rE}{\mathrm{E}} \newcommand{\rF}{\mathrm{F}} \newcommand{\rG}{\mathrm{G}} \newcommand{\rH}{\mathrm{H}} \newcommand{\rI}{\mathrm{I}} \newcommand{\rJ}{\mathrm{J}} \newcommand{\rK}{\mathrm{K}} \newcommand{\rL}{\mathrm{L}} \newcommand{\rM}{\mathrm{M}} \newcommand{\rN}{\mathrm{N}} \newcommand{\rO}{\mathrm{O}} \newcommand{\rP}{\mathrm{P}} \newcommand{\rQ}{\mathrm{Q}} \newcommand{\rR}{\mathrm{R}} \newcommand{\rS}{\mathrm{S}} \newcommand{\rT}{\mathrm{T}} \newcommand{\rU}{\mathrm{U}} \newcommand{\rV}{\mathrm{V}} \newcommand{\rW}{\mathrm{W}} \newcommand{\rX}{\mathrm{X}} \newcommand{\rY}{\mathrm{Y}} \newcommand{\rZ}{\mathrm{Z}} \newcommand{\pv}{\overline} \newcommand{\iu}{\mathrm{i}} \newcommand{\ju}{\mathrm{j}} \newcommand{\im}{\mathrm{i}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \newcommand{\real}{\operatorname{Re}} \newcommand{\imag}{\operatorname{Im}} \newcommand{\Arg}{\operatorname{Arg}} \newcommand{\Ln}{\operatorname{Ln}} \DeclareMathOperator*{\res}{res} \newcommand{\re}{\operatorname{Re}} \newcommand{\im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\arsinh}{\operatorname{ar\,sinh}} \newcommand{\arcosh}{\operatorname{ar\,cosh}} \newcommand{\artanh}{\operatorname{ar\,tanh}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\proj}{\operatorname{proj}} \newcommand{\rref}{\operatorname{rref}} \newcommand{\rank}{\operatorname{rank}} \newcommand{\Span}{\operatorname{span}} \newcommand{\vir}{\operatorname{span}} \renewcommand{\dim}{\operatorname{dim}} \newcommand{\alg}{\operatorname{alg}} \newcommand{\geom}{\operatorname{geom}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\norm}[1]{\lVert #1 \rVert} \newcommand{\tp}[1]{#1^{\top}} \renewcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-15mu}#1}^{\,#2}} \newcommand{\abs}[1]{\lvert#1\rvert} \newcommand{\pysty}[1]{\left[\begin{array}{@{}r@{}}#1\end{array}\right]} \newcommand{\piste}{\cdot} \newcommand{\qedhere}{} \newcommand{\taumatrix}[1]{\left[\!\!#1\!\!\right]} \newenvironment{augmatrix}[1]{\left[\begin{array}{#1}}{\end{array}\right]} \newenvironment{vaugmatrix}[1]{\left|\begin{array}{#1}}{\end{array}\right|} \newcommand{\trans}{\mathrm{T}} \newcommand{\EUR}{\text{\unicode{0x20AC}}} \newcommand{\SI}[3][]{#2\,\mathrm{#3}} \newcommand{\si}[2][]{\mathrm{#2}} \newcommand{\num}[2][]{#2} \newcommand{\ang}[2][]{#2^{\circ}} \newcommand{\meter}{m} \newcommand{\metre}{\meter} \newcommand{\kilo}{k} \newcommand{\kilogram}{kg} \newcommand{\gram}{g} \newcommand{\squared}{^2} \newcommand{\cubed}{^3} \newcommand{\minute}{min} \newcommand{\hour}{h} \newcommand{\second}{s} \newcommand{\degreeCelsius}{^{\circ}C} \newcommand{\per}{/} \newcommand{\centi}{c} \newcommand{\milli}{m} \newcommand{\deci}{d} \newcommand{\percent}{\%} \newcommand{\Var}{\operatorname{Var}} \newcommand{\Cov}{\operatorname{Cov}} \newcommand{\Corr}{\operatorname{Corr}} \newcommand{\Tasd}{\operatorname{Tasd}} \newcommand{\Ber}{\operatorname{Ber}} \newcommand{\Bin}{\operatorname{Bin}} \newcommand{\Geom}{\operatorname{Geom}} \newcommand{\Poi}{\operatorname{Poi}} \newcommand{\Hyperg}{\operatorname{Hyperg}} \newcommand{\Tas}{\operatorname{Tas}} \newcommand{\Exp}{\operatorname{Exp}} \newcommand{\tdist}{\operatorname{t}} \newcommand{\rd}{\mathrm{d}}\]

Yleinen funktioteoria

Edellä määritellyt käsitteet on käsitelty reaalifunktioiden kontekstissa. Kuitenkin suurin osa käsitteistä yleistyy sellaisenaan myös muunlaisille funktioille. Käsitteistä ainoastaan funktion kuvaaja ja monotonisuus koskevat pelkästään reaalifunktioita, joten tässä osiossa loput käsitteistä esitellään yleisessä kontekstissa. Tämän osion tarkoitus on laajentaa funktion käsitettä reaalifunktioista miksi tahansa säännöiksi, jotka toteuttavat funktion määritelmän mukaiset ehdot.

Funktiota \(f: A \to B\) voidaan visualisoida esittämällä määrittelyjoukko \(A\) ja maalijoukko \(B\) sekä niiden alkioiden väliset kuvautumiset reaalifunktioiden tapaan, mutta nyt joukot \(A\) ja \(B\) eivät välttämättä ole reaalilukujen osajoukkoja. Sen sijaan ne voivat olla mitä tahansa epätyhjiä joukkoja. Siksi niitä esitetään usein yleisten joukkojen merkintätavan mukaan.

