$$\newcommand{\N}{\mathbb N} \newcommand{\Z}{\mathbb Z} \newcommand{\Q}{\mathbb Q} \newcommand{\R}{\mathbb R} \newcommand{\C}{\mathbb C} \newcommand{\ba}{\mathbf{a}} \newcommand{\bb}{\mathbf{b}} \newcommand{\bc}{\mathbf{c}} \newcommand{\bd}{\mathbf{d}} \newcommand{\be}{\mathbf{e}} \newcommand{\bff}{\mathbf{f}} \newcommand{\bh}{\mathbf{h}} \newcommand{\bi}{\mathbf{i}} \newcommand{\bj}{\mathbf{j}} \newcommand{\bk}{\mathbf{k}} \newcommand{\bN}{\mathbf{N}} \newcommand{\bn}{\mathbf{n}} \newcommand{\bo}{\mathbf{0}} \newcommand{\bp}{\mathbf{p}} \newcommand{\bq}{\mathbf{q}} \newcommand{\br}{\mathbf{r}} \newcommand{\bs}{\mathbf{s}} \newcommand{\bT}{\mathbf{T}} \newcommand{\bu}{\mathbf{u}} \newcommand{\bv}{\mathbf{v}} \newcommand{\bw}{\mathbf{w}} \newcommand{\bx}{\mathbf{x}} \newcommand{\by}{\mathbf{y}} \newcommand{\bz}{\mathbf{z}} \newcommand{\bzero}{\mathbf{0}} \newcommand{\nv}{\mathbf{0}} \newcommand{\cA}{\mathcal{A}} \newcommand{\cB}{\mathcal{B}} \newcommand{\cC}{\mathcal{C}} \newcommand{\cD}{\mathcal{D}} \newcommand{\cE}{\mathcal{E}} \newcommand{\cF}{\mathcal{F}} \newcommand{\cG}{\mathcal{G}} \newcommand{\cH}{\mathcal{H}} \newcommand{\cI}{\mathcal{I}} \newcommand{\cJ}{\mathcal{J}} \newcommand{\cK}{\mathcal{K}} \newcommand{\cL}{\mathcal{L}} \newcommand{\cM}{\mathcal{M}} \newcommand{\cN}{\mathcal{N}} \newcommand{\cO}{\mathcal{O}} \newcommand{\cP}{\mathcal{P}} \newcommand{\cQ}{\mathcal{Q}} \newcommand{\cR}{\mathcal{R}} \newcommand{\cS}{\mathcal{S}} \newcommand{\cT}{\mathcal{T}} \newcommand{\cU}{\mathcal{U}} \newcommand{\cV}{\mathcal{V}} \newcommand{\cW}{\mathcal{W}} \newcommand{\cX}{\mathcal{X}} \newcommand{\cY}{\mathcal{Y}} \newcommand{\cZ}{\mathcal{Z}} \newcommand{\rA}{\mathrm{A}} \newcommand{\rB}{\mathrm{B}} \newcommand{\rC}{\mathrm{C}} \newcommand{\rD}{\mathrm{D}} \newcommand{\rE}{\mathrm{E}} \newcommand{\rF}{\mathrm{F}} \newcommand{\rG}{\mathrm{G}} \newcommand{\rH}{\mathrm{H}} \newcommand{\rI}{\mathrm{I}} \newcommand{\rJ}{\mathrm{J}} \newcommand{\rK}{\mathrm{K}} \newcommand{\rL}{\mathrm{L}} \newcommand{\rM}{\mathrm{M}} \newcommand{\rN}{\mathrm{N}} \newcommand{\rO}{\mathrm{O}} \newcommand{\rP}{\mathrm{P}} \newcommand{\rQ}{\mathrm{Q}} \newcommand{\rR}{\mathrm{R}} \newcommand{\rS}{\mathrm{S}} \newcommand{\rT}{\mathrm{T}} \newcommand{\rU}{\mathrm{U}} \newcommand{\rV}{\mathrm{V}} \newcommand{\rW}{\mathrm{W}} \newcommand{\rX}{\mathrm{X}} \newcommand{\rY}{\mathrm{Y}} \newcommand{\rZ}{\mathrm{Z}} \newcommand{\pv}{\overline} \newcommand{\iu}{\mathrm{i}} \newcommand{\ju}{\mathrm{j}} \newcommand{\im}{\mathrm{i}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \newcommand{\real}{\operatorname{Re}} \newcommand{\imag}{\operatorname{Im}} \newcommand{\Arg}{\operatorname{Arg}} \newcommand{\Ln}{\operatorname{Ln}} \DeclareMathOperator*{\res}{res} \newcommand{\re}{\operatorname{Re}} \newcommand{\im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\arsinh}{\operatorname{ar\,sinh}} \newcommand{\arcosh}{\operatorname{ar\,cosh}} \newcommand{\artanh}{\operatorname{ar\,tanh}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\proj}{\operatorname{proj}} \newcommand{\rref}{\operatorname{rref}} \newcommand{\rank}{\operatorname{rank}} \newcommand{\Span}{\operatorname{span}} \newcommand{\vir}{\operatorname{span}} \renewcommand{\dim}{\operatorname{dim}} \newcommand{\alg}{\operatorname{alg}} \newcommand{\geom}{\operatorname{geom}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\norm}[1]{\lVert #1 \rVert} \newcommand{\tp}[1]{#1^{\top}} \renewcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-15mu}#1}^{\,#2}} \newcommand{\abs}[1]{\lvert#1\rvert} \newcommand{\pysty}[1]{\left[\begin{array}{@{}r@{}}#1\end{array}\right]} \newcommand{\piste}{\cdot} \newcommand{\qedhere}{} \newcommand{\taumatrix}[1]{\left[\!\!#1\!\!\right]} \newenvironment{augmatrix}[1]{\left[\begin{array}{#1}}{\end{array}\right]} \newenvironment{vaugmatrix}[1]{\left|\begin{array}{#1}}{\end{array}\right|} \newcommand{\trans}{\mathrm{T}} \newcommand{\EUR}{\text{\unicode{0x20AC}}} \newcommand{\SI}[3][]{#2\,\mathrm{#3}} \newcommand{\si}[2][]{\mathrm{#2}} \newcommand{\num}[2][]{#2} \newcommand{\ang}[2][]{#2^{\circ}} \newcommand{\meter}{m} \newcommand{\metre}{\meter} \newcommand{\kilo}{k} \newcommand{\kilogram}{kg} \newcommand{\gram}{g} \newcommand{\squared}{^2} \newcommand{\cubed}{^3} \newcommand{\minute}{min} \newcommand{\hour}{h} \newcommand{\second}{s} \newcommand{\degreeCelsius}{^{\circ}C} \newcommand{\per}{/} \newcommand{\centi}{c} \newcommand{\milli}{m} \newcommand{\deci}{d} \newcommand{\percent}{\%} \newcommand{\Var}{\operatorname{Var}} \newcommand{\Cov}{\operatorname{Cov}} \newcommand{\Corr}{\operatorname{Corr}} \newcommand{\Tasd}{\operatorname{Tasd}} \newcommand{\Ber}{\operatorname{Ber}} \newcommand{\Bin}{\operatorname{Bin}} \newcommand{\Geom}{\operatorname{Geom}} \newcommand{\Poi}{\operatorname{Poi}} \newcommand{\Hyperg}{\operatorname{Hyperg}} \newcommand{\Tas}{\operatorname{Tas}} \newcommand{\Exp}{\operatorname{Exp}} \newcommand{\tdist}{\operatorname{t}} \newcommand{\rd}{\mathrm{d}}$$

Reaalifunktiot

Funktioita käsittelevässä johdannossa käsiteltiin sääntöä $f(x)=x^2+1$, joka liittää jokaiseen reaalilukuun $x$ toisen reaaliluvun $x^2+1$. Esimerkiksi funktio $f$ liittää lukuun $2$ luvun $5$, sillä $f(2) = 2^2 + 1 = 5$. Yleistetään tämä ajatus ja rakennetaan sen pohjalta seuraavaksi funktion täsmällinen määritelmä. Funktiota ja siihen liittyviä käsitteitä havainnollistetaan lisää täsmällisen määritelmän jälkeen.

Määritelmä 2.2.1

Olkoot $A$ ja $B$ epätyhjiä joukkoja. Funktio (function) $f$ on sääntö, joka liittää jokaiseen määrittelyjoukon (domain) $A$ alkioon täsmälleen yhden maalijoukon (codomain) $B$ alkion. Sanotaan, että $f$ kuvaa (maps) joukon $A$ alkiot joukon $B$ alkioille, ja tätä merkitään $f \colon A\to B$.

Jos $x \in A$, $y \in B$ ja $f$ kuvaa alkion $x$ alkiolle $y$, niin merkitään $y = f(x)$ ja sanotaan, että $y$ on funktion $f$ arvo (value) pisteessä $x$.

Nyt reaalifunktioiden tapauksessa funktion $f: A \to B$ määrittelijoukko $A$ ja maalijoukko $B$ ovat reaalilukujen osajoukkoja. Toisin sanoen reaalifunktio on määritelty reaaliluvuilla ja saa reaalisia arvoja. Tyypillisesti reaalifunktiolle määrittelyjoukko $A \subseteq \R$ on väli ja maalijoukko $B=\R$.

Reaalifunktiota voidaan havainnollistaa yllä olevalla kuvalla. Kuvan mustat pisteet esittävät joukkojen $A$ ja $B$ alkioita, ja niitä yhdistävät nuolet esittävät, miten määrittelyjoukon $A$ alkiot kuvautuvat funktion $f$ määrittämän säännön mukaan maalijoukon $B$ alkioiksi.

Funktion määritelmässä olennaisinta on, että jokaisella määrittelyjoukon $A$ alkiolla on täsmälleen yksi kuva maalijoukossa $B$. Visuaalisesti tämä tarkoittaa sitä, että joukon $A$ jokaisesta alkioista lähtee täsmälleen yksi nuoli kohti jotakin joukon $B$ alkiota. Maalijoukon $B$ alkioilla ei ole välttämätöntä olla lähtöalkiota, tai niitä voi myös olla useita. Yllä olevassa kuvassa esitetään, kuinka joukon $B$ alkioon voi kohdistua yksi nuoli (kuvassa alkio $y$) tai useampi (alkio $y_1$) tai ei yhtään nuolta (alkio $y_0$).

Esimerkki 2.2.2

1. Funktion $f: \R \to \R$, $f(x) = x^2 + 1$ määrittelyjoukko on $\R$ ja maalijoukko on $\R$. Funktio $f$ liittää reaalilukuun $x$ reaaliluvun $x^2 + 1$, eli se kuvaa alkion $x$ alkioksi $x^2 + 1$. Pisteessä $-1$ funktion $f$ arvo on $2$, sillä $f(-1) = (-1)^2 + 1 = 2$.
2. Funktion $g: [2,\infty) \to (-\infty, 0]$, $g(x) = -\sqrt{x-1}$ määrittelyjoukko on $[2,\infty)$ ja maalijoukko on $(-\infty,0]$. Funktio $g$ liittää määrittelyjoukon alkion $x$ maalijoukon alkioon $-\sqrt{x-1}$, eli se kuvaa alkion $x$ alkioksi $-\sqrt{x-1}$. Pisteessä $3$ funktion $g$ arvo on $-\sqrt{2}$, sillä $g(3) = -\sqrt{3-1} = -\sqrt{2}$.

Mikä on funktion $f$ arvo pisteessä $1$ ja funktion $g$ arvo pisteessä $10$? Entä mitä voidaan sanoa funktion $g$ arvosta pisteessä $1$?

Reaalifunktion kuvaaja

Reaalifunktion saamia arvoja on helppo esittää graafisesti funktion kuvaajan avulla. Funktion kuvaaja lienee käsitteellisesti tuttu, mutta matemaattisesti kuvaaja on joukko tason $\R^2$ pisteitä $(x,y)$, jotka toteuttavat funktion säännön eli joille $y=f(x)$.

Määritelmä 2.2.3

Reaalifunktion $f \colon A\to\R$ kuvaaja (graph) on tasojoukko

$$G_f=\{(x,f(x))\in\R^2 : x\in A\}=\{(x,y)\in\R^2 : x\in A,\ y=f(x)\}.$$

Funktion $f$ kuvaajaa merkitään myös lyhyesti kirjoittamalla $y=f(x)$.

Esimerkki 2.2.4

Piirrä funktion $f \colon [-1,4]\to\R$, $f(x)=x^3-5x^2+x$ kuvaaja.

Piilota/näytä ratkaisu

Lasketaan joitakin funktion $f$ arvoja.

$$\begin{split}\begin{array}{c|cccccc} x & -1 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\\hline f(x) & -7 & 0 & -3 & -10 & -15 & -12 \end{array}\end{split}$$

Funktion $f$ kuvaaja kulkee siis ainakin pisteiden $(-1,-7)$, $(0,0)$, $(1,-3)$, $(2,-10)$, $(3,-15)$ ja $(4,-12)$ kautta. Mitä tiheämpään pisteitä lasketaan, sen paremmin funktion kuvaaja saadaan hahmoteltua.

Seuraavassa osiossa määritellään lisää funktioihin liittyviä hyödyllisiä käsitteitä. Osaa niistä voidaan käyttää tutkittaessa reaalifunktion kulkua, eli miltä funktion kuvaaja näyttää. Funktion kulkua tutkitaan myöhemmin erityisesti derivaatan avulla.

Lisää funktion käsitteitä

Edellä mainittiin, että funktion maalijoukon alkiolle voi kuvautua yksi tai useampia, joskus jopa ääretön määrä, tai ei välttämättä yhtään lähtöjoukon alkiota. Tämän vuoksi onkin järkevää pohtia, mitkä kaikki alkiot kuvautuvat tietylle maalijoukon $B$ alkiolle $y$. Alkiolle $y$ kuvautuvien alkioiden joukkoa sanotaan alkion $y$ alkukuvaksi

$$f^{-1}(y) = \{x \in A : f(x) = y\},$$

eli alkukuva on kaikkien alkiolle $y$ kuvautuvien määrittelyjoukon alkioiden joukko. Merkintä $f^{-1}(y)$ luetaan ”f miinus 1 y”. Huomaa, että samaa merkintää käytetään myöhemmässä vaiheessa käänteisfunktion arvosta. Käänteisfunktio määritellään myöhemmin.

Usein ollaan kiinnostuneita siitä, mitä saadaan tulokseksi, kun valitaan määrittelyjoukosta $A$ jokin osajoukko $C$ ja kuvataan kaikki sen alkiot kuvauksessa $f$. Näiden kuvien joukkoa sanotaan osajoukon $C$ kuvajoukoksi ja merkitään

$$f(C) = \{f(x) \colon x \in C\}.$$

Koko määrittelyjoukon kuvajoukkoa $f(A) = \{f(x) : x \in A\} = \cR(f)$ kutsutaan funktion $f$ arvojoukoksi (range). Funktion $f$ määrittelyjoukkoa merkitään myös $\cM_f$ tai $D_f$ ja arvojoukkoa $\cA_f$ tai $R_f$.

Funktiota kuvattaessa määrittely- ja maalijoukkoja ei välttämätta mainita erikseen, vaan ilmoitetaan vain funktion sääntö tai lauseke. Tällöin määrittelyjoukon voidaan ajatella olevan laajin mahdollinen joukko, ja maalijoukoksi valitaan yleensä reaaliluvut $\R$.

Esimerkki 2.2.5

1. Funktion $f(x)=x^2+1$ lauseke on järkevä kaikilla reaaliluvuilla $x$. Siispä funktion $f$ laajin mahdollinen määrittelyjoukko on $\R$. Funktion maalijoukoksi voidaan merkitä $\R$, mutta arvojoukko on $f(\R)=[1,\infty)$. Tämä johtuu siitä, että $x^2 \geq 0$ aina, kun $x$ on reaaliluku, ja funktion arvot kasvavat rajatta, kun $x$ kasvaa. Joukon $(-1,2]$ kuvajoukko on $f((-1,2])=[1,5]$. Määritetään joidenkin alkioiden alkukuvia.

   $$\begin{split}\begin{aligned} f^{-1}(2)&=\{-1,1\}\\ f^{-1}(1)&=\{0\}\\ f^{-1}(-7)&=\emptyset \end{aligned}\end{split}$$

2. Funktion $g(x) = - \sqrt{x-1}$ lauseke ei ole määritelty reaaliluvuille, jos juurrettavaksi muodostuu negatiivinen luku eli $x < 1$. Näin ollen funktion $g$ laajin mahdollinen määrittelyjoukko on $[1,\infty)$, maalijoukko $\R$ ja arvojoukko $g([1,\infty)) = (-\infty,0]$. Joukon $[2,5)$ kuvajoukko on $g([2,5)) = (-2,-1]$. Määritellään joidenkin alkioiden alkukuvia.

   $$\begin{split}\begin{aligned} g^{-1}(-4) &= \{17\} \\ g^{-1}(4) &= \emptyset \end{aligned}\end{split}$$

Avaa tämä tehtävä uudessa välilehdessä (suositellaan näppäimistön ja avustavan teknologian käyttäjille)

Et voi palauttaa tätä tehtävää

Palauttaaksesi tehtäviä sinun pitää rekisteröityä ja ilmoittautua kurssin etusivulla.

Näytä kuitenkin

Palauttaaksesi tehtäviä sinun pitää rekisteröityä ja ilmoittautua kurssin etusivulla.

Palautusta lähetetään...

Palautuksen lähettämisessä arvosteluun tapahtui virhe eikä palautuskertoja kulunut. Voit yrittää vielä uudestaan. Tarkistathan internet-yhteytesi. Henkilökunnalle on ilmoitettu mikäli onglema on palvelussa.

Tehtävä 1

Merkitään \(X=\{0,1,2,3\}\). Valitse seuraavissa oikeat väittämät.

Kysymys 1 1 piste Sääntö \(f \colon X \to X\), \(f(n)=n^2+n \cdot (-1)^{n+1}\)

on funktio,

ei ole funktio, koska se ei liitä lähtöjoukon alkioon \(3\) yhtään maalijoukon alkiota,

ei ole funktio, koska se ei liitä maalijoukon alkioon \(3\) yhtään lähtöjoukon alkiota.

Kysymys 2 1 piste Sääntö \(g \colon X \rightarrow X, g(n)=3\)

on funktio,

ei ole funktio, koska se ei liitä maalijoukon alkioihin \(0\), \(1\) ja \(2\) yhtään lähtöjoukon alkiota,

ei ole funktio, koska se liittää maalijoukon alkioon \(3\) useita lähtöjoukon alkioita.

Tarkastellaan funktioita vielä yleisemmin.

Kysymys 3 1 piste Kumpi seuraavista väittämistä on oikein funktiolle \(f \colon A \to B\)?

Funktion \(f\) maalijoukko \(B\) sisältää vähintään arvojoukon \(f(A)\) sekä mahdollisia muita alkioita.

Funktion \(f\) arvojoukko \(f(A)\) sisältää vähintään maalijoukon \(B\) sekä mahdollisia muita alkioita.

Tehtävää ladataan...

Esimerkki 2.2.6

Määritellään lattiafunktio (floor) $f(x) = \lfloor x\rfloor$ asettamalla

$$\lfloor x\rfloor=\text{suurin kokonaisluku }n\text{, jolle }n\le x.$$

Nyt esimerkiksi $f\left(\frac52\right)=2$, $f(2)=2$ ja $f(-2\frac12)=-3$. Määrittelyjoukko on $\R$ ja maalijoukoksi voidaan ottaan $\R$, eli lattiafunktio kuvaa reaaliluvut reaaliluvuille. Arvojoukko on $f(\R)=\Z$. Määritetään joidenkin joukkojen ja alkioiden kuvia ja alkukuvia.

$$f([-1,2])=\{-1,0,1,2\}, \qquad f^{-1}\left({\tfrac12}\right)=\emptyset, \qquad f^{-1}(2)=[2,3).$$

Esimerkki 2.2.7

Mikä on funktion $f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{2x+4}}$ määrittelyjoukko?

Piilota/näytä ratkaisu

Jakaja ei voi saada arvoa nolla ja reaalilukuihin rajoituttaessa juurrettavan lausekkeen täytyy olla ei-negatiivinen. Näistä saadaan ehdot

$$\begin{split}\begin{cases} \sqrt{2x + 4} \not= 0 \\ 2x + 4 \geq 0 \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases} x \not= -2 \\ x \geq -2. \end{cases}\end{split}$$

On siis oltava $x > -2$, eli määrittelyjoukko on $\cM_f = (-2, \infty)$.

Tehtävää ladataan...

Seuraavat käsitteet luokittelevat funktioita sen perusteella, miten funktio kuvaa määrittelyjoukon alkioita maalijoukon alkioiksi. Nämä käsitteet ovat avainroolissa, kun tutkitaan, onko funktiolla olemassa niin kutsuttua käänteisfunktiota.

Määritelmä 2.2.8

Funktio $f \colon A \to B$ on

• injektio (one-to-one), jos aina kun $x_1, x_2 \in A$ ja $x_1 \not= x_2$, myös $f(x_1)\ne f(x_2)$ (funktio $f$ kuvaa eri alkiot eri alkioiksi),
• surjektio (onto), jos $f(A) = B$ (arvojoukko on koko maalijoukko),
• bijektio (bijection), jos $f$ on injektio ja surjektio.

Näitä ominaisuuksia voidaan luonnehtia vielä funktion maalijoukon suhteen seuraavasti.

• Injektio: jokaista maalijoukon alkiota vastaa enintään yksi määrittelyjoukon alkio.
• Surjektio: jokaista maalijoukon alkiota vastaa vähintään yksi määrittelyjoukon alkio.
• Bijektio: jokaista maalijoukon alkiota vastaa täsmälleen yksi määrittelyjoukon alkio.

Tämän perusteella esimerkin 2.2.5 kumpikaan funktio ei ole surjektio, sillä niiden maalijoukossa on alkioita, joiksi ei kuvaudu yksikään määrittelyjoukon alkio. Funktio $f=x^2+1$ ei myöskään ole injektio, sillä kumpikin alkioista $-1$ ja $1$ kuvautuu alkioksi $2$. Sen sijaan funktio $g(x) = - \sqrt{x-1}$ on injektio.

Huomautus 2.2.9

Injektion määritelmästä seuraa, että yksikin vastaesimerkki riittää todistamaan, että funktio ei ole injektio. Jos siis löytyy yksikin esimerkki määrittelyjoukon alkioista $x_1$ ja $x_2$, joille $x_1 \not= x_2$, mutta $f(x_1)=f(x_2)$, niin funktio $f$ ei tällöin ole injektio. Määritelmän mukainen yksittäinen esimerkki ei kuitenkaan riitä injektioksi todistamiseen. Sen sijaan pitää näyttää toteen, että oletuksesta $x_1 \not= x_2$ seuraa aina, että myös $f(x_1) \not= f(x_2)$. Samaan tapaan toimitaan, jos pitää osoittaa, että funktio on tai ei ole surjektio.

Esimerkki 2.2.10

Osoita, että $g: [1,\infty) \to \R$, $g(x) = -\sqrt{x-1}$ on injektio.

Piilota/näytä ratkaisu

Hyödynnetään epäsuoraa todistusta. Olkoon $x_1$ ja $x_2$ määrittelyjoukon $[1,\infty)$ alkioita, joille $x_1 \not= x_2$. Oletetaan nyt, että päinvastainen tulos on voimassa, eli $g(x_1) = g(x_2)$ ja pyritään näyttämään, että tämä johtaa väistämättä ristiriitaan. Nyt

$$\begin{split}\begin{aligned} g(x_1) = g(x_2) \qquad \Longleftrightarrow&& \qquad -\sqrt{x_1-1} &= - \sqrt{x_2 - 1} \\ \Longleftrightarrow&& \qquad x_1-1 &= x_2-1 \\ \Longleftrightarrow&& \qquad x_1 &= x_2. \end{aligned}\end{split}$$

Tämä on selvästi ristiriidassa sen kanssa, että $x_1 \not= x_2$. Siispä alkuperäinen väite on tosi, eli funktio $g$ on injektio.

Palautusta lähetetään...