Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/jax.js

Reaalifunktiot

Funktioita käsittelevässä johdannossa käsiteltiin sääntöä f(x)=x2+1, joka liittää jokaiseen reaalilukuun x toisen reaaliluvun x2+1. Esimerkiksi funktio f liittää lukuun 2 luvun 5, sillä f(2)=22+1=5. Yleistetään tämä ajatus ja rakennetaan sen pohjalta seuraavaksi funktion täsmällinen määritelmä. Funktiota ja siihen liittyviä käsitteitä havainnollistetaan lisää täsmällisen määritelmän jälkeen.

Määritelmä 2.2.1

Olkoot A ja B epätyhjiä joukkoja. Funktio (function) f on sääntö, joka liittää jokaiseen määrittelyjoukon (domain) A alkioon täsmälleen yhden maalijoukon (codomain) B alkion. Sanotaan, että f kuvaa (maps) joukon A alkiot joukon B alkioille, ja tätä merkitään f:AB.

Jos xA, yB ja f kuvaa alkion x alkiolle y, niin merkitään y=f(x) ja sanotaan, että y on funktion f arvo (value) pisteessä x.

Nyt reaalifunktioiden tapauksessa funktion f:AB määrittelijoukko A ja maalijoukko B ovat reaalilukujen osajoukkoja. Toisin sanoen reaalifunktio on määritelty reaaliluvuilla ja saa reaalisia arvoja. Tyypillisesti reaalifunktiolle määrittelyjoukko AR on väli ja maalijoukko B=R.

../_images/reaalifunktion-havainnollistus.svg

Reaalifunktiota voidaan havainnollistaa yllä olevalla kuvalla. Kuvan mustat pisteet esittävät joukkojen A ja B alkioita, ja niitä yhdistävät nuolet esittävät, miten määrittelyjoukon A alkiot kuvautuvat funktion f määrittämän säännön mukaan maalijoukon B alkioiksi.

Funktion määritelmässä olennaisinta on, että jokaisella määrittelyjoukon A alkiolla on täsmälleen yksi kuva maalijoukossa B. Visuaalisesti tämä tarkoittaa sitä, että joukon A jokaisesta alkioista lähtee täsmälleen yksi nuoli kohti jotakin joukon B alkiota. Maalijoukon B alkioilla ei ole välttämätöntä olla lähtöalkiota, tai niitä voi myös olla useita. Yllä olevassa kuvassa esitetään, kuinka joukon B alkioon voi kohdistua yksi nuoli (kuvassa alkio y) tai useampi (alkio y1) tai ei yhtään nuolta (alkio y0).

Esimerkki 2.2.2

  1. Funktion f:RR, f(x)=x2+1 määrittelyjoukko on R ja maalijoukko on R. Funktio f liittää reaalilukuun x reaaliluvun x2+1, eli se kuvaa alkion x alkioksi x2+1. Pisteessä 1 funktion f arvo on 2, sillä f(1)=(1)2+1=2.
  2. Funktion g:[2,)(,0], g(x)=x1 määrittelyjoukko on [2,) ja maalijoukko on (,0]. Funktio g liittää määrittelyjoukon alkion x maalijoukon alkioon x1, eli se kuvaa alkion x alkioksi x1. Pisteessä 3 funktion g arvo on 2, sillä g(3)=31=2.

Mikä on funktion f arvo pisteessä 1 ja funktion g arvo pisteessä 10? Entä mitä voidaan sanoa funktion g arvosta pisteessä 1?

Reaalifunktion kuvaaja

Reaalifunktion saamia arvoja on helppo esittää graafisesti funktion kuvaajan avulla. Funktion kuvaaja lienee käsitteellisesti tuttu, mutta matemaattisesti kuvaaja on joukko tason R2 pisteitä (x,y), jotka toteuttavat funktion säännön eli joille y=f(x).

Määritelmä 2.2.3

Reaalifunktion f:AR kuvaaja (graph) on tasojoukko

Gf={(x,f(x))R2:xA}={(x,y)R2:xA, y=f(x)}.

Funktion f kuvaajaa merkitään myös lyhyesti kirjoittamalla y=f(x).

Esimerkki 2.2.4

Piirrä funktion f:[1,4]R, f(x)=x35x2+x kuvaaja.

Piilota/näytä ratkaisu

Lasketaan joitakin funktion f arvoja.

x101234f(x)703101512

Funktion f kuvaaja kulkee siis ainakin pisteiden (1,7), (0,0), (1,3), (2,10), (3,15) ja (4,12) kautta. Mitä tiheämpään pisteitä lasketaan, sen paremmin funktion kuvaaja saadaan hahmoteltua.

../_images/funktiokuvaajaesim.svg

Seuraavassa osiossa määritellään lisää funktioihin liittyviä hyödyllisiä käsitteitä. Osaa niistä voidaan käyttää tutkittaessa reaalifunktion kulkua, eli miltä funktion kuvaaja näyttää. Funktion kulkua tutkitaan myöhemmin erityisesti derivaatan avulla.

Lisää funktion käsitteitä

Edellä mainittiin, että funktion maalijoukon alkiolle voi kuvautua yksi tai useampia, joskus jopa ääretön määrä, tai ei välttämättä yhtään lähtöjoukon alkiota. Tämän vuoksi onkin järkevää pohtia, mitkä kaikki alkiot kuvautuvat tietylle maalijoukon B alkiolle y. Alkiolle y kuvautuvien alkioiden joukkoa sanotaan alkion y alkukuvaksi

f1(y)={xA:f(x)=y},

eli alkukuva on kaikkien alkiolle y kuvautuvien määrittelyjoukon alkioiden joukko. Merkintä f1(y) luetaan ”f miinus 1 y”. Huomaa, että samaa merkintää käytetään myöhemmässä vaiheessa käänteisfunktion arvosta. Käänteisfunktio määritellään myöhemmin.

Usein ollaan kiinnostuneita siitä, mitä saadaan tulokseksi, kun valitaan määrittelyjoukosta A jokin osajoukko C ja kuvataan kaikki sen alkiot kuvauksessa f. Näiden kuvien joukkoa sanotaan osajoukon C kuvajoukoksi ja merkitään

f(C)={f(x):xC}.

Koko määrittelyjoukon kuvajoukkoa f(A)={f(x):xA}=R(f) kutsutaan funktion f arvojoukoksi (range). Funktion f määrittelyjoukkoa merkitään myös Mf tai Df ja arvojoukkoa Af tai Rf.

Funktiota kuvattaessa määrittely- ja maalijoukkoja ei välttämätta mainita erikseen, vaan ilmoitetaan vain funktion sääntö tai lauseke. Tällöin määrittelyjoukon voidaan ajatella olevan laajin mahdollinen joukko, ja maalijoukoksi valitaan yleensä reaaliluvut R.

Esimerkki 2.2.5

  1. Funktion f(x)=x2+1 lauseke on järkevä kaikilla reaaliluvuilla x. Siispä funktion f laajin mahdollinen määrittelyjoukko on R. Funktion maalijoukoksi voidaan merkitä R, mutta arvojoukko on f(R)=[1,). Tämä johtuu siitä, että x20 aina, kun x on reaaliluku, ja funktion arvot kasvavat rajatta, kun x kasvaa. Joukon (1,2] kuvajoukko on f((1,2])=[1,5]. Määritetään joidenkin alkioiden alkukuvia.

    f1(2)={1,1}f1(1)={0}f1(7)=
  2. Funktion g(x)=x1 lauseke ei ole määritelty reaaliluvuille, jos juurrettavaksi muodostuu negatiivinen luku eli x<1. Näin ollen funktion g laajin mahdollinen määrittelyjoukko on [1,), maalijoukko R ja arvojoukko g([1,))=(,0]. Joukon [2,5) kuvajoukko on g([2,5))=(2,1]. Määritellään joidenkin alkioiden alkukuvia.

    g1(4)={17}g1(4)=

Merkitään X={0,1,2,3}. Valitse seuraavissa oikeat väittämät.

Sääntö f:XX, f(n)=n2+n(1)n+1
Sääntö g:XX,g(n)=3

Tarkastellaan funktioita vielä yleisemmin.

Kumpi seuraavista väittämistä on oikein funktiolle f:AB?

Esimerkki 2.2.6

Määritellään lattiafunktio (floor) f(x)=x asettamalla

x=suurin kokonaisluku n, jolle nx.

Nyt esimerkiksi f(52)=2, f(2)=2 ja f(212)=3. Määrittelyjoukko on R ja maalijoukoksi voidaan ottaan R, eli lattiafunktio kuvaa reaaliluvut reaaliluvuille. Arvojoukko on f(R)=Z. Määritetään joidenkin joukkojen ja alkioiden kuvia ja alkukuvia.

f([1,2])={1,0,1,2},f1(12)=,f1(2)=[2,3).
../_images/funktiolattia.svg

Esimerkki 2.2.7

Mikä on funktion f(x)=12x+4 määrittelyjoukko?

Piilota/näytä ratkaisu

Jakaja ei voi saada arvoa nolla ja reaalilukuihin rajoituttaessa juurrettavan lausekkeen täytyy olla ei-negatiivinen. Näistä saadaan ehdot

{2x+402x+40{x2x2.

On siis oltava x>2, eli määrittelyjoukko on Mf=(2,).

Määritellään sääntö f:AB asettamalla

f(x)=1x21.

Valitse seuraavissa kysymyksissä lähtöjoukko A ja maalijoukko B annetuista vaihtoehdoista niin, että sääntö f on funktio. Muista, että hakasulkua [ käytettäessä välin päätepiste on mukana joukossa ja kaarisulkua ( käytettäessä ei ole mukana.

Kuvaajan piirtäminen voi helpottaa tehtävän hahmottamista.

Sopiva lähtöjoukko A on
Sopiva maalijoukko B on

Nyt A on funktion f määrittelyjoukko (ei välttämättä suurin mahdollinen). Ota valittu määrittelyjoukko huomioon vastatessasi seuraaviin kysymyksiin.

Onko funktion f maalijoukko B sama kuin arvojoukko f(A)?
Mikä on alkion 0 kuva f(0)?
Mikä on alkion 1/3 alkukuva f1(1/3)?

Seuraavat käsitteet luokittelevat funktioita sen perusteella, miten funktio kuvaa määrittelyjoukon alkioita maalijoukon alkioiksi. Nämä käsitteet ovat avainroolissa, kun tutkitaan, onko funktiolla olemassa niin kutsuttua käänteisfunktiota.

Määritelmä 2.2.8

Funktio f:AB on

  • injektio (one-to-one), jos aina kun x1,x2A ja x1x2, myös f(x1)f(x2) (funktio f kuvaa eri alkiot eri alkioiksi),
  • surjektio (onto), jos f(A)=B (arvojoukko on koko maalijoukko),
  • bijektio (bijection), jos f on injektio ja surjektio.

Näitä ominaisuuksia voidaan luonnehtia vielä funktion maalijoukon suhteen seuraavasti.

  • Injektio: jokaista maalijoukon alkiota vastaa enintään yksi määrittelyjoukon alkio.
  • Surjektio: jokaista maalijoukon alkiota vastaa vähintään yksi määrittelyjoukon alkio.
  • Bijektio: jokaista maalijoukon alkiota vastaa täsmälleen yksi määrittelyjoukon alkio.
../_images/injektio-surjektio-bijektio.svg

Tämän perusteella esimerkin 2.2.5 kumpikaan funktio ei ole surjektio, sillä niiden maalijoukossa on alkioita, joiksi ei kuvaudu yksikään määrittelyjoukon alkio. Funktio f=x2+1 ei myöskään ole injektio, sillä kumpikin alkioista 1 ja 1 kuvautuu alkioksi 2. Sen sijaan funktio g(x)=x1 on injektio.

Huomautus 2.2.9

Injektion määritelmästä seuraa, että yksikin vastaesimerkki riittää todistamaan, että funktio ei ole injektio. Jos siis löytyy yksikin esimerkki määrittelyjoukon alkioista x1 ja x2, joille x1x2, mutta f(x1)=f(x2), niin funktio f ei tällöin ole injektio. Määritelmän mukainen yksittäinen esimerkki ei kuitenkaan riitä injektioksi todistamiseen. Sen sijaan pitää näyttää toteen, että oletuksesta x1x2 seuraa aina, että myös f(x1)f(x2). Samaan tapaan toimitaan, jos pitää osoittaa, että funktio on tai ei ole surjektio.

Esimerkki 2.2.10

Osoita, että g:[1,)R, g(x)=x1 on injektio.

Piilota/näytä ratkaisu

Hyödynnetään epäsuoraa todistusta. Olkoon x1 ja x2 määrittelyjoukon [1,) alkioita, joille x1x2. Oletetaan nyt, että päinvastainen tulos on voimassa, eli g(x1)=g(x2) ja pyritään näyttämään, että tämä johtaa väistämättä ristiriitaan. Nyt

g(x1)=g(x2)x11=x21x11=x21x1=x2.

Tämä on selvästi ristiriidassa sen kanssa, että x1x2. Siispä alkuperäinen väite on tosi, eli funktio g on injektio.

Kun todistetaan, että funktion arvojoukko on täsmälleen sama kuin maalijoukko, pitää näyttää, että mitä tahansa maalijoukon alkiota y vastaa vähintään yksi määrittelyjoukon alkio x, jolle f(x)=y.

Tarkastellaan kuvausta f:R{2}R, jolle

f(x)=5x+2

kaikilla xR{2}.

Kaverisi on saanut tehtäväkseen tutkia, onko kuvaus f surjektio. Hänen mielestään f on surjektio ja ohessa on hänen perustelunsa.

  1. Oletetaan, että yR.
  2. Tällöin 52yy=5y22, koska 5y0 kaikilla yR.
  3. Valitaan x=52yyR{2}.

Nyt

f(x)4.=552yy+25.=5y52y+2y6.=5y57.=y.

Näin on näytetty, että kuvaus f on surjektio.

Missä kohdista 1–7 kaverisi perustelu menee pieleen? Toisin sanoen, mikä seuraavista väitteistä on totta?
Jos sääntö f säilyy samanlaisena, mutta lähtö- ja/tai maalijoukkoa muutetaan jotenkin, saadaanko säännöstä f surjektio? Seuraavassa on listattuna muutamia muutoksia. Jos niiden joukossa on sellainen, että säännöllä f saadaan surjektiivinen funktio, valitse kyseinen muutos tai vaihtoehtoisesti ilmoita, jos millään valinnalla ei saada aikaan surjektiota.
Palautusta lähetetään...