Funktion määritelmä mahdollistaa myös sellaiset funktiot, joita ei välttämättä aluksi tule edes ajatelleeksi. Tyypillisesti käsitellään sellaisia funktioita, jotka on määritelty reaaliluvuilla, mutta todellisuudessa funktion määritelmä ei ota kantaa siihen, mikä funktion määrittely- tai maalijoukko on, kunhan ne ovat epätyhjiä. Koska edellisissä osiossa johdetut tulokset ovat voimassa soveltuvin osin yleisille funktioille, voidaan hyvinkin oudolta vaikuttavia funktioita käsitellä ja tutkia samalla tavalla kuin reaalifunktioitakin.

Esimerkki 2.5.1

Olkoot \(A\) ja \(B\) joukkoja, joista joukko \(A\) sisältää kaikki suomalaiset etunimet ja joukko \(B\) suomen kielessä käytetyt aakkoset. Nyt voidaan määritellä funktio \(f:A\to B\) siten, että funktion \(f\) arvo kullakin etunimellä on nimen ensimmäinen kirjain. Siispä esimerkiksi

\[f(\text{Teemu}) = \text{T} \qquad \text{ja} \qquad f(\text{Liisa}) = \text{L}.\]

Funktion \(f\) käänteisfunktion olemassaoloa voidaan lähteä tutkimaan samalla tavalla kuin reaalifunktioille. Pienen pohdinnan jälkeen voi huomata, että funktio \(f\) ei ole injektio eikä surjektio. Tästä syystä sillä ei myöskään ole olemassa käänteisfunktiota. Etsi sopivat vastaesimerkit, jotka osoittavat, ettei \(f\) ole injektio eikä surjektio.

Pohdi, täyttääkö seuraava sääntö \(g\) funktion määritelmän. Säännön mukaan \(g\) kuvaa kunkin suomalaisen etunimen siinä eniten esiintyväksi kirjaimeksi. Toisin sanoen

\[g(\text{Teemu}) = \text{e} \qquad \text{ja} \qquad g(\text{Liisa}) = \text{i}.\]

Tarkastellaan seuraavaksi lyhyesti usean muuttujan funktioita, jotka esitellään tarkemmin niitä käsittelevässä luvussa. Määritetään niistä esimerkiksi määrittelyjoukko ja maalijoukko sekä eräiden alkioiden alkukuvia. Lisäksi muodostetaan yhdiste siten, että yhdistetyn funktion määritelmän ehdot toteutuvat.

Esimerkki 2.5.2

1. Usean muuttujan funktion \(f((x,y))=f(x,y)=x+y\) määrittelyjoukko on \(\R^2\) eli \(xy\)-tason pisteet ja maalijoukko \(\R\). Alkion \(1\) alkukuva on

   \[f^{-1}(1)=\{(x,y)\in\R^2 \colon x+y=1\},\]

   joka on \(xy\)-tason suora \(y=1-x\).

2. Olkoot

   \[\begin{split}\begin{aligned} &f \colon \R^2\to\R^3,\ f(x_1,x_2)=(x_1^2,x_1x_2,x_1+1)\qquad\text{ja}\\ &g \colon \R^3\to\R,\ g(x_1,x_2,x_3)=x_1x_2x_3 \end{aligned}\end{split}\]

   funktioita. Tällöin voidaan muodostaa yhdistetty funktio \(g\circ f\colon\R^2\to\R\),

   \[(g\circ f)(x_1,x_2)=g(f(x_1,x_2))=g(x_1^2,x_1x_2,x_1+1)=x_1^2\cdot x_1x_2\cdot(x_1+1),\]

   mutta \(f\circ g\) ei ole määritelty.

Edellisen esimerkin funktio \(f:\R^2 \to \R\), \(f(x,y) = x+y\) ei ole injektio, sillä vaikka \((1,0)\not=(0,1)\), niin \(f(1,0) = 1+0 = 1 = 0+1 = f(0,1)\). Sen sijaan se on surjektio. Tämä nähdään siitä, että mielivaltaista maalijoukon alkiota \(z\) vastaa määrittelyjoukossa esimerkiksi alkio \((z,0)\in\R^2\), sillä \(f(z,0) = z + 0 = z\).

Funktio voi myös olla määritelty kompleksiluvuilla, joita käsitellään niitä vastaavassa luvussa. Mikään ei estä laajentamasta reaalifunktioiden määrittely- ja maalijoukkoa kompleksiluvuiksi, jolloin puhutaan kompleksisista funktioista. Kompleksisten funktioiden arvoja voidaan laskea vastaavasti eri pisteissä, kunhan lausekkeita sievennetään kompleksilukujen laskusääntöjä käsittelevässä luvussa esitettyjen laskusääntöjen mukaisesti.

Esimerkki 2.5.3

Olkoon \(f:\C\to\C\), \(f(z) = z^2 + 1\). Funktion \(f\) arvo esimerkiksi pisteessä \(1+i\in\C\) on

\[f(1+i) = (1+i)^2 + 1 = 1 + 2i + i^2 + 1 = 1+2i,\]

kun hyödynnetään tietoa, että \(i^2=-1\).

Funktio \(f\) ei ole injektio, sillä \(f(-1) = f(1)\), vaikka \(-1\not=1\). Tästä syystä sillä ei myöskään ole olemassa käänteisfunktiota. Kompleksisen juuren avulla voitaisiin osoittaa, että \(f\) on kompleksisena funktiona surjektio, vaikkei se reaalisena sitä olekaan.

Palautusta lähetetään...