$$\newcommand{\N}{\mathbb N} \newcommand{\Z}{\mathbb Z} \newcommand{\Q}{\mathbb Q} \newcommand{\R}{\mathbb R} \newcommand{\C}{\mathbb C} \newcommand{\ba}{\mathbf{a}} \newcommand{\bb}{\mathbf{b}} \newcommand{\bc}{\mathbf{c}} \newcommand{\bd}{\mathbf{d}} \newcommand{\be}{\mathbf{e}} \newcommand{\bff}{\mathbf{f}} \newcommand{\bh}{\mathbf{h}} \newcommand{\bi}{\mathbf{i}} \newcommand{\bj}{\mathbf{j}} \newcommand{\bk}{\mathbf{k}} \newcommand{\bN}{\mathbf{N}} \newcommand{\bn}{\mathbf{n}} \newcommand{\bo}{\mathbf{0}} \newcommand{\bp}{\mathbf{p}} \newcommand{\bq}{\mathbf{q}} \newcommand{\br}{\mathbf{r}} \newcommand{\bs}{\mathbf{s}} \newcommand{\bT}{\mathbf{T}} \newcommand{\bu}{\mathbf{u}} \newcommand{\bv}{\mathbf{v}} \newcommand{\bw}{\mathbf{w}} \newcommand{\bx}{\mathbf{x}} \newcommand{\by}{\mathbf{y}} \newcommand{\bz}{\mathbf{z}} \newcommand{\bzero}{\mathbf{0}} \newcommand{\nv}{\mathbf{0}} \newcommand{\cA}{\mathcal{A}} \newcommand{\cB}{\mathcal{B}} \newcommand{\cC}{\mathcal{C}} \newcommand{\cD}{\mathcal{D}} \newcommand{\cE}{\mathcal{E}} \newcommand{\cF}{\mathcal{F}} \newcommand{\cG}{\mathcal{G}} \newcommand{\cH}{\mathcal{H}} \newcommand{\cI}{\mathcal{I}} \newcommand{\cJ}{\mathcal{J}} \newcommand{\cK}{\mathcal{K}} \newcommand{\cL}{\mathcal{L}} \newcommand{\cM}{\mathcal{M}} \newcommand{\cN}{\mathcal{N}} \newcommand{\cO}{\mathcal{O}} \newcommand{\cP}{\mathcal{P}} \newcommand{\cQ}{\mathcal{Q}} \newcommand{\cR}{\mathcal{R}} \newcommand{\cS}{\mathcal{S}} \newcommand{\cT}{\mathcal{T}} \newcommand{\cU}{\mathcal{U}} \newcommand{\cV}{\mathcal{V}} \newcommand{\cW}{\mathcal{W}} \newcommand{\cX}{\mathcal{X}} \newcommand{\cY}{\mathcal{Y}} \newcommand{\cZ}{\mathcal{Z}} \newcommand{\rA}{\mathrm{A}} \newcommand{\rB}{\mathrm{B}} \newcommand{\rC}{\mathrm{C}} \newcommand{\rD}{\mathrm{D}} \newcommand{\rE}{\mathrm{E}} \newcommand{\rF}{\mathrm{F}} \newcommand{\rG}{\mathrm{G}} \newcommand{\rH}{\mathrm{H}} \newcommand{\rI}{\mathrm{I}} \newcommand{\rJ}{\mathrm{J}} \newcommand{\rK}{\mathrm{K}} \newcommand{\rL}{\mathrm{L}} \newcommand{\rM}{\mathrm{M}} \newcommand{\rN}{\mathrm{N}} \newcommand{\rO}{\mathrm{O}} \newcommand{\rP}{\mathrm{P}} \newcommand{\rQ}{\mathrm{Q}} \newcommand{\rR}{\mathrm{R}} \newcommand{\rS}{\mathrm{S}} \newcommand{\rT}{\mathrm{T}} \newcommand{\rU}{\mathrm{U}} \newcommand{\rV}{\mathrm{V}} \newcommand{\rW}{\mathrm{W}} \newcommand{\rX}{\mathrm{X}} \newcommand{\rY}{\mathrm{Y}} \newcommand{\rZ}{\mathrm{Z}} \newcommand{\pv}{\overline} \newcommand{\iu}{\mathrm{i}} \newcommand{\ju}{\mathrm{j}} \newcommand{\im}{\mathrm{i}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \newcommand{\real}{\operatorname{Re}} \newcommand{\imag}{\operatorname{Im}} \newcommand{\Arg}{\operatorname{Arg}} \newcommand{\Ln}{\operatorname{Ln}} \DeclareMathOperator*{\res}{res} \newcommand{\re}{\operatorname{Re}} \newcommand{\im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\arsinh}{\operatorname{ar\,sinh}} \newcommand{\arcosh}{\operatorname{ar\,cosh}} \newcommand{\artanh}{\operatorname{ar\,tanh}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\proj}{\operatorname{proj}} \newcommand{\rref}{\operatorname{rref}} \newcommand{\rank}{\operatorname{rank}} \newcommand{\Span}{\operatorname{span}} \newcommand{\vir}{\operatorname{span}} \renewcommand{\dim}{\operatorname{dim}} \newcommand{\alg}{\operatorname{alg}} \newcommand{\geom}{\operatorname{geom}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\norm}[1]{\lVert #1 \rVert} \newcommand{\tp}[1]{#1^{\top}} \renewcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-15mu}#1}^{\,#2}} \newcommand{\abs}[1]{\lvert#1\rvert} \newcommand{\pysty}[1]{\left[\begin{array}{@{}r@{}}#1\end{array}\right]} \newcommand{\piste}{\cdot} \newcommand{\qedhere}{} \newcommand{\taumatrix}[1]{\left[\!\!#1\!\!\right]} \newenvironment{augmatrix}[1]{\left[\begin{array}{#1}}{\end{array}\right]} \newenvironment{vaugmatrix}[1]{\left|\begin{array}{#1}}{\end{array}\right|} \newcommand{\trans}{\mathrm{T}} \newcommand{\EUR}{\text{\unicode{0x20AC}}} \newcommand{\SI}[3][]{#2\,\mathrm{#3}} \newcommand{\si}[2][]{\mathrm{#2}} \newcommand{\num}[2][]{#2} \newcommand{\ang}[2][]{#2^{\circ}} \newcommand{\meter}{m} \newcommand{\metre}{\meter} \newcommand{\kilo}{k} \newcommand{\kilogram}{kg} \newcommand{\gram}{g} \newcommand{\squared}{^2} \newcommand{\cubed}{^3} \newcommand{\minute}{min} \newcommand{\hour}{h} \newcommand{\second}{s} \newcommand{\degreeCelsius}{^{\circ}C} \newcommand{\per}{/} \newcommand{\centi}{c} \newcommand{\milli}{m} \newcommand{\deci}{d} \newcommand{\percent}{\%} \newcommand{\Var}{\operatorname{Var}} \newcommand{\Cov}{\operatorname{Cov}} \newcommand{\Corr}{\operatorname{Corr}} \newcommand{\Tasd}{\operatorname{Tasd}} \newcommand{\Ber}{\operatorname{Ber}} \newcommand{\Bin}{\operatorname{Bin}} \newcommand{\Geom}{\operatorname{Geom}} \newcommand{\Poi}{\operatorname{Poi}} \newcommand{\Hyperg}{\operatorname{Hyperg}} \newcommand{\Tas}{\operatorname{Tas}} \newcommand{\Exp}{\operatorname{Exp}} \newcommand{\tdist}{\operatorname{t}} \newcommand{\rd}{\mathrm{d}}$$

Kasvavat ja vähenevät funktiot

Funktion kuvaajan määrittelyn yhteydessä puhuttiin funktion kulun tutkimisesta. Seuraavaksi määritellään peruskäsitteet, jotka luokittelevat reaalifunktion kulkua.

Määritelmä 2.4.1

Olkoon $f \colon A\to\R$ reaalifunktio. Jos kaikilla joukon $A$ alkioilla $x$ ja $y$

• $x<y\Rightarrow f(x)\le f(y)$, niin $f$ on kasvava,
• $x<y\Rightarrow f(x)<f(y)$, niin $f$ on aidosti kasvava,
• $x<y\Rightarrow f(x)\ge f(y)$, niin $f$ on vähenevä,
• $x<y\Rightarrow f(x)>f(y)$, niin $f$ on aidosti vähenevä.

Funktiota, joka on kasvava tai vähenevä, sanotaan monotoniseksi. Vastaavasti aidosti kasvavaa tai aidosti vähenevää funktiota sanotaan aidosti monotoniseksi.

Monotonisen funktion kuvaaja ei vaihda suuntaa, vaan etenee aina yleisesti ottaen ylös- tai alaspäin. Aidosti monotonisen funktion kuvaaja ei tämän lisäksi koskaan etene vaakasuuntaisesti. Alla olevista kuvista vasemmanpuoleisin esittää kasvavaa funktiota ja keskimmäinen aidosti vähenevää funktiota. Oikeanpuoleisin funktio ei puolestaan ole monotoninen.

Määritellään funktiot $f$, $g$ ja $h$ seuraavilla säännöillä. Muistathan, että itseisarvofunktio $\vert x \vert$ kertoo pisteen $x$ etäisyyden nollasta.

$$f(x)=x, \qquad g(x)=|x| \qquad\text{ja}\qquad h(x)=1$$

Valitse seuraavista vaihtoehdoista kaikki, jotka ovat oikein. Tarpeen vaatiessa piirrä itsellesi kuvat funktioista.

Kysymys 1

Funktio $f$ on välillä $(-2,2)$

kasvava

aidosti kasvava

vähenevä

aidosti vähenevä

ei kasvava eikä vähenevä

Kysymys 2

$g(x)$ on välillä $(-2,2)$

kasvava

aidosti kasvava

vähenevä

aidosti vähenevä

ei kasvava eikä vähenevä

Kysymys 3

$h(x)$ on välillä $(-2,2)$

kasvava

aidosti kasvava

vähenevä

aidosti vähenevä

ei kasvava eikä vähenevä kasvava

Seuraava tulos on helppo perustella funktion kuvaajan avulla. Tulos liittää aidosti monotonisuuden funktion injektiivisyyteen.

Lause 2.4.2

Aidosti monotoninen reaalifunktio $f \colon A\to\R$ on injektio.

Piilota/näytä todistus

Jos $x\ne y$, niin $x<y$ tai $y<x$. Aidon monotonisuuden nojalla $f(x)<f(y)$ tai $f(y)<f(x)$, joten $f(x)\ne f(y)$. Siis $f$ on injektio.

Edellisen lauseen mukaan jokainen aidosti monontoninen reaalifunktio on injektio. Tällaisesta funktiosta saadaan puolestaan surjektio ja siten myös bijektio, kun maalijoukko rajataan funktion arvojoukoksi. Tällöin sillä on olemassa käänteisfunktio.

Seuraus 2.4.3

Aidosti monotonisella reaalifunktiolla $f \colon A \to f(A)$ on käänteisfunktio.

Käänteisfunktion peilikuvaominaisuuden valossa seuraava tulos on helppo hahmottaa visuaalisesti. Tulos pitää kuitenkin osoittaa täsmällisesti, sillä kuvaajan perusteella tehdyt päätelmät eivät kelpaa aukottomaksi todistukseksi.

Lause 2.4.4

Jos reaalifunktio $f$ on aidosti kasvava (aidosti vähenevä) ja sillä on käänteisfunktio $f^{-1}$, niin $f^{-1}$ on myös aidosti kasvava (aidosti vähenevä).

Piilota/näytä todistus

Oletetaan, että reaalifunktio $f \colon A\to B$ on aidosti kasvava bijektio. Tällöin sillä on käänteisfunktio $f^{-1}\colon B \to A$. Olkoot $x$ ja $y$ sellaisia maalijoukon alkioita, että $x<y$. Jos olisi $f^{-1}(x)\ge f^{-1}(y)$, niin funktion $f$ aidon kasvavuuden nojalla olisi $f(f^{-1}(x))\ge f(f^{-1}(y))$, eli $x\ge y$. Tämä on ristiriita, joten on oltava $f^{-1}(x)<f^{-1}(y)$ ja $f^{-1}$ on siten aidosti kasvava. Aidosti vähenevän funktion tapaus todistuu vastaavasti.

Lause 2.4.5

Olkoot $f \colon A\to B$ ja $g \colon B\to C$ reaalifunktioita.

1. Jos $f$ ja $g$ ovat kasvavia, niin $g\circ f$ on kasvava. Lisäksi jos $f$ ja $g$ ovat aidosti kasvavia, niin $g\circ f$ on aidosti kasvava.
2. Jos $f$ on kasvava ja $g$ on vähenevä, niin $g\circ f$ on vähenevä. Vastaavasti jos $f$ on aidosti kasvava ja $g$ on aidosti vähenevä, niin $g \circ f$ on aidosti vähenevä.

Piilota/näytä todistus

Todistetaan esimerkkinä alempi kohta kasvavien funktioiden tapauksessa. Jos $x, y\in A$ ja $x<y$, niin funktion $f$ kasvavuuden nojalla $f(x)\le f(y)$. Siten funktion $g$ vähenevyyden nojalla $g(f(x))\ge g(f(y))$, eli $(g\circ f)(x)\ge(g\circ f)(y)$. Niinpä $g\circ f$ on vähenevä.

Tutki itse tapaukset, joissa $f$ ja $g$ ovat (aidosti) väheneviä tai $f$ (aidosti) vähenevä ja $g$ (aidosti) kasvava.

Funktiosta $f$ tiedetään, että se on aidosti kasvava ja sillä ei ole nollakohtia. Mitä voit sanoa kussakin seuraavissa tapauksista funktiosta $g$? Voit päättelysi tueksi piirtää summittaisen kuvan funktiosta $f$.

Kysymys 1

Kun $g(x)=-f(x)$, niin $g$

on aidosti kasvava,

on kasvava, mutta ei välttämättä aidosti,

on aidosti vähenevä,

on vähenevä, mutta ei välttämättä aidosti,

ei ole kasvava eikä vähenevä,

voi olla mikä tahansa edellisistä riippuen funktion $f$ säännöstä.

Kysymys 2

Kun $g(x)=\dfrac{1}{f(x)}$, niin $g$

on aidosti kasvava,

on kasvava, mutta ei välttämättä aidosti,

on aidosti vähenevä,

on vähenevä, mutta ei välttämättä aidosti,

ei ole kasvava eikä vähenevä,

voi olla mikä tahansa edellisistä riippuen funktion $f$ säännöstä.

Kysymys 3

Kun $g(x)=-\dfrac{1}{f(x)}$, niin $g$

on aidosti kasvava,

on kasvava, mutta ei välttämättä aidosti,

on aidosti vähenevä,

on vähenevä, mutta ei välttämättä aidosti,

ei ole kasvava eikä vähenevä,

voi olla mikä tahansa edellisistä riippuen funktion $f$ säännöstä.

Palautusta lähetetään